湖南长沙市卓华高级中学2025-2026学年高二下学期期末数学试题

**基本信息** 2026年高二期末数学试卷，通过集合、复数等基础题与圆锥曲线、函数导数等综合题，结合游戏概率应用情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、数列、双曲线离心率|基础概念辨析，如第4题充要条件判断| |多选题|3/18|统计量（中位数、方差）、函数奇偶性|第9题结合学习情境考查数据分析| |填空题|3/15|三角恒等变换、向量、立体几何外接球|第14题正六棱锥与正方体动态问题| |解答题|5/67|解三角形、立体几何、双曲线、概率统计、函数导数|18题游戏概率体现应用意识，19题导数综合考查逻辑推理|

2026年上学期高二期末考试 数学 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1.设集合，，若，则的取值范围为（） A. B. C. D. 2.已知复数，则（） A.1 B. C. D. 3.已知等差数列的前项和为，若，则（） A.30 B.55 C.80 D.110 4.“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A.2 B. C.3 D. 6.定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（） A.函数所有零点之和为 B.若函数有三个零点，则 C.当时， D.函数在上为增函数 7.如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（） A. B. C. D. 8.已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（ ） A. 函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4 B. 三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2 C. 数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4 D. 立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6 10.若函数为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B.函数对任意实数，恒有 C.若在值域为，则的范围为 D.， 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（） A.以为直径的圆与圆相切 B.的离心率 C.线段的中点在直线上 D.的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知，则                   . 13.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是                  . 14.已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为                   ． 四、解答题 15.中角所对的边为，若分别以长度为边长的等边三角形的面积分别为，且 (1)求角的大小 (2)若，延长线段至使得，求大小 16.（15分）如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点. (1) 若，求证：平面； (2) 若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 17.（15分）若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， (1) 求双曲线标准方程 (2)点为双曲线右支上第一象限的点，轴，点为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线方程 18.（17分）某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是（不计顺序）则获胜，得元奖金. (1) 求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设为前两局均未获胜的人数，求的分布列和数学期望； (3) 从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 19.（17分）已知函数． (1)求的极小值； (2)讨论的单调性； (3)若存在实数，使得在时恒成立，求实数的取值范围． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二期末考试 数学 一、单选题 1.C【解析】由得，即，. 因为，故区间与存在公共元素. 当时，，不符合要求；当时，两区间存在公共元素，满足条件. 由此可得的取值范围为. 故选：C. 2.D【解析】由得，结合复数模的计算公式得. 故选：D. 3.B【解析】由等差数列的性质可知，中间项是的平均数, 因此,由此可得. 由于表示等差数列的前项和，因此. 又因,代入得. 4.A【解析】由单调递增, 且,得, 因为,所以. 若,取,,则, 但, 不满足. 故”“是”“的充分不必要条件. 答案为A. 5.A【解析】双曲线，则，，左焦点. 设，，，，. 由，两式相减得， 则，即. 已知，以为底边等腰，，， ，直线倾斜角与直线倾斜角关系：（几何关系）， （为倾斜角），， 则， 又，，. 离心率. 故选：A. 6.C【解析】对于选项A，时，，当时，令，解得或，均满足区间要求，当时，令，得，解得，满足要求. 由是上的奇函数，根据对称性得时，的零点为，，因此所有零点之和为，故A正确. 对于选项B，函数有三个零点等价于有三个不同实根，即与的图象有三个不同交点，结合的奇偶性与分段图象性质，可得当交点个数为时，，故B正确. 对于选项C，当时，，得，结合奇函数性质，得，整理得，与选项C给出的表达式不符，故C错误. 对于选项D，在上单调递增，为平移得到，单调性与一致，故在上为增函数，故D正确. 故选：C. 7.D【解析】设外接圆的圆心为，为等腰三角形，，，故，，为中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，，，得平面，过作交的延长线于，设在平面内的射影为，连接，由二面角的大小为，得. 为等腰三角形，，，故，，计算得，，，. 过作的平行线，与的延长线交于点，连接，，得，，，故. 设，由得，化简得，解得. 故外接球半径满足，三棱锥外接球的表面积为. 故选：D. 8.D【解析】由扇形弧长等于圆锥底面周长得, 故. 圆锥母线,底面半径,高. 轴截面等腰三角形面积为,半周长为, 由面积等于内切圆半径与半周长的乘积得, 故. 球的体积, 圆锥体积. 由相似圆锥体积比等于高的立方比得, 代入得, 解得. 故选:D. 二、多选题 9.AC【解析】对于A选项，设函数内容10道题失分从小到大排序为. 因为极差为4，若存在一道题失分， 那么，此时中位数，矛盾， 所以函数内容每道题失分都不超过7分，是“复习效果达标内容”. 对于B选项，设三角内容失分记录为， 取，，，，， 满足平均数为2，众数为2，但有题失分超过7分，不是“复习效果达标内容”. 对于C选项，设数列内容失分记录为， 由方差公式（为平均数）， 已知，，，则. 若，则，，矛盾， 所以数列内容每道题失分都不超过7分，是“复习效果达标内容”. 对于D选项，设立几内容失分记录为， 取，，， 满足平均数为3，第65百分位数为6，但有题失分超过7分，不是“复习效果达标内容”. 所以一定为“复习效果达标内容”的是AC选项. 10.ABD【解析】令，，由奇偶性得，即，整理得. 对于选项A，代入得，故A正确. 对于选项B，计算得，故B正确. 对于选项C，求导得， 令得或，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 由此得极大值为，极小值为，令解得或，令解得或，结合在值域为，得，故C错误. 对于选项D，计算得，因为，所以，，故，即，故D正确. 故选：ABD. 11.ABD【解析】设的中点为，由中位线性质得，即两圆圆心距等于半径之和，故以为直径的圆与圆相切，A正确. 由点在的渐近线上，且，得，设直线与圆切于点，则，，，，的斜率为，故在的另一条渐近线上，由对称性得，故，离心率，故B正确. 设中点为，，，则，且，两式相减整理得，即，又，得，故中点在直线上，C错误. 由得，，设，则，，由双曲线定义得，代入化简得，变形得，解得，结合，得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12.【解析】由，结合诱导公式与二倍角公式得. 化简所求表达式，分子分母同乘， 得，代入得结果为. 故答案为：. 13.【解析】过点D作DF//CE交AB于F,由D为BC中点,得BF=FE； 由BE=2EA,得FE=EA,故BF=FE=EA,因此. 由D为BC中点,得；由BE=2EA,得,故. . 由,得, 故,即,因此,故. 14.【解析】由外接球表面积,得． 设正六棱锥底面边长为,其高为,底面中心到顶点距离为,外接球球心在高线上, 故, 代入得． 正六棱锥底面积, 体积． 侧棱长为, 侧面三角形高为, 侧面积． 由,得内切球半径． 正方体可任意转动,则其外接球直径不超过内切球直径,即, 代入得．. 四、解答题 15. 解：(1)由等边三角形面积公式得，，，代入已知等式化简，整理得. 由余弦定理得，因为，故. (2)设，计算得，进而得. 在中，由正弦定理得，结合，得. 在中，由正弦定理得，即. 联立两式消去得，整理得. 由诱导公式得，， 代入等式得，结合二倍角公式，约去公因子得. 由积化和差公式得，整理得. 由三角函数性质得，，或，，结合，得，即. 16.(1) 证明：由正三棱柱定义可知,平面与底面垂直, 且交线为由于为正三角形,是中点, 因此垂直于由此可得垂直于平面. 又因在棱上,且满足,可得. 由于位于平面内,所以 在平面中, 利用勾股定理计算得,,. 由,可得 结合与相交于点,且均在平面内,故垂直于该平面. (2) 解：设点为坐标原点，以方向为轴,方向为轴, 过垂直于底面方向为轴，建立空间直角坐标系. 由题意可得:,,,. 由此可得,,,. 设平面的法向量为,由,,解得. 设平面的法向量为,由,,解得. 两平面夹角的余弦值为. 17. 解：(1)由离心率得，结合，得，化简得. 将点代入双曲线方程得，结合得，解得，从而，故双曲线标准方程为. (2)由轴得的横坐标为，代入双曲线方程得，解得. 因为在第一象限，故，即，双曲线左顶点坐标为，计算得直线的斜率，整理得直线的方程为. 18. 解：(1)游戏Ⅰ第2局抛三枚硬币，总基本事件数为，向上图案相同的情况共种，故获胜概率. (2)的所有可能取值为，游戏Ⅰ第1局获胜概率为，第2局获胜概率为，故单人选游戏Ⅰ时前两局均未获胜的概率为，由此可得. 计算得各概率为，， ，. 随机变量的分布列为： 由二项分布期望公式得. (3)记分别为一次参加游戏Ⅰ、游戏Ⅱ所获奖金总额，游戏Ⅰ第3局获胜概率为，故. 游戏Ⅱ第1局获胜概率为，第2局获胜概率为，第3局获胜概率为，故. 因为，故从奖金期望角度，员工应选择游戏Ⅱ. 19. 解：(1)由求导得，当时，单调递减，当时，单调递增，故时取得极小值，计算得极小值为. (2)对求导得，令，得判别式. 当，即时，恒成立，故，在上单调递减. 当，即时，方程有两个不等实根，，满足，当时，即，单调递增，当或时，即，单调递减. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在和上单调递减. (3)由，整理不等式得，化简得，因为时，不等式等价于，令，问题转化为存在实数使得对任意恒成立. 若，当时，故，当时，从而，不存在满足条件的实数. 若，则，令，求导得对成立，故在上单调递减，由此可得时，即. 结合得，故，取即可满足条件，由此可得符合要求. 综上，实数的取值范围是. 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $