第10讲 几何法求空间角的综合计算讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高中立体几何核心难点，系统梳理几何法求空间角的知识体系，涵盖异面直线所成角、线面角、二面角的定义、取值范围及求解步骤，通过对比总结构建知识支架，帮助学生形成完整认知脉络。 资料设计突出易错辨析（如线面角公式正余弦混淆）培养数学思维严谨性，7类题型典例与变式结合，以具体问题引导学生用数学眼光观察空间形式，课后分层作业助力学生查漏补缺，课中辅助教师高效授课，提升空间观念与逻辑推理能力。

第10讲 几何法求空间角的综合计算 （核心知识+4易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】求异面直线所成的角 【题型五】由线面角的大小求值 【题型二】由异面直线所成的角求其他量 【题型六】求二面角 【题型三】线面角的概念及辨析 【题型七】由二面角大小求线段长度或距离 【题型四】求线面角 【知识点01】异面直线所成角 （1）定义 过空间内任意一点，分别作两条异面直线的平行线，两条相交直线所形成的锐角或直角，即为两条异面直线所成的角。若平移后得到钝角，需取其补角作为异面直线所成角。 （2）取值范围 （3）几何求解步骤 异面平移→构造三角形→解三角形→钝角取补，最终保留锐角或直角。 【知识点02】直线与平面所成角 （1）定义 平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫做直线与平面所成角。特殊情况：直线垂直平面，线面角为；直线平行平面或在平面内，线面角为。 （2）取值范围 （3）几何求解步骤 找垂足→确定射影→锁定线面角→在直角三角形中求解角度。 【知识点03】二面角及其平面角 （1）二面角平面角定义 在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所夹的角，即为二面角的平面角，平面角大小即为二面角大小。 （2）取值范围 （3）几何法：定义法、三垂线定理法、垂面法，核心是构造出棱的两条垂线。 【知识点04】三类空间角核心对比总结 1. 异面直线所成角：范围最严格，仅取锐角/直角，向量计算全程绝对值，无钝角； 2. 线面角：范围，利用向量互余关系，用正弦求值； 3. 二面角：范围最大，可锐可钝，无固定绝对值，必须看图判型。 易错点1：异面直线所成角取值错误 误区：向量计算直接得出钝角，不做补角转换，将钝角当作异面直线角。 正解：异面直线所成角无钝角，向量点积结果算得钝角时，必须用减去该角，取锐角为最终答案。 易错点2：线面角公式混淆正、余弦 误区：照搬异面直线公式，用余弦公式计算线面角。 正解：线面角与法向量夹角互余，必用正弦公式，是考试最高频失分点。 易错点3：空间角范围记忆混乱 误区：将二面角限制为直角、锐角，或将异面直线角取0、钝角。 正解：严格牢记：异面直线、线面角、二面角。 易错点4：几何法缺证明步骤 误区：直接肉眼找角、计算边长，不证明所找角为对应空间角。 正解：几何法解题先证后算，必须证明垂直关系、确认角的定义成立，否则步骤扣分。 【题型一】求异面直线所成的角 【典例1-1】已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，，得到（或补角）即为异面直线与所成角求解. 【详解】取中点，连接，，则， 所以（或补角）即为异面直线与所成角， 因为，，则，， 由余弦定理可得， 所以异面直线AF与BD所成角的余弦值为.    故选：D. 【变式1-1】在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】取的中点，构造三角形的中位线，将异面直线与所成的角转化为三角形的内角，结合余弦定理可得. 【详解】 取的中点，连接， 由E、F分别为边、的中点，由三角形的中位线性质可得，为异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 由异面直线间夹角范围可得直线与所成的角为. 【变式1-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1. (1)正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)若M，N分别是的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异面直线的定义即可解决； （2）连结，确定异面直线MN与BC所成角为（或其补角），计算得到答案. 【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱所在的直线与直线A'B是异面直线. （2）因为M，N分别是的中点， 所以，又因为， 所以异面直线MN与BC所成角为（或其补角）， 由于， 于是，所以异面直线MN与BC所成角的大小为. 【变式1-3】（24-25高二上·上海松江·阶段检测）（1）在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，求异面直线AD和BC所成的角； （2）如图，长方体中，，求异面直线与所成的角． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）取的中点，连接，．利用三角形的中位线定理可得平行且相等，平行且相等．因此或其补角即为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理即可得出．（2）根据题意，将异面直线夹角转化为与所成的角，再由余弦定理，即可得到结果． 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，． ，分别是，的中点， 平行且相等， 平行且相等． 或其补角即为异面直线与所成的角， 又，． 在中，由余弦定理可得：． 异面直线与所成的角的余弦值为．故异面直线AD和BC所成的角为. （2）如图连接，， 在长方体中，因为， 所以直线与所成角等于与所成的角， 在中，， ，. 由余弦定理可得，． 则异面直线与所成的角. 【题型二】由异面直线所成的角求其他量 【典例2-1】如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】平移法找出异面直线所成的角，后用直角三角形知识解决． 【详解】 取AD的中点P，连接PM，PN，则 ∴或其补角即异面直线AC与BD所成的角， ∴，，， ∴. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 【答案】 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 【变式2-2】如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【答案】或 【分析】根据线线平行可证四边形是平行四边形，即可利用线线角求解. 【详解】因为分别是三棱锥的棱的中点， 所以为的中位线，故且， 同理GH为的中位线，故且， 所以，所以四边形是平行四边形且． 同理且． 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，故； 当时，为等腰三角形，故． 【变式2-3】如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，求该三棱柱的高.    【答案】2 【分析】连接，则可得（或其补角）是异面直线与所成的角，设三棱柱的高为，在中利用等腰三角形的性质列方程可求出. 【详解】连接，如图，    设三棱柱的高为， 在和中，， 所以是等腰三角形. 因为， 所以（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 【题型三】线面角的概念及辨析 【典例3-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知直线与平面相交，则它们所成角的范围为__________.（角度单位用弧度） 【答案】 【分析】结合直线与平面所成角的定义即可求出角的取值范围． 【详解】因为直线与平面相交， 所以直线不在平面内且直线不平行于平面，故所成角不能取得最小值0， 当直线与平面垂直时，所成角取最大值， 故直线与平面相交时，则它们所成角的范围为. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若直线与平面所成的角为，直线与平面上的直线所成的角为，则总有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面所成角的定义，结合题意，即可判断. 【详解】由直线与平面所成的角为， 根据直线与平面所成角的定义，可得直线与平面内的直线所成的最小角为， 又直线与平面上的直线所成的角为，所以. 故选：B 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】由“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”， 由“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”，由此可确定选项. 【详解】若直线与平面内一条直线所成角的大小为，则直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线平行，直线与平面所成角的大小不一定为. 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”. 若直线与平面所成角的大小为，则直线与它在平面上的射影所成的角为，直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线与射影平行. 故“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”. 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的必要非充分条件. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）过平面外一点作三条直线与该平面相交，已知.与与夹角分别为.设三条直线与平面所成角分别为，给出如下的两个命题，则（    ）. 命题（1）:的最大值是，没有最小值： 命题（2）:的最大值是，没有最小值. A．命题（1）为真命题，命题（2）也为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）也为假命题 【答案】B 【分析】先证明命题：如图，不共面，设中最大，则．从而得证命题是共顶点的三条射线，设中最大，则，当且仅当射线在内时等号成立．然后由此结论判断命题（1）（2）． 【详解】如图，不共面，设中最大，则． 在上取点，上取点，在平面内作，交于点，作，交于， 则，所以，， 因为，所以， 和中，，而，所以（可由余弦定理证明，这里证明略）， 所以，即， 当射线在平面内且在内时，， 所以对空间任意三条射线，都有，从而在三个角中任意两个角的和不小于第三个角． 根据上述结论，，当且仅当射线在内时等号成立， 即，所以（当且仅当在线段上时取等号），从而的最大值是， 而保持不变，把绕旋转，使得增大，则，将减小，可以无限接近于0，但无最小值， 所以命题（1）正确， 由命题（1）知 ， ， ， 因此，从而， 当在线段内部，且与重合时，等号成立，此时， 因此，最大值是．命题（2）错， 故选：B． 【题型四】求线面角 【典例4-1】（25-26高二上·上海·单元测试）在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，，，，AB⊥AD，若M为PB的中点，则AM与平面ABCD所成角的大小是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】取取的中点，作出线面角，利用线面的定义求解即得. 【详解】取的中点，连接，由M为PB的中点，得，， 由PD⊥平面ABCD，得平面ABCD，则是AM与平面ABCD所成的角， 而，则， 在中，，， 所以AM与平面ABCD所成角的大小是. 故选：C 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）若斜线段在平面内的射影长度为其一半，则此线段与该平面所成角的大小为___________. 【答案】/ 【分析】根据题意，结合直线与平面所成角的定义，即可求解. 【详解】如图所示，是平面的斜线，平面，且， 因为平面，所以即为与平面所成的角， 在直角中，， 因为，所以，即斜线与平面所成的角为. 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高二上·上海·单元测试）如图，ABCD是矩形，平面ABCD，，，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且．求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．    【答案】 【分析】根据线面角的定义，作出直线与平面所成的角，进而在直角三角形中求解即可. 【详解】如图所示，过E作于M，连接FM， 因为平面ABCD， 所以平面ABCD， 则为直线EF与平面ABCD所成的角． ， ． 在中，， 因为 ∴解得. 故答案为：.    【变式4-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，E，F分别为的中点.    (1)证明：平面ABCD. (2)求直线BD与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明:连结， 因为在正方体中，E，F分别为的中点， 所以又因为平面，平面， 所以平面ABCD. (2) 【分析】（1）利用正方体的性质，结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用正方体的性质结合线面角的定义得到求解为所求角，从而求解正切值. 【详解】（1）略；    （2）连结设连结设连结 因为平面与平面为同一个平面， 则直线BD与平面所成角即为直线BD与平面所成角， 又因为在正方体中，所以面 又因为 所以 又因为 面，所以面， 又因为面，所以 同理可证 又因为面，所以面， 则（即）为直线BD与平面所成角（或补角）， 因为正方体的棱长为1，所以， 所以，即直线BD与平面所成角的正切值为. 【题型五】由线面角的大小求值 【典例5-1】（25-26高二上·上海·期中）设斜线段所在直线与平面所成角的大小为，斜线段长为2，则该斜线段在平面内的投影的长是___________． 【答案】 【分析】根据直线与平面所成的角与斜线段的长度利用三角函数关系即可求出投影的长度. 【详解】设斜线段为，为斜足，在平面上的射影为，则，， 故投影. 故答案为： 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为__________. 【答案】 【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，结合圆的面积公式作差即可． 【详解】如图， 过作，则， 当时，，当时，． 所以，满足条件的点构成的区域的面积为. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    【答案】 【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案. 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 【变式5-3】（25-26高二上·上海·单元测试）已知直角三角形ABC，斜边平面，，、分别与平面成和的角，已知，求到平面的距离． 【答案】 【分析】首先根据线面角的定义，作出线面角，再根据几何关系，求解点到平面的距离. 【详解】作于点，于点，则由，得， 且就是BC到平面α的距离，设， 连接、，则，，∴，， 在中，，， ∴，∴，即到平面的距离为. 【题型六】求二面角 【典例6-1】（24-25高二上·上海·期中）正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接延长交于，则是中点，得是二面角的平面角．求出可得结论． 【详解】依题意，是中心， 连接延长交于，则是中点，连接，则，， 而平面，则平面， cc以平面，则，因此是二面角的平面角． 由，，得，， 又，由平面，平面，得， 所以二面角的余弦值. 故选：B 【变式6-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，则二面角的正弦值为___________． 【答案】/ 【分析】通过作辅助线找出二面角的平面角，再利用直四棱柱的性质、勾股定理以及三角函数，即可求解. 【详解】根据题意，取中点，连接，. 由已知四边形是边长为的菱形，，所以为等边三角形， 所以，且. 因为四棱柱为直四棱柱，所以，，相等且均垂直于平面，又， 所以，所以为等腰三角形，所以， 所以即二面角的平面角， 又平面，且平面， 所以为直角三角形，所以， 所以. 故答案为：. 【变式6-2】如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) 连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案； （2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【变式6-3】（25-26高二下·上海宝山·期末）、、为圆锥的三条母线，为底面直径，. (1)证明：； (2)若圆锥的侧面积为，求二面角的大小. 【答案】(1)设底面圆心为，则为中点，连接，，所以平面， 在底面中，，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. (2). 【分析】（1）利用底面等腰三角形的中线性质得到 ，结合圆锥的轴 底面得到 ，从而由线面垂直判定定理完成证明； （2）取 中点 ，由等腰三角形中线性质得 ，利用底面中位线关系得 ，从而 即为所求二面角的平面角；再在直角三角形中通过边长比计算正切值即可确定角的大小． 【详解】（1）略． （2）由直径，得底面半径，且, 又，所以， 圆锥侧面积，得母线长：， 所以， 取的中点，连接，所以，， 因为为底面直径，所以，所以， 所以是二面角的平面角. 在直角中，， 因为,所以， 所以，即二面角的大小为. 【题型七】由二面角大小求线段长度或距离 【典例7-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为_________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，利用余弦定理、正弦定理求解即得. 【详解】令于，于，平面，则， 由，得， 又是平面内的两条相交直线，则平面， 又平面，于是， 是二面角的平面角，， 则，在中，由余弦定理得， 而到的距离是四边形外接圆直径， 所以. 故答案为： 【变式7-1】如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________. 【答案】 【分析】过点作，且，在利用余弦定理可得，再在中利用勾股定理求解. 【详解】 过点作，且， 则四边形为平行四边形， ， 又， ， ， 即为二面角的平面角，即， 在中，， 即， 又，，平面， 平面， 平面, ，， 在中，， 即， 故答案为：. 【变式7-2】在中，已知，，，点在上，如图，沿折成直二面角后，点与点的距离为，求的长． 【答案】或2 【分析】设，根据已知及、余弦定理、二倍角正弦公式得，求出大小，即可得边长. 【详解】设， 所以，由题干图知，且， 由， 所以，则， 又，则或，对应或2. 【变式7-3】如图，已知平面，平面，为相应的垂足，为平面及平面的交线，与平面交于点． (1)求证：平面； (2)若，，求点到直线的距离． 【答案】(1) 平面，平面，；平面，平面，； 又，平面，平面. (2) 【分析】（1）由线面垂直性质可知，，由线面垂直的判定可证得结论； （2）设平面平面，平面平面，由可知，由此可得，即所求的距离. 【详解】（1）略 （2）设平面平面，平面平面， 平面，，，又，， 即二面角的平面角为，可作出如图所示的平面图形， ，，，，， ，； 又平面，平面，， 即点到直线的距离为. 1. 核心知识框架 本讲聚焦高中立体几何核心难点——三类空间角计算，是沪教必修三重点考点。整体分为：异面直线所成角、线面角、二面角三大模块，核心解题方法为几何定义法与空间向量法，向量法是考试主流解题方式。 2. 解题核心口诀 异面夹角取锐直，向量模积带绝对值； 线面夹角看互余，正弦求值莫记错式； 二面可锐亦可钝，法向夹角看图识。 3. 考试提分关键 1. 严格区分三类空间角的取值范围，杜绝范围失分； 2. 熟记专属公式，杜绝正余弦公式混用； 3. 向量法计算后必须结合图形验证二面角类型； 4. 几何法务必补齐垂直证明步骤，保证解题规范完整。 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·阶段检测）下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 【答案】C 【分析】根据二面角的平面角的定义判断即可. 【详解】二面角的平面角是指过棱上一点在两个半平面内作棱的垂线，两条射线所成的角叫二面角的平面角， 对于A，两条边不一定垂直于两个半平面的交线，故A错误； 对于B，此时两边不一定在两个半平面内，故B错误； 对于C，二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角，此时棱垂直于面与二面角的两个平面的两条交线，并且均在平面内，符合二面角的平面角定义，故C正确； 对于D，由C知，棱不一定垂直于面与二面角的两个平面的两条交线，故D错误， 故选：C. 2．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知二面角的平面角为，在平面内有一条射线与棱所成的锐角为，与平面所成的角为，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面垂直性质与线段之间的关系建立等式. 【详解】设点为点在平面上的射影，作垂直棱于C，连接， 由三垂线定理可知垂直棱， 可得是平面的平面角，是与平面所成的角，是与棱所成的角， 可得：，， 则 故选:A 3．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果. 【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类 显然与所成角的正切值为，故大于， 与所成角的为，大于， 与所成角的余弦值为，角大于， 与所成角的正切值为，小于， 当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足； 依此类推，当点在上运动时， 都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个. 故选： 【点睛】方法点睛： 利用类似于函数的零点存在性定理的方式，通过确定角度的变化规律，找到变化过程中的临界点，通过一上一下两点的角度变化特点得到是否存在满足要求的点. 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，､分别为､的中点.则直线和直线所成角的大小为__________. 【答案】75°或15° 【分析】取中点，得出，，结合边长关系及异面直线所成角计算求解. 【详解】因为､分别为､的中点，取中点， 所以，， 因为直线与直线所成的角为， 所以或，又因为，所以， 所以或， 所以直线和直线所成角为或. 故答案为：或. 5．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知正四棱柱底面是边长为3，高为5，则与平面所成角为__________（结果用反三角表示） 【答案】 【详解】由正四棱柱的性质可知，底面，则， 即为与平面所成角， ， ，即与平面所成角为． 6．（25-26高二上·上海·期中）二面角 为 ，其内一点 到 的距离分别为 和 ，则点 到棱 的距离为 ________ cm. 【答案】 【分析】如图，过点 作于点，连接，，则是二面角 的平面角，根据余弦定理和正弦定理求的长即可. 【详解】如图，则，且. 过点 作于点，连接，. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 平面，所以平面. 所以四点共面. 又平面，所以. 所以是二面角 的平面角，所以，. 因为，所以四点均在以为直径的圆上， 且. 由余弦定理，得，所以. 设四点所在圆的半径为，则由正弦定理得. 所以. 点 到棱 的距离为 . 故答案为：.    三、解答题 7．（24-25高二·上海·课堂例题）线段AB与平面α平行，平面α的斜线、与α分别成30°角和60°角，且，，，求AB与平面α的距离． 【答案】3或 【分析】求直线到平面的距离常转化求点到平面的距离，作于P，于Q，通过线面垂直可证斜线、与平面α所成角分别为，，设，则，，通过对点的位置分类讨论，计算即可. 【详解】如图作于P，于Q，则，. 由，得，又，都在面内，所以面， 面，则，同理，而都在面内， ∴，延长到点C，使，则，，． 由已知，， 设，则，． ∴． 在中，有，即，∴． 由已知，如图点也可以在线段CQ上，此时有，∴． 综上，AB与平面α的距离是3或． 8．（24-25高二上·上海·阶段检测）空间四边形的边长以及对角线、的长均为a，E、F分别是与的中点，如图，求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【分析】连接，取的中点为，连接，由题意得，所以为与所成角，求出的长度，由余弦定理求出的值，继而即可求出角的大小. 【详解】连接，取的中点为，连接， 分别是的中点， ，且， 为与所成角， 空间四边形的边长以及对角线、的长均为， ， ，， ， 由余弦定理得， . 9．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，四棱锥体积为1． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【答案】(1) 在直角梯形中，，，，， 则， 则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质证明，再根据线面垂直得判定定理即可得证； （2）根据棱锥的体积公式求出，根据线面垂直的性质可得，则即为二面角的平面角，再解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以， 又，所以即为二面角的平面角， 由，得， 在中，， 所以， 即二面角的大小为． 10．如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面， ，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 几何法求空间角的综合计算 （核心知识+4易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】求异面直线所成的角 【题型五】由线面角的大小求值 【题型二】由异面直线所成的角求其他量 【题型六】求二面角 【题型三】线面角的概念及辨析 【题型七】由二面角大小求线段长度或距离 【题型四】求线面角 【知识点01】异面直线所成角 （1）定义 过空间内任意一点，分别作两条异面直线的平行线，两条相交直线所形成的锐角或直角，即为两条异面直线所成的角。若平移后得到钝角，需取其补角作为异面直线所成角。 （2）取值范围 （3）几何求解步骤 异面平移→构造三角形→解三角形→钝角取补，最终保留锐角或直角。 【知识点02】直线与平面所成角 （1）定义 平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫做直线与平面所成角。特殊情况：直线垂直平面，线面角为；直线平行平面或在平面内，线面角为。 （2）取值范围 （3）几何求解步骤 找垂足→确定射影→锁定线面角→在直角三角形中求解角度。 【知识点03】二面角及其平面角 （1）二面角平面角定义 在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所夹的角，即为二面角的平面角，平面角大小即为二面角大小。 （2）取值范围 （3）几何法：定义法、三垂线定理法、垂面法，核心是构造出棱的两条垂线。 【知识点04】三类空间角核心对比总结 1. 异面直线所成角：范围最严格，仅取锐角/直角，向量计算全程绝对值，无钝角； 2. 线面角：范围，利用向量互余关系，用正弦求值； 3. 二面角：范围最大，可锐可钝，无固定绝对值，必须看图判型。 易错点1：异面直线所成角取值错误 误区：向量计算直接得出钝角，不做补角转换，将钝角当作异面直线角。 正解：异面直线所成角无钝角，向量点积结果算得钝角时，必须用减去该角，取锐角为最终答案。 易错点2：线面角公式混淆正、余弦 误区：照搬异面直线公式，用余弦公式计算线面角。 正解：线面角与法向量夹角互余，必用正弦公式，是考试最高频失分点。 易错点3：空间角范围记忆混乱 误区：将二面角限制为直角、锐角，或将异面直线角取0、钝角。 正解：严格牢记：异面直线、线面角、二面角。 易错点4：几何法缺证明步骤 误区：直接肉眼找角、计算边长，不证明所找角为对应空间角。 正解：几何法解题先证后算，必须证明垂直关系、确认角的定义成立，否则步骤扣分。 【题型一】求异面直线所成的角 【典例1-1】已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在四面体中，，E、F分别为边、的中点．若，则直线与所成的角的大小为__________． 【变式1-2】（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体的棱长为1. (1)正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)若M，N分别是的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小. 【变式1-3】（24-25高二上·上海松江·阶段检测）（1）在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，求异面直线AD和BC所成的角； （2）如图，长方体中，，求异面直线与所成的角． 【题型二】由异面直线所成的角求其他量 【典例2-1】如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为________. 【变式2-2】如图，已知分别是三棱锥的棱的中点，与所成的角为60°，且，求EG的长．    【变式2-3】如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，求该三棱柱的高.    【题型三】线面角的概念及辨析 【典例3-1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知直线与平面相交，则它们所成角的范围为__________.（角度单位用弧度） 【变式3-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若直线与平面所成的角为，直线与平面上的直线所成的角为，则总有（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件 【变式3-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）过平面外一点作三条直线与该平面相交，已知.与与夹角分别为.设三条直线与平面所成角分别为，给出如下的两个命题，则（    ）. 命题（1）:的最大值是，没有最小值： 命题（2）:的最大值是，没有最小值. A．命题（1）为真命题，命题（2）也为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）也为假命题 【题型四】求线面角 【典例4-1】（25-26高二上·上海·单元测试）在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，，，，AB⊥AD，若M为PB的中点，则AM与平面ABCD所成角的大小是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式4-1】（25-26高二上·上海·期中）若斜线段在平面内的射影长度为其一半，则此线段与该平面所成角的大小为___________. 【变式4-2】（25-26高二上·上海·单元测试）如图，ABCD是矩形，平面ABCD，，，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且．求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．    【变式4-3】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，E，F分别为的中点.    (1)证明：平面ABCD. (2)求直线BD与平面所成角的正切值. 【题型五】由线面角的大小求值 【典例5-1】（25-26高二上·上海·期中）设斜线段所在直线与平面所成角的大小为，斜线段长为2，则该斜线段在平面内的投影的长是___________． 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为__________. 【变式5-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______    【变式5-3】（25-26高二上·上海·单元测试）已知直角三角形ABC，斜边平面，，、分别与平面成和的角，已知，求到平面的距离． 【题型六】求二面角 【典例6-1】（24-25高二上·上海·期中）正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，则二面角的正弦值为___________． 【变式6-2】如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【变式6-3】（25-26高二下·上海宝山·期末）、、为圆锥的三条母线，为底面直径，. (1)证明：； (2)若圆锥的侧面积为，求二面角的大小. 【题型七】由二面角大小求线段长度或距离 【典例7-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为_________． 【变式7-1】如图，已知一个二面角的平面角为，它的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，则线段的长为__________. 【变式7-2】在中，已知，，，点在上，如图，沿折成直二面角后，点与点的距离为，求的长． 【变式7-3】如图，已知平面，平面，为相应的垂足，为平面及平面的交线，与平面交于点． (1)求证：平面； (2)若，，求点到直线的距离． 1. 核心知识框架 本讲聚焦高中立体几何核心难点——三类空间角计算，是沪教必修三重点考点。整体分为：异面直线所成角、线面角、二面角三大模块，核心解题方法为几何定义法与空间向量法，向量法是考试主流解题方式。 2. 解题核心口诀 异面夹角取锐直，向量模积带绝对值； 线面夹角看互余，正弦求值莫记错式； 二面可锐亦可钝，法向夹角看图识。 3. 考试提分关键 1. 严格区分三类空间角的取值范围，杜绝范围失分； 2. 熟记专属公式，杜绝正余弦公式混用； 3. 向量法计算后必须结合图形验证二面角类型； 4. 几何法务必补齐垂直证明步骤，保证解题规范完整。 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·阶段检测）下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 2．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知二面角的平面角为，在平面内有一条射线与棱所成的锐角为，与平面所成的角为，则必有（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海闵行·期末）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，在四面体中，，直线与直线所成的角为，､分别为､的中点.则直线和直线所成角的大小为__________. 5．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知正四棱柱底面是边长为3，高为5，则与平面 所成角为__________（结果用反三角表示） 6．（25-26高二上·上海·期中）二面角 为 ，其内一点 到 的距离分别为 和 ，则点 到棱 的距离为 ________ cm. 三、解答题 7．（24-25高二·上海·课堂例题）线段AB与平面α平行，平面α的斜线、与α分别成30°角和60°角，且，，，求AB与平面α的距离． 8．（24-25高二上·上海·阶段检测）空间四边形的边长以及对角线、的长均为a，E、F分别是与的中点，如图，求异面直线与所成角的大小. 9．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，四棱锥体积为1． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 10．如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $