重难点培优04 解三角形中的最值与范围问题（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形中的最值与范围问题，整合正弦定理、余弦定理等核心公式，按四大解题方法（边角互化、基本不等式等）及七大题型（定角定边、中线长等）系统架构知识，通过知识精讲、题型深研、分层训练环节，帮助学生构建解题框架。 讲义突出数学思维与模型意识培养，如用几何轨迹法分析定边定角问题时，引导学生通过隐圆模型直观理解顶点运动轨迹，结合典例变式训练提升逻辑推理能力。分层练习覆盖基础巩固与创新提升，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

重难点培优04 解三角形中的最值与范围问题 内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 已知三角形一角求取值范围 3 题型2 已知三角形一角及其对边求取值范围 4 题型3 已知三角形一角及其邻边求取值范围 6 题型4 已知三角形一角及另外两边的关系求取值范围 8 题型5中线长的最值问题 10 题型6 角平分线长的最值问题 12 题型7 与三角形有关的实际问题的最值问题 14 分层进阶·双阶训练验成效 15 巩固过关 15 创新提升 19 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 解三角形常用公式 1. 正弦定理 在中，内角对边分别为，外接圆半径： 常用变形：； . 2. 余弦定理 3. 三角形面积公式 ； ；（为内切圆半径）. 4. 三角形内角约束 ，； 大边对大角：； 两角和诱导公式：. 三角形内角下三角函数值域：，.. 知识点2 最值范围问题四大通用解题方法 1.正弦定理边角互化，转化三角函数值域 已知一角或一边定值，利用正弦定理把三边统一为角的正弦表达式，结合消元，化为单角三角函数，结合角的取值范围求最值. 步骤： （1）边化角，统一变量为单个内角； （2）利用和差、二倍角、辅助角公式化简； （3）根据三角形内角范围确定自变量区间； （4）结合正弦或余弦函数单调性求值域. 2.余弦定理结合基本不等式（） 已知一边及其对角，利用余弦定理构造或的关系式，用均值不等式求边长、面积最值； 注意取等条件：（等腰三角形），同时验证三边能构成三角形. 2.函数法（二次函数或对勾函数） 已知两边关系、周长定值等条件，通过余弦定理建立单变量函数，转化为二次函数、对勾函数，结合定义域求范围. 4.几何轨迹法（定边定角→隐圆） 若三角形一条边固定，对角为定值，由圆周角定理，第三个顶点在定圆上运动，利用圆的几何性质（直径、弦长、高）快速求周长、面积最值. 知识点3 三角形隐含约束条件 1.三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 2.角范围：任意内角，锐角三角形三个内角均，钝角三角形有且仅有一个内角； 3.边角匹配：最长边对应最大角，若最大角为锐角，则三角形为锐角三角形；最大角为钝角则为钝角三角形； 4.锐角三角形专属限制： ，等价于. 5.三角函数：，. 知识点4解三角形最值高频二级结论 1.定角定对边：外接圆半径R为定值，，bc存在最大值，面积存在最大值；利用,转化为三角形函数值域，可求周长取值范围. 2.定角定邻边：对边存在取值范围，面积随夹角正弦单调变化； 3.锐角三角形约束：任意两边平方和大于第三边平方； 4.定边对角面积规律：一边固定，对角越接近，三角形面积越大； 5.定周长面积结论：周长为定值的三角形，等边三角形面积取得最大值； 6.中线长公式（阿波罗尼斯定理）：，角平分线长度可结合面积推导. 题型深研·通法变式提能力 题型1已知三角形一角求取值范围 【典例1-1】（25-26高三·江苏南京·阶段检测） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求； (2)若，求周长的最大值； (3)若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． 【典例1-2】(25-26高三·广东东莞·阶段检测) 已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求周长. 条件①：中线长为；条件②：的面积为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. (3) 若为锐角三角形，求的取值范围. 【变式1-1】（25-26高三上·青海西宁·阶段检测 ）已知锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围为__________． 【变式1-2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围为_____. 题型2 已知三角形一角及其对边求取值范围 【典例2-1】（2026•南京校级三模）已知在△中，角，,的对边分别为,，，满足，且． （1）求； （2）若△为锐角三角形，求△的周长的取值范围． 【典例2-2】（2026春•昭通模拟）在△中，内角，，的对边分别为，，，满足：，且． （1）求的大小； （2）求△面积的最大值； （3）求的最大值． 【变式2-1】（2025春•横山区校级月考）设△的内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若△是锐角三角形，，求△面积的取值范围． 【变式2-2】（2026和平区校级期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足． （1）求角； （2）若，求周长的最大值； （3）求的取值范围． 题型3 已知三角形一角及其邻边求取值范围 【典例3-1】（2026•广东一模）已知△的内角，，的对边分别为，，，且，△的面积． （1）求； （2）若△为锐角三角形，求的取值范围． 【典例3-2】（2026春•阳泉期中）在△中，设，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的值； （2）若，判断△的形状； （3）若△为锐角三角形，且，求△的面积的取值范围． 【变式3-1】（2026•唐山二模）已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 【变式3-2】（2026•南京模拟）在锐角中，内角，，的对边分别是，，，并且． （1）求的值； （2）若，求面积的取值范围． 题型4 已知三角形一角及另外两边的关系求取值范围 【典例4-1】（2026春•贵州期中）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 已知△的面积为，角，，所对的边分别为，，，且选条件：_____． （1）求角的大小； （2）若，求△周长的取值范围； （3）若△为锐角三角形，作，位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值． 【典例4-2】（2026春•西青区期中）在面积为的△中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，求△的周长； （Ⅲ）若△为锐角三角形，且边上的高为2，求△面积的取值范围． 【变式4-1】（2025秋•普陀区校级期末）在△中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）若，，求△的面积； （2）若，求的取值范围． 【变式4-2】（2025秋•浙江校级期末）在△中，角，，的对边分别为，，，已知 （1）求证：； （2）若△是锐角三角形，求的取值范围． 题型5中线长的最值问题 【典例5-1】（2025秋•鼓楼区校级月考）锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，求中线长的最大值． 【典例5-2】（2026春•赤峰月考）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026春•顺德区校级期中）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，． （1）求角； （2）求边上的中线的取值范围． 【变式5-2】（2026•广东校级模拟）已知，，分别为△三个内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若△为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 题型6角平分线长的最值问题 【典例6-1】（2025春•南京期末）已知△的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，为中点，求线段长； （3）若该三角形面积为，为内角的角平分线，交边于点，求线段长的最大值． 【典例6-2】（2026春•西湖区校级期中）在△中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）若，求的值； （2）若△为锐角三角形． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围． 【变式6-1】（2026•深圳模拟）在△中，内角，，所对的边分别为，，，，，且． （1）求角； （2）若，△是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 【变式6-2】（2025春•六盘水期末）在△中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且． （1）求； （2）求的最大值； （3）若的角平分线交于点，求的取值范围． 题型7与三角形有关的实际问题的最值问题 【典例7-1】（2025春•涟源市月考）五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛离地面1.5米，则这位游客在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 【典例7-2】（2025春•红塔区校级月考）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是（　　） A． B．4 C． D．5 【变式7-1】（2026•北海模拟）某园区有一块三角形空地△（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026•北京模拟）摇杆机械装置如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围为（　　） A．， B．， C．， D．， 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2025春•武汉期末）已知△中，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•长沙开学）在△中，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026•洛阳模拟）△的内角，，的对边分别为，，．已知，，若是的中点，则的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 4．（2025春•大兴区期末）在锐角△中，为△的面积，，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•张掖模拟）在△中，内角，，的对边分别为，，．若，，则 　　 ． 6．（2025秋•成都月考）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且，．若，则　1　 ． 7．（2025秋•海淀区校级月考）从①点是函数的图象的一个对称中心；②；③这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答． 问题：在锐角△中，内角，，所对的边分别为，，，且_____． （1）求； （2）求的取值范围． 8．（2025春•衢州期中）已知三角形内角，，对边分别为，，，向量，，且． （1）求角； （2）若，，三角形边上有一点，，求的长； （3）角的平分线交于点，且，求△面积最小值． 9．（2026•模拟）在△中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若△的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； （3）若为边上一点，满足，且，求△面积的最大值． 10．（2025春•句容市期中）如图所示，公路一侧有一块空地△，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖△，其中，都在边上，不与，重合，在，之间），且． （1）若在距离点处，求的长度； （2）为节省投入资金，人工湖△的面积尽可能小，设，试确定的值，使△的面积最小，并求出最小面积． 11．（2025秋•廊坊月考）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知向量满足，，且． （1）求角； （2）若△是锐角三角形，且，求的取值范围． 12．（2025•衡水开学）设△的内角，，的对边分别是，，，已知，且． （1）求角； （2）若为的中点，求线段长的取值范围． 13．（2026•德阳模拟）在△中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积． （1）求角的大小； （2）若时，求△面积的最大值． 14．（2026春•泸州月考）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，求的最大值及取得最大值时△的面积． 创新提升 1．（2025秋•鼓楼区校级期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”．在△中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则△的面积最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 2．（2026春•青羊区校级期中）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，边上的中线长为4，则△面积的最大值为 ． 3．（2026•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点．当△的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点；当△有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：在△中，角，，的对边分别为，，． （1）若△是边长为6的正三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）若，且是△的费马点． 若，求； 在的条件下，设，若当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．（2025春•酒泉期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当△的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当△有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题： （1）若△是边长为12的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）△的内角，，所对的边分别为，，，且，点为△的费马点． 若，求的值； 求的最小值． 5．（25-26高三·辽宁朝阳·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当△的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当△有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知，，分别是△三个内角，，的对边，已知． （1）求角； （2）若点在上，，，为△的费马点，当△面积最大时，求； （3）设点为△的费马点，，求实数的最小值． 6．（25-26高三·江苏常州·期中）若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形．容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于，则称其为平面凸四边形．图①，②给出了两个非平面凸四边形的例子．如图③，在平面凸四边形中，，设． （1）求和的取值范围； （2）求的取值范围； （3）试用表示△的面积，并指出取何值时△的面积最大． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 解三角形中的最值与范围问题内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 已知三角形一角求取值范围 3 题型2 已知三角形一角及其对边求取值范围 8 题型3 已知三角形一角及其邻边求取值范围 14 题型4 已知三角形一角及另外两边的关系求取值范围 18 题型5中线长的最值问题 24 题型6 角平分线长的最值问题 29 题型7 与三角形有关的实际问题的最值问题 35 分层进阶·双阶训练验成效 39 巩固过关 39 创新提升 51 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 解三角形常用公式 1. 正弦定理 在中，内角对边分别为，外接圆半径： 常用变形：； . 2. 余弦定理 3. 三角形面积公式 ； ；（为内切圆半径）. 4. 三角形内角约束 ，； 大边对大角：； 两角和诱导公式：. 三角形内角下三角函数值域：，.. 知识点2 最值范围问题四大通用解题方法 1.正弦定理边角互化，转化三角函数值域 已知一角或一边定值，利用正弦定理把三边统一为角的正弦表达式，结合消元，化为单角三角函数，结合角的取值范围求最值. 步骤： （1）边化角，统一变量为单个内角； （2）利用和差、二倍角、辅助角公式化简； （3）根据三角形内角范围确定自变量区间； （4）结合正弦或余弦函数单调性求值域. 2.余弦定理结合基本不等式（） 已知一边及其对角，利用余弦定理构造或的关系式，用均值不等式求边长、面积最值； 注意取等条件：（等腰三角形），同时验证三边能构成三角形. 2.函数法（二次函数或对勾函数） 已知两边关系、周长定值等条件，通过余弦定理建立单变量函数，转化为二次函数、对勾函数，结合定义域求范围. 4.几何轨迹法（定边定角→隐圆） 若三角形一条边固定，对角为定值，由圆周角定理，第三个顶点在定圆上运动，利用圆的几何性质（直径、弦长、高）快速求周长、面积最值. 知识点3 三角形隐含约束条件 1.三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 2.角范围：任意内角，锐角三角形三个内角均，钝角三角形有且仅有一个内角； 3.边角匹配：最长边对应最大角，若最大角为锐角，则三角形为锐角三角形；最大角为钝角则为钝角三角形； 4.锐角三角形专属限制： ，等价于. 5.三角函数：，. 知识点4解三角形最值高频二级结论 1.定角定对边：外接圆半径R为定值，，bc存在最大值，面积存在最大值；利用,转化为三角形函数值域，可求周长取值范围. 2.定角定邻边：对边存在取值范围，面积随夹角正弦单调变化； 3.锐角三角形约束：任意两边平方和大于第三边平方； 4.定边对角面积规律：一边固定，对角越接近，三角形面积越大； 5.定周长面积结论：周长为定值的三角形，等边三角形面积取得最大值； 6.中线长公式（阿波罗尼斯定理）：，角平分线长度可结合面积推导. 题型深研·通法变式提能力 题型1已知三角形一角求取值范围 【典例1-1】（25-26高三·江苏南京·阶段检测） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求； (2)若，求周长的最大值； (3)若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量共线条件得到边角关系，再通过正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换与，直接求出，得； （2）用余弦定理结合基本不等式，将转化为关于的不等式，求出最大值，进而得周长最大值； （3）先由锐角三角形条件确定A的取值范围，再用正弦定理将b表示为关于A的函数，结合tanA的范围求出b的范围，最后代入面积公式，得到面积范围. 【详解】【小题1】在中，， 与共线，， 由正弦定理可得 ， ， ，又，所以． 【小题2】由（1）知，又，由余弦定理， 得， 即，因为，当且仅当时等号成立， 所以， 即，则，所以周长的最大值为12． 【小题3】为锐角三角形，且角，所以，故， 由正弦定理得，   ， 所以， 所以， 即， 面积的取值范围为． 方法技巧 （定角三角形范围通用解法） 1. 求定角：给出向量条件或者边角关系式，运用正弦定理将边转化为角，经过化简计算得到固定内角； 2. 分两类目标: ① 求周长、边长乘积最值：使用余弦定理搭配基本不等式，三角形为等腰三角形时取得最值； ② 求面积、边长比值的取值区间：利用正弦定理把边转化为角，结合锐角三角形的角度约束条件，再求解三角函数的值域 3.易错提醒： 计算取值范围时，锐角三角形需要验证三个内角全部为锐角，不能仅验证单个内角. 使用基本不等式解题，必须写明等号成立的条件； 计算三角函数值域时，要留意自变量对应的角度取值区间. 【典例1-2】(25-26高三·广东东莞·阶段检测) 已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求周长. 条件①：中线长为；条件②：的面积为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2)选择见解析， (3) 【分析】（1）已知等式利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求A； （2）由选择的条件结合余弦定理，列方程组求，即可求解； （3）利用（1）中结果及正弦定理边转角得到，根据条件知，即可求解. 【详解】（1）中，已知， 由正弦定理得， 又， 则有， 由，，得， 则有， 由，有，所以，得． （2）若选择条件①： 因为，由余弦定理得， 又，有，得， 由，解得，或，，所以周长为. 若选择条件②； 由，得， 又的面积，得， 由，解得，或，，所以周长为. （3）由（1）知，所以， 因为， 又为锐角三角形，则，得到， 所以，则，所以的取值范围为. 【变式1-1】（25-26高三上·青海西宁·阶段检测 ）已知锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据为锐角三角形，求出的范围，再由正弦定理将转化为，将平方，转化为 (， 再根据的范围求解. 【详解】∵为锐角三角形，由余弦定理， ∴， 又，∴， 即，∴（ ，，解得. 又，∴， 即，∴ ，即，又， 解得. ∴. 由正弦定理， ∴（，）. 令，， 则，∴. 故答案为： 【变式1-2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围为_____. 【答案】. 【分析】利用正弦定理和余弦定理将已知条件转化为边的关系，进而求出角，再根据锐角三角形的性质确定角的取值范围，最后根据二倍角公式、余弦函数的图像性质以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，，根据正弦定理得，，化简整理得，根据余弦定理，得， 又为锐角三角形，所以， 所以，即， 又为锐角三角形，所以，即，解得， 所以， 令， 令，则， 其对称轴为，所以时，取得最小值，即， 当时，；当时，； 所以的取值范围是， 即的取值范围是. 故答案为： 题型2 已知三角形一角及其对边求取值范围 【典例2-1】（2026•南京校级三模）已知在△中，角，,的对边分别为,，，满足，且． （1）求； （2）若△为锐角三角形，求△的周长的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，，再利用三角函数的性质求出的范围即可． 【详解】解：（1）因为， 得， 所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为△为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 而， 故，所以， 所以， △的周长的取值范围为． 方法技巧 （定边定角隐圆模型通法） 几何本质：一边固定、对角固定，第三个顶点落在外接圆上，外接圆半径恒定； 周长范围解法：正弦定理转化为，消元化为单角辅助角函数，结合锐角/钝角约束锁定角度区间； 面积最值解法：余弦定理建立等式，利用求最大值，面积同步取最大； 分式最值：元构造对勾或二次函数，结合定义域求值域；边界注意顶点不能与定边端点重合，区间开区间. 【典例2-2】（2026春•昭通模拟）在△中，内角，，的对边分别为，，，满足：，且． （1）求的大小； （2）求△面积的最大值； （3）求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先利用三角形内角和与诱导公式化简，再通过正弦定理边化角，结合二倍角公式求解； （2）利用余弦定理结合基本不等式得到的最大值，再代入三角形面积公式求面积最大值； （3）由余弦定理和基本不等式确定的范围，再通过换元构造函数，利用单调性求的最大值． 【详解】解：（1）由三角形的内角和定理得， 此时就变为， 由诱导公式得，所以， 在△中，由正弦定理知，， 此时就有，又，故， 即， 再由二倍角的正弦公式得，解得； （2）因为，由余弦定理可知：， 即：，， 当且仅当时等号成立， ； 故△面积的最大值为； （3）根据余弦定理，得，得， 由基本不等式可知， ， 因， （当且仅当时取等号）， 设，则，，， 设，，， 则在区间，上单调递增， 的最大值为，的最大值为． 【变式2-1】（2025春•横山区校级月考）设△的内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若△是锐角三角形，，求△面积的取值范围． 【答案】（1）或． （2）． 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）由正弦定理与三角形面积公式表示出面积，再利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质求范围． 【详解】解：（1）由题设， 由正弦定理得， 因为，解得． 故或． （2）因为△为锐角三角形，故． 所以． 由正弦定理， 可得△面积， ． 由，得， 此时． 故． 【变式2-2】（2026和平区校级期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足． （1）求角； （2）若，求周长的最大值； （3）求的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3）． 【分析】（1）根据正弦定理与得到，从而求出； （2）由余弦定理和基本不等式求出，从而得到周长的最大值； （3）利用正弦定理，结合三角恒等变换得到，换元后，配方求出最值，得到取值范围． 【详解】解：（1），由正弦定理得， ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）由（1）知， 又，由余弦定理得， 即， 所以， 由基本不等式可知， 所以，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的周长最大值为； （3）由（1）知， 则 ， 令， 因为，所以，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是． 题型3 已知三角形一角及其邻边求取值范围 【典例3-1】（2026•广东一模）已知△的内角，，的对边分别为，，，且，△的面积． （1）求； （2）若△为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）1； （2）． 【分析】（1）根据，结合三角形内角和定理求得，由三角形面积公式结合求得答案； （2）由正弦定理表示，由三角形为锐角三角形确定，即可求得答案． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为， 所以； （2）在△中，由正弦定理， 由（1）知， 代入上式得：， 因为△为锐角三角形， 则，所以， 所以， 所以． 方法技巧 （定角定邻边范围解题思路） 1.已知一角和一条邻边固定，先用面积或余弦定理求出基础边角等量关系； 2.求对边、面积范围：正弦定理用已知边表示未知边，根据三角形内角和、锐角限制得到目标角范围，代入正弦函数求取值区间； 3.判定三角形形状：边角互化后得到，直接判定等边或等腰； 约束：锐角三角形三个内角均小于，转化为三边平方不等式双重校验. 【典例3-2】（2026春•阳泉期中）在△中，设，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的值； （2）若，判断△的形状； （3）若△为锐角三角形，且，求△的面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）等边三角形； （3）． 【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可； （2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断； （3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围． 【详解】解：（1）由题意，， 由正弦定理得， 即， 整理得， 由余弦定理得， 因为， 所以； （2）由及正弦定理， 可得， 即， 由，为三角形内角，可知， 又， 所以△为等边三角形； （3）因为，， 由正弦定理，得， 所以， 因为△为锐角三角形，则， 从而， 所以． 【变式3-1】（2026•唐山二模）已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1）2； （2）． 【分析】（1）根据正弦定理角化边得到，再根据正弦定理求解即可． （2）根据题意得到，再结合基本不等式求解即可． 【详解】解：（1）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得，， 整理得； （2）因为，因为，由（1）可得，则， 又，即，当且仅当时等号成立， 于是， 所以的最大值为． 【变式3-2】（2026•南京模拟）在锐角中，内角，，的对边分别是，，，并且． （1）求的值； （2）若，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，可求； （2）结合余弦定理可求的范围，然后结合三角形面积公式可求． 【详解】解：（1）由正弦定理，，，，其中为的外接圆半径． 因为，从而， 整理得； 又在中，，从而，则． （2）由及余弦定理， 又为锐角三角形，因此，， 所以，， 解得， 又， 因此面积的取值范围是． 题型4 已知三角形一角及另外两边的关系求取值范围 【典例4-1】（2026春•贵州期中）在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 已知△的面积为，角，，所对的边分别为，，，且选条件：_____． （1）求角的大小； （2）若，求△周长的取值范围； （3）若△为锐角三角形，作，位于直线异侧），使得四边形满足，，求的最大值． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【分析】（1）选①可根据正弦定理边化角和三角形中的诱导公式化简计算；选②可根据正弦定理角化边和余弦定理化简计算；选③根据向量乘积展开式和正弦定理的面积公式进行化简计算； （2）利用正弦定理将，用角，表示，结合三角形内角和将周长转化为关于单一角的函数，再根据角的范围，利用三角函数的性质求取值范围； （3）设，将所有未知角用表示，再用正弦定理将表示出来进行化简，最后根据的范围求出的最大值． 【详解】解：（1）已知△的面积为，角，，所对的边分别为，，， 选①， 根据正弦定理可得： ， 即， 结合和两角和的正弦公式，展开化简得， 故，又，所以； 选②， 根据正弦定理可得： ， 根据余弦定理可得：， 又，所以； 选③， 根据平面向量数量积公式和三角形的面积公式可得： ， 又，所以； （2）设△周长为：， 由余弦定理：， 由基本不等式， 代入得：， 解得，当且仅当时等号成立； 又由三角形三边关系，所以，， 则，， 因此△周长的取值范围为，； （3）若△为锐角三角形，作，位于直线异侧）， 使得四边形满足，， 如图，设，则，， 在△中，由正弦定理得可得， ， 在△中，由正弦定理、两角和的正弦公式和三角函数的恒等变换可得： ， 因为△是锐角三角形，所以， 所以， 当时，可得的最大值是． 方法技巧 （定角定角和两边关系式综合题型解法） 1.条件处理：给出、、向量数量积、面积等式三类两边关系，分别对应余弦定理、均值不等式、面积公式转化； 2.多选条件题型：三类条件本质等价，均能先求出固定内角； 3.周长范围：余弦定理结合均值不等式得到上限，三边关系确定下限； 4.多图形综合：额外构造四边形、对称三角形时，分别在两个三角形内使用正弦定理，统一变量为同一个角，结合三角函数最值求解. 【典例4-2】（2026春•西青区期中）在面积为的△中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，，求△的周长； （Ⅲ）若△为锐角三角形，且边上的高为2，求△面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ），． 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角； （Ⅱ）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长； （Ⅲ）根据三角形面积公式得到，与面积的关系，再利用正弦定理和锐角三角形的条件确定角的范围，从而得出面积的取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）因为，，且， 可得， 所以，由余弦定理可得， 因， 则； （Ⅱ）因为，， 可得， 可得， 所以， 所以，可得，可得， 所以周长； （Ⅲ）由，，可得：， 由正弦定理，，即得：， ， 由为锐角三角形可得， 解得：， 则，， 故得， 即面积的取值范围为，． 【变式4-1】（2025秋•普陀区校级期末）在△中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）若，，求△的面积； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）由正弦定理可得，根据余弦定理可得角，代入面积公式即可得答案； （2）根据余弦定理及均值不等式，可得的范围，根据两边之和大于第三边，即可得答案． 【详解】解：（1）由题意，，， 所以， 所以， 可得， 由于， 可得， 可得△的面积； （2）由题意及均值不等式可得： ，当且仅当时等号成立， 可得， 又，可得， 可得的取值范围是，． 【变式4-2】（2025秋•浙江校级期末）在△中，角，，的对边分别为，，，已知 （1）求证：； （2）若△是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）证明：由余弦定理， 代入得，则， 由正弦定理得， 所以， 所以， 得， 由知，故， 所以或（舍去）， 所以； （2）． 【分析】（1）由正弦定理将角化边，再结合余弦定理得到，再利用正弦定理将边化角得到，即可得到，从而得证； （2）由（1）可知，再根据三角形为锐角三角形，得到角的取值范围，则，即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）证明：由余弦定理， 代入得，则， 由正弦定理得， 所以， 所以， 得 由知，故， 所以或（舍去）， 所以； （2），由得， 所以， ， ， 由，得，， 所以， 所以，即． 题型5中线长的最值问题 【典例5-1】（2025秋•鼓楼区校级月考）锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，为的中点，求中线长的最大值． 【答案】（1）； （2）3． 【分析】（1）由正弦定理边角互换以及三角恒等变换进行化简即可得解． （2）利用向量模的平方以及余弦定理，再结合基本不等式即可求解． 【详解】解：（1）因为， 由正弦定理可得：， 则． 在△中，， 所以， 可得， 由题意知， 所以； （2）因为为的中点，所以， 则， 即， 又由余弦定理得，， 即， 所以． 由，即，当且仅当取等号，即， 所以，即中线长的最大值为3． 方法技巧 （三角形中线最值两类核心解法） 1.向量法（首选）：中线向量，两边平方展开数量积，结合余弦定理消去边角； 2.阿波罗尼斯中线公式：，直接建立中线与三边关系式； 3.最值处理：均值不等式求中线最大值；正弦定理边化角，结合锐角三角形角度范围求中线取值区间； 4.关键：已知定角优先用余弦定理构造，再代入中线表达式化简. 【典例5-2】（2026春•赤峰月考）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用向量加法运算及数量积和模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【详解】解：因为，点为的中点， 所以， 两边平方得 ， 由正弦定理得：， 所以，， 则 ， 因为 ， ， 所以 ， 因为△为锐角三角形，， 所以，解得， 所以，， 因此，即． 故选：． 【变式5-1】（2026春•顺德区校级期中）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，． （1）求角； （2）求边上的中线的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式 简求值即可； （2）依据余弦定理及已知求出，然后利用面积分割法列方程求解即可；（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算，利用正弦定理，正弦函数的性质即可求解范围． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以．又，所以， 又，所以； （2）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得，，， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 即边上的中线的取值范围为． 【变式5-2】（2026•广东校级模拟）已知，，分别为△三个内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若△为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先用正弦定理把边的关系转化为角的关系，再利用三角形内角和与辅助角公式，结合角的范围即可求得结果； （2）先通过余弦定理得到与的关系，再用向量表示出，结合正弦定理转化为角的三角函数，最后根据锐角三角形角的范围即可求出取值范围． 【详解】解：（1）根据题意可知，， 由正弦定理得：， 在△中，， 整理可得． 又，则， 故， 整理可得． 又，所以， 即， 故； （2），， 根据余弦定理得：， 即， 因为上的中线， 又因为， 两边平方得， 根据正弦定理可知， 故，， 所以 ， 又由于△是锐角三角形，因此可得，解得． 因此，所以， 即， 所以， 则． 题型6角平分线长的最值问题 【典例6-1】（2025春•南京期末）已知△的内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，为中点，求线段长； （3）若该三角形面积为，为内角的角平分线，交边于点，求线段长的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理即可求解的值，进而即可得解的值； （2）由题意可得，进而利用平面向量数量积的运算可求的值； （3）利用三角形的面积公式可求，又，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求解． 【详解】解：（1）由正弦定理得， 根据余弦定理有， ； （2），，为中点，可得， ， ； （3）为三角形内角， 又△的面积为， ，解得， 又， ， ， （当且仅当时等号成立）， 三角形为等腰三角形时，最大值为． 方法技巧 （角平分线长度最值通用思路） 1.等面积推导角平分线公式：，拆分面积建立边长与角平分线等式； 2.最大值求解：利用面积等式得到乘积，结合基本不等式，等腰时角平分线最长； 3.取值范围：由锐角或钝角约束得到边的范围，换元构造单调函数，利用函数单调性求区间； 4.区分中线与角平分线：中线依赖向量或阿波罗尼斯定理，角平分线核心依靠面积分割. 【典例6-2】（2026春•西湖区校级期中）在△中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）若，求的值； （2）若△为锐角三角形． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）先边化角，结合两角和的正弦展开式求出角再利用余弦定理求的值； （2）（ⅰ）锐角三角形中最大角必为锐角，结合余弦定理写出三边关系求出的取值范围； （ⅱ）由的取值计算出的取值范围，结合面积公式及倍角公式计算出的取值范围即可． 【详解】解：（1）， ， ， 整理可得， 又，可得， ， ，可得， 又，， ，解得； （2）（ⅰ），，， ， 由△为锐角三角形，可得，可得， 可得， 解得； （ⅱ）由（ⅰ）可得， ． 又， ， 化简得， ， ， ． 【变式6-1】（2026•深圳模拟）在△中，内角，，所对的边分别为，，，，，且． （1）求角； （2）若，△是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）． 【分析】（1）直接由向量的共线并结合正弦定理可得； （2）（ⅰ）根据正弦定理进行边化角，进而得，再由三角形为钝角三角形得，再由正弦函数的性质可得范围； （ⅱ）先由等面积法可得，再由条件和结果可得，再令，再根据函数的单调性可得所求值的范围． 【详解】解：（1）由题意知，， 化简整理得， 根据边角转换可得， ，，则， 又因为，则； （2）由，结合正弦定理得， ，， 所以或， 所以， 由正弦定理得 ， 因为，则，， 故； 作出示意图，如下图所示： ，， 则，得， ， 由知， 则， 令，则， 故， 函数在是单调递增函数， 则时，， 当时，， 则． 【变式6-2】（2025春•六盘水期末）在△中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且． （1）求； （2）求的最大值； （3）若的角平分线交于点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理求得答案； （2）由，利用基本不等式求得答案； （3）由，可得，结合可得，，令，求导判断单调性求得答案． 【详解】解：（1）由， 由正弦定理得，， 所以，而， 所以． （2）由（1），， 所以， 当且仅当时取等号． 所以， 所以的最大值为． （3），即， 所以， 由，得， 所以， 由，令， 设，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围为． 题型7与三角形有关的实际问题的最值问题 【典例7-1】（2025春•涟源市月考）五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛离地面1.5米，则这位游客在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值） 【答案】当，获得观看的最佳视野． 【分析】由已知结合两角差的正切公式及基本不等式即可求解． 【详解】解：已知，， 设，则，， 则，当且仅当，即时取等号， 所以当，获得观看的最佳视野． 方法技巧 （解三角形实际应用题解题步骤） 1. 建模：提取实际场景几何关系，抽象出三角形标注已知边长、固定角度； 2. 两类高频模型： 1 最佳视角模型：两角差正切公式，均值不等式取夹角最大值； 2 动点轨迹模型：定张角找隐圆，利用圆上点到定点距离最值； 3.线段和最值：互补定角构造三角形，余弦定理结合求最值； 4.检验：结果符合实际长度正数要求，舍去无意义边界. 【典例7-2】（2025春•红塔区校级月考）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过4千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】 【分析】求出，，在△中，利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案． 【详解】解：在△中，因为，， 所以， 又与互补，所以， 在△中，由余弦定理得：， 即，即， 因为， 所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以观光线路之和最长是4． 故选：． 【变式7-1】（2026•北海模拟）某园区有一块三角形空地△（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意先找出点的轨迹，然后分析轨迹再结合解三角形知识即可求出的最小值． 【详解】解：如图，因为，所以点在如图所示的圆上， 圆的半径为， 由圆周角的性质可得，，， 连接，可得（当为与圆的交点时，取等号）， 在△中，，，，根据余弦定理可知，所以的最小值为． 故选：． 【变式7-2】（2026•北京）摇杆机械装置如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】先确定的取值范围，再利用余弦定理推导的表达式，再求其取值范围即可． 【详解】解：因为是动点且，所以点在以为圆心、1为半径的圆上， 又因为，所以点在以为圆心、3为半径的圆上， 所以点到点的距离范围为，即， 在△中，因为，， 所以由余弦定理得， 当时，，代入表达式可得：； 当时，，代入表达式可得：， 因为在，上单调递增，所以单调递减，所以也单调递减， 所以的取值范围是． 故选：． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2025春•武汉期末）已知△中，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】化简得到，从而得到，得到，，利用正弦定理得到，从而得到的取值范围． 【详解】解：根据题意可知，，得， 由，，，得，则，，， 由正弦定理，得 ，由，得，则， 所以的取值范围是． 故选：． 2．（2025•长沙开学）在△中，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意先由正弦定理化简可得，即得，从而可求解． 【详解】解：设，，， 由题意可得， ， 于是， 其中，当且仅当时，等号成立，故正确． 故选：． 3．（2026•洛阳模拟）△的内角，，的对边分别为，，．已知，，若是的中点，则的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解． 【详解】解：在三角形中，显然，， 由 ， 又， 所以，又， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即． 故选：． 4．（2025春•大兴区期末）在锐角△中，为△的面积，，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合三角形面积公式与余弦定理，可得再根据，可求解，结合正弦定理可得，即可根据角的范围，结合三角函数的性质求解． 【详解】解：根据题意可知，，且， ，即， 由余弦定理得：，， 又，，解得：或， △为锐角三角形，，， ，， 由正弦定理得：，故， △为锐角三角形，，即，， ， 因此，即． 故选：． 5．（2025•张掖模拟）在△中，内角，，的对边分别为，，．若，，则 　　 ． 【答案】． 【分析】由条件及正弦定理、二倍角公式化简可得，再由及二倍角的余弦公式计算即可求得． 【详解】解：因为，所以由正弦定理得：， 又因为，所以，即， 因为，所以，所以，解得， 因为，所以． 故答案为：． 6．（2025秋•成都月考）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且，．若，则　1　 ． 【答案】1． 【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，利用余弦定理，结合已知和即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 又因为， 所以， 因为，所以． 又因为， 即， 又因为，， 所以， 所以， 所以． 故答案为：1． 7．（2025秋•海淀区校级月考）从①点是函数的图象的一个对称中心；②；③这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答． 问题：在锐角△中，内角，，所对的边分别为，，，且_____． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）选择①，利用二倍角公式、辅助角公式，结合正弦函数性质求解；选择②，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解；选择③，利用正弦定理边化角，再利用二倍角公式求解． （2）由（1）的结论，利用和角的正弦公式，结合正切函数的性质求解． 【详解】解：（1）若选择①：点是函数的图象的一个对称中心， 而，则，即， 由，得，则，所以； 若选择②：，由正弦定理得， 由，得，则， 即， 因此，由，得，则， 又，所以； 若选择③：，由正弦定理得， 由，得，则，而， 于是，由，得，因此，， 所以； （2）由（1）得，， 则， 在锐角△中，，得，，， 所以的取值范围为． 8．（2025春•衢州期中）已知三角形内角，，对边分别为，，，向量，，且． （1）求角； （2）若，，三角形边上有一点，，求的长； （3）角的平分线交于点，且，求△面积最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）由两个向量垂直，可得数量积为0，由题意可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）由题意可得，即，两边平方，整理可得的值，即求出的长度； （3）由角平分线的性质可得，由基本不等式可得的最大值，进而可得三角形的面积的最大值． 【详解】解：（1）因为向量，，且， 可得，即， 由正弦定理得， 在△中，，得， 又，所以； （2）因为点在上，，，， 由平行四边形法则得， 可得，所以 ， 可得， 即的长度为； （3）因为为角平分线， 所以，即， 又因为， 可得； 于是，得，当且仅当时取等号， 所以， 所以△的面积的最小值为． 9．（2026•模拟）在△中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的值； （2）若△的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； （3）若为边上一点，满足，且，求△面积的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用正弦定理将角的正弦转化为边，得到边的关系式；再结合余弦定理，即可求出角的值； （2）先根据三角形面积公式和已知条件求出边的长度，再利用角平分线性质或三角形面积分割法，结合三角形面积公式建立关于的等式，进而求解的长； （3）根据，再结合向量将的长度与三角形的边、角建立联系，然后利用基本不等式，求出三角形面积的最大值． 【详解】解：（1）因为， 所以由正弦定理，得，即． 由余弦定理，得，所以． 因为，所以． （2）因为，， 所以由，得． 因为，所以． 因为平分，所以． 因为， 所以； 所以． （3）因为，所以，即，得． 所以 ， 因为，所以，即，解得， 当且仅当时，即时等号成立． 所以， 即△的面积最大值为． 10．（2025春•句容市期中）如图所示，公路一侧有一块空地△，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖△，其中，都在边上，不与，重合，在，之间），且． （1）若在距离点处，求的长度； （2）为节省投入资金，人工湖△的面积尽可能小，设，试确定的值，使△的面积最小，并求出最小面积． 【分析】（1）根据题意，运用锐角三角函数的定义求出，然后在△中根据余弦定理求得的长； （2）利用正弦定理表示出、，根据三角形的面积公式表示出△的面积，结合三角恒等变换公式化简，利用正弦函数的性质求出△的面积的最小值，进而可得答案． 【详解】解：（1）在△中，其中，，， 所以，结合为锐角，可得， 在△中，由余弦定理得，可得． （2）在△中，，， 由正弦定理，即，可得， 同理在△中，由，求得， 所以△的面积 ， 根据，可得时，△的面积最小，最小值为． 11．（2025秋•廊坊月考）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知向量满足，，且． （1）求角； （2）若△是锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1）或； （2）． 【分析】（1）由得，再利用正弦定理得，进而得，即可求解； （2）利用正弦定理得，利用三角恒等变换得，又由锐角三角形得，进而求解． 【详解】解：（1），且，， ，即， ， ， ， ， 或； （2），且三角形为锐角三角形，可得， ， ， ， 又△为锐角三角形， ， ，得， ， ， 的取值范围为：． 12．（2025•衡水开学）设△的内角，，的对边分别是，，，已知，且． （1）求角； （2）若为的中点，求线段长的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）将正弦差转化为边长差，建立关于边，，的方程，再结合余弦定理求解； （2）利用向量法，结合三角形三边关系和余弦定理，确定中线长度的取值范围． 【详解】解：（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 由余弦定理可得， 所以， 因为， 所以； （2）因为为的中点，所以， 所以． 又， 所以， 所以． 由，得， 则，解得， 即线段长的取值范围是． 13．（2026•德阳模拟）在△中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积． （1）求角的大小； （2）若时，求△面积的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得． （2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解． 【详解】解：（1）在△中，，而，即， 即， 由余弦定理可得， 可得， 又因为， 所以； （2）由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此△的面积， 所以当时，△面积取得最大值． 14．（2026春•泸州月考）△的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）设，求的最大值及取得最大值时△的面积． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得出，进而得出，即可求出； （2）先利用正弦定理得出，进而化简得出，即可求出最值并得出此时，即可求出，，，，最后利用面积公式即可． 【详解】解：（1）因为，可得， 利用正弦定理可化为： ， 又因为，故，所以，即， 又，所以，得到； （2）由题意及（1）知，， 根据正弦定理可得， 则， 故， 其中、，且， 因为，故，而， 故当，即时，取最大值1，的最大值为， 故，， 所以， 又， 故， 此时． 创新提升 2．（2025秋•鼓楼区校级期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”．在△中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则△的面积最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】 【分析】根据正弦定理可求解外接圆的半径，即可根据余弦定理得，利用基本不等式以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意可知，在△中，已知，且， 设△的三个内角，，的对边分别为，，， 连接，，则由题设得， 以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，， ，，， 在△中，由余弦定理可得，即， 又，，即（等号当时成立）， 由题意可得△为等边三角形，故． 故选：． 2．（2026春•青羊区校级期中）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，边上的中线长为4，则△面积的最大值为 ． 【答案】． 【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理可得，在△中由余弦定理得，再由三角形的面积公式和基本不等式即可求得． 【详解】解：因为， 所以由正弦定理得， 所以，所以，即， 所以由余弦定理得：，所以， 在△中，由余弦定理得：， 所以，解得， 所以△的面积，当且仅当时，等号成立， 所以△面积的最大值为． 故答案为：． 3．（2026•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点．当△的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点；当△有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：在△中，角，，的对边分别为，，． （1）若△是边长为6的正三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）若，且是△的费马点． 若，求； 在的条件下，设，若当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）；． 【分析】（1）由三角形是正三角形得费马点在三角形内且与正三角形的中心重合，进而可得所求距离； （2）由条件及正、余弦定理可得，因而可得费马点在三角形内，设，再由条件及数量积的定义得，再由得所求值；由及余弦定理得，进而得，再由不等式恒成立得，用基本不等式求得最小值，进而可所求值的范围． 【详解】解：（1）因为△是边长为6的正三角形，所以三个内角均小于， 故费马点在三角形内且与正三角形的中心重合， 所以，且， 如图：过作于，则，， 故， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为； （2）因为，且是△的费马点， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以△的三个内角都小于， 由费马点定义知费马点在三角形内，且， 设， 所以， 即，由得： ，整理得， 因此； 由知①， 在△中，，， 由余弦定理，， 即②， 又， 所以， 将①②代入整理得， 于是， 即， 又，当，时，不等式恒成立， 所以恒成立，，， 即在，上恒成立，因为， 当且仅当时等号成立， 故有，即实数的取值范围为． 4．（2025春•酒泉期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当△的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当△有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题： （1）若△是边长为12的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）△的内角，，所对的边分别为，，，且，点为△的费马点． 若，求的值； 求的最小值． 【答案】（1）； （2）； ． 【分析】（1）过作于，结合正三角形性质求解； （2）根据正弦定理求得，由三角形面积公式及向量数量积即可求解； 设，，，，，，得出，由勾股定理得出，再利用基本不等式求出最小值． 【详解】解：（1）由△为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内， 满足，且，如图， 过作于，则，，， 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为； （2）由正弦定理得，而，， 则，即，得，则△的三个角都小于， 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由得：， 化简得， 则； 由知，点在△内部，且， 设，，，，，， 则， 由余弦定理得，， ， ， 而，即， 整理得， 即，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 5．（25-26高三·辽宁朝阳·期中）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当△的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当△有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知，，分别是△三个内角，，的对边，已知． （1）求角； （2）若点在上，，，为△的费马点，当△面积最大时，求； （3）设点为△的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律即可求解； （2）根据平面向量线性运算，数量积的运算律及基本不等式得出，再根据等面积法得出，由平面向量数量积的运算即可求解； （3）设，，，，，，由费马点的性质及余弦定理得出，再由基本不等式求解即可． 【详解】解：（1）因为，，分别是△三个内角，，的对边，， 所以， 所以； （2）因为，所以， 所以， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时， ， 由，三角形内角和性质可知，△的三个内角均小于，结合题设易知点一定在△的内部． 所以， 所以， 所以； （3）因为点为△的费马点， 所以， 所以作出示意图如下： 设，，，，，， 则由得； 所以， ， ， 故由得， 即，而，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 所以实数的最小值为． 6．（25-26高三·江苏常州·期中）若一个平面四边形对边不相交且任意三边都在第四条边所在直线的一侧，则称其为平面凸四边形．容易知道，与之等价的说法为：若一个平面四边形对边不相交且每个内角都小于，则称其为平面凸四边形．图①，②给出了两个非平面凸四边形的例子．如图③，在平面凸四边形中，，设． （1）求和的取值范围； （2）求的取值范围； （3）试用表示△的面积，并指出取何值时△的面积最大． 【答案】（1）；； （2）； （3），当时，△的面积最大． 【分析】（1）根据△为直角三角形，，，可得，再由凸四边形的定义可求得的范围；根据三角形三边关系及余弦定理可求得的取值范围； （2）结合（1）利用余弦定理求解即可； （3）在△中，利用正弦和余弦定理，分别求得，，利用三角形的面积公式、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知△为直角三角形，且，，则， 由凸四边形的定义可知，即，即， 所以； 在△中，因为，， 由三角形的三边关系可得，即，即； 设，在△中，由余弦定理，， 由，可得，即，解得， 即， （2）在△中，由余弦定理，可得， 因为，所以， 即 （3）因为△为直角三角形，且，所以， 又因为，所以， 在△中，由余弦定理，可得，即， 所以； 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 所以， 所以 ， 又因，则当，即时，， 此时，满足题意， 所以，当时，△的面积最大． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $