重难点培优10 解三角形几大秒杀公式（射影定理、正弦平方差公式、正切恒等式、 托勒密定理、斯库顿定理）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形核心考点，围绕射影定理、正弦平方差公式等五大秒杀公式构建知识体系，按“知识精讲-题型深研-分层训练”逻辑展开，通过考点梳理、方法指导、真题典例解析帮助学生突破边角互化、面积计算等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“秒杀公式”为突破点，创新融合数学思维与解题技巧，如正弦平方差定理快速实现边角互化，正切恒等式简化三角恒等变形，培养学生推理能力与创新意识。设置巩固过关与创新提升分层练习，配合典例变式训练，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优10 解三角形中几大秒杀公式： 射影定理、正弦平方差公式、正切恒等式、托勒密定理、斯库顿定理内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 射影定理的应用 4 题型2 正弦平方差定理的应用 6 题型3 正切恒等式定理的应用 8 题型4 托勒密定理的应用 10 题型5 斯库顿定理的应用 12 分层进阶·双阶训练验成效 15 巩固过关 16 创新提升 22 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 证明：如图，记AB=c，BC=a，AC=b，作于点D, 则 即同理可证b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 知识点2 正弦平方差定理 证明： 知识点3 正切恒等式定理 当时，. 证明：，且 则 知识点4 托勒密定理 如下图 ,若四边形 内接于圆 ,则有 证明: 利用余弦定理即可 四边形 内接于圆 在 中,由余弦定理得 （1） 在 中,由余弦定理得 （2） 得 由于 所以 同理 即 广义托勒密定理: 在四边形 内,有 , 并且仅当四边形 内接于圆时取等号。该不等式又称为托勒密不等式。 知识点5 斯库顿定理 如果是的角平分线，则。 【证明】作的外接圆，如图所示，延长交圆于，连接。 ，，， 即，，即。 由相交弦定理得，。 即。 题型深研·通法变式提能力 题型1 射影定理的应用 【典例1-1】（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 秒解：由射影定理得又由已知得，所以， 故为直角三角形. 【典例1-2】（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【解析】解法一：由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 秒解：由射影定理得， 所以所以，即， 以下同解法一： 方法技巧 利用射影定理秒解解三角形问题 将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意正确应用. 【变式1-1】（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】，， 由正弦定理，得， 即， ，，. 的周长为． 秒解：由射影定理得，又由已知得， 所以,解得c=1，的周长为． 【变式1-2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝acos B＋2cos A，2b＝c，若cos C＝－，则△ABC的面积为　　　　. 【答案】 【解析】由三角形中的射影定理c＝acos B＋bcos A，结合已知条件c＝acos B＋2cos A，可得b＝2，又因为2b＝c，所以c＝4，由c2＝a2＋b2－2abcos C，可得16＝a2＋4－4a×，解得a＝3(负值舍去)，所以三角形的面积为absin C＝×3×2×＝. 题型2 正弦平方差定理的应用 【典例2-1】（2026·广东汕头·二模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及三角恒等式化简即可得出结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得：， 所以 即 即 又因为，得： 在中，，， 所以. 故选：C 【典例2-2】（2026·江西·三模）在中，角的对边分别是，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，角的平分线交于点，则 D．若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A；由已知条件结合正弦定理可推出，利用三角恒等变换公式化简可得结论；对于B，利用余弦定理进行判断即可；对于C，由条件可推出，再利用等面积法即可求得；对于D，由，结合正弦定理可得，结合可推出，进而根据为锐角三角形，确定角B的范围，即可求出的取值范围. 【详解】由于，利用正弦定理得， 而， 又，故， 结合,则可知，可得或， 即或（舍），选项A正确； 由余弦定理知，代入得， 即，选项B正确； 若，由得， 从而， 由，得， 从而，即， 解得，选项C错误； 对于D，由上面分析知， 因为，两边同除以，所以， 因为为锐角三角形，故， 所以，设， 则，即可设为，该函数在上单调递增， 则，即，选项D正确． 故选：ABD 方法技巧 正弦平方差定理秒解解三角形 核心公式为。处理三角形问题时，常将边利用正弦定理转化为，出现平方差立即套用该公式。关键在于将替换为（三角形内角），从而建立边与角的快速桥梁。注意逆向使用：遇到也要能还原为平方差。此法可避开余弦定理的繁琐计算，常用于判断三角形形状或求解角范围，特别适合含正弦平方差的边角互化题目。 【变式2-1】在中，角所对的边分别是.，则的范围是_______. 【答案】 解析：易得，结合正弦定理和三角函数中的平方差公式可得 ，从而可求得其范围是. 【变式2-2】锐角的内角所对的边分别为，的面积为，若，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】通过对已知条件进行化简得出角的关系，再结合锐角三角形的角的范围及正弦定理求解即可. 【详解】已知，则， 因为，整理得， 由正弦定理得， 因为且， 所以，因为， 故. 可得或， 解得或（舍去）. 因为是锐角三角形，，所以， 则 ，解得. 由正弦定理可得， 令，因为，所以，则. 设， 所以在上单调递减，所以， 故， 故答案为：. 题型3 正切恒等式定理的应用 【典例3-1】（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 解：因为在中，， 且 所以 则 答案：A 【典例3-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，若，则=_______. 【答案】 解：因为在中，， 且，即 所以，则， 答案： 方法技巧 正切恒等式定理秒解解三角形 核心为：若，则。当题中出现三角形内角正切的和或积时，优先考虑此恒等式。变形技巧：可将正切和转化为正切积，或逆用求某个角的正切值。注意前提是角都不为，若出现直角需单独讨论。处理非三角形角度和（如和为）也有对应变式。此法能快速消元，特别适合涉及正切求和或求证正切乘积的题目。 【变式3-1】（2026·河北雄安·三模）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______. 【答案】8 【详解】 ，又，因此 即最小值为8. 【变式3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）在锐角中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若， 则的最小值是（ ） A.4 B. C. D.8 【答案】D 解：因为，所以 令，因，则有，所以，即 答案：D 题型4 托勒密定理的应用 【典例4-1】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【解析】设，由托勒密定理可知， 即，所以，， 又因为，， 因此， .故选：C. 【典例4-2】平面四边形 中, ,则 的最大值为______. 【答案】4 解析: 设 , 则由托勒密不等式可得： 则 的最大值为4. 方法技巧 托勒密定理的应用策略 适用于圆内接四边形：对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即。应用时先确认四点共圆，再恰当选择四边形顶点顺序。若图中无直接圆，要通过角度证明共圆后再用。常见技巧：将待求线段视为对角线或对边，利用定理建立等量关系。也可构造辅助圆，使目标线段成为圆内接四边形的一部分。此法在处理交叉线段乘积和相等问题时极为高效，常与余弦定理结合求边长或角度。 【变式4-1】如图 ,在平面四边形 中, ,当 变化时,对角线 的最大值为______. 【答案】 解析:由托勒密不等式, 【变式4-2】已知平面四边形是由与等腰直角拼接而成,其中 ,则当点到点D的距离最大时,角的大小______. 【答案】 解析:由托勒密不等式, 因为为等腰直角三角形 当点到点的距离最大时,也即托勒密不等式取等号时,即四边形四点共圆时,所以 题型5 斯库顿定理的应用 【典例5-1】已知在中，在上，平分，若，，，则  。 解：方法1：角平分线定理+余弦定理 由角平分线定理可知：，设。 在中，由余弦定理得：① 在中，由余弦定理得：② 由①②可得：，即。答案：。 方法2：斯库顿定理 由角平分线定理可知：①， 由斯库顿定理可知： 即②，由①②得：。故答案为：。 例2.中，平分，，，，求的值。 解：由角平分线定理求两段边长：，； 斯库顿定理求角平分线：，即； 在中，由余弦定理：； 代入数值化简：。 【典例5-2】在中，平分，角平分线，，，则底边的长度 为 。 解：由角平分线分边定理：，设，； 代入斯库顿定理：； 代入数值：，化简得； 解得（边长舍去负根），因此。故答案为：3. 方法技巧 斯库顿定理的应用 用于求解三角形角平分线长：若为的平分线交于，则。也可记作角平分线长平方等于两邻边乘积减去两段分边的乘积。应用时先找准角平分线及分点，将已知边长代入即可直接求长。逆用可求角平分线分出的两段比例（结合角平分线定理）。技巧：若题中给出角平分线长和邻边，可用该定理反求底边分成的两段乘积，再与比例关系联立求出各段。此法避免建系或余弦定理，计算简洁，专攻角平分线长度问题。 【变式5-1】中，三边长，，，平分交于，则内角平分线的长度 为 。 解：由角平分线分边定理：，又； 联立解得：，； 代入斯库顿定理：； 开方得角平分线长度：。故答案为：。 【变式5-2】中，底边，为内角平分线，且满足，则角平分线的最小值 为 。 解：设，，则，由角平分线分边公式：，； 代入斯库顿定理变形：； 由均值不等式：，当且仅当时取等； 因此，代入得； 故最小值为。故答案为：。 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B 2．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】B 【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答. 【详解】在中，由射影定理及得：，解得， 而，则，由余弦定理及得：， 而，因此，，即，又，则， 所以. 故选：B 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由射影定理以及可得的值，根据可计算出的值，结合已知条件可求解出的值. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 又因为，，所以是等边三角形，所以. 故选：C. 【点睛】本题考查解三角形中射影定理的应用以及二倍角公式的化简，难度一般.三角形中的射影定理：，，. 4．（25-26高一下·福建福州·期末）（多选题）已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合正弦定理边化角及和差角的正弦、二倍角公式逐项分析判断. 【详解】对于A，，由，得，由正弦定理得 ，而，因此，A正确； 对于B，由及正弦定理得， 即，则 ，即，又， 因此，又，则，，B正确； 对于C，若，则，由正弦定理得，由选项B知， ，而 解得，即，矛盾，C错误； 对于D，由选项A知，，而， 则，整理得， 而，因此，又，则， ，D正确. 故选：ABD 5．函数的最大值为______________. 【答案】 【解析】由正弦平方差公式得 6．已知是的内角的平分线，，，，则长为 . 解：是的内角的平分线，且，， ， 则， 即，解得：.故答案为：. 7．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】由三角形中的射影定理,结合已知条件求得的值，进而得到的值，然后利用余弦定理求得的值，进而利用面积公式求得. 【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得, 又∵，∴，由，可得， 解得(负值舍去)，∴三角形的面积为， 故答案为：. 8．已知AD是的角平分线，，，，则 . 【答案】 【分析】设，借助张角定理可得，结合数据计算即可得解. 【详解】设， 则由张角定理可得：， 故，即有， 所以，则， 又因，， 所以. 9．若，则的范围为 . 【答案】 【解析】令 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若△ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为 ． 【答案】 【详解】∵，∴，即． ∵，∴，∵，∴，对两边同时点乘得： ． ，即， 由正弦定理知，∴． 11．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论： （1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． （2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】先分析出当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，然后分别在，中，根据余弦定理表示出，再由圆的内接四边形对角互补，即可求出角A；再根据三角形的面积公式分别求出，的面积，相加即可得到四边形的面积. 【详解】由题设当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，如图， 连接，在中，由余弦定理得： ，① 在中，由余弦定理得： ，② 因为A、B、C、D四点共圆，所以， 从而，③ 由①②③解得 ，因为，所以 ． 从而， ， 所以 ． 故答案为：；. 12．（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：. （2）在中，为线段上一点，，其中，试用表示线段的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论； （2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得BC. 【详解】（1） 等式两边同除，即得； （2）∵，∴. 13．在中，，. (1)若，求的值，以及的面积; (2)若，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）已知，，，利用余弦定理，即可求得边；根据面积公式：，代入即可求得面积. （2）先将进行切化弦，再利用边角互化和射影定理，即可求得的值，利用知一求二得的值，最终利用正弦定理求得的结果. 【详解】（1）根据余弦定理，因为，，， 代入公式计算得：； 根据面积公式：. （2）； 根据边角互化的原则得：； 化简得：； 根据射影定理：，所以，所以； 根据三角函数的定义得：； 由正弦定理：，将，，代入得：. 14．如图，半圆的直径为4cm，为直径延长线上的点，cm，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设，问： (1)当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)时，四边形的面积取得最大值为 (2) (3) 【分析】（1）根据余弦定理求解长度，然后根据三角形面积公式，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解最值； （2）根据定理可求解等号成立的条件，根据互补关系以及余弦定理可求解，即可代入余弦定理求解； （3）由三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中由余弦定理得， 所以， 于是四边形的面积为 ， 当，即时，四边形的面积取得最大值为． （2）因为，且为等边三角形，， 所以，所以， 即的最大值为6，取等号时， 所以，不妨设， 则，解得， 所以，所以． （3）设，（，所以为锐角）， 在中，由正弦定理得到，，又， ∴ ． 当，即时，的面积取得最大值为． 创新提升 1．设的内角所对的边分别为.若,且的面积为,则周长的最小值为_________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件结合三角形射影定理求出角A，再借助勾股定理、均值不等式计算作答. 【详解】在中，由射影定理得：，则化为：， 即，则，，即有， 的周长， 而，当且仅当时取“=”，又函数在单调递增， 于是得当时，， 所以周长的最小值为. 故答案为： 2．古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线. (1)若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度； (2)若，且为正三角形，求面积的最大值； (3)已知，且，，求的最大值 【答案】(1)，. (2). (3). 【分析】（1）根据为外接圆的直径得，再由同弧所对的圆周角相等得，最后由已知条件及正弦定理即可求解； （2）设的边长为a，由托勒密定理得，根据四点共圆得，然后由三角形面积公式及基本不等式求解即可； （3）构造圆内接四边形，设，，，，构造，在中由余弦定理得，再由托勒密定理得，然后利用三角形的面积公式，由列式求解即可. 【详解】（1）如图①，因为为外接圆的直径， 所以， 因为， 所以. 因为， 所以（同弧所对的圆周角相等）. 在中，，， 所以，，. 在中，，， 由正弦定理，解得. （2）如图②，设的边长为a， 由托勒密定理， 得，即. 因为四点共圆， 所以， 所以， ， 当且仅当时，等号成立， 所以. （3）如图③，构造圆内接四边形， 设，，，， 由，构造， 由共圆得， 由余弦定理得， 由托勒密定理得， 即. 由三角形面积公式得 ， 所以. 因为. 所以， 当且仅当时，等号成立，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了数学文化，数学定理的应用，以及由正弦定理、余弦定理解三角形，第三问的关键是构造圆内接四边形，设，，，，构造，在中由余弦定理得，再由托勒密定理得，然后利用三角形的面积公式，由列式求解，计算比较繁杂. 3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答． 问题：如图2，已知满足，，设（），四边形、四边形、四边形都是正方形．    (1)当时，求的长度； (2)求长度的最大值． 【答案】(1)6 (2)6 【分析】（1）利用锐角三角函数的定义及诱导公式，结合余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理和正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，，，，则，， 因为，所以 在中，，， 由余弦定理所以的长度为. （2）在中，由余弦定理得，所以， 设，在中，由余弦定理得， 所以  ① 在中，由正弦定理得， 所以， 代入①可得, 因为, 所以， 当即时，的最大值为， 所以长度的最大值为6． 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优10 解三角形中几大秒杀公式： 射影定理、正弦平方差公式、正切恒等式、托勒密定理、斯库顿定理内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 射影定理的应用 4 题型2 正弦平方差定理的应用 6 题型3 正切恒等式定理的应用 8 题型4 托勒密定理的应用 10 题型5 斯库顿定理的应用 12 分层进阶·双阶训练验成效 15 巩固过关 16 创新提升 22 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 证明：如图，记AB=c，BC=a，AC=b，作于点D, 则 即同理可证b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 知识点2 正弦平方差定理 证明： 知识点3 正切恒等式定理 当时，. 证明：，且 则 知识点4 托勒密定理 如下图 ,若四边形 内接于圆 ,则有 证明: 利用余弦定理即可 四边形 内接于圆 在 中,由余弦定理得 （1） 在 中,由余弦定理得 （2） 得 由于 所以 同理 即 广义托勒密定理: 在四边形 内,有 , 并且仅当四边形 内接于圆时取等号。该不等式又称为托勒密不等式。 知识点5 斯库顿定理 如果是的角平分线，则。 【证明】作的外接圆，如图所示，延长交圆于，连接。 ，，， 即，，即。 由相交弦定理得，。 即。 题型深研·通法变式提能力 题型1 射影定理的应用 【典例1-1】（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【典例1-2】（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 方法技巧 利用射影定理秒解解三角形问题 将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意正确应用. 【变式1-1】（25-26高一下·云南文山·阶段检测）在中，，，所对的边分别为，，，若，，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝acos B＋2cos A，2b＝c，若cos C＝－，则△ABC的面积为　　　　. 题型2 正弦平方差定理的应用 【典例2-1】（2026·广东汕头·二模）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·江西·三模）在中，角的对边分别是，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，角的平分线交于点，则 D．若为锐角三角形，则的取值范围是 方法技巧 正弦平方差定理秒解解三角形 核心公式为。处理三角形问题时，常将边利用正弦定理转化为，出现平方差立即套用该公式。关键在于将替换为（三角形内角），从而建立边与角的快速桥梁。注意逆向使用：遇到也要能还原为平方差。此法可避开余弦定理的繁琐计算，常用于判断三角形形状或求解角范围，特别适合含正弦平方差的边角互化题目。 【变式2-1】在中，角所对的边分别是.，则的范围是_______. 【变式2-2】锐角的内角所对的边分别为，的面积为，若，则的取值范围为______． 题型3 正切恒等式定理的应用 【典例3-1】（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，若，则=（ ） A. B. C. D. 【典例3-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，若，则=_______. 方法技巧 正切恒等式定理秒解解三角形 核心为：若，则。当题中出现三角形内角正切的和或积时，优先考虑此恒等式。变形技巧：可将正切和转化为正切积，或逆用求某个角的正切值。注意前提是角都不为，若出现直角需单独讨论。处理非三角形角度和（如和为）也有对应变式。此法能快速消元，特别适合涉及正切求和或求证正切乘积的题目。 【变式3-1】（2026·河北雄安·三模）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______. 【变式3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）在锐角中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若， 则的最小值是（ ） A.4 B. C. D.8 题型4 托勒密定理的应用 【典例4-1】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B．16 C． D．12 【典例4-2】平面四边形 中, ,则 的最大值为______. 方法技巧 托勒密定理的应用策略 适用于圆内接四边形：对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即。应用时先确认四点共圆，再恰当选择四边形顶点顺序。若图中无直接圆，要通过角度证明共圆后再用。常见技巧：将待求线段视为对角线或对边，利用定理建立等量关系。也可构造辅助圆，使目标线段成为圆内接四边形的一部分。此法在处理交叉线段乘积和相等问题时极为高效，常与余弦定理结合求边长或角度。 【变式4-1】如图 ,在平面四边形 中, ,当 变化时,对角线 的最大值为______. 【变式4-2】已知平面四边形是由与等腰直角拼接而成,其中 ,则当点到点D的距离最大时,角的大小______. 题型5 斯库顿定理的应用 【典例5-1】已知在中，在上，平分，若，，，则  。 【典例5-2】在中，平分，角平分线，，，则底边的长度 为 。 方法技巧 斯库顿定理的应用 用于求解三角形角平分线长：若为的平分线交于，则。也可记作角平分线长平方等于两邻边乘积减去两段分边的乘积。应用时先找准角平分线及分点，将已知边长代入即可直接求长。逆用可求角平分线分出的两段比例（结合角平分线定理）。技巧：若题中给出角平分线长和邻边，可用该定理反求底边分成的两段乘积，再与比例关系联立求出各段。此法避免建系或余弦定理，计算简洁，专攻角平分线长度问题。 【变式5-1】中，三边长，，，平分交于，则内角平分线的长度 为 。 【变式5-2】中，底边，为内角平分线，且满足，则角平分线的最小值 为 。 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 2．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（    ） A． B． C．3 D． 4．（25-26高一下·福建福州·期末）（多选题）已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的最大值为______________. 6．已知是的内角的平分线，，，，则长为 . 7．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 . 8．已知AD是的角平分线，，，，则 . 9．若，则的范围为 . 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若△ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为 ． 11．四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论： （1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． （2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ． 12．（1）如图，点在线段上，直线外一点对线段的张角分别为，即.求证：. （2）在中，为线段上一点，，其中，试用表示线段的长. 13．在中，，. (1)若，求的值，以及的面积; (2)若，求. 14．如图，半圆的直径为4cm，为直径延长线上的点，cm，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设，问： (1)当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (2)克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求； (3)求面积的最大值． 创新提升 1．设的内角所对的边分别为.若,且的面积为,则周长的最小值为_________. 2．古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线. (1)若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度； (2)若，且为正三角形，求面积的最大值； (3)已知，且，，求的最大值 3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答． 问题：如图2，已知满足，，设（），四边形、四边形、四边形都是正方形．    (1)当时，求的长度； (2)求长度的最大值． 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $