重难点13 解三角形的图形类问题和重要模型（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以“模型+策略”双主线构建解三角形图形问题突破体系，整合8类核心模型与6大解题策略，实现几何直观与推理能力的协同培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形边角计算|1例+3变式|两次余弦定理/等面积法|从基础图形计算到复杂分割问题的递进| |中线/角平分线/高模型|各1例+3变式|中线长定理/斯库顿定理/面积公式|定理推导→模型识别→综合应用| |等分点/重心/圆问题|各1例+3变式|比例转化/重心性质/正弦定理|从特殊点性质到圆的几何性质延伸| |双三角形问题|1例+3变式|多三角形边角关联|跨图形条件转化与方程思想融合|

重难点13 解三角形的图形类问题和重要模型（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 几何图形中的边、角计算】 3 【题型2 解三角形中的中线模型】 6 【题型3 解三角中的角平分线模型】 8 【题型4 解三角中的高模型】 11 【题型5 解三角形中的等分点模型】 13 【题型6 三角形的重心问题】 17 【题型7 三角形的外接圆、内切圆问题】 20 【题型8 双三角形问题】 24 1、解三角形的图形类问题和重要模型 解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一。从近三年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中正、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活求解。 考点1 解三角形的图形类问题和重要模型 知识点1 三角形图形类问题的解题策略 1．解决三角形图形类问题的常用方法： (1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理 的性质解题； (2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； (3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； (4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； (5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； (6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 知识点2 解三角形中的重要模型 1．中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 斯库顿定理：如图，AD是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积． 4．等分点模型 如图，若P在边BC上，且满足，，则延长AP至D，使，连接CD.易知AB∥DC，且，，． 【题型1 几何图形中的边、角计算】 【例1】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先在中，由正弦定理求出，再在中，由正弦定理求出. 【解答过程】在中，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，，， 由正弦定理得， 所以， 故选：D． 【变式1-1】（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理，结合建立等量关系，联立方程求解即可. 【解答过程】如图，设，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 又，则，代入化简得①， 在中，由余弦定理可得， 化简整理得②，联立①②，解得. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【解答过程】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,， 根据正弦定理：代入数值： . 故选：C. 【变式1-3】（25-26高三下·浙江湖州·阶段检测）在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】令，且，根据已知得、，再由列方程求边长即可. 【解答过程】令，则， 由题设，有，， 所以，则， 所以，可得（负值舍）. 故选：B. 【题型2 解三角形中的中线模型】 【例2】（2026·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用两次余弦定理即可求解. 【解答过程】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B. 【变式2-1】（2026·重庆·一模）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【解答过程】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C. 【变式2-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求边上的中线的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理结合三角函数恒等变换公式化简求值即可. （2）利用余弦定理求出，再用向量的中线公式求得中线长. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理可得，， 即， 所以． 因为，所以， 即，所以． 因为，所以． （2）因为，，， 由余弦定理得，，解得． 由向量的中线公式可得， 所以 ． 【变式2-3】（2026·甘肃定西·一模）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理及进行化简，得到，从而得到； （2）利用余弦定理得到的值，由中线向量求得的长. 【解答过程】（1）由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数值得，解得（舍去）或， 因为是的中点，所以， 所以， 所以，即边上的中线的长为. 【题型3 解三角中的角平分线模型】 【例3】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【解答过程】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 【变式3-1】（25-26高三下·广西百色·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【解答过程】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为CD是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故选：B. 【变式3-2】（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）利用二倍角公式化简，由三角恒等变换结合三角形内角和即可求解. （2）通过余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1），， 即， 所以，又因为，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以. （2）由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：. 【变式3-3】（2026·四川宜宾·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案； （2）利用三角形的面积关系解出即可． 【解答过程】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 【题型4 解三角中的高模型】 【例4】（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求，利用余弦定理求，然后结合面积公式可得解. 【解答过程】由正弦定理和可得， 又，， 所以， 因为，所以， 所以，得，即， 由余弦定理可得，即， 记边上的高为，则由面积公式得，得. 故选：B. 【变式4-1】（2026·湖南郴州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，BC边上的高，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【解题思路】根据三角形面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值，进而求出的值. 【解答过程】已知BC边上的高，，根据三角形面积公式. 将，，代入可得：，，. 由余弦定理，可得：，即， 可得：，即，把代入上式可得： ，即. 因为、为三角形的边，可得：. 故选：A. 【变式4-2】（2026·河北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求BC边上的高． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知等式结合余弦定理可得，从而再由余弦定理可得的值； （2）根据与的关系可分别得的值，再根据三角形面积公式列方程即可得BC边上的高． 【解答过程】（1）由余弦定理得, 所以， 从而可得； （2）由（1）可得，，， 则的面积， 设BC边上的高为， 则，所以， 故BC边上的高为. 【变式4-3】（2026·吉林长春·一模）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由平方关系求得，结合三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合正弦定理求得，再根据余弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案. 【解答过程】（1）因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. （2）由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. 【题型5 解三角形中的等分点模型】 【例5】（25-26高一下·安徽·阶段检测）如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，求得，在中，利用余弦定理求得，然后由求解. 【解答过程】由题意得， 解得， 在中，， 所以， 所以， 解得. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高三上·山东德州·阶段检测）已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，设，得到，再结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为， 由正弦定理得，可得，即， 所以，，则， 设，则，且， 在中，且，则， 在中，由，则， 由，即， 又由正弦定理知（为的外接圆半径）， 所以， 则，即， 又因为，故当，即时，所以. 故选：B.    【变式5-2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知结合余弦定理角化边得，接着由余弦定理即可得解. （2）先由和求出角，接着由正弦定理形式的面积公式求出，再由余弦定理 即可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以由余弦定理可得，整理得.     所以由余弦定理可得， 又，所以. （2）因为，， 所以， 即，         又，故，则， 所以，所以.       所以，所以，   所以在中，，，由余弦定理可得 ，即. 【变式5-3】（2026·河南·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若D是边AB上靠近点A的三等分点，，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案； （2）设，在和中由余弦定理可求出，，再代入三角形的面积公式即可求出，进而求出的周长. 【解答过程】（1）由正弦定理得:， 整理得， 即， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）设，则， 在中，由，，得， 由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，则， 所以的周长为. 【题型6 三角形的重心问题】 【例6】（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）已知是的重心，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用余弦定理，结合邻补角找到边的关系，建立方程组求出，从而可求角的大小. 【解答过程】 如图，根据三角形重心定义可知：为各边中点，重心为各中线的三等分点， 所以有，， 由余弦定理得：， ， 则，-------① 再由余弦定理得：， ， 则，-------② 由①②得：， 所以， 又因为，所以， 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一下·江苏南京·期中）已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题设条件，利用表示，根据平面向量基本定理得出系数间的关系式，利用三角形面积公式得出所求比值为，利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】 如图，延长交于点，因为为的重心，所以点是的中点， 则， 因为三点共线，所以可设， 设，则， 所以，即， 又因为为的重心，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式6-2】（2026·河南洛阳·三模）已知点为的重心，且，若，则___________. 【答案】 【解题思路】连接，延长交于，根据重心的性质和题意可知，由余弦定理，在三角形可得，在三角形中可得，再根据，可知，再根据三角形内角的关系和正弦定理可知，再结合余弦定理，即可求出结果. 【解答过程】如图，连接，延长交于， 因为点为的重心，故为中点， 因为，所以， 由重心的性质得，，即, 由余弦定理得， 又， 所以 所以， 又，所以 则， . 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高一下·重庆江津·阶段检测）在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则___________． 【答案】 【解题思路】根据条件，利用倍角公式及诱导公式，得到，从而有，延长交于，利用重心的性质得到，利用向量的中线公式得到，再由余弦定理，即可求解. 【解答过程】因为，则，即， 解得或，又，所以， 又点是的重心，且，如图，延长交于，则为中点，且， 又，则， 所以，解得， 在中，由余弦定理，得到， 解得，    故答案为：. 【题型7 三角形的外接圆、内切圆问题】 【例7】（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，利用正弦定理求出，结合已知求出，进而求出. 【解答过程】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B. 【变式7-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】结合图形，先利用正弦定理、余弦定理及边之间的关系得出：，，梯形的高为，进而得出；再根据梯形等面积公式即可求解. 【解答过程】如图：    若梯形有外接圆，则梯形为等腰梯形. 设梯形的外接圆半径为， 则由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理可得： ，且， 解得， 则梯形的高为：；； . 设梯形的内切圆半径为， 根据等面积法，有，解得. 故选：B. 【变式7-2】（2026·湖南常德·模拟预测）在锐角三角形中，角的对边分别为，． (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）应用正弦边角关系化简已知条件为，结合三角形内角的性质得，即可求其大小； （2）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解. 【解答过程】（1）由正弦定理得， 则，得， 易知，所以，又，所以． （2）设内切圆的半径为，则，得． 由余弦定理得，整理得， 所以． 由正弦定理得，所以，， 则 ． 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，则，所以， 故， 所以内切圆半径的取值范围为． 【变式7-3】（25-26高一下·上海·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由正弦定理对已知条件角化边，再应用余弦定理求角，进而可求解； （2）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解． 【解答过程】（1）由正弦定理原式可化为：， 整理得：， 即， 由余弦定理，代入得， 因为是锐角三角形，故， 由正弦定理可得， 所以的半径为； （2）由（1）得，则， 即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为为锐角三角形，所以，， 则，， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为． 【题型8 双三角形问题】 【例8】（25-26高三上·山东·期中）如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】在中，由余弦定理求得，从而求得，设，由正弦定理求得，然后在中，用余弦定理求解． 【解答过程】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 【变式8-1】（2026·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】根据余弦定理得、，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解. 【解答过程】在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故选：B. 【变式8-2】（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）借助正弦定理可得、，由可得，再结合即可得的值； （2）设，利用余弦定理可表示出、，再利用（1）中所得即可得解. 【解答过程】（1）在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； （2）设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，则， 故， 解得. 【变式8-3】（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【解答过程】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 一、单选题 1．（2026·河北廊坊·一模）在中，其所对的边分别为，为边上靠近点A的三等分点，，，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解题思路】过点作，利用等腰三角形的性质得到，再由条件求出，在中建立等式，求解. 【解答过程】 如图，过点作， 因为，所以是中点，且 又因为为边上靠近点A的三等分点，所以， 又因为，所以， 则，. 又因为，联立， 因为，所以，解得 在中，由余弦定理得 ， 解得，所以， 故选：A. 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先在中应用余弦定理求出，再根据同角关系求出，然后在中应用正弦定理即可求出的值. 【解答过程】在中，由余弦定理得：， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得：，即，解得. 故选：D. 3．（2026·江苏南通·模拟预测）在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解. 【解答过程】解：由余弦定理得， 即，即， 所以， ∴，当且仅当b=c时等号成立. 因为， 所以， ， ∴， 故选：C． 4．（2026·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【解答过程】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 5．（2026·江苏苏州·二模）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果． 【解答过程】因为，所以， 又，则，化简得， 由正弦定理得， 因为， 所以，整理得， 又，，所以或， 若，即，不满足条件，则，即， 因为为的平分线，所以， 因为，所以， 在中，① 又因为，， 所以， 即， 化简得② ①代入②得，解得，（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理， 所以． 故选：D. 6．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，则，，在中，利用正弦定理可得出，然后在中应用余弦定理可求出的值，由此可求得的长. 【解答过程】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 7．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设的内切圆半径为，利用，把表示成关于的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案. 【解答过程】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 故选：A. 8．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【解答过程】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C. 二、多选题 9．（2026·广西南宁·模拟预测）设内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．的外接圆面积为 D．若M为中点，则 【答案】AC 【解题思路】由余弦定理判断A，B；利用正弦定理求出的外接圆的半径，即可判断C；利用向量判断D. 【解答过程】对于A，由余弦定理可得， 所以，故A正确； 对于B，由余弦定理可得， 所以，故B错误； 对于C，由正弦定理可得， 所以， 所以的外接圆面积为，故C正确； 对于D，因为M为中点， 所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 10．（2026·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 【答案】ABD 【解题思路】先求出，对于A，根据正弦定理即可求解；对于B，根据余弦定理即可求解；对于C，根据最大边对应的角为最大角即可判断；对于D，根据三角形的面积公式，及等面积法即可求解． 【解答过程】在 中，由，则， 对于A，设 外接圆的半径为 ， 则由正弦定理有，即，故A正确； 对于B，由余弦定理有， 即， 化简整理得， 解得，或（舍去），故B正确； 对于C，结合选项B知为最大边，且其对应的角为最大角， 又，所以的最大角为锐角， 所以 是锐角三角形，故C错误； 对于D，设 内切圆的半径为 ，结合选项B有， 则， 即，解得，故D正确． 故选：ABD. 11．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为边上的中线，且，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ACD 【解题思路】先通过正余弦定理边角互化求得角的大小，再结合中线的条件，分别在,中利用正弦定理、余弦定理、面积公式逐一验证选项。 【解答过程】因为，所以由正弦定理得，所以，所以由余弦定理得，所以，所以由正弦定理得 ，又，所以，又，所以． 在中，由正弦定理得，即，所以，又，所以，A正确； 由得，所以，则，B错误； 的面积为，C正确； 在中，由余弦定理得，所以，D正确；故选ACD． 三、填空题 12．（2026·贵州·三模）的内角、、所对的边分别为、、.若，边上的高为，则_____________. 【答案】 【解题思路】利用三角形的面积公式可得出，设，则，利用余弦定理可得出，再由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【解答过程】由题意可得，整理可得， 不妨设，则， 由余弦定理可得，故， 所以，， 因为，故. 故答案为：. 13．（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为_____________． 【答案】 【解题思路】设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值. 【解答过程】在中，，设，则，， 在中，，则， 由余弦定理得 ， 因，则， 故当，即时，， 所以的最大值为. 故答案为：. 14．（2026·浙江杭州·三模）如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为_____________. 【答案】 【解题思路】首先由条件等式，结合正弦定理，余弦定理，基本不等式，以及三角函数的有界性，确定的形状，再以为自变量表示四边形的面积，根据三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】由正弦定理可知可化为， 由余弦定理（当且仅当时等号成立）得， 所以，即， 即（当且仅当时等号成立）， 整理为，即，又， 所以，又， 所以，即， 同理，条件等式也可化简为和，可得， 所以是等边三角形， 设，，在中，， ，， ， 当时，四边形的面积取得最大值. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)利用正弦定理边化角，经过三角恒等变换得到，再利用三角形中角的范围得到的值. (2)根据余弦定理得到的值，然后利用爪形定理得到三角形边长与中线的关系即可求解. 【解答过程】（1）由正弦定理得 由，得. 因为，所以 ，故. 即.又因为 ，所以， 所以，故. （2）在中，由余弦定理得， 所以 ，又，所以. 因为为的中点，， 则，所以. 16．（2026·山东潍坊·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若边上的高为，，求，． 【答案】(1) (2)，或， 【解题思路】（1）利用三角形内角和性质、三角恒等变换化简已知等式求角； （2）结合三角形面积公式建立的关系，再用余弦定理列方程求解. 【解答过程】（1）在中，，故 ， 将已知等式变形： ， 又 ， 代入得： ， 因，， 故，得； （2）由三角形面积相等得，代入，，， 化简得： ，又 再代入余弦定理，得 ， 整理得，解得或， 对应代入，得或， 故，或，. 17．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式与正弦定理边角互化求解； （2）利用三角形面积公式和三角形面积的几何关系，结合余弦定理把长度的关系式表示出来并化简成基本不等式的形式，利用基本不等式求最值 【解答过程】（1）由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴，∴，又，∴， 由正弦定理得：，∴， ∵，∴，即， ∵，∴. （2）由题意及（1）得， 由几何知识得，， ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 18．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形中，，，， (1)若，求的长． (2)若，当四边形面积最大时，求的长． 【答案】(1) (2)8 【解题思路】（1）利用余弦定理求出，结合判断为外接圆直径，利用正弦定理求解. （2）由对角互补知四边形内接于圆，利用基本不等式确定面积最大时为等边三角形，再结合余弦定理和两角和的余弦公式求解. 【解答过程】（1）在中，因，，， 由余弦定理，， 所以. 由题意，，则四边形内接于圆，且为该圆的直径. 设该圆半径为，在中，由正弦定理得. （2）因为，所以，四边形内接于圆. 因四边形的面积，其中， 要使四边形面积最大，只需最大，即最大. 在中，由余弦定理得，即. 因为，即，当且仅当时取等号， 此时，为等边三角形. 在中，由余弦定理得， 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以. 在中，由余弦定理得， 所以. 19．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理，在与中分别表示公共边，联立两式消去参数，化简得到； （2）将四边形面积拆分为两个三角形面积和，结合第（1）问的结论，通过平方相加消元，求出面积的最大值． 【解答过程】（1） 如图，连接BD， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则有， 因为，， 所以， 因为，所以； （2）如图，因为， 所以四边形ABCD的面积， 将两边平方，可得， 即①， 由（1）可知，平方可得②， 联立①②，解得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以四边形ABCD面积的最大值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点13 解三角形的图形类问题和重要模型（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 几何图形中的边、角计算】 3 【题型2 解三角形中的中线模型】 4 【题型3 解三角中的角平分线模型】 5 【题型4 解三角中的高模型】 6 【题型5 解三角形中的等分点模型】 6 【题型6 三角形的重心问题】 7 【题型7 三角形的外接圆、内切圆问题】 8 【题型8 双三角形问题】 9 1、解三角形的图形类问题和重要模型 解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一。从近三年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中正、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活求解。 考点1 解三角形的图形类问题和重要模型 知识点1 三角形图形类问题的解题策略 1．解决三角形图形类问题的常用方法： (1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理 的性质解题； (2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； (3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； (4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； (5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； (6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 知识点2 解三角形中的重要模型 1．中线模型 (1)中线长定理：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则. (2)向量法：. 2．倍角模型 ，这样的三角形称为“倍角三角形”． 推论1：； 推论2：. 3．角平分线模型 角平分线张角定理：如图，为平分线，则. 斯库顿定理：如图，AD是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积． 4．等分点模型 如图，若P在边BC上，且满足，，则延长AP至D，使，连接CD.易知AB∥DC，且，，． 【题型1 几何图形中的边、角计算】 【例1】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在中，是边上的点，其中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三下·浙江湖州·阶段检测）在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 【题型2 解三角形中的中线模型】 【例2】（2026·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·重庆·一模）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)若，，求边上的中线的长． 【变式2-3】（2026·甘肃定西·一模）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【题型3 解三角中的角平分线模型】 【例3】（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高三下·广西百色·期中）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式3-2】（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【变式3-3】（2026·四川宜宾·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【题型4 解三角中的高模型】 【例4】（2026·山东青岛·二模）在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4-1】（2026·湖南郴州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，BC边上的高，则（   ） A． B． C．8 D． 【变式4-2】（2026·河北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求BC边上的高． 【变式4-3】（2026·吉林长春·一模）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【题型5 解三角形中的等分点模型】 【例5】（25-26高一下·安徽·阶段检测）如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·山东德州·阶段检测）已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若的面积为，，点D为边上靠近B的四等分点，求的长. 【变式5-3】（2026·河南·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若D是边AB上靠近点A的三等分点，，的面积为，求的周长. 【题型6 三角形的重心问题】 【例6】（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）已知是的重心，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一下·江苏南京·期中）已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·河南洛阳·三模）已知点为的重心，且，若，则___________. 【变式6-3】（25-26高一下·重庆江津·阶段检测）在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则___________． 【题型7 三角形的外接圆、内切圆问题】 【例7】（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【变式7-1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知梯形的外接圆直径为，，，，则梯形的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D． 【变式7-2】（2026·湖南常德·模拟预测）在锐角三角形中，角的对边分别为，． (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 【变式7-3】（25-26高一下·上海·阶段检测）在锐角中，角所对的边分别为，满足，且． (1)若为的外接圆，求的半径； (2)求锐角周长的取值范围． 【题型8 双三角形问题】 【例8】（25-26高三上·山东·期中）如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式8-2】（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【变式8-3】（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 一、单选题 1．（2026·河北廊坊·一模）在中，其所对的边分别为，为边上靠近点A的三等分点，，，，则（   ） A． B． C．1 D．3 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2026·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 5．（2026·江苏苏州·二模）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·广西南宁·模拟预测）设内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．的外接圆面积为 D．若M为中点，则 10．（2026·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 11．（2026·西藏日喀则·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为边上的中线，且，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 三、填空题 12．（2026·贵州·三模）的内角、、所对的边分别为、、.若，边上的高为，则_____________. 13．（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为_____________． 14．（2026·浙江杭州·三模）如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为_____________. 四、解答题 15．（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 16．（2026·山东潍坊·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若边上的高为，，求，． 17．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 18．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形中，，，， (1)若，求的长． (2)若，当四边形面积最大时，求的长． 19．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $