解题大招40 三角变换中的七组秒杀公式：正弦平方差、正切恒等式、半角三叉戟、万能公式、和差化积积化和差、三倍角公式（通用版）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦三角变换六组核心公式，构建“公式推导-技巧提炼-题型应用”三阶训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦平方差公式|1典例+3训练|平方差与乘积互化，跳过降幂直接化简|从公式证明到三角形内角关系应用| |正切恒等式|2典例+3训练|正切和积互化，配合均值不等式|角关系（如π/3）与恒等式转化| |倍角变形等7模块|每模块含1-2典例+3训练|降幂升幂、半角转化、和差积互化等|从基础公式到三倍角拓展，形成公式网络|

解题大招40 三角变换中的七组秒杀公式： 正弦平方差、正切恒等式、倍角变形、正切半角三叉戟、万能公式、积化和差和差化积、三倍角公式 知识点01 正弦平方差公式 1．正弦平方差公式 2．公式的证明： 知识点02 正切恒等式 1．正切恒等式 （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，； 2．公式的证明 公式(1)的证明：，且, . 则. 公式（2）的证明： . 公式（3）的证明可仿公式（2）的证明，请同学们自行完成. 知识点03 二倍角公式的四组变形公式 二倍角公式应用较为广泛，要熟悉悉公式的特点，正用或逆用都要灵活.特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用： 1．配方变换公式： 2．因式分解变换公式： =. 3．降幂公式： ： 4．升幂公式: 知识点04 正切半角三叉戟公式 四组正切半角三叉戟公式 1．第一公式（正余弦直比型）： 2．第二公式（正余弦合比型）： 3．第三公式（求根公式型）： 4．第四公式： 。 【注意】需要强调的是，并不是要求将上述公式背下来，这是没有任何意义的，目的是用这种方式引起我们对这些知识的重视． 知识点05 万能公式 1．万能公式 . 2．公式的证明 证明： ， 【特别提醒】 1.万能公式左右两边的定义域发生了变化，由左向右定义域变小了. 2.不论角的哪一种三角函数，都可以由的有理式表示，这样就把问题转化为以为变量的“一元有理函数”. 知识点06 积化和差、和差化积公式 1.积化和差公式： ； ； ； . 【记忆口诀】积化和差得和差，余弦在后要相加； 异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 【证明】由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得， 两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式. 2.和差化积公式: 【记忆口诀】正弦＋正弦,正弦在前；正弦－正弦,正弦在后； 余弦＋余弦,余弦并肩；余弦－余弦，余弦靠边。 【证明】由，，得 . 其他同理可证. 知识点07 三倍角公式 1．三倍角公式 2．公式的证明 （1）正弦三倍角公式：3 （2）余弦三倍角公式： （3）正切三倍角公式： . 题型01 正弦平方差公式的应用 见到正弦平方差优先使用，可跳过降幂、和差化积，直接把平方差转化两角正弦乘积，用于化简、求值、三角证明. 正向：平方差→乘积，便于因式分解、约分；逆向：遇见sin(A+B)sin(A-B)，还原成正弦平方差. 常配合三角形内角关系解题；注意区分余弦平方差，不要混淆形式。 适用条件无额外限制，角度为任意角；解题优先观察式子是否具备的结构. 【典例1-1】已知，则的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】根据正弦平方差公式，可得，由题意得，解得，故选B. 【典例1-2】在中，角的对边分别为，已知，则的大小为_____________. 【答案】 【详解】 【跟踪训练】 1. 在中，已知，则角C的大小为（ ） A．　　 B．　　 C．　　 D． 【答案】C 【详解】对等式变形得，由正弦平方差公式得左边，右边，两边同除以得，再由得，代入化简得，因为，所以，又，故，故选C. 2．设分别为的内角的对边，已知，且，则的大小为_____________. 答案】 【详解】 ， 3．在中，角所对的边分别是.，则的范围是_______. 【答案】 【详解】易得，结合正弦定理和三角函数中的平方差公式可得 ，从而可求得其范围是. 题型02 正切恒等式的应用 1．正切恒等式 （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，； 2.公式的作用 (1)公式（1）常用于三角之和的题型，实现正切和与积互化，常配合均值不等式；角为时正切无意义，需单独检验. (2)出现两角和为时，常利用公式（2）（3）化简求值，快速得常数2. 【典例2-1】（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为在中，， 且 所以 则 答案：A 【典例2-2】（24-25高三上·河南三门峡·期末）若，则__________. 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式可得出，由此可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 因此，. 秒解：由正切恒等式的公式（3）可直接得. 【跟踪训练】 1．（2026高三上·福建厦门·专题练习）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】借助两角和的正切公式计算即可得． 【详解】因为，所以， 所以， 故．故选：B． 秒解：由正切恒等式的公式（2）可直接得. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）_______． 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式分别求出与的值即可. 【详解】∵ ， ， ∴． 秒解：由正切恒等式的公式（2）可得=2，=2，故原式=. 3．（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）在中，若，则______. 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式的变形形式求值. 【详解】首先因为，所以. 这是因为：若，则， 又因为为三角形内角，所以互补，这是不能成立的. 所以. 因为，所以. 又， 所以. 所以. 秒解：由已知得， 由正切恒等式得， 所以 对照得 题型03 二倍角公式变形公式的应用 利用二倍角公式的变形公式能灵活实现变角、变幂的作用，从而将所求式与已知式灵活转化，或将三角函数式化为最简形式，再研究三角函数的性质. 【典例3-1】（25-26高三下·辽宁大连·期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数的解析式，根据余弦型函数的对称性可得出关于的等式，结合可得出的最小值. 【详解】因为， 且点是函数的图象的一个对称中心， 所以，解得， 因为且，故当时，取最小值. 【典例3-2】化简 【分析】式中两项互为倒数,化简一项即可,每项的分子、分母各为三项,由于有特殊数字1,考虑1与组合,便可利用升幂公式进行化简.. 【详解】 ==－ ∴原式＝. 【跟踪训练】 1．（2026·河南焦作·一模）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 2．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设结合平方关系求得，再根据降幂公式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 又，则， 解得或（舍去），则， 所以， 又，则. 故选：C 3．（25-26高二下·广西南宁·期末）设则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换得到，由正弦函数单调性比较出大小 【详解】， ， ， 由于在上单调递增，故，故. 4．（25-26高二下·浙江·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则， 则 . 题型04 正切半角三叉戟公式的应用 正切半角三叉戟公式实质是半角的正切公式，此公式的优点是无须开根号，讨论函数值的正负，而是直接将半角的正切转化为单角的正弦或余弦值求解. 【典例3】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 【跟踪训练】 1（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得. 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于， 故选：A． 2（25-26高三上广东汕尾·期末）已知，且，则（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】已知，因为余弦函数是偶函数， 则， 又根据诱导公式：，则， 又，则， 由半角公式可得：， 根据诱导公式并代入数值得：，A正确. 3．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 题型05 万能公式的应用 万能公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即无论是角的哪种三角函数，都可以用的有理式表示，所以利用它对三角函数式进行化简、求值、证明，往往可以使解题过程简便. 【典例5】（25-26高三上·甘肃张掖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知可得，结合二倍角正切公式及万能公式求函数值. 【详解】由，则，故， 由. 【跟踪训练】 1．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含的形式，再代入已知条件计算. 【详解】， 由万能公式得 2．（25-26高三下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【详解】由， 所以，则， 由，则. 故选：A 3．（24-25高三上·安徽·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求. 【详解】由， 得， 则，由万能公式得． 故选：B 题型06 积化和差、和差化积的应用 1．积化和差多用于乘积化加减，降幂、拆分三角函数项，方便积分、化简求值；遇 sinαcosβ、cosαcosβ 优先用. 2．和差化积处理同型正余弦加减，便于提取公因式、约分、求最值，解三角方程常用. 技巧：乘积转和差拆项，和差转积因式分解；出现两角度和差优先变换，统一角度后再化简，减少函数种类. 【典例6-1】（25-26高三上·江苏南京·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换可化简求解. 【详解】解法一： 所以. 解法二：由积化和差公式得， 所以. 解法三：由和差化积公式得. 【典例6-2】（2026·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得. 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于，故选：A． 【跟踪训练】 1．（2025高二上·安徽·竞赛）已知是的两个解，且，则（    ） A．－3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简原式，根据是方程的解，得到两个关于的三角等式，进而利用和差化积公式对、变形求出的值，再利用正切的二倍角公式计算. 【详解】因为是的两个解， 所以：， 两式相等移项得：. 因为， 所以代入等式得： ， 因为，所以， 所以, 令，可得. 2．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和差化积公式结合题设可得：，然后 结合为锐角，二倍角的正切公式可得答案. 【详解】因， 可得， 则， 得到，又结合为锐角， 可得，从而， 得到， 结合，可得. 3．（2025高三下·甘肃·竞赛），则_________． 【答案】 【分析】利用诱导公式、和差化积及积化和差公式化简，再代入求解即可. 【详解】 . 题型07 三倍角公式的应用 针对三倍角，可转化为二倍角与单角的和，再利用和角公式及二倍角公式求三倍角的函数值，也可利用三倍角公式直接展开求解. 【典例7】（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知正五边形内接于半径为2的圆，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积公式结合正五边形圆心角性质求解. 【详解】由题意可知，正五边形内接于圆， 圆心角，， 由三倍角公式得， 而，故， 令，即，同时除以， 即，因为代入上式得， 解得，因为，所以，故， . 【跟踪训练】 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C．π D．2π 【答案】C 【详解】解法一：由和差化积公式得， 由，得且 可得函数的最小正周期， 但是，当时，，无意义，所以， 又，且对定义域内的任意自变量，也在定义域内. 所以函数的最小正周期. 故选：C. 解法二：由三倍角公式得， 以下同解法一. 2.（25-26高一下·云南·期中）在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中不正确的有（    ） A． B． 存在时，使得 C． 给定正整数，若，，且，则 D． 设方程的三个实数根为，，，并且，则 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式及二倍角公式展开化简即可判断选项A；令，则，根据三角函数的有界性得到，进而判断B选项；令，其中，，问题转化为，根据二次函数的最值证明上式成立即可；求解方程得到或或，比较大小得到，，，再验证是否成立即可. 【详解】 ，A对； 令，则，，则，B错； 令，其中，， ，即，∴， 由可得， ，即，∴，∴，C对； 令，，，，即， 即，∵，∴或或， 令，，，，， ∴的根都在，∴，，， ，D对. 故选：B. 3.(25-26高三上全国阶段练习已知三倍角公式，则 ． 【答案】 【分析】根据三倍角公式，诱导公式及，代入求值即可． 【详解】因为 ， 所以． 故答案为： 1 计算的结果是（ ） A.0 　　B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦平方差公式得，故选C. 2. 已知，且，则的值为（ ） A．1 　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由正弦平方差公式得：，由题意得，所以，因为，所以，故，解得，因此，，故选C. 3．（25-26高一下·山东东营·期末）设，，，则有（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， . 由对锐角是递增的，所以， 所以. 4．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得. 5.（2026·全国·高三专题练习）函数 的最小正周期为（ ）. A.          B.           C.           D. 【答案】C 【分析】先利用正弦三倍角、二倍角公式进行化简，再利用三角函数的周期公式进行求解. 【详解】因为 所以的最小正周期为.故选：C. 6.（2026·山西忻州·模拟预测）在锐角中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，则的最小值是（ ） A.4 B. C. D.8 【答案】D 解：因为，所以 令，因，则有，所以，即 答案：D 7．（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设结合平方关系求得，再根据降幂公式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 又，则， 解得或（舍去），则， 所以， 又，则. 故选：C 8．（2026·河北邢台·一模）若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数的解析式形式，结合函数零点的定义、换元法，特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【详解】 ， 令，得， 因为函数 在 上恰有两个零点， 所以方程在内有两个不相等的实根， 因为， 所以， 所以有. 故选：A 9．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简得到，再令，再根据函数极值点的个数得到不等关系求解即可. 【详解】 . 由，令， 则在上恰有唯一极值点，即在有唯一极值点， 因为区间右端点是，故极值点只可能为， 则，即， 得，解得. 故选：C. 10.（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，若，则=_______. 【答案】 【详解】因为在中，， 且，即 所以，则， 11．（24-25高三上·广东佛山·阶段检测）已知满足，则______． 【答案】 【分析】由条件可得，结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 12．（25-26高一下·全国·课后作业）已知且，则的值为_____________． 【答案】2 【分析】由已知条件求出值，进而求出，再利用半角正切公式计算求解． 【详解】,由且，可知， ，，， ． 13．（25-26高一下·上海·期中）的值为_____. 【答案】 【分析】根据降幂公式，结合和差化积公式，即可化简求值. 【详解】 而， ， 所以原式. 14．（25-26高三上·山东淄博·期中）已知利用三角变换，可知在时的取值范围是________ ，猜想在时的取值范围是__________ . 【答案】 【分析】结合同角的三角函数关系和二倍角的正余弦分别计算 的取值范围，数学归纳，猜想对任意x时 的取值范围. 【详解】当 时， ； 当 时， ， ； 当 时， ， ； 由以上规律可以猜想：当 时， 的取值范围是 ； 15．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【答案】24或 【分析】先由范围确定、的区间并判断三角函数符号,求出与,再把通分化简为,利用积化和差公式算出,最后代入数值计算得出结果. 【详解】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 16．（25-26高三上·广东深圳·期末）猫在做完手术后往往需要戴“防舔圈”（也被称为“伊丽莎白圈”)保护伤口，可将其视为一个圆台的侧面、现有一个宽度（圆台的母线）为13厘米的“防舔圈”，戴在一只猫的头上，把猫头理想化为一个半径为5厘米的球，这个球与“防舔圈”口径小的圆台底面相切且与圆台侧面相切，为了舔不到伤口，头到口径大的圆台底面的距离不小于2厘米，则口径小的底面半径最小为____________厘米. 【答案】 【分析】作如图轴截面，设，且，根据面积相等，可得，从而求得的最小值. 【详解】作如图轴截面，分别记口径小的圆台底面，及口径大的圆台底面圆心为，半径为. 球的球心为，半径为. 过作于点. 设，且，设， 则. 因为， 所以， 整理得. 因为，且， 所以，即，解得. 所以的最小值为，所以的最小值为，即口径小的底面半径最小为厘米. 17.(25-26高三上·江苏南通·阶段检测）设向量，函数，则称函数为向量的友好函数，称向量为函数的友好向量. (1)设函数求函数的友好向量； (2)若向量的友好函数在处取得最大值，求； (3)设向量的友好函数，方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围. 【分析】（1）利用两角差的正弦公式对展开，结合题目中的定义即可得解； （2）利用辅助角公式及正弦函数图象求出，再利用倍角公式即可求出答案； （3）将方程化为，令，作出的图象，数形结合即可求解. 【详解】（1）因为， 所以函数的友好向量为. （2）向量的友好函数为（其中）， 函数在处取得最大值，即， 所以， 则由万能公式得. （3）由题意，向量的友好函数， 方程为， 则方程有四个实数解， 所以有四个实数解， 令， ①当， ②当， 据此作出的图象： 由图可知，当时，函数与有四个交点，即实数的取值范围为. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招40 三角变换中的七组秒杀公式： 正弦平方差、正切恒等式、倍角变形、正切半角三叉戟、万能公式、积化和差和差化积、三倍角公式 知识点01 正余弦对偶 若已知条件式中同时含有正弦、余弦，有时可将正弦换成余弦，余弦换成正弦，从而构造对偶式，通过加减消元整体求解. 例如，若已知，要求等三角函数值，可以进行如下操作： 将对偶成，左边的加号对偶成减号，而则对偶成，变换后，式子的结果必然不会再是，此时可以设其结果为，从而得到如下方程组： 再让两边同时平方再相加，可得，从而可出或 的值. 【注意】如果只变中间的加、减号就是加减对偶，如果只变正、余弦（不变加减号），就叫纯正余弦对偶. 知识点02 加减对偶 加减对偶法是三角函数中一种巧妙的变换技巧，加减对偶法此方法在求值、证明恒等式、解三角形中广泛应用，能有效避开复杂运算，快速找到对称关系. 一种思路是将原式中的加法改为减法，减法改为加法，从而构造与原式“对偶”的式子，通过两式相加或相减，消去部分项，从而简化求解, 另一种思路是利用和差化积、积化和差公式实现加减转化. 例如，已知，求时，可设，，利用和差化积公式，得，。两式相除可求，相加或相乘可求其他量. 知识点03 关于三角变换对偶的二级结论 若，则可用对偶法推出一般式的结论： 若，且或，则恒有． 知识点03 勾股数法秒解三角函数值 1．对于一些涉及角的正弦、余弦、正切函数的三角式，可将所给的三角函数值同常见的勾股数联系起来，再结合三角函数的定义秒求得其他同角三角函数值. 如已知，可联想勾股数（3，4，5），即令y=3或-3，则x=4或-4，r=5，从而，. 2．注意速记一些常见的勾股数，然后利用直角三角形处理 ， . 题型01 勾股数法求值 【典例1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故， 则原式. 秒解：由，可取勾股数（3，1，），即x=3，y=1，r=， 所以， 所以=. 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【详解】已知为锐角，，所以可取勾股数，即, 所以， 则， 故． 2．已知的值为 （ ） A．﹣1 B．﹣2 C． D．2 【答案】D 【详解】常见的勾股数处理 由题干可以知道用到的勾股数为, , 代入得. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，，则________，________． 【答案】， 秒杀解（勾股数法）：因为，， 所以可取角x对应的勾股数（4，3，5），则，从而秒解得 ，. 题型02 正余弦对偶法求值 【典例2-1】已知的值为 （ ） A．﹣1 B．﹣2 C． D．2 【答案】D 【详解】方法一：特殊值法： 因为所以可取则， 直接秒出答案： 方法二：正余弦对偶式处理 ,两式平方相加得 ， , 代入得. 方法三：常见的勾股数处理(见题型一的跟踪训练3) 【典例2-2】求证：． 【分析】本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的思想方法，构造对偶式，则证之极易，且富有美感！ 【详解】证明：由题意， 设， ， 则．① ．② ①＋②，得，，命题得证． 【方法归纳】在高中数学中，对偶法在三角函数中的应用十分广泛.对偶法是通过构造形式相似、具有某种对称关系的对偶关系式，并通过这对对偶关系式进行和、差、积等运算，进而解决数学问题的方法.在三角函数中，有一类求值问题可以利用正弦、余弦函数构造对偶式，利用对称思想来求解. 【跟踪训练】 1．的值为 . 【答案】 【详解】设原式为S，构造正余弦对偶式。 计算，利用积化和差公式，展开后化简，可得。 由于T≠0，两边同时除以T，即可得，即原式结果为. 【反思】正余弦对偶法构造对偶式时，需保证两式的角度、项数完全匹配，避免角度偏差导致的运算错误；若对偶式乘积不为最简，可结合的展开结果联立求解. 2．求的值为 . 【答案】 【详解】设原式为S，构造正余弦对偶式。 计算，利用二倍角公式化简，可得，代入角度诱导公式化简后可得。 由于T≠0，两边同时除以T，即可得，即原式结果为. 3． 的值为 . 【答案】 【详解】构造正余弦对偶式解此题，令 两边相加得 ． 两边相减得 ， 从而有 ，则有 ． 光速解：用二级结论秒杀：若，且，且或，则恒有．（详见知识点03） 所以 题型03 加减对偶法值 【典例3-1】25-26高二·全国·暑假作业）已知，，则________，________． 【答案】， 【分析】利用、与的关系，结合所处象限可得空一；结合所得可求出、，再利用同角三角函数基本关系可得空二. 【详解】通法：由，平方得， 即，所以， 又因为，所以，， 则，所以； 由，， 则，， 故. 秒杀解（利用正余弦对偶法）:根据条件构造对偶式， 两式平方相加得，解得t=， 又，所以t<0,即， 所以 则，， 故. 秒杀解（勾股数法）：见题型01跟踪训练3 【典例2-2】的值为 【答案】 【详解】法一：加减对偶法 令 ，则有 ，从而有 。 法二：和差化积公式: . 【跟踪训练】 1．（2026高一·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原式 . 故选：C. 秒解（加减对偶法）：令 ，则有 ， 从而有 . 2．已知为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意，得到，，再由同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】因为是第二象限角，所以，， 又，所以， 即，得， 所以. 故选：C. 秒解（加减对偶法）：因为，所以可设， 两式平方相加得，解得， 又为第二象限角，所以，所以. 3．（25-26高一下·北京延庆·期中）若x为钝角，，则的值为______. 【答案】 【详解】，故， 故. 因为，所以可设， 两式平方相加得，解得， 所以，所以 又为第二象限角，所以，所以. 1．（25-26高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 秒解：由，可取勾股数（1，2，），则， 所以. 2．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， . 秒解：因为，，所以可令x=-3，y=4，r=5，则 ， . 14．（25-26高一下·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由,得; 同除以,得 由得, 代入化简得, 即, 解得， 则. 1． 的值为（ ） A． B. C. D.1 【答案】A 【详解】记（由诱导公式）。 设 ，则 ，但更经典： ，所以 ，即 。 因此 . 2．若 ，且 ，则的值为（ ） A. B. C. . D.1 【答案】C 【详解】构造对偶式： 则 ，得 再由 ，得： . 3. 的值为（ ） A. B. C.1 D.2 【答案】B 【详解】令 ， 构造对偶式： ， 则 6．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）已知，且，则________，________． 【答案】 ， 【详解】因为，则，解得 又，且，所以， 又，所以， 由，解得，所以， 则. 秒解（加减对偶法）： 因为，则，解得 又，且，所以， 因为，所以可设， 两式平方相加得，解得， 由，解得，所以， 则. 7．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 【答案】/0.75 【详解】根据二倍角的余弦公式，有，， 根据和差化积公式，有， 根据积化和差公式，有， 因此. 秒解：由知识点03的秒杀公式得 . 【例17】 已知 ，解方程： 【解析】 若 令 ，构造 对偶式： 则： ① ② 由①+②得： ， 又 或 或 或 或 . 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $