解题大招11 十二个大招速求函数解析式(含拉格朗日插值法、嵌套换元法（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以“十二大招”系统整合求函数解析式的方法体系，从函数表示法基础到常规与非常规解法，构建“概念-方法-应用”递进逻辑，培养数学思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |十二大招|每招含1典例+2-5跟踪训练|涵盖代入法、待定系数法等8种基本方法及拉格朗日插值法等4种非常规方法，明确操作步骤与适用场景|以函数三种表示法为基础，按“已知类型→复合函数→特殊性质→高阶技巧”分层递进，典例覆盖高考高频题型|

解题大招11 十二个大招速求函数解析式 知识点01 函数的三种表示方法 表示法 含义 定义域 值域 示例 解析法 用含自变量的解析式表示两个变量之间函数关系的方法 使解析式有意义的自变量取值的集合 因变量的取值范围 定义域：， 值域： 列表法 列出表格来表示两个变量之间函数关系的方法 表格中自变量取值的集合 表格中相应取值的集合 定义域：， 值域： 图象法 用图象表示两个变量之间函数关系的方法 图象在轴上的投影对应的取值的集合 图象在轴上的投影对应的取值的集合 定义域： 值域： 知识点02 求函数解析式的方法 1.八大基本方法 代入法、配凑法、直接换元法、待定系数法、解方程组法、图象法、赋值法、奇偶性法 2.四大非常规方法 拉格朗日插值法、夹逼法、嵌套换元法、对称法 大招01 直接代入法 已知的解析式，求的解析式时，只要直接将x用代替，代入即可求得解析式. 【典例1】已知函数. (1)比较，的大小； (2)求的值. 【跟踪训练】 1. 已知函数，则 ，= . 2．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（3）已知函数，则= . 大招02 待定系数法 已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）求解析式时，先设出含有待定系数的解析式，将已知条件代入，再利用恒等式的性质建立关于待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应的系数. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数满足，，则的解析式为 . 2.（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 3．(2026·山西·二模）已知是五次函数，若是方程的三重根，是方程的三重根，则的解析式是________. 大招03 配凑法 已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式. 【典例3】（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知函数，且函数的定义域为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 大招04 直接换元法 已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“换元法”，令=t，用t表示出x，代入的解析式，得到的解析式，再将t换成x，便得的解析式. 【典例4】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高三上·湖南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 大招05 方程组法 在已知中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法. 【典例5】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为______. 4．（2025高三上·上海·专题练习）已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 大招06 图象法 方法一：先确定函数类型（如一次，二次,分段函数等），再根据图象上的关键点（顶点、交点、特殊点），代入设出的解析式，列方组（组）求解系数，最后验证. 方法二：取图象上的特定点代入各解析式排除错误的选项，并结合图象中呈现出的定义域、值域、对称性、单调性以及奇偶性等确定出正确的函数解析式. 【典例6】（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图象如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 4．(多选)（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）如图所示为函数的图象，则其解析式可能为（    ） A． B． C． D． 大招07 奇偶性法 利用函数的奇偶性求函数的解析式的步骤： 第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 第二步：将代入题干已知的表达式中； 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 注意：求函数值时由内到外依次求值. 【典例7】（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 3．（2025·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川阿坝·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（    ） A． B． C． D． 5．（2026·天津河东·一模）已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 大招08 赋值法 利用函数的奇偶性求函数的解析式的步骤： 第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 第二步：将代入题干已知的表达式中； 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 注意：求函数值时由内到外依次求值. 【典例8】（25-26高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设函数满足，且对任意、都有，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 3．（25-26高三上·北京东城·期末）已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 4．（17-18高三上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 大招09 对称法 利用函数图象对称中心，对称轴求其解析式时要注意熟记以下结论： 定理1若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得） 推论1. 函数与函数的图象关于直线对称. 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图象关于直线x = a成轴对称. 推论2 .函数与函数的图象关于直线对称. 推论3 函数与函数的图象关于直线对称. 函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 定理2 若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称. 推论1. 函数与函数图象关于点对称. 推论2.函数的图象关于点对称的解析式为推论３. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图象关于点A (a ,b)成中心对称. 推论3.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） (1)曲线与关于x轴对称. (2)曲线与关于y轴对称.　 (3).函数y = f (x)的图象与x = f (y)的图象关于直线x = y 成轴对称 (4)曲线与关于直线对称. (5)曲线关于直线对称曲线为. (6)曲线关于直线对称曲线为. 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图象关于直线x +y = a成轴对称. (7)曲线关于直线对称曲线为. 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图象关于直线x－y = a成轴对称. 8.曲线关于点对称曲线为. 【典例9-1】.与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】（24-25高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·河南平顶山·阶段检测）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·广东·开学考试）下列函数与关于对称的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 大招10 嵌套换元法 对于嵌套函数的解析式，一般采用嵌套换元法求解.这类题型套路固定，一般先两次换元，然后猜根，即可求得解析式． 【典例10】已知函数为单调函数，且对任意实数，都有，则 （ ） A．0 B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知 是定义在上的单调函数，满足，且 ，若 ，则与的关系是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽池州·二模）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是奇函数 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 大招11 拉格朗日插值法 法国著名数学家约瑟夫•路易斯•拉格朗日提出了一个求二维平面上过若干个已知点的多项式函数的方法——拉格朗日插值法，这里仅简要提及其在求二次函数表达式上的应用，以拓展大家的视野. 结论：若二次函数的图像过三个已知点 ，由拉格朗日插值法可得其解析式为. 【典例11】已知二次函数的图象经过 A(0,-1), B(1,0)，C(-1,2)三点，则的解析式为= 【跟踪训练】 1．已知二次函数满足，，，则的解析式为= . 大招12 夹逼法则法 所谓“夹逼原则”即：。从集合角度理解：。推广形式为：。在解决某些数学问题时，运用“两边夹”，实现不等关系向等量关系的转化，由运动变化状态向静止状态的转化，运用数学化归的思想，进而达到简化问题，求解问题的目的. 【典例11】若是定义在上的函数，对于任意实数都有和 ，且，则 【跟踪训练】 1．已知对任意 和正整数，有，则的解析式为 . 2．已知的图象过 ，是否存在常数，使不等式对一切实数恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1．已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）若，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增 C． D．函数在上单调递减 6．（2026·浙江·模拟）已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（    ） A．2 B．5 C． D．3 7．(多选)（2026·山东菏泽·模拟）如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）emoji（中文名：绘文字，别称：“小黄脸”）最早源于日本，是指在无线通信中所使用的视觉情感符号，可用来代表多种表情．如今emoji表情已经风靡全球，大有“无emoji，不聊天”的趋势．题图1的“微笑脸”是交流沟通中最常使用的表情符号之一．我们可以用一些适当的函数图象或者是方程的曲线来绘制其近似图象，如题图2．其中，可用曲线勾勒脸庞，用曲线，近似两只眼睛．下列四个函数中，可用其图象来近似描绘嘴巴形状的有（    ） A． B． C． D． 9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）对任意，函数都满足，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．直线是曲线的切线 10.（25-26高三上·上海浦东新·期末）若函数的图像关于直线对称，则a的值是 ． 11．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 12．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______． 14．（2025高三·全国·竞赛）设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招11 十二个大招速求函数解析式 知识点01 函数的三种表示方法 表示法 含义 定义域 值域 示例 解析法 用含自变量的解析式表示两个变量之间函数关系的方法 使解析式有意义的自变量取值的集合 因变量的取值范围 定义域：， 值域： 列表法 列出表格来表示两个变量之间函数关系的方法 表格中自变量取值的集合 表格中相应取值的集合 定义域：， 值域： 图象法 用图象表示两个变量之间函数关系的方法 图象在轴上的投影对应的取值的集合 图象在轴上的投影对应的取值的集合 定义域： 值域： 知识点02 求函数解析式的方法 1.八大基本方法 代入法、配凑法、直接换元法、待定系数法、解方程组法、图象法、赋值法、奇偶性法 2.四大非常规方法 拉格朗日插值法、夹逼法、嵌套换元法、对称法 大招01 直接代入法 已知的解析式，求的解析式时，只要直接将x用代替，代入即可求得解析式. 【典例1】已知函数. (1)比较，的大小； (2)求的值. 【分析】是分段函数，(1)为多层求值，应由内向外求解；（2）中,应先判断所在的范围，从而代入相应的解析式求值. 【解析】 (1) 同理可求得 <. (2) 【跟踪训练】 1. 已知函数，则 ，= . 【答案】； 【解析】， 2．（25-26高三上·浙江杭州·期中）（3）已知函数，则= . 【答案】； 【解析】由题设，时，时，时， 所以. 大招02 待定系数法 已知函数的类型（如一次函数、二次函数等）求解析式时，先设出含有待定系数的解析式，将已知条件代入，再利用恒等式的性质建立关于待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出相应的系数. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 【跟踪训练】 1.（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数满足，，则的解析式为 . 【答案】 【解析】设， 则，解得， 所以. 2.（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【解析】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 3．（2026·山西·二模）已知是五次函数，若是方程的三重根，是方程的三重根，则的解析式是________. 【答案】 【解析】由题知是四次函数，则0，1是方程的二重根， 不妨设， 则. ，. 又，. . 大招03 配凑法 已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“配凑法”，即从的解析式中凑出，再将解析式两边的换成x，便得的解析式. 【典例3】（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以． 故选：D. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A 2．（24-25高三上·江苏连云港·期中）已知函数，且函数的定义域为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由，则， 又函数的定义域为，即， ， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 且，或， 当且仅当即时取等.所以.故选：D. 大招04 直接换元法 已知复合函数的解析式，求的解析式，可采用“换元法”，令=t，用t表示出x，代入的解析式，得到的解析式，再将t换成x，便得的解析式. 【典例4】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，因为，则， ， 所以. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 2.（24-25高三上·湖南·期中）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，得，则，则． 故选：C． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，， 由， ∴， ∴． 故选：B． 大招05 方程组法 在已知中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时可根据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标函数的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法. 【典例5】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，（1） 在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且 故选：B. 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得： ， 两式联立可得：， 所以，， 因为， 所以， 所以的值域为， 故选：A 2．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为______. 【答案】 【解析】由得， 联立两式解得. 故答案为：. 4．（2025高三上·上海·专题练习）已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 【答案】 【解析】因为， 令得，所以； 当时， 令得，则①， 又②， 用替换可得③， 由②③，可得， 将①式代入，可得， 又，两式相加，整理得， 显然当时也成立， 所以. 大招06 图象法 方法一：先确定函数类型（如一次，二次,分段函数等），再根据图象上的关键点（顶点、交点、特殊点），代入设出的解析式，列方组（组）求解系数，最后验证. 方法二：取图象上的特定点代入各解析式排除错误的选项，并结合图象中呈现出的定义域、值域、对称性、单调性以及奇偶性等确定出正确的函数解析式. 【典例6】（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 【跟踪训练】 1．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图象如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】图象中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图象中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图象）； 时，，，且时，，符合图象左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图象特征. 2．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，取，则令，解得：，其中，即：和轴有无数个交点，所以A错误； B选项，取，则，令，得或，令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，，所以B正确； C选项，取，则函数定义域为，且，所以是偶函数，所以C错误； D选项，，由可得，由图知，D错误. 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从图象上看，的图象不关于轴对称， 选项A，是奇函数，对称轴为， 所以对称轴为， ，为单调递增函数，为单调递增函数， 则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确； 选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误； 选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数， 则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误； 选项D，，不满足题意，故D错误； 4．(多选)（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）如图所示为函数的图象，则其解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，再结合特殊值，以及函数值的分布，排除选项，即可判断. 【解析】由题图可得函数的定义域为，且为偶函数，选项中的函数为奇函数，故选项错误； 对于选项，定义域为，且，是偶函数，当时，，令得函数在上只有一个零点，又，与图象不符，故选项错误； 对于B选项，定义域为，且，是偶函数， 当时，，令得函数在上只有一个零点，当1时，，满足图象，故选项正确； 对于选项，定义域为，且，是偶函数， 当时，，满足图象，故选项正确. 故选:BC. 大招07 奇偶性法 利用函数的奇偶性求函数的解析式的步骤： 第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 第二步：将代入题干已知的表达式中； 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 注意：求函数值时由内到外依次求值. 【典例7】（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以代x，由①，得②， 则①②，得，则． 故选：A 【跟踪训练】 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，. 选项A，为上的奇函数，且，，符合题意； 选项B，是非奇非偶函数，不合题意； 选项C，是定义在上的偶函数，不合题意； 选项D，是定义在上的奇函数，， ，不合题意. 2．（25-26高三下·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 3．（2025·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 由奇函数的定义可得. 故选：C 4．（25-26高三上·四川阿坝·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则当时，，有， 又函数是奇函数， 则， 故当时，. 故选：D. 5．（2026·天津河东·一模）已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】①设二次函数，则 又为偶函数，所以， 因为是奇函数，所以，即 化简得，即， 又，所以，所以 又，所以，解得 所以，， ②令，， 则可化为： ， ， 两边除以得 令，则，设， 对称轴为，，故最大值为 若， 恒成立，则，故的取值范围是 大招08 赋值法 利用函数的奇偶性求函数的解析式的步骤： 第一步：设出所求区间的自变量,取相反数； 第二步：将代入题干已知的表达式中； 第三步：利用奇偶性求出的表达式. 注意：求函数值时由内到外依次求值. 【典例8】（25-26高三上·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，所以， 令，则， 所以， 令，则，所以， 令，则， 所以， 则当时，， 则 ， 当时，上式也成立， 所以， 所以. 故选：C. 【跟踪训练】 1.设函数满足，且对任意、都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意、都有，且， 令，得， 令，可得，， 因此，. 故选：A. 2．（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 【答案】（任意满足条件的即可） 【解析】，则在上满足指数函数性质， 又时，，则在上是增函数，可取， 因为是偶函数，所以可取．（任意满足条件的即可） 3．（25-26高三上·北京东城·期末）已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为，且.所以当时，满足题意. 所以满足条件的一个函数解析式. 故答案为：. 4．（17-18高三上·上海金山·期末）设是定义在上的函数，，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为______． 【答案】 【解析】是定义在上的函数，， 且对任意，，恒成立， 令，得， 则， 此时， 而， 则，满足题意， 所以. 故答案为：. 大招09 对称法 利用函数图象对称中心，对称轴求其解析式时要注意熟记以下结论： 定理1若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得） 推论1. 函数与函数的图象关于直线对称. 函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图象关于直线x = a成轴对称. 推论2 .函数与函数的图象关于直线对称. 推论3 函数与函数的图象关于直线对称. 函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. 定理2 若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称. 推论1. 函数与函数图象关于点对称. 推论2.函数的图象关于点对称的解析式为推论３. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图象关于点A (a ,b)成中心对称. 推论3.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） (1)曲线与关于x轴对称. (2)曲线与关于y轴对称.　 (3).函数y = f (x)的图象与x = f (y)的图象关于直线x = y 成轴对称 (4)曲线与关于直线对称. (5)曲线关于直线对称曲线为. (6)曲线关于直线对称曲线为. 函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图象关于直线x +y = a成轴对称. (7)曲线关于直线对称曲线为. 函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图象关于直线x－y = a成轴对称. 8.曲线关于点对称曲线为. 【典例9-1】.与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，可知点在曲线，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得结果. 【解析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点， 则点关于原点的对称点在曲线上，所以，， 化简得，因此，与曲线关于原点对称的曲线为.故选：A. 【典例9-2】（24-25高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·河南平顶山·阶段检测）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求函数的图象上任意一点，则点关于对称的点为， 由题意知点Q在的图象上，可得， 即函数关于对称的函数解析式为． 故选：D． 2．（25-26高三下·广东·开学考试）下列函数与关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于对称的是，即. 故选：C 3．（25-26高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可. 【解析】设函数的图象为曲线，该曲线关于对称的曲线为， 设曲线上任意一点的坐标为，则有， 该点关于直线对称点的坐标为， 因此有，代入中， 得， 故选：C 4.（25-26高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论. 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 大招10 嵌套换元法 对于嵌套函数的解析式，一般采用嵌套换元法求解.这类题型套路固定，一般先两次换元，然后猜根，即可求得解析式． 【典例10】已知函数为单调函数，且对任意实数，都有，则 （ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】首先令，则有；再令，则有.高中阶段此类超越方程均需猜根，易知时满足方程，则有，则有，从而选 D. 【跟踪训练】 1．已知 是定义在上的单调函数，满足，且 ，若 ，则与的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则有且有，令，则有，简单反猜得 ，从而有，则有．因为，故有，故有. 2．（2026·安徽池州·二模）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】D 【解析】令可得：， 再令，可得， 即函数为一次函数， 设，代入给定等式， 左边：， 右边： 对比系数得： 若，得，，与无交点，舍去； 若，得，即，验证满足原等式. 已知，即，得， 对于选项A：，错误； 对于选项B：，错误； 对于选项C：，显然不是奇函数，错误； 对于选项D，令，定义域为R， 满足，是奇函数，正确. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【解析】定义在上的函数满足， 取，得，则， 取，得，于是， 而，则， 当时，， 因此，， 则， 所以，. 故选：C 大招11 拉格朗日插值法 法国著名数学家约瑟夫•路易斯•拉格朗日提出了一个求二维平面上过若干个已知点的多项式函数的方法——拉格朗日插值法，这里仅简要提及其在求二次函数表达式上的应用，以拓展大家的视野. 结论：若二次函数的图像过三个已知点 ，由拉格朗日插值法可得其解析式为. 【典例11】已知二次函数的图象经过 A(0,-1), B(1,0)，C(-1,2)三点，则的解析式为= 【答案】 【解析】由上述朗格朗日插值法知： . 【跟踪训练】 1．已知二次函数满足，，，则的解析式为= . 【答案】 【解析】 大招12 夹逼法则法 所谓“夹逼原则”即：。从集合角度理解：。推广形式为：。在解决某些数学问题时，运用“两边夹”，实现不等关系向等量关系的转化，由运动变化状态向静止状态的转化，运用数学化归的思想，进而达到简化问题，求解问题的目的. 【典例11】若是定义在上的函数，对于任意实数都有和 ，且，则 【答案】2026 【解析】因为，则有，从而有 ，则有 +1 ，即．由夹逼法则知只能有 ，从而知 ． 【跟踪训练】 1．已知对任意 和正整数，有，则的解析式为 . 【答案】 【解析】由已知不等式：，当时，，计算极限： ，根据夹逼原则， 等于这个共同的极限： . 2．已知的图象过 ，是否存在常数，使不等式对一切实数恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】因为图象过，从而有，即； 又易知，则有，则有， 则有 ； 因为对恒成立，则有对恒成立， 则有且， 则有；这时有 ， 因为，从而说明， 即当且时满足条件，从而得解. 1．已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】，且，所以，. 故选：B. 2．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 3．（25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测）已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 4．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数， 设，则， 所以 可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选:B. 5．（2025高三·全国·专题练习）若，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数为奇函数 B．函数在上单调递增 C． D．函数在上单调递减 【答案】C 【解析】由得：，则图象关于对称， 当时，，， ，作出图象如下图所示， 由图象可知：不关于坐标原点对称，不是奇函数，A错误； 在上单调递减，B错误； ，C正确； 在上单调递增，D错误. 故选：C. 6．（2026·浙江·模拟）已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（    ） A．2 B．5 C． D．3 【答案】D 【解析】由任意的，均有， 由带入可得： ， 所以 所以， 由为减函数，所以 所以 即 由， 所以， 化简整理可得， 所以或， 由为减函数所以， 故当时， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 7．(多选)（2026·山东菏泽·模拟）如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由图象可知当时，， 而A中函数当时，， B中函数当时，，故A和B不可能； C中函数的定义域是，与图象不符，故C不可能. 对于，当时，，当时，， 当时，，所以D符合， 故选：ABC. 8．（多选）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）emoji（中文名：绘文字，别称：“小黄脸”）最早源于日本，是指在无线通信中所使用的视觉情感符号，可用来代表多种表情．如今emoji表情已经风靡全球，大有“无emoji，不聊天”的趋势．题图1的“微笑脸”是交流沟通中最常使用的表情符号之一．我们可以用一些适当的函数图象或者是方程的曲线来绘制其近似图象，如题图2．其中，可用曲线勾勒脸庞，用曲线，近似两只眼睛．下列四个函数中，可用其图象来近似描绘嘴巴形状的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A：令，则是以为顶点，以轴为对称轴的函数，开口向上，且，正确； B：令， 则，明显，不是偶函数，错误； C：，， 令， 则， 则为偶函数， 又，， 不符合题意，错误； D：，， 令， 则， 则为偶函数， 又，，正确. 故选：AD. 9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）对任意，函数都满足，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D．直线是曲线的切线 【答案】ACD 【解析】令，则有， 所以，故A正确； 因为， 所以对任意均成立， 当取任意值，取定值时，为常数， 当取任意值，取定值时，为常数， 所以与等于同一个常数， 设， 令，则， 解得，故B错误； 由，得， 所以在上单调递增，故C正确； 因为，所以， 令，得， 又，所以直线是曲线在处的切线，故D正确. 10.（25-26高三上·上海浦东新·期末）若函数的图像关于直线对称，则a的值是 ． 【答案】 【解析】设是函数的图像上任一点，即， 关于直线对称的点也在函数的图像上，即，整理为， 即，即. 11．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 12．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【解析】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【解析】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 14．（2025高三·全国·竞赛）设函数对一切实数满足，且，则函数_____. 【答案】 【解析】令，则可得，， 又， 令，则，且， 于是为偶函数，同理， 注意到， 假设存在某个，使得，不妨令， 则，当时，左边，而右边，矛盾. 因为为偶函数，故当时同样矛盾， 当时，则，，同理可证， 再根据偶函数可证当也是矛盾的， 综上，对一切实数，有， 当时，有可得，又因， 故对一切实数都有 故答案为： 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $