专题07 二次函数（3年汇编）（四川专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦四川中考二次函数专题，汇编近3年真题及模拟题，覆盖图象性质与压轴题两大核心考点，题型含选择、填空、解答，精准匹配考情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约50题|多结论判断（如符号、对称轴）、函数值比较、最值与区间（含参讨论）、图象变换（平移旋转）、实际应用（小球高度、矩形面积）、新定义（倒数点、近轴点）|以多结论判断题为主（占比超70%），成都等市偏好新定义小题| |解答题|约60题|解析式求解、面积/线段最值（铅垂高法）、存在性问题（等腰/直角三角形、平行四边形）、新定义（顶点弦、二级抛物线）、实际应用（利润最大化）|3小问递进结构（送分-中档-拉分），常与一次函数、圆、相似三角形综合|

专题07 二次函数 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 二次函数（图象与性质） 三年全省全覆盖 以选择题为主、填空题为辅，是四川各地市必考题。① 多结论判断题为绝对主流（占比超 70%）：给出抛物线图象或部分条件，列出①②③④等 4~5 个结论（涉及 a、b、c 符号、对称轴、判别式、特殊点函数值、方程根的范围等），判断正确结论的个数；② 函数值大小比较：已知三点横坐标比较纵坐标大小，或利用增减性与对称性；③ 最值与区间：给定自变量范围求二次函数最值，含参讨论对称轴位置；④ 图象平移与变换：左右平移后关于坐标轴对称、绕顶点旋转等；⑤ 实际应用：竖直上抛小球高度、矩形最大面积、围栏围地等建模求最值；⑥ 新定义小题："近轴点"" 倒数点 ""定义运算" 等阅读理解型问题（成都、乐山偏好）。 考点 02 二次函数压轴题 三年全省全覆盖 四川中考解答题最后一题必考、分值最高（10~12 分），全省每市每年 1 道。典型结构为3 小问递进：① 第 1 问（送分）：用待定系数法求抛物线解析式，或求顶点、交点坐标；② 第 2 问（中档）：动点背景下的面积最值（铅垂高法）、线段和最小值、三角形周长最值、点到直线距离最值等；③ 第 3 问（压轴拉分）：存在性问题为主流 —— 在坐标轴或抛物线上找点，使三角形为等腰 / 直角三角形、构成平行四边形 / 菱形 / 矩形，或相似三角形、角度定值（45°、相等角）问题；④ 新定义压轴（成都卷标志性题型）："顶点弦"" 二级抛物线 ""半根函数"" 界密点 ""阶方点" 等，先给定义再探究性质，考查现场学习与迁移能力；⑤ 实际应用压轴：利润最大化（眉山 "川超" 体育经济）、几何图形中动点面积等，偶有出现；⑥ 常与一次函数、反比例函数、圆、相似三角形、三角函数综合，是全卷区分度最高的题。 考点01 二次函数（图象与性质） 1．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C． D． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 6．（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 9．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 10．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 11．（2026·四川达州·中考真题）二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2026·四川成都·中考真题）已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 13．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 14．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 15．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 16．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 17．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 18．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 19．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点，，在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 25．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 26．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 27．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 31．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 32．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 35．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 36．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 41．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 42．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在边长为1的等边三角形中，D为边上的动点（不与端点重合），过点D作于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分） ①； ②； ③设，则的面积S是关于x的二次函数； ④仅存在一点D，使得． 44．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 45．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 46．（2026·四川乐山·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的，， ， 称为三角形数，第二行的，，， 称为四边形数，第三行的， ， ，称为五边形数． （1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）： ①；        ②；        ③． （2）我们将 边形数中第 个数记为．已知，，则_________．（用含有 的代数式表示） 47．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 48．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 49．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 50．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为3 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 51．（2024·四川·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为______． 52．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______． 53．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则________（填“＞”或“＜”）； 54．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 55．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是_____．（填写序号） 56．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（请填写序号）． 57．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________． 考点02 二次函数压轴题 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 3．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接．试判定的形状，并说明理由； (3)如图，点、是直线上两动点，且．求面积的最小值． 5．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 6．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 7．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)求A、两点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点． ①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 8．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 9．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接，已知点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点P是直线上一个动点，连接， ，当的长度最小时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上一个动点，当时，请直接写出点Q的坐标． 10．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 11．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b为常数，）的图象与轴分别交于点，点，与轴交于点，，． (1)求二次函数的解析式； (2)①连接，点是第一象限内抛物线上的一动点，当点到的距离最大时，求点的坐标； ②在①的条件下，点，分别是轴和抛物线对称轴上两个动点，且轴，连接，，，求的最小值； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 13．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 14．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 15．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与抛物线相交于，两点．，两点在抛物线上，且． (1)若点的坐标为，求的值和点的坐标； (2)在（1）的条件下，记，两点的横坐标分别为，（），当时，函数总在处取得最大值，求的取值范围； (3)若，直线，的交点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标和的值． 16．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 17．（2026·四川泸州·中考真题）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点，且关于直线对称，求二次函数的解析式； (2)当时，该二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，且是等腰三角形，求的面积； (3)当时，点，在该二次函数的图象上，若，求二次函数在上的最大值的取值范围． 18．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 20．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 21．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 22．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 23．（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 24．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标； (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． 25．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 26．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 27．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 28．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 29．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 30．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 31．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 32．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 33．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 34．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 35．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 37．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 39．（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 40．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．     (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 41．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 42．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 43．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．连接和，点P在抛物线上运动，连接，和． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点，连接，，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积； (3)在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 45．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 46．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 47．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    48．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 49．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 50．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 53．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 54．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 55．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 56．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 57．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 58．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 59．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 60．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 61．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 62．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 63．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 64．（2024·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及P点坐标； (2)抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段的长； (3)过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M，N，直线交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，轴于点H．请判断点H与直线的位置关系，并证明你的结论． 1．（2026·四川广元·三模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，，其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川成都·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C． D．当时，抛物线的顶点坐标为 3．（2026·四川南充·三模）在直角坐标系中，抛物线：与直线：交于，两点，线段的端点分别在线段和抛物线上，并与轴垂直．下列说法：①抛物线的顶点最高为；②的最大值与无关；③若为抛物线的顶点(点A在点B的左侧)，则；④总能成立；⑤当对应函数值时，．成立的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 5．（2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 6．（2026·四川达州·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2026·四川遂宁·三模）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（     ）个． A． B． C． D． 8．（2026·四川乐山·一模）在平面直角坐标系中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，y随x的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 9．（2026·四川广元·三模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线，那么过点和点 的直线一定不经过（     ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（2026·四川成都·三模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴负半轴的交点横坐标在和之间．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·四川乐山·一模）定义：把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“二级抛物线”． （1）抛物线的“二级抛物线”是_____； （2）若直线与（1）中的抛物线交于不同的两点、，且满足，则实数的取值范围是_____ 12．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕着点旋转得到抛物线．已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，则的取值范围是______． 13．（2026·四川成都·二模）两个整式，，称为整式与整式的求和运算，记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次求和操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作；；以此类推，则第五次求和操作的结果________；若，则对正整数，有________个不同的值． 14．（2026·四川成都·二模）定义：一个二次函数与x轴有两个交点，且其中一个交点的横坐标是另一个交点的横坐标的一半，称该二次函数为半根函数．例如，二次函数与x轴的交点坐标为，，1是2的一半，所以二次函数是半根函数；二次函数与x轴的交点坐标为，，不是2的一半，所以二次函数不是半根函数．下列说法正确的有______． ①二次函数是半根函数 ②若函数是半根函数，则 ③若函数是半根函数，且对称轴为直线，则 ④若点在直线上，且函数是半根函数，则 15．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，若且，则的取值范围为______． 16．（2026·四川成都·二模）定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称为中心点，点是的“界密点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界密点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心，关于的二次函数（是常数）．将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若上存在的“界密点”，则的取值范围是___． 17．（2026·四川南充·二模）抛物线的对称轴在轴右侧，点，，都在抛物线上，若，则的取值范围是________． 18．（2026·四川成都·三模）已知关于的方程的两实根为，，则的最小值是________． 19．（2026·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）抛物线的顶点坐标_____（用含a的式子表示）； （2）和是抛物线上的两点，若对于，都有，则a的取值范围是_____． 20．（2026·四川成都·模拟预测）函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．若一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，则__________；若二次函数图像的“阶方点”一定存在，则的取值范围是__________． 21．（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 22．（2026·四川成都·模拟预测）已知抛物线（是常数）的顶点为，抛物线． (1)求点坐标（用含代数式表示），并求证：点在抛物线上； (2)当时，的图象与轴交于、两点，点在点的左侧． ①若抛物线与的图象除顶点以外的另一个交点为，过点作直线轴，过点作，垂足为点，连接，．当时，求的值； ②在①的条件下，过点作轴的垂线，分别交和于点，；过点作轴的垂线，分别交和于点，；当时，求的值． 23．（2026·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线的对称轴上一点，且抛物线与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，若是以为直角顶点的直角三角形，且，求点和点的坐标； (3)如图2，是抛物线上的两个动点（点在点的左侧），点在同一直线上，过点作轴的垂线，交直线于点．是否存在实数，使得总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是．抛物线经过A、B、C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并给予证明； (3)设动点M从点A出发沿着x轴向着点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点M运动t秒时，的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②设点M在线段上运动时，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当为直角三角形时，求t的值． 25．（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 26．（2026·四川成都·三模）抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标； (2)如图1，已知P为抛物线上对称轴右侧一点，Q为x轴下方直线上一点，若以B，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标； (3)如图2，N是抛物线顶点，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 考点01二次函数 1.C 2.B 3.A 4.B 5.B 6.B 7.B 8.D 9.D 10.A 1.c 2.c 13.B 4.c 15.B 16.D 17.C 18.C 19.c 20.B www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07二次函数 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 (图象与性质) 1/203 可学科网 21.c 22.B 23.C 24.B 25.A 26.D 27.D 28.D 29.B 30.D 31.D 32.C 33.C 34.C 35.B 36.D 37.B 38.A 40.C 41.A 42.C 43.①②③④ 8686 44.3/3 45.3V2 3n2-n 46. ①③ 2 49.②③④ 50.①③④ 0z/乙 举皇重奈与裤 WO'XXZ'M MM 品学科网 www.zxxk.com 51.6.1 53.< 1 54 <m<1 2 55.①②④ 56.①② 57.46.4 考点02二次函数压轴题 1.(①)少=-r2-x+2 (2)1 6104 3)存在， (山)解：抛物线"=++2(a≠0)与*轴交于1(-2,0) 「4a-2b+2=0 a=-1 ∴.a+b+2=0,解得：b=-1, =-x2-x+2 ∴抛物线的表达式为 (②)解：由(1)可知：抛物线的表达式为'=--x+2 ÷令x=0时，则有y=2,即C(0,2列 连接0D,设D叱-1-1+2），其中2<1<0， 3/203 让教与学更高效 B,O两点 可学科网 www zxxk .com D B 4-2,0）C(0,2) .0A=OC=2. ÷8m=01.0c=28w0A%=f-+2,Sm0ck :S4c=S.om+S.cw-S=--1+2-1-2=-2-21=-化+l+1 ∴.当t=-1时，△ACD的面积最大，最大值为1； (3)解：存在点Q,使得∠ACQ=2∠0CB, 4(-2,0).C0,2)B1,0) .0A=0C=2,OB=1. .BC=JOB+0C=5 ZACO-45 过点O作OE∥CO,交AC于点E,过点E作EG⊥OC,取OA的中点F 过点O作OP⊥AC,如图所示： B ÷0F-20A=1=0B,∠4c0=∠0BC,0P=0Csim45°=2=Cp 2 .OC⊥BF, 4/203 让教与学更高效 -t. 连接CF,过点F作FH⊥BC, 可学科网 CF=BC=5 ∴.∠BCO=∠FCO, .∠BCF=2∠BCO=∠ACQ=∠OEC .S.wor-BF.OC-1BC.FH 2 ,FH=2×2_45 V55, :sin∠FCB=FH-4 FC 5 sin∠OEC=OP_4 OE 5 .0E=52 4， PE=JOE2 -Op2 3 4 CE=CP+PE= 4， .EG=CG=CE-sin459=7 4 1 :0G=0C-CG=4: > k= 设OE的解析式为y=c,则有-4《=4， ..k=- 7 ∴·OE的解析式为y= 7 www.zxxk.com 让教与学更高效 5/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 OE∥Cg, :设直线CQ的解析式为y=-7x+m,把点C(0,2)代入得：m=2, 1 直线CQ的解析式为y=7x+2, 联立y t、6 7+2 ,解得： 7 104或∫x=0(不符合题意，舍去)， y=-x2-x+2 J= 49 y=2 d) 122x+6v5 20E-6,25),②35-3 (解：：抛物线y=a(x+12x-6)(a≠0)与y轴交于B0,65, :6w3=ax0+12)x0-6) 期治。 =*120x-0)=-5g.5x :、 122x+65 即9 122 x+6V5 2)解：O抛物线刀三x23 2x+65 与x轴负半轴交于点A, 3 ，对称轴为直线x=- 2一=3 3 A(-12,0) 12*2 6/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :原点O,点B关于抛物线对称轴x=-3对称的点分别记为点C,点D, :C(-6,0,D(-6,65) :0C=6,AC=6-(-I2)=6,CD=65-0=6N5 .tam∠0AD=CcD-65-5 ΓAC6 .∠0AD=60°， :AE平分∠OAD, a4c4E-40D=30. .tan∠CMb=Cg-tm30e-5 AC 3 CE3 63, CE=2V3 解得 :E6,25), ②如图2，过点H作HM⊥CD于M,则MH∥CG, D /M-- C 图2 12 7/203 函学科网 www zxxk.com MB=-5R-5h+65-25=-52-5h+45 12 2 12 2 MH∥CG, ∴.△OMHADCG. DM_MH,即12 5+5hh+6 2 DC CG 63 CG 解得CG=72 h ,∠DEH=∠DEF,∠DEF=∠CEG, .∠DEH=∠CEG. ∴.tan∠DEH=tan∠CEG, 72 h+6 h ÷M_CG,即_5-5h+4525, ME CE 12 2 解得h=35-3h=-35-3 或 (不合题意，舍去)， 3V5-3 “点H的横坐标为 1 3.(y=x2+x+2 4 ②E(25) 3)2 1 (1)解：：一次函数y=2x+2的图象与x轴，y轴分别交于A 1 “令y=0,即2x+2=0,解得x=4 令x=0,y=2； ÷4-4,0)B(0,2) ,点P为线段AB的中点， 8/203 让教与学更高效 B两点， 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 -4+00+2 P ·气2,2，即P(-2,), :二次函数y=+br+c(a≠0 的“顶点弦”为线段PB,且点P为顶点， 一设二次函数解析式为y=a(x+2+1 将店B(Q,2)代入，得4如+1=2：解得a-4 4 :二次函数解析式为y=(x+2+1-女+x+2 4 (2)解：设直线PE与x轴交于F点，过点P作PH⊥x轴于点H, P(-2,1) .OH=2,PH=1, ∠BPE+∠BAO=45°，∠APF=∠BPE, ∴.∠PFH=∠APF+∠BAO=∠BPE+∠BAO=45°， 又，∠PHF=90°， ∴.△PHF为等腰直角三角形， .FH=PH=1, ∴.OF=OH+FH=3, F(-3,0) 点 设直线EF的解析式为y=c+b, 将点P-21),F-30)代入得： 「-2k+b=1 k=1 -3k+b=0,解得b=3, 9/203 可学科网 www.zxxk.com ∴.直线EF的解析式为y=x+3, 令x+3= 4++2解得52,3=2（舍去 E(2,5) 1 Gm,m+2 (3)解：设（2 .y=a(x-m)+m+2.y-a(x-m)+m+2 2 :4(4,0)在抛物线F上，B(Q2)在抛物线5上， a(4-m则+m+2=00.am+m+2=2@. ：.4+24,=0 ③， 1 a(-4-m)2+5m+2=0 2 1 ∴.联立①②③，得到 a,㎡+2m+2=2 ，解得 a+2a2=0 8 m一3 m2 如图，过点G作GK⊥x轴于点K, GB GK∥y轴， 10/203 让教与学更高效 (舍去)， -4 品学科网 www.zxxk.com 6 GA AK (41 .∴.GBOK 8 2 4.)'=r-x-2 (2)△ABD是等腰直角三角形，理由如下： 对于我物，=R-2对特为直能=2动一分 设直线BC:y=pr+9,代入点B(2,0)、C(0,-2) 「2p+q=0 ∴.9=-2 p=1 解得9=-2 ∴直线BC:y=x-2 将x-2代入y=x-2,得=号2= 2 引 82-3.0-G0-25,m-2 .'AD BD. ∴.AD2+BD2=AB2 .∠ADB=90°， ∴，△ADB为等腰直角三角形； 36√2-36 3)5 11/203 是*o小月 举皇重点与裤不 可学科网 www zxxk.com (1)解：抛物线 =+c+ca≠0)与销交于4(-.，0) :y=a(x+10x-2) :抛物线与'轴交于点 (0,-2) .-2a=-2. 解得a=1 =(+x-2）,即=--2 (2)略 (3)解：如图，过点B作BK⊥AC于点K, ÷4(-1,0)C(0,-2) .0A=1,0C=2, 4C=J0+0C2=5 在A0c,血oc-后台5 :BK⊥AC 在RtA4BK中，BK=AB×sin∠OAC=3×Y5=。VS (2,0)C(0,-2) 点 ∴.OB=OC=2 12/203 让教与学更高效 B(2,0) 两点， 函学科网 www.zxxk.com .∠B0C=90° :.△BOC为等腰直角三角形， .∠ABC=45° ∴.∠EBF=∠ABC=45o 作△EBF的外接圆，记作⊙T,连接TE,TF,TB,过点T作TR⊥AC于点R, 则∠ETF=2∠EBF=90°， .TE=TE ∴.aTEF为等腰直角三角形，∠TEF=∠TFE=45°， ,TR⊥AC, △TRE,△TRF 均是等腰直角三角形， ∴.RE=RF=RT, 设RE=RF=RT=x, 则7E=VR2+ER2-V2x TB=TE=2x TB+TR≥BR≥BK, 2✉弩5， x≥610-6V5 解 5 6W10-65 当点B,T,R三点共线，且点K,R重合时，x取得最小值为 5 ..EF ER+FR=2x. 6i0-65×2-12i0-125 ∴.此时EF取得最小值为5 5, 百高账-号5为定值 13/203 让教与学更高效 连接BR, 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1x12i0-125×55-365-36 ∴.△EBF的面积最小值为2 5 5, 36V2-36 .△EBF的面积为 5 5.00) (2)6≤a≤12 (1)解：a=3 次函数y=3x2-4ax+4=3x2-4×号x+4=3x2-6x+4=3(x-1+ 1,1) ∴.函数图象的顶点坐标为 (2解：：=次函数为y=3r-4mr+4 -4a2a 对称轴为直线x=2x3=3, ,当1≤x≤4时，y随x的增大而减小， 2 “5a≥4，解得a26: :当8≤x≤12时，y随x的增大而增大， 2 ∴3a≤8，解得a≤12 ∴.a的取值范围是6≤a≤12. 6.①y=r+2x-3 75 315 2)四边形ABCD面积的最大值为8；点D的坐标为2'4) 16 3)是定值，定值为3 (1)解：，抛物线 y=a2+br+c与轴交于 A(-3,0)B(1,0) 两点， 14/203 可学科网 www zxxk .com :y=a(x+3(x-l) :抛物线与'轴交于点C(0,-3) .-3a=-3. 解得a=l y=x2+2x-3 ∴抛物线的表达式 (2)解：过点D作oTlly轴，交AC于点T, 图1 设直线AC:y=px+g, -3p+q=0 代入A(-3,0),C(0,-3)可得，9=-3 p=-1 解得9=-3 .直线AC:y=-x-3 :Sm=5度+5am-号ABx0C+8m-2-(3]x3+8 ∴当△ACD面积最大时，四边形ABCD面积最大， 设Dd,d+2d-3)(-3<d<0),则T(d,-d-3) .Dr=-d-3-(d+2d-3)=-2-3d 15/203 让教与学更高效 6+S.ACD 学科网 www zxxk.com 5m=Se+5-Dk+0-)D-8 3 20, -3<d<0 当4=-3 27 2时，A4CD的面积最大为8， 2775 “四边形ABCD面积最大值为6+ 88 t时点0飘单标为(+2引3= 点D的坐标为2，-4月 (3)解：MP,Mg是定值， 如图，不妨设点E、F分别位于对称轴的左右两侧， VA E NI 备用图 抛物线'=r+2x-3=(x+1-4 “顶点（以4） ,M(-1,0) 设(+2-3)，F(,2+2-3) 16/203 让教与学更高效 )=2x(d-3d0x3, 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 y=kx+k-1 y=x2+2x-3 联立直线 与抛物线 y=kx+k-1 则y=x2+2x-3 整理得， x2+(2-k)x-(k+2)=0 片了+巧=-2两=k-2 -k+b=-4 设直线NE:y=kx+b,则kx+b=x2+2x-3 k=x+1 解得b=x-3 直线 NE:y=(+1)x+x-3 x=3-x 令y=0,则(x+)x+,-3=0,解得x+1, 雕信语 e小1。n 16 16」16 7.(-l0)）B3,0) F(1,0) (2)①定点 如图，设直线I与x轴交于点F,过点A作AG⊥DE,过点B作BH L DE，,垂足分别为G、H, 17/203 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 G F(1,0)/ B x ∴.∠AGF=∠BHF=90° 又，A、B两点到直线的距离相等， ∴.AG=BH. 又：∠AFG=∠BFH, 片△1GF≌BHF(AaS) .AF=BF, 即：点F为AB中点. A(-L,0)B(3,0) ·B中点F1.0) 即直线过定点 F(1,0) ②直线'过定点化-3) (1)解：令y=-2x-3=0 x1=3,x2=-1 解得 C:y=x2-2x- ,抛物 交X轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， :1-L,0）.B3,0) (2)解：①略 @Cy=x-2x-3的对称轴为x-?1,当1时，y=-2x-3=4 18/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 P(1,-4) 顶 如图，过点P作直线m∥x轴，过点D、E分别作m的垂线段，垂足分别为M、N, A E D .m MP N .∠DMP=∠PNE=90°， ∴.∠MDP+∠MPD=90°」 又：∠DPE=90, .∠DPM+∠EPW=90° ∴.∠DPM=∠PEN. ∴.△DPM∽△PEN DM MP ∴.PWEN, 设D(,-2-3),(,-25-3) :MP=1-5,PN=5-1,DM=-2x-3-(4)=(G-,N=-2x-3-(-4)=(s- 出-。1-x ·-k- +x2-x632=2 整理得 :y=kx+b(k≠0) ,直线 与抛物线C交于D,E两点. y=kx+b ∴联立y=x2-2x-3, 2-(2+k)x-3-b=0 可得 19/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴+为=2+k,x62=-3-b 代入5+场-46=2可得2+长-(3-）=2 ∴.b=-3-k. :y=+b=c-3-k=k(x-）-3 “.当x=1时，y=3固定不变， 直线'过定点么-列 8.(1)每月产量的增长率为20% (2)应降价9元，最大利润为2205元 (1)解：设每月产量的增长率为x, 20001+x)2=2880 根据题意列方程得 x=0.2=20%x2=-2.2 解得 ,增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答：每月产量的增长率为20%： (2)解：设降价x元，每天总利润为y元， 根据题意，每件盈利为0-)元，每天销售量为 60+5x)件， :y=(30-x(60+5x)=-5x2+90x+1800=-50x-9y+205 -5<0 ∴当x=9时，少取得最大值，最大值为2205， 答：该食品厂应降价9元，才能使利润最大，最大利润为2205元. 9.(0少=-x2+2x+3 P912) 2)（7’7 20/203 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (解：由抛物线'=+x+3经过点 A(-1,0) 对称轴为直线x=1 a-b+3=0 b 得， 2a =1 a=-1 解得b=2, =-x2+2x+3 ∴.抛物线的表达式为 (2)解：过点A关于直线BC的对称点'，连接BA,PA,OA', V PA+PO=PA+PO≥AO,当点A,P,O三点共线时，PA+PO取得最小值，此时点P为A'O与直线BC 的交点， 对于y=-r+2x+3 时，少3 当0 .C(0,3) 4-1,0) 对称轴为直线x=1 .B(3,0) ∴.0B=0C=3,而∠B0C=90° .∠0BC=∠0CB=45°， 由对称可得，∠OBC=∠ABC=45°BA'=BA=3-(-1)=4 21/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .∠ABA'=45°+45°=90° .A'(3,4) 设直线OA':y=x 4 则3k=4,解得k= 3 4 直线0A:y=3x BC:y=kx+b 设直线 [3k+b=0 ∴.b=3 k=-1 解得=3 ∴直线BC:y=-x+3 y=-x+3 4 联立y=3x, [9 x7 解得12 y7 别 (3)解：当点O在直线BC上方时，过点B作BG⊥CB交射线CQ于点G, 22/203 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 G H H 备用图 .:∠BCQ=∠ACO .tan∠BCe=tan∠ACo=BC=OA_l CBOC3· 过点G作GH⊥x轴于点H, .∠BOC=∠GHB=90° ,BG⊥CB .∠CBO=∠BGH=90°-∠HBG .△BHGACOB BG HG BH1 ·BCB0CO3 HG BH 1 .333 ∴.GH=BH=1 :G4,) ：c0,3) 同理可求直线CG:y= 2+3 y=-x2+2x+3 2t+3 1 与抛物线表达式联立可得， y= 23/203 可学科网 www.zxxk.com 5 x= 2 解得x=0或 y=3 ys. 4 别 E(-9,0) 当点P在直线BC下方时，设直线C2与轴交于点T,取点B 则an∠E=C0-31 0E-93 :lm∠c0-号 ∴.tan∠E=tan∠BCg .∠E=∠BCQ .∠CBT=∠EBC ∴.aCBT∽AEBC BC BE BT BC V32+32 3+9 ∴.BT V32+32 m-月 :07=3-33 22 C0,3) 同理可求直线CQ:y=-2x+3」 y=-x2+2x+3 与抛物线表达式联立可得，y=-2x+3 24/203 让教与学更高效 连接CE 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 [x=0x=4 解得y=3或y=-5 :(4-5) 57\ 综上：点的坐标为2'4或(4，-S) 10.4)y= 2+x+4 (2)3秒 7 3)当I=2时，四边形PCQB的面积最大，最大面积为4 (解：：抛物线y=+r+C过点9 .B(4,0)C(0,4) 对称轴是直线x=1, ， 16a+4b+c=0 c=4 b1 2a 1 a=- 2 解得 b=1 c=4 1 y=-5x2+x+4. 2 (②解：设直线BC的解折式为=c+4,把B(4,0代入得， 0=4k+4, 解得k=-1 ∴.y=-x+4 +x4=-+ y=2 25/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 当x=1时，y=-1+4=3. :印3) 2 ,四边形DENP为平行四边形， .NP-DE=3 2 ,过点M作x轴的垂线交BC于点N,交抛物线于点P, N6,-1+4)」 :w=+4-(+4=42= 2 4=1,52=3 解得 别 ∴1=1不符合题意，舍去， ∴.1=3 (3)解：由题意，得00=0.51，则B0=4+0.51, 由(2得，PN=r+21 2 S四边形PCOB=S.COR+S.CPB BQ-OC+-PN.OB -a004++2a4 26/203 函学科网 www.zxxk.com -到 .-1<0, ∴抛物线开口向下， 5 57 “当(=2时，四边形PCQB的面积最大，最大面积为4· 1 1.0y=-2+x+4: (2)① (2,4) ；②6： 3)存在，Q的坐标为3+25,2+3).(3-25,2-5) OB 1 (1)解：AB=6,OA2, ∴.0A=4,OB=2. ·A(4,0）B(-2,0) 将4(4,0），B(-2,0）代入y=2+hx+4中， 16a+4b+4=0 得4a-2b+4=0, 1 a=- 2 解得 b=1 :整物线的解折式为=子4。 (2)解：①过点P作x轴的垂线交x轴于点D,交AC于点F B 27/203 让教与学更高效 过点P作PE⊥AC于点E,如图， 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 当x=0时，y=4, .C(0,4) .0A=0C=4,且0C⊥0A, ∴△AOC为等腰直角三角形， .∠0AC=45°， :OC⊥OA,OA⊥DF, .DF∥OC, .∠AFD=45°， LEFP=45°， 1ApEF中，PE=PF:sin∠PFE=PF:sin45°=V2 2 设AC的解析式为y=a+b, 将44,0)和C0利)代入， 4k+b=0 得b=4, k=-1 解得b=4, .AC的解析式为y=-x+4, 1 Pm,一2m+m+4 则F(m,-m+4). P 0<m<4) 为第一象限内的点 ∴.PF=yp-ye =-二m2+m+4-（-m+4) =-2m+2m 28/203 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 =m-2+2, 1∠0 : P(2,4) 当m=2时，PF最大，即当PF取最大值时，PE最大，此时 ②将点B向右平移1个单位长度得点B',则BB∥MN,连接B'P交对称轴于点N,如图， y=+4=-+.且wy .MN=1. B-2,0) ∴B'(-1,0) .'BM+MN+NP=BB'+B'N+NP=1+B'N+NP 当B',N,P三点共线时，BM+MN+NP最小，为1+B'P, B'(-1,0)P(2,4) :BP=1-2+0-4y=5 .BB'+B'P=1+5=6, BM+MN+NP的最小值为6： (3)解：由(2)得，点D坐标为(2,0)， ∴.AD=4-2=2,PD=4-0=4. 在Rt△MPD中，AP=VAD2+PD=V2+4=25 设AP的中点为G,连接G,AP，,如图， 29/203 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Q B D 4+20+4 则G的坐标为2’2丿， 即6,2)，且4G=4P=5 :△QAP为等边三角形， :04=0r=An-25,n0c1An 在Ra0GM中，G=@-AG=V25-(5=5, 设0(x,),由04=QP得，x-4+y=Vx-2}+(0y-4 (x-4)}2+y2=(x-2}2+(y-4}2 x2-8x+16+y2=x2-4x+4+y2-8y+16 解得x=2y-1, 又：.eG=vi5 :V(x-3}+0-2=5 将x=2y-1代入，得V(2y-1-3)+(y-2}=5 (2y-4)2+(y-2)2=15 4(y-22+(y-2}-15 5(y-2)2=15 (0y-22=3 30/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 解得=2+v5或=2-5 当y=2+5时，x=2+)-1=3+25,即93+25,2+) 当y=2-5时，x=22-5-1=3-25,m03-25,2-5) 综上所述，点0的坐标为3+25,2+5)和（3-25,2-V) 【点睛】本题是二次函数综合题，核心是利用平移法处理定长线段最短路径，避免配方计算失误、平移方 向与距离出错、漏解等边三角形的两种位置. 12.(1)t=-1 19 2)MN的最大值为4 5 6)1<-2或1>1 （山)解：由抛物线y=-(x-矿+可知：对称轴为直线x=1, -3,m）(1,m）) ,抛物线过点 这两点关于对称轴对称，即1=3+ 2 ∴t=1； (2)解：令y=0,则有(x-少+1=0，解得：=1+1=1-1 ∴抛物线与x轴的交点横坐标为+1,1-1， P(2-1,0)为线段4B上一点， .t-1≤2t-1≤t+1, 解得：0≤t≤2， :过点P作精重线，分别与能物线和直线=-3交于点M且P-h0。 Me-l+2).-l4- 31/203 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 wr+2-(-*+-+ .-1<0, 3 3219 19 取得最大值，最大值为4， 19 ∴MN的最大值为4： (3)解：由题意可知抛物线的对称轴为直线x=t,开口向下， ∴.当x>(时，y随x的增大而减小，当x<时，y随x的增大而增大， 2t-1≤x≤-2t2≤x2≤4， 根据题意可知：当 4时，片的最小值应大于”的最大值， 分析抛物线对称轴x=1与x=2和x=4时三种关系， ①当1>4时，如图， x-t (4,y/ (2,yn) (-2,yc (-2t-1,yc) 此时21-1<-21<2<4<1，都有%<乃，符合题意： ②当2<1≤4时，且当3<1≤4时，此时当5=2时。户取得最小值，当=-2”时，片取得最大值。 :1-2<1-(20,解得：>-1， 六当3<1≤4时，片<乃恒成立， 当2<1≤3时，如图， 32/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 x-t (2,yn (4,yn (-21,yef (-21-1,Yc 此时-21-1<-21<2<1<4， ”在=-2”上取得最大值，在5=4上取得最小值， 4-t<t-(-2 ,解得：1>1 ·当2<1≤4时，都有 y<y2 ③当0≤1≤2时，如图， xt (2,yn (4,y （-2t,yc7 (-2r1,yc 此时-21-1<-2t<t<2<4, ”在52”上取得最大值在5=4 上取得最小值， :4-1<1-(-2 ,解得：1>1， :当1<1≤2时，都有” <y2 ④当1<0时，则-21>0， 若21-1≤/时，则”的最大值大于片，即片<”不成立， 若-2t-1>t时，如图， 33/203 命学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 x-t 2.p) (4,y） 4-2t1,yc) -24,ye) ∷当21-1 ，点C的纵坐标取得最大值，当=4时，点D的纵坐标取得最小值， .-2t-1>4, 解得：1<一2： 5 综上所述：1的取值范围为1<一2或！>1： 3 3.0y=-号X2+。x+2 2 45 (2)5 3)-2或2 (山解：=次函数y=m+了x+ca≠0)的图象与x轴交于4A-L0小、B两点，与y轴交于点C0,2), 2 a(-+x(-0+e=0 ∴.c=2 1 a=- 2 .c=2 二次函数的表达式为y= x+2x+2 2 2 (2)解：如图所示，过点P作PO‖y轴交BC于点Q 34/203 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 H 在y= +号+2中，当y=0时、++2=0， 3 2 解得x=-1或x=4, (4,0) 点B的坐标为 设直线BC的函数表达式为 =kx+b'(K≠0) [4K'+b'=0 b=2, 2 .b=2 直线BC的函数表达式为y=2X+2: 1 .3 -5p2+3p+2 设点P的坐标为 2 PIy轴， ∴点Q的横坐标为p, 1 ∴点Q的纵坐标为2P+2 0=p+2(+-+2n=-2+2 Py轴， 35/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .∠PQH=∠OCB .sin∠PoH=sin∠OCB, B(4,0吵C(0,2) .0B=4,0C=2」 :BC=VOB2+0C=V4P+22=25 .sim∠oB=OB=4_25 BC255, :sin∠PQH=25 5: PH⊥BC, .∠PH0=90°， sin∠POH=PH PO' PH=25 5(p-2)2+4 5, 5 <0 5 4v5 当p-2=0,即p=2时，PH有最大值，最大值为5： (3)解：如图3-1所示，当点E在点B上方时，设DE交x轴于点H, 图3-1 36/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .C(0,2),点C与点D关于原点成中心对称， .D(0,-2) ∴.0C=OD=2. (-l,0吵，B(4,0) .0A=1,OB=4, tan∠Aoc=OA、 2an∠DBO=OD=1 OB-2, ,∴.tan∠AOC=tan∠DBO, .∠AOC=∠DBO: ,∠BDE=∠ACO, .∠BDE=∠DBO. .DH=BH: 设DH=BH=1,则OH=4-t, 在Rt△DOH中，由勾股定理得DH=OD2+OH2, .2=22+(4-2 解得15 2 :OH=3 2 设直线DH的函数表达式为 y=kx+b(k0) 3 2 +b=0 6=-2 37/203 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 =-2 直线0的通数表达式为一手-2， 4 x-2 x=-8 联立 1 3 y=- 2+x+2 ,解得「x=3或 50(舍去)， y=2 y=- 2 9 3,2) .点E的坐标为 ∴.点E的纵坐标为2： 如图3-2所示，当点E在点B下方时， C A B 0 D E 图3-2 同理可得∠BDE=∠DBO, .DE∥OB,即DE‖x轴， .点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点E的纵坐标为-2： 综上所述，点E的纵坐标为-2或2. 14.①)m=3y=-x2+2x+3 3)存在， q2.c2.c22.c(2 (1)解：“直线=x+m与轴交于点D(-3,0叭 38/203 可学科网 www .zxxk.com D(-3,0 ∴把 ,代入y=x+m得0=-3+m 解得m=3, .直线解析式为y=x+3, :直线y=x+3经过点C,且点C在y轴上， .令x=0,得y=3, :C0,3) :抛物线”=a+1x-3)与'轴交于点C 起(03)代入y=ax+1x-3到，得3=-3a 解得a=-1, :y=a(x+(x-3列=-(x+0(x-3)=-r+2x+3 综上所述，m=3 抛物线的函数表达式为'=-术+2x+3 (2)解：C(03).D(-3,0) ∴.OC=3,OD=3, :CD=V0C2+0D=V32+32=3W2 ,EF=2, DCEF CD+EF+CE+DF=32+2+EC ∴.四边形 的周长为： ∴，求四边形DCEF周长的最小值，只需求CE+DF的最小值， “抛物线的函数表达式为'=-r+2x+3=-(x-+4 ∴.抛物线的对称轴为直线x=1, :E、F在直线x=1上，且EF=2,E在F上方， :设E(,）.FL,1-2) 39/203 让教与学更高效 +DF 可学科网 www.zxxk.com 如图：把点D向上平移2个单位 D(-3,2 ,作D与D关于直线x D'D、ED"、ED'、CD, D 在四边形DFED'中， :DD'⊥x轴，EF⊥x轴， :.DD'EF, :DD'=EF=2, ∴四边形DFED'是平行四边形， ..DF=D'E, ..CE+DF=CE+D'E, ,D与D关于直线x=1对称，E在直线x=1上， .D'E=D"E, .CE+DF=CE+D'E=CE+D"E ,两点之间线段最短， ∴当E点在CD”与直线x=1的交点处时，CE+DE最小， 设直线CD的函数解析式为'=c+b(k≠0) 「3=b 把C(0,3),D(5,2)代入y=x+b(k≠0)得：2=5k+b, k=- 解得 b=3 直线CD的解析式为y= 5t+3 40/203 让教与学更高效 1对称，则D(5,2),连接DD、 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 4 女当x=1时，y= 5 》 (3)解：抛物线=-+2x+3与轴交于4,8两点， ∴.令y=0,得-x2+2x+3=0, 解得：x=-1或x=3, ,A在B左侧， ÷4(-1.0)B3,0) C(0,3) ,由(1)知， ∴0C=3,OB=3 :BC=V0C2+0B2=V3+3=32 BC 3V ,抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，且8在抛物线上， BC=32 :.B点沿射线 C 方向平移 V2 个单位长度后与点重合， .OB=3,OC=3, BC ,3V2 ∴抛物线沿射线方向平移 个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度， 如图： :抛物线少=-+2x+ 的对称轴为直线x=1 41/203 可学科网 www.zxxk.com .平移后对称轴为直线x=-2, :点G为平移后的抛物线对称轴上一动点， 设6(-2) 4(-10)C0,3) :.AC=V(-1-0)2+(0-3}=10,AG=[-1-(-2]+(0-n) CG=V-2-0}+(n-32-V4+(n-3}2, ①者4CG=90 ,如图： 则AC2+CG2=AG, :10+4+(n-3}2=1+n2 解得=号 ②∠AGC-=90° 若1 ,如图： 42/203 u+I 举皇重点与谁 函学科网 则AG+CG=AC2, :1+m2+4+(n-3}=10 解得n=1或n=2, 6(-2,1或6-2.2) ③，∠CAG=90° 若 如图： 则AG+AC2=CG, :1+n2+10=4+(n-3} 1 解得n=3 ÷(2) 15。a)k1,点8的坐标为2,4) www zxxk.com 让教与学更高效 43/203 可学科网 www.zxxk.com 1 2)h的取值范围是h≤2 3)点E的坐标为 2,0 .k=22 A(-1,1) (1)解：将点 代入y=c+2 则-k+2=1, 解得：k=1, .y=x+2 y=x+2 联立y=x2,可得x2-x-2=0, 解得： x=-1x2=2 “点A的坐标为 -1,1) ·点B的横坐标为2， 将x=2代入y=x+2得y=4, ·点B的坐标为 2,4) (2)解：CD‖AB CD y=x+b 设的函数解析式为： y=x+b 联立y=x2, 则x2-x-b=0, 由根与系数的关系得m+n=1, 函数)=(x-h图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=h, 要使函数在x=n处取得最大值，需满足右端点n到对称轴的距离不/ 44/203 让教与学更高效 ,于左端点m到对称轴的距离，即： 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 n-h≥h-m, 则2h≤m+n,即2h≤1， 解得：hs 2 (3)解：设CD的函数解析式为：y=c+1, y=k+2 联立y=x2 则x2-x-2=0 设4(，）B(5x) 由根与系数的关系得+巧=水5=2 AB的水平距离x-=V(x+x)2-4x为=V2+8 [y=kx+t 同理，联立y=x2, 则x2-kx-t=0, 设C(m,m）.D(zn2) 由根与系数的关系得m+n=k,mn=-t, “CD的水平距离m-m=V(m+n)}-4mn=V2+4 :AB∥CD,AB=2CD, ∴.x2-x=2(n-m) :.Vk2+8=2Wk2+4 ,整理得K+8=4k2+161 即1=8-3ke 16, 设E(e0(e>0) 45/203 函学科网 如图， B 三点共线， A OE元：ACE ∴，直线AE的k值与直线CE的k值相等， .0-x_0-m2 e-x e-m, 11,1 化简得，e(x+m)=m,则exm, 11+1 同理由B、D、E三点共线得e,n, 1+1=1+ x m x2 n. n-mx-x2 整理得，mnx, x2=-2mn=-t为-x=2(n-m) :n-m=-2(n-m) -1 -2 解得：t=-1, -1=8-32 16, 解得： k=2√5 www zxxk.com 让教与学更高效 46/203 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 1=1+11=1+1 e x m.e x2 n. 2日+》与片+2-5 …e=V2 点E的坐标为(V2,0 ,k的值为22 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、直线与抛物线的交 点问题、根与系数的关系的应用、二次函数的最值问题以及利用三点共线求解参数等知识点，熟练掌握一 次函数与二次函数的图像与性质、灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键， m=0 16.(1)n=6: ②)①线段OC长度的最小值为、1：②"=，x 1 (1)解：，抛物线y=一 x2+mx+n经过(0,6)和(2,4)两点， [n=6 “2x22+2m+n=4, 1 m=0 解得n=6; m=0 (2)解：①由(1)得n=6, ÷抛物线的解析式为y=+6, 47/203 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 0c-p+(+j-4p-p+6 令P=1.0<1<12 1 当10 OC 时，线段 长度的最小值为们 c-e) ②设（ 设直线AC的解析式为y=ka+b, Qk+b=-5a2+6 . 1 ck+b=-5c2+6 2 则直线4C的解析式为y=-ax+g9+6, 2 2 令y=0,则2x+c+6=0 2 解得÷ac+12 a+c, Eac+12,0 .（a+c: 设直线40的解折式为y=,则女+6=店。 1.6 解得k=-2a+a 48/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 解得x=a,专=-12 当、2 设直线C0的解析式为y=kx,则2 2+6=ck -c+6 解得6=一2C+c, ∴.直线CO的解析式为 联立得2 解得x=c, 专、2 c' 当名.66 吕6) 则直线BD的解析式为y=6a+dx+6+ ac ac (a+c 令y=0则 120, 2x+6+ ac ac 解得-ac+12 a+c ac+12 F- ,0 a+c 49/203 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :-ac+12 a+c’ =-ac+12 a+c, ∴.OE=OF .△OAE,△OBF的底边相同， S=-少=-=-a=0 =2 S,yax_12122, a .a2=24, a-26 (舍去正值)， 22 “直线AB的解析式为y=2x 17.)y=x-2x+1 28 3)l<m<3 3 ()解：该二次函数少=ar+hxr+ 的对称轴为直线x=1, .x- b =1,即b=-2a' 2a ·该二次函数的图象经过点(3,4)， .9a+3b+1=4, 把b=-2代入得： 9a+3×(-2a)+1=4 解得：a=1, b=-2, y=x2-2x+1 ∴该二次函数的解析式为 50/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 2 (2)解：当a=3时，则有y= 令x=0,则有=1，即C(0,), .0C=1, 设该二次函数的图象与产精的交点坐标分别为4(，0).B(,0),不妨设<5 2 当y=0时，则有？+x+1=0,那么x,5是该方程的两个不等实数根， 3 ∴根据根与系数的关系可得：x=。 29 ·根据两点间距离公式可得：1C=(6-0+(0-1}=52+1 3 4B2=(6-}=x2-2x6+g2=2-2×2+=x-3+,BC2=(6-02+(0-1=x2+1, 当该二次函数的图象与x轴分别交于A,B两点，且在y轴的右侧， ,△ABC是等腰三角形， .AC=AB +1=-3+巧，解得，5=2 (负根舍去)， 把5=2代入22+b+1=0得1 x4+26+1=0,解得：b=儿 2 6 2x_1 x+1=0,解得：x= 6 45=2, :AB=2-35 449 u.0c 88 当该二次函数的图象与x轴分别交于A,B两点，且在y轴的左侧， ,△ABC是等腰三角形， .BC=AB. 同可得：及m号4B.0C-名 8: 51/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 5 综上所述：△ABC的面积为8： (3)解：当6=时，则有=+x+1 D1,y)E(2,y2) 点 在该二次函数的图象上， :y=a+2%=4a+3 当>乃 a+2>4a+3,解得：a<- 3 1 “该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=一2a, 1 .a<- 3 ,即0、13 2a> 2a2: “当s、13 名兮时，即a<此时=次西数在0x61上y随的精大面特大， 1 ∴.二次函数在0≤x≤1上的最大值为m=a+2, 1 1 :2 ≤a<- 3 3 5 ≤m< .2 3 当0<名<1时.即a< ÷次商数在0r1上的大值为+动1女11七 2 11 六-4a>2,即0< 4a2 3 :.1<m<2: 52/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 综上所述：最大值m的取值范围为1<m< 3. =x2+2x-3 18.(1)二次函数解析式为 2(-2-3) )存在，以4，C,B,P为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为2,5)或2-3)或4，) （山少解：二次函数=+c+“的图象与x轴交于点-30和点8，与y轴交于点C0-3到) [9-3b+c=0 ∴.c=-3 b=2 解得，c=-3, 二次函数解析式为'=+2x-3 (②)解：二次函数解析式为"=r+2x-3 当y=0时，x2+2x-3=0, (x-1)(x+3)=0 因式分解得， x=1,x2=-3 解得， 80.0) .0B=1,0C=3. 如图所示，连接BC, 53/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B .∠B0C=90°， ∴.tan∠OBC-= OC OB =3 :点O是抛物线在第三象限上的一点， :设04.9+2q--3<g<0,过点作2M1x轴于点M ÷M(,0),M=9-(-3)=q+3,0M=-g2-2g+3 满足∠OAB=∠OBC, :.tan∠QAB=tan∠OBC=3. M=3 :AM -92-2g+3 =3 .9+3 整理得， q+5q+6=0 (9+2)(9+3)=0 因式分解得， 解得， 91=-292=-3 (舍去)， :9=-2,则9+2q-3=(-2+2×(-2)-3=-3 :(-2-3) 54/203 西学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 y=x2+2x-3 (3)解：二次函数解析式为 2 六对称轴直线为x=一21， 设E-e,FU,/+2f-3列，且4-3,0.C(0,-) 当四边形ACFE是平行四边形时， VA B f-30-1 “对角线交点的横坐标相等，即2=2， 解得，f=2, :+2f-3=2+2x2-3=5 F2,5) 当四边形AECF是平行四边形时， B 0-3-1+f .22 55/203 可学科网 www.zxxk.com 解得，f=-2, f+2f-3=(-2+2x(-2)-3=-3 f-2-3) 当四边形ACEF是平行四边形时， -1-30+f .2 2 解得，∫=4， :f+2f-3=(4}+2x(4)-3=5 :F-45) 综上所述，存在以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形， 3 19.a0=-2 2 p262 (2)（19'19 8能B边上的丽的标兮可20黄】 (1)解：y=2x+2中， 56/203 让教与学更高效 点F的坐标为 25)或-2，-3)或4,5) 或 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 令x=0,则y=2, .C(0,2) 令y=0,则0=2x+2, .x=-1, :4(-40) :抛物线y=am2+子x+a阳≠0)经过4，B,C三点， 2 (,3+c=0 a- 2 c=2 c=2 1 .a=- 2 ∴.抛物线的解析式为y= -1x+3x+2 21 2 12 3 令y=0,则0=- x2+x+2 22 ∴.x=-1,或x=4, .B(4,0) + D325) 顶点”(28： (2)4(-1,0).B(4,0)C0,2) .0A=1,0B=4,0C=2, 57/203 函学科网 www.zxxk.com .AB=5.AC=JO+0C2=5 BC=V0R+0C-25 :AC2+BC2=5+20=25=AB2, ∴∠ACB=90° .AC⊥BC, 延长BC至点B,使 B'C=BC=2V ,连接BD,交直线=2x+2 点P, B D B 则B',B关于直线y=2x+2对称，此时△BDP的周长最小， 过点作BE⊥x轴于点E, B'E⊥x轴，OC⊥x轴， ..OC BE .B'C=BC, ∴.OC为△BB'E的中位线， ..OE=OB=4,B'E=20C=4 .B'(-4,4) 设直线B'D的解析式为y=ac+b, -4k+b=4 +6-25 3 89 k、7 44 b= 37, 11 58/203 让教与学更高效 如图， 可学科网 www zxxk.com 7,37 ∴直线BD的解析式为y=4x+1, y=-7x37 4411 y=2x+2· x=2 19 62 19 P1262 .（19'19 (3)在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在△ABC 上的顶克的华标为20力 ①如图，顶点E,F,G,H在△ABC各边上，设EF与OC交于点K, K B 设EF=m, ,四边形EFGH为矩形，KO⊥AB ∴四边形EHOK,FGOK为矩形，EF∥AB, ∴.OK=EH, .EF∥AB, ∴.ACEF∽ACAB EF CF .AB OC' m_2-EH .52· 59/203 让教与学更高效 各边上)，此时矩形在AB 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EH=10-2m 5 ∴.矩形EFGH的面积=EF·EH 10-2m =m.- 5 m2+2m 2 = <0 ∴.当m=2时，矩形EGH的面积取得最大值为2， EH=10-2m-l 5 .EH IOC,EH= .H为OA的中点， 0 同理，点G为OB的中点， .G(2,0) ②如图，顶点E,F,G,H在△ABC各边上，H与点C重合， 设GF=m, :四边形EFGH为矩形， 60/203 可学科网 www.zxxk.com :FG∥AC, .△BFGn△BAC, FG BG :AC BC m 25-GH ∴.V5 2W5, :GH=25-2m ∴矩形EFGH的面积=FG·GH =m(25-2m) .m=-2<0. 因 :当m=2时，矩形EFGH的面积取得最大值为2. :GH=25-2m=V5 ∴点G为BC的中点， FG∥AC, .FG为△ABC的中位线， BF=14B-5 5 2 2 3 ..OF=OB-FB= 综上，在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,( 61/203 让教与学更高效 ,H在△ABC各边上)，此时矩形在AB 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次 函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质， 直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键. 物线C的解析式为y)-2x,直线1的解析式为) (2)①点B的横坐标为5；②t=2n;③点B的坐标为 4+2W5,6+45 ()解：×抛物线9：=a(x-2-2过原点@，0) “将(0,0)代入抛物线解析式可得0=a0-2-2 4a-2=0. 1 解得a=。 2· :抛物线G的解折式为y-:-2-2-2x, 2 “抛物线G的解析式为y=2x-2-2, “顶点P的坐标为 2,-2) 设直线'的解析式为'=(《≠0） 将P22)代入y=c可得：2=2k, 解得k=-1, ∴直线的解析式为y=-x； (2)解：①：“抛物线9的顶点P2-2)沿射线0P平移得到抛物线9的厦点4-1>2) :.抛物线C,的解析式为y=2(x--4 当1=10时，抛物线C,的解折式为y=2(x-10-10, 联立抛物线9与S的解折式得。 62/203 品学科网 www.zxxk.com y=2x-10-10 1 x=5 解得y=2' 点B的坐标为 ②联立抛物线S与C的解析式得。 C. y=Ix-2x 2 y=2x-- 解得x=2 点B的横坐标为n, t ..ns 2, t=2n; ③设抛物线C,的解折式为y=x-小-4， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， :点A的坐标为 t,-t) 点B的横坐标为2， 将术=2代入得， 流8的能标为后g>9 63/203 让教与学更高效 t2-8t 8 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 作OC⊥OA交直线AB于点C,过点B作DB1y轴于点D, D t 2 六tan∠DOB= DBt2-8t_4t」 49 OD 82-8t1-8 :直线OA的解析式为y=一x,即第二、四象限的角平分线， “直线OC为第一、三象限的角平分线，解析式为y=x, 设直线1B的解析式为，y=+h kt+b=-1 8 6=4 解得6- 4 、直线B的解析式为，y三{x+一红 4 ,2-4t 联立直线4B和直线OC的解析式为4 x+ AB 4 解得x=-4 1+4, 2-412-41 ∴.点C的坐标为1+4’t+4, 64/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 v21(t-4) t+4 0A=V(2+(-=V2i √21(t-4) 六an∠0AB=0C-1+4=t-4 1+4 :∠DOB=∠OAB=a, ∴.tan∠DOB=tan∠OAB, 4t-4 1-81+4,即4(+4)=(-8-4) 整理得41+16=2-121+32， .2-16t+16=0, 解得=8+43,5=8-43 (舍去)， -8(8+45-8×8+45) 心1=8+45，则 64+645+48-64-325=6+45, 6 8 ∴点B的坐标为 (4+25,6+45) 21.(2025·四川攀枝花中考真题)跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、 路程随时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析， 并进一步应用。 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静 止释放.从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间 (s) 运动快慢(cms)、运动路程y(cm)的数据. 65/203 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 图1 【收集整理数据】 t(s) 运动时间 0 8 12 16 20 运动快慢(cm/s) 12 10 8 6 4 2 运动路程(cm) 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：V与之 间的关系可以近似地用 函数表示，y与之间的关系可以近似地用 函数表 示.（选填：一次、二次、反比例） v(cm/s) ◆y(cm) 12 160 10 140 120 100 6 80 4 60 40 2 20 04812162024 t(s) 024681012141618202224s) 图2 图3 【检验】根据猜想求出与，y与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证. 【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3Cm/s的速度在匀速向前直线运动， 若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：描点，连线，画图如下： 66/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 v(cm/s) ◆y(cm) 12 160 10 140 120 100 6 4 60 40 20 04812162024 A(s) 24681012141618202224S 图2 图3 一次，二次： 【检验】：v=-2+12,y=-+12 4 验：当1=20时，=20+12=2.符合想夜： 证：当1=20时，y=-×20+12×20=140,符合题 4 【应用】：AB最大为8lcm 解：【猜想】：猜想：v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次 函数表示： 故答案为：一次，二次： [m=12 【检验】：设v=M+m,把(0,12)，(4,10)代入，得4k+m=10, 1 k=一 2 解得： m=12, 2+12 = 验证：当，-20时，=弓×20+12=2符合腿意， c=0 16a+4b+c=44 y=a㎡2+h+e把点(o.0,8.80.(4,4）f代入.得64a+86+c-80 设 67/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 [c=0 1 a=- 解得 4, b=12 y=+124 4 验证：当1=20时，=-号×20+12x20=10,符合超数， 【应用1：：少=+124，设=d 4 由题意，得：+12≥+， ..ds-1249 4 9 t=- =18 当 1 2×-4 时，最大为-x182+9x18=81: d 4 故AB最大为8lcm, 22.(1)三边长分别为10m,15m,15m (2)三边长分别为20m,10m,10m (1)解：设垂直于墙的一边长m, 则2*(40-2x)=150 =5x2=15 解得： 当x=5时，40-2x=30>25(不符合题意，舍去) 当x=15时，40-2x=10<25(符合题意) .三边长分别为：10ml5ml5m. (2)解：设矩形围栏的面积为$ =x(40-2x)=-2(x-10)2+200 则有 当x=10时.S有最大值S=200 当x=10时，40-2x=20<25(符合题意) ∴.三边长分别为：20m、l0m、l0m 68/203 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 28.少02：a4:2:)g+2,④4<4且x0 解，山)当M为Q,0)时，线段M的垂直平分线为直线y=2,过点M垂直于轴的重线一即为轴， “点P的坐标为 0,2) 当M为40)时，如图所示，点P的坐标为 (4,4) y A(0,4) 3 3 -5-4-3-2012345 M0,4) 2 -3 -5 (0,2)(4,4) 故答案为： (2)由对称性可知，当M为4,0)时，如图所示，点P的坐标为 （-4,4) ∴.由点P的位置变化可猜想L为我们学过的二次函数， 故答案为：②： (3)由勾股定理得，PA=(x-0旷+0y-4=r+(-4.PM2=y. PA=PM, :+0-4=y g+2 4)如图，当x=4时，点 (4,4),此时∠APM=90°，四边形1OM是正方形， 当4<x<4时，可知∠AMO>45°，则∠P'AM'=∠P'MA<45°， .∠AP'M>90°， 69/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 即△AMP为钝角三角形， 又由山可知当M为Q0时，点P的坐标为02)点人从P三点共线构成不7三角形. x≠0， 综上，要使△AMP为钝角三角形，x的取值范围为4<x<4且x≠0. 5 A(0,4) M(0,4) -5-4-3-2-110123M45x -2外 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等， 理解题意是解题的关键。 24.1)b=4a-1 aP(-24)或P-2+25,22)或P-2-22,22) g创0s31 4 G解：将B(4,0)代入J=am+c-4得 16a-4b-4=0 .4a-b-1=0即b=4a-1 1 2)解：：a=2 b=421日 二抛物线解析式为少=2r+x-4 1 当x=0时，y=-4 :c0-4) 70/203 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 设直线BC的解析式 为”=+b≠0)，f代入B(4,0,C0,4) -4k+b=0 得b=-4 k=-1 解得：b=-4 ∴.y=-x-4 当P在BC的下方时，如图，过点P作PQ1x轴，交BC于点O, B -4 图① 1 设m+m-4 则2(m,-m-4) .P9=-m-4- r-m+4=-2m B(4,0) .B0=4 .S.mc=4 1 P9×B0=4 .2 解得：m=-2 2-2-4=4 71/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :P-24).则(2-2刘 P四=2x(-2-2x(-2)-=2,pc-2且c1y轴。 PC=P№， “.△PCO是等腰直角三角形 .∠PC0=45o 20=2 ∴.P到BC的距离为 如图，延长P2交x轴于点M,则M(-2,0) 图① ∴.△AQM是等腰直角三角形，且BM=2 ∴.M到CB的距离为2 BM=5 =4 :当P在BC上方时，点P在过点M与BC的平行线上，设过点M与BC的平行线交抛物线于点 R.R 设直线BM的解析式为y=-x+I 代入 M(-2,0) ∴.0=2+1 解得：t=-2 ∴y=-x-2 72/203 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 y= 联立 y=-x-2 x=-2+22x=-2-2W2 解得：1y=-22或y=22 :P2+22,-22)或P-2-22,22) 综上所述， P(-2,4)或P-2+22,-22或P2-22,22) (3)抛物线方程为'=ar+hx-4 由(1)知b=4a-1 C(0,-4) 当x=0时，y=4,则 y=ax2+(4a-1)x-4 故抛物线为： 设4(k,0) 当'=0时.am2+(4a-1x-4=0 时， .B(-4,0) :方45= +5s-4a-1 a 即-4+k=-4a-1 ▣，解得k-」 :△AOC是直角三角形， .△AOC的外接圆的圆心在AC上，且为AC的中点， :c04.4后0 73/203 西学科网 www.zxxk.com 1 ∴，△AOC的外接圆的圆心坐标为： 因为直线BC的解析式为y=-x-4 如图，设 (x）,QM的中点为N,过点P作T0∥x轴交BC .OB=0C=4 “.△OBC是等腰直角三角形， ∴.∠OBC=450 .∠WT9=∠OBC=45o .△QTN是等腰直角三角形， :Q,M关于BC对称， .OM⊥NT,QW=NM .NM=NT, .△NTM是等腰直角三角形， 图② :N在BC上， 74/203 让教与学更高效 于点T 可学科网 www.zxxk.com 、y-2 a .2 -2=-(+28a6 MT=OT 1 .-2-y= -x 2a +2@ :.x-y=2a x=-2 1 联立①②得， y=-4- 2a 0(-2,-4- 1 2a ,Q在抛物线上，代入抛物线方程： 4、1 =4a-2(4a-1)-4 2a 1-V3 解得： d= as3+1 4或4 a>0 4 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题， 角形的性质与判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识是解题的关键. 25.a1,0).(0,1)y=x+1 ②@) 6m3:②7<a3 10 75/203 让教与学更高效 三角形的外心的性质，等腰直角三 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)解：：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点，0)和0-关于点0,0的对称点分别是-1,0)，(@，1) 设函数y=x-1关于点(0,0)的“对称函数”为y=x+b, 将-1,0).0)代入得 [-k+b=0 [k=1 b=1,解得b=1, =x-1 (0,0) y=x+1 函数 关于点 的“对称函数”为 1 (2)解：函数y=+'是由反比例函数'=x向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数'=关于原点(0,0)中心对称， :函数-+1的图象关于点(0，)中心对称， :存在点P(0,),使得函数y+1关于点P的“对称函数”就是它本身. （3)解：将9化成顶点式y=2r+2a=a(x-少+a,其顶点为.a）, :CC关于点 (2,2) 对称， :C的顶点为 3,4-a) C的解析式为)=-a(x-3+4-a 0如图.当07时，G:%-+片，G:为=-+号 76/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 3 -2-10123456 -3 2 联立 y= 2-3+7,解得 2 x=2±V2 1 3 当x=1时，片=2，h=2,有整点(1，)， 当=2时，1，%=3，有整点21，(22.(23到 5 7 当x=3时，=2，为=2，有整点B,列， 故当a=2时，求W内的“整点”个数有5个： ②：C的顶点为 3,4-a) :C的解析式为 =-a(x-3)2+4-a=-ax2+6r+4-10a :函数G与C的图象关于点 2,2) 成中心对称， .点(2,2)必为区域W内的“整点”， 当区域”内恰有9个“整点”时，其它8个“整点”是4对关于点2,2刃对称的点，即，)和3)，(2,1)和 2,3),0,2)和（3,2）.0，D和(43) 77/203 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 6 5 2 _2-10 123456十x 此时，当C2过(0，)时，满足题意，即4-10a=1, 3 解得：a= 10 当过6时，即16a+a=3 3 解得：a=17, 此时区域W内有15个整点，如图， 6 -1O 6 当区域W内恰有13个“整点”时，其它12个“整点”是6对关于点(2,2)对称的点，在前面9个“整点” 的基础上增加了(0,2)、(4,2)、(3,1)及1,3)4个“整点”， 3 此时a>1 如图， 78/203 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 6 5 4 的取值范围是 3 -210 123456x:.a i7sas. 10 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐 标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键. 26.0)r2-2x-3 p720 (2)3’-9 6)存在，正方形的边长为95或万 (山解，：抛物线与》轴相交于点C0,-3),且抛物线的顶点坐标为 1-4) 一设抛物线的解析式为：y=a(x--4 把C0,-3)代入，得：(0--4台-3. ∴.a=1, y=(x-0-4=x2-2x-3 (2)当=r-2x-3=0 ，解得：古=35=1 .B(3,0) C(0,-3) 设直线8C的解析式为：=c-3,把B(3,0 代入，得：k=1 ∴.y=x-3 79/203 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作PF1x轴，垂足为点F,设P(m,m-2m-列，则：0F=mPF=-m2+2m+3 .BF=3-m, :△CDE与△PBE的面积相等， .S.oe+Soes=S.m+So0En,即： SxBOC SODPB=S3PFB+SODPr .D(0,-1) .OD=1, 3x3=(-m+2m+33-m+号(-m+2m+3+m， 1 .2 2 解得：m=3或m=0(舍去)： p720) 39 A D (3)存在点M,N使四边形MNHG为正方形， A B x 如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直 80/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 角三角形，MN∥BC. 由(2)可知，直线BC的解析式为y=x-3, 设M(,)N, ,直线MN解析式为'=x-b y=x-b 联立得：y=x2-2x-3, 消去y得：x2-3x+b-3=0. NF2=x-x=(x+x)2-4xx2=21-4b :△MNF为等腰直角三角形， .MW2=2NF2=42-8b :E(x2,x2-3) NE2=[2-(2-3)]=(x2-b-3+3}2=(b-32 :四边形MNHG为正方形， ..NH2 =MN2, ÷42-8动=62-6b+9). 2 整理得：b2+10b-75=0, 解得：b=-15或b=5, “正方形边长为 N=42-8b N=9N2或5.即正方形的边长为95或2 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰 81/203 可学科网 www zxxk .com 直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质， 本题的关键， 27.1)b=2,c=3 aD(23)D14) ’或 (3)存在，这两个交点之间的距离为2 (1)解：依题意，分别 4(3,0C03)f代入y=-r+s+c [0=-9+3b+c 得3=c b=2 解得c=3. (2)解：由(1)得b=2,c=3, 则y=-r+2x+3C(0,3) 令=0，则0=-+2x+3=(←x+3)x+) 方=35=1 故B-10),AB,0) 分别过点E、D作EN⊥OA,DM⊥OA,如图所示： VA B O NM :EN⊥OA,DM⊥OA, .∠ENB=∠DMB=90°， .∠DBM=∠EBN, ∴.△DMBAENB. 82/203 让教与学更高效 熟练掌握待定系数法是解 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 DM BD ·ENBE' .DE:BE=1:2. .DBBE=3:2, DM 3 ·Ew2, 设点E的纵坐标为2m,则点D的纵坐标为3m, 设AC的解析式为 =x+r(k≠0) C0,3)43,0) [3=r 0=3k+r, 「r=3 解得k=-1, ∴.AC的解析式为y=-x+3, 把y=2m代入y=-x+3, 得2m=-x+3, .x=3-2m, .E(3-2m,2m) 设BE的解析式为'=低+9（≠0）， 把EB-22m.B(-1,0)分别代入Jy=+9, 2m=t(3-2m)+q 得0=-1+q m t= 2-m 解得 m q-2-m 83/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 六2e的解折式为=2”n+2”n2c+0,。 m 依题意，把y=3m代入)y=Z”n（+).。 m(x+）, 得3m=2- 则x=5-3m, (5-3m,3m)） 即点 “点D为抛物线上第一象限内一点，且)=+2x+3 :3m=-(5-3m+25-3m)+3 3m2-7m+4=(m-1)(3m-4)=0 整理得 4 m=山m=3: 此时y=2”mx+)的2-m卡0·放风=1%-写是符合题的： 4 当m=l时，则5-3m=5-3=23m=3,此时D(2,3) 4 当m=号时，则5-3m=5-4=l3m=3×34,此时D0,4到， 3 D(2,3).D(1,4) 综上： 或 (3)解：存在，过程如下： 由(2)得少=-x2+2x+3 整理y=-t+2x+3=-(x-1}+4 ,F为抛物线的顶点， :F4) ,平移抛物线使得新顶点 P(m,mm>),P又在原抛物线上，新抛物线与直线=1交于点N,连结 84/203 可学科网 www.zxxk.com FP、PN,∠FPN=120° 如图所示： “平移后的抛物线的解析式为y=-(x-m)+n, 把x=l代入y=-(x-m)}+n 得w=-(1-m)}+n :点P(m,m在y=-(x-+4, :n=-(m-0}2+4 :(m--=4-n :w=-(1-m°+n=-4+n+n=-4+2n :w-4+2m) P(m川）N4-4+2m)）F1,4) :PF2=(m-+(n-4},PN2=(m-l+[n-(-4+2m=(m 则PF2=PW2, 即PF=PW ∴△PFN是等腰三角形， 过点P作PH⊥FN, .∠FPN=120°， ∠EPH=)x120°=60°. 2 85/203 让教与学更高效 10}2+(n-4)2 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 则am∠H=tm60°-形-4-A=V5 HP m-1 ,4-n=V3(m-1) 令t=m-1, :4-n=v5 即n=-V5+4 :n=-(m-1}+4 :5+4=-2+4 即-V3i=0 :-3)=0 :4=04=5 :m-1=0或m-1=5」 m引（舍去》或m=5+1, P+5, ∴平移后的抛物线解析式为y=-(x-1-V5+1, 令y=0,则0=-(x-1-5+1, (-1-3=1, 即-1-v3=t1 :=2+5=5 86/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 则-=2+3-V3=2 ∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2. 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质， 勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键， 28.a)'=-x2+2x+3 D(1,4 (2)① ,②5 G山新，-L0.0在=次西数=子+加+“的图家上，度该二次是致为=-(--） ∴y=-(x+1)(x-3) .y=-x2+2x+3 (2)解：①把x=0代入y=-+2x+3 得y=3, ∴.C(0,3) 如图，延长DC与x轴相交于点G. B G x:B(3,0),C(0,3) ∴.OB=OC=3 :∠C0B=90°， ∴.∠CB0=45° :∠DCB=90°=∠BCG」 ∴.∠CGB=90°-∠CB0=90°-45°=45° .∠GC0=180°-∠C0G-∠CGB=180°-90°-45°=45°， ∴.0G=OC=3, 87/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 G(-3,0) 设直线CG的解析式为： y=c+mk+0),把C0,3小G(-3,0)代入， [3=m k=1 得0=-3k+m解得m=3, CG ·直线CG的解析式为： y=x+3 点D是直线CG与二次函数的交点， y=x+3 .联立解析式y=-x2+2x+3, x=0「x=1 解得y=3或y=4, .D(1,4) OHEF ②如图，过点O作 H=BF=5,连接E,DM,设DH交”轴为点G. ,且 ,且 B OH‖EF OH=EF .四边形OFEH是平行四边形， ∴.OF=EH ∠CB0=45°， ∴.∠BOH=45° ,∴.△OGH为等腰直角三角形， ∴.OG=GH .OH=EF=2 0G2+GH2=OH2 ..OG=GH=1. 88/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 H(,-1) DE+EH≥DH, ∴当DE+EH=DH时，DE+EH最小. D(1,4),H(L,-1) ∴.DH=5 此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴， 点F的坐标为 3)与点C重合，满足EF在线段BC上. .DE+OF的最小值为5. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点 问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通 过数形结合的思想求解： 29.0)y=x2+6x+5 aP-3,2列或P-3,- )存在， (0,),240+v2C0的最小值为6N5 (山)解：：抛物线”=？+x+C关于直线x=-3对称，与轴交于 A(-1,0 、B两点， :B-50) y=(x+1)(x+5)=x2+6x+5 ∴抛物线的解析式为： (2),点P在对称轴上，设对称轴与x轴交于点E :设P(-3p)）.E(-3,0) :旋转， .PB=PD,∠BPD=90° 当点P在x轴上方时， 89/203 可学科网 www.zxxk.com A,B关于对称轴对称， ∴.PA=PB, 1 当∠APB=90时，满足题意，此时点D与点A重合，PE=2AB, 2 4(-,0)）B(-50) .AB=4, .PE=2, :P-32) 当点P在x轴下方时，如图，作DF⊥对称轴于点F,则：∠DFP=90°= P B ADO D .∠BPE=∠PDF=90°-∠DPF. 又BP=DP, ∴.△BPE≌△PDF, ..DF PE,PF =BE. ,B(-5,0),E(-3,0),P(1p) .DF=PE=-p,PF=BE=2,OE=3. .EF=-p+2. D(p-3,p-2） 90/203 让教与学更高效 ∠BEP=∠BPD. 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 把D(p-3,p-2)代入y=r+6x+5,得：p-2=(p-3+6(p-3列+5. 解得：x=-1或x=2(舍去)： :P(-3-) 综上： P-3,2)或P-3- (3)存在： 在x轴上取点 0,连接4C,CM,过点A作4H1CM于点H,交'轴于e,过点P作eG1CM于 M(5,0 点G,则：OM=5,∠QGC=90°， y G 、H B A M衣 y=t2+6x+5 .当x=0时，y=5, .C(0,5) ∴.0C=0M=5, :CM=50C=52,∠0CM=∠0MC=45 :△QGC为等腰直角三角形， :0c=cG=2c0 2 91/203 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 24ee-e号cejl-20+eoje2an 当点与点重合时， 240+2c0 的值最小为24H的长， 4(-1,0) .OA=1,AM=6, S.M0C-CM# 1 ,6×5=5V2AH .AH=3N2, 240+2C0 的最小值为65」 在Rt△AHM中，∠AMH=45°， .∠MAH=45°， :.△OAQ'为等腰直角三角形， .0g=09=0A=1. :e(0,1) 综上： Q(0,1)2Ag+V2C 的最小值为6W2 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性 质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解， 是解题的关键. 00---3 4175 2)点P的坐标为（⑧，-3）或4'16 92/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 0)点8的华标为(514)续33)成(5引 [Lx92+9b+c=0 (1)解：把B(9,),C(0,-3)代入到y=了+hr+c中得： c=-3 8 b=- 3 .c=-3’ 128 x-3 ∴抛物线解析式为少=3一3 (2)解；如图2-1所示，当点P在BC下方时， B D 图2-1 .∠PCB=∠OBC, ∴.PC∥OB ∴.点P与点C关于抛物线对称轴对称， 8 “抛物线对称轴为直线术=一 3=4 2 3 8,-3) ∴点P的坐标为 如图2-2所示，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于H, .∠PCB=LOBC, ..CH=BH ∴.CH2=BH2 93/203 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 设H(m0) :(0-m+(3-02=(9-m} 解得m=4, :H(4,0) 设直线PC解析式为'=x+么（低≠0） 4k+b=0 ∴.b=-3, ，3 k=4 ·6=-3 3 ·直线pC解析式为y=4x-3, -x 3 4 联立 ,解得175或∫x=0（舍去)， x-3 3 16y=-3 4175) 点P的坐标为4'16： 4175 综上所述，点P的坐标为（⑧，-3或4'16： H B x 图2-2 (3)解：由(2)可得原抛物线对称轴为直线x=4, 94/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B(90) A(-1,0) ∴由对称性可得 OA=1, C(0,-3) .0C=3. 4C=VO+0C2=10 CA 210 ,将抛物线沿射线“的方向平移 个单位长度后得到新抛物线， ∴.将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， “新抛物线解折式为少=x+2-8x+2)-3+6={-4x- 3 3 3 当BE为对角线时，：平行四边形对角线互相平分， .BE,CF的中点坐标相同， .xE+90+4 .22’ :5 写x(-5-(-5)-1=14 -5,14) ∴.此时点E的坐标为 当BF为对角线时，，平行四边形对角线互相平分， .BF,CE的中点坐标相同， xE+09+4 .2 2 xE=13 写×132-x13-1=38 3 13,38) ∴此时点E的坐标为 95/203 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 当BC为对角线时，：平行四边形对角线互相平分， :.BC,EF的中点坐标相同， .xE+4_9+0 .22· 6=5 %写5-x5-1 1 3 。此时点E的坐标为(33 隆上所述，点E的华标为5,4)成0B5, 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求 函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解(2)的关键在于分两种情况讨论求解，解 (3)的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解. 31.)少=x2-2x-3 @耀物线上存在点P,使∠C8P+1C0=45,P伯整标为2-3).（号） 96 B)BM+MN的最小值为25 (1)解：，抛物线的对称轴为直线x=1, b = =1,即b=-2a=-2 2a ·二次函数解析式为'=r-2x+c 将(-1,0)代入得，1+2+c=0 解得：c=-3, =x2-2x-3 .二次函数关系式为 96/203 可学科网 www zxxk.com (2)解：在少=-2x-3 ，当少=r-2x-3= 时，解得 :(-l,0,B3,0) 当x=0时，y=-3,则C(0,-3列 .OB=OC=3,A0=1. 设∠AC0=a,则an∠AC0=0=} OC 3 ①当P在直线CB的下方时， 如图，以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCD, V B D P(E) .BD=CD=3 D(3,-3) 设C关于x=1的对称点为E,则(2，-3列 ∴.DE=1 :tan∠DBE=DE-l BD 3 .∠DBE=∠ACO ∴.∠DBE+∠CBE=∠CBD=45° 又：∠CBP+∠AC0=45° ∴点P与点E重合， .P(2,-3) 当P在BC的上方时，作点P关于BC的对称点D 97/203 让教与学更高效 或术1 函学科网 www.zxxk.com :△OBC,aBCD都是等腰直角三角形，CP=CD'=2 D在'轴上， D'(0,-1) 1 同理可得直线BD解析式为y=3-1 1 y=-x-1 3 联立y=x2-2x-3 [2 x=- 3 解得： .11或x=3 y=-9 y=0 311 综上所述，抛物线上存在点P,使∠CBP+∠AC0=45°，P的坐标为(2，-3) (3)解：如图，在OC上取一点F,使得AF=FC 6 ∴.∠AFO=2∠AC0 设FC=AF=n,则OF=OC-FC=3-n 98/203 让教与学更高效 ( 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 在RtAAOF中，AO=1,OF=3-n,AF=n F2=402+F02,即=+3-m 5 解得：n=3 :0F=3-54 33 .tan∠BA0=tan∠AFo=40_3 0F4 B=3-(-1)=4 在AQ上取一点G,使得BG⊥x,垂足为B, BG 3 :tan∠BA0=AB4 .BG=3 即G3,3) 如图，作B关于AQ的对称点B',连接BB交AG于点T B B .BM+MN=B'M+MN≥B'N ∴当M在B'N上时BM+MN取得最小值，最小值为B'N的长， 在Rt△ABG中，AB=4,BG=3 .AG=5 99/203 可学科网 www zxxk.com :BB⊥AG: BT=B'T=AB×BG12 AG 5 ·BB=2BT=24 又：sin∠AGB=AB-4 AG5·∠ABB+∠TBG=∠TBG+∠AGB=90° .∠AGB=∠ABB B'N=BB'.sin LABB=24x4_96 5×525 一X一 96 ∴BM+MN的最小值为25· 32.)y=-x2-2x+3 (2)-3 /-11+33） .0 3八2 "-。 或 或2 (1)解：抛物线y=+hx+C与x轴相交于 (-3,0)B(1,0) 两点 9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3 a=-1 b=-2 解得： c=3 抛物线的表达式为少=--2+3 y=-x2-2x+3 (2)解：联立y=x-1 x1=1,x2=-4 解得： :D4-5) 100/203 让教与学更高效 与y轴交于点 C(0,3) 专题07 二次函数 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 二次函数（图象与性质） 三年全省全覆盖 以选择题为主、填空题为辅，是四川各地市必考题。① 多结论判断题为绝对主流（占比超 70%）：给出抛物线图象或部分条件，列出①②③④等 4~5 个结论（涉及 a、b、c 符号、对称轴、判别式、特殊点函数值、方程根的范围等），判断正确结论的个数；② 函数值大小比较：已知三点横坐标比较纵坐标大小，或利用增减性与对称性；③ 最值与区间：给定自变量范围求二次函数最值，含参讨论对称轴位置；④ 图象平移与变换：左右平移后关于坐标轴对称、绕顶点旋转等；⑤ 实际应用：竖直上抛小球高度、矩形最大面积、围栏围地等建模求最值；⑥ 新定义小题："近轴点"" 倒数点 ""定义运算" 等阅读理解型问题（成都、乐山偏好）。 考点 02 二次函数压轴题 三年全省全覆盖 四川中考解答题最后一题必考、分值最高（10~12 分），全省每市每年 1 道。典型结构为3 小问递进：① 第 1 问（送分）：用待定系数法求抛物线解析式，或求顶点、交点坐标；② 第 2 问（中档）：动点背景下的面积最值（铅垂高法）、线段和最小值、三角形周长最值、点到直线距离最值等；③ 第 3 问（压轴拉分）：存在性问题为主流 —— 在坐标轴或抛物线上找点，使三角形为等腰 / 直角三角形、构成平行四边形 / 菱形 / 矩形，或相似三角形、角度定值（45°、相等角）问题；④ 新定义压轴（成都卷标志性题型）："顶点弦"" 二级抛物线 ""半根函数"" 界密点 ""阶方点" 等，先给定义再探究性质，考查现场学习与迁移能力；⑤ 实际应用压轴：利润最大化（眉山 "川超" 体育经济）、几何图形中动点面积等，偶有出现；⑥ 常与一次函数、反比例函数、圆、相似三角形、三角函数综合，是全卷区分度最高的题。 考点01 二次函数（图象与性质） 1．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 3．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点性质、交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ①若在轴上，则顶点纵坐标为，即， 解得，故①正确； ②将代入，当时，， ∴点不在直线上，故②错误； ③∵，纵坐标相同，对称轴为， ∴， 解得， 将代入抛物线得， ∴， 当时，不满足，故③错误； ④∵顶点坐标为， ∴， ∴所在直线为， 将代入得，， 解得， ∵当点所在直线与线段没有交点时， ∴或， ∴或， 整理得，或， ∵， ∴， ∴无解； ∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵点在原点， ∴，， ∴， ∴抛物线为， 当过的直线是时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为， 联立得， 整理得，， 设，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ ∴， ∴， 同理可得，， ∴，故⑤正确． 综上，正确结论为①④⑤，共3个． 5．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 6．（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误． 【详解】解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入坐标得，，∵， ∴，化简得，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论： 若，即，二次函数随的增大而增大，，不含； 若，即，二次函数随的增大而减小， ，不含； 若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含； 因此的值与无关，④正确． 综上，正确结论共个． 7．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 8．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 9．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质.根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号；利用抛物线解析式及的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④． 【详解】解：①抛物线开口向上， ， ∵与x轴的两个交点坐标分别为， ∴对称轴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 故①正确； ， 由和可得， 故②结论错误； ③当时，抛物线有最小值，， ∵，， ∴当时，随增大而减小，当时，；当时，； ∴， 故③正确； ④方程有实数根， ，即. ， ， ， ， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 10．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】设过原点的直线方程，联立两个抛物线得到交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解m即可． 【详解】解：设过原点的直线为，， 联立直线与抛物线，消去y得：，解得：， ∴的横坐标为，代入得：， ∴， 同理联立直线与抛物线得：的坐标为， ∴根据两点间距离公式可得： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴约去公因式得，整理得， 解得：，， 经检验：，都是方程的解， ∴的值为或． 11．（2026·四川达州·中考真题）二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据表格中值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导，，的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，和时值均为， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误． ④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 12．（2026·四川成都·中考真题）已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 13．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论： ①函数的图象上存在2个“倒数点”； ②函数的图象上不存在“倒数点”； ③函数的图象上存在1个“倒数点”； ④若函数的图象上存在“倒数点”，则． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可. 【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则， 整理得， 解得， ∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立， ， ， 当时，，整理得， ， 解得，， 正根，存在解， ∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立， ∴， 画出函数和图象的草图如图所示： 由图象知：函数和图象有唯一的交点， ∴有唯一的解， ∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立， 整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点， 此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 14．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一次函数和二次函数的增减性问题，读懂题意，并按照题意分类讨论求出最值是解题的关键． 通过比较函数和的大小关系，确定的取值，并求其最大值． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，， ∴； 时，随着的增大而增大，当时，， ∴； ，随着的增大而减小，当时，， ∴． ∴当或时，的最大值为． 当时，， ∴； 上，随着的增大而增大， ∴当时，， ∴， 综上所述，的最大值为． 故选：C． 15．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 16．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 17．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 18．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为，可得：，又因为，可知抛物线开口向上，所以，则有，由表格可知，当时，，所以可知；因为开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大，可得：；整理方程，可得：，因为抛物线有最小值且，所以当时，，又因为，所以当时，，所以方程有个不相等的实数根；当时，方程可化为，此时方程有个不相等的实数根；当时，，此时方程无实数根；因为当时，，当时，，解得：，，所以可得：，又因为，所以可得：，根据和，可得不等式，从而可得：，根据不等式的性质可得：；根据抛物线的对称性可知，若要的最小值是，则有或，从而可得：当的最小值是，时或. 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 又当时，， 由表格可知当时，， ， ， ， 抛物线的开口向上， ，，， ， 故正确； 由可知抛物线开口向上，对称轴为， ，， ， 开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大， ，故正确； 抛物线开口向上，对称轴为， 与关于对称轴对称， ， 由可知， ， ， 当时，， 把方程，整理得：， 有个根； 当时，方程为， 方程有个根； 当时，， 则有， 方程无实根，故错误； 时，， 当时，， 当时，， 可得，， ，， ， ， ， 解得：， ，故正确； 当时，， 此时抛物线过点，， 抛物线与交于点，， 时最小值为， 或，与结论不符合，故错误． 综上所述，正确结论为，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、二次方程根的个数判断、不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论． 19．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 20．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质及二次函数与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可． 【详解】解：∵抛物线过点和（）， ∴设抛物线为， ∴， ∴，， ∵且， ∴，， ∴， 故结论①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 结论②不符合题意； 由题意，第一种情况，若， ∵对称轴直线， ∴对称点的横坐标为， ∴两点间的横向距离为， ∵， ∴，即， 第二种情况，若， ∵该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）如图，     ∴， 故结论③不符合题意； 当时，方程的根为和， 即， ∵， ∴不等式的解集为， 故结论④符合题意； 综上，正确结论为①④，共2个． 21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可． 【详解】∵抛物线开口向上 ∴ ∵对称轴为直线 ∴ ∵抛物线与y轴交于负半轴 ∴ ∴，故①错误； ∵对称轴为直线 ∴ ∵在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确； 如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 将代入 将，代入得， ∴ ∵ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是钝角三角形，故③正确； ∵ ∴当时，， ∴方程转化为 解得； ∴当时，， ∴方程转化为 解得或6； ∵方程的两根为、 ∴，，故④正确． 综上所述，其中正确结论有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 23．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 24．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（、、为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点，，在抛物线上，且，当时，则的取值范围为．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断，，的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出没有符合题意的的取值范围，进而判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交点坐标是，且， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为，即， ∵抛物线开口向下，且， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∵， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点在抛物线上，存在，且对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴， ∵， ∴， 当时，恒成立，故不符合题意，舍去； 当时，恒成立，故不符合题意，舍去； 故当时，没有符合题意的的取值范围，故⑤错误； 故正确的有①③④，共3个． 25．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 26．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 27．（2025·四川达州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质以及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，可得，根据抛物线与x轴交于点，点，当时，即可逐一判断，进而求解. 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，， 故结论③④正确； ∴，即，， 故结论②正确； ∴， 故结论①正确； 综上，说法正确的有4个； 故选：D. 28．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；根据抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，当时，，根据题意不能确定的符号，则C选项不一定成立． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴当时，， ∵当时，， ∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ∴，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当时，，且当时，， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， ∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴当时，的符号不确定，即的符号不确定， ∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D． 29．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④． 【详解】解：由题意，∵有两实根， ． ∴得，． ∴，故①正确． ， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴抛物线的顶点为． 又， ∴，即． ∴． ∴． ∴顶点坐标为，故②正确． ∵， ∴． 又， ， ∴，故③错误． ， ， ∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ∵，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ， ∴，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 30．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④． 【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确②； ③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 故选：D． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 31．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴负半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确． 【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意； ②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意； ③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意； 综上所述，①②③结论正确，符合题意． 故选：D． 32．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤； 【详解】解：①抛物线开口向上，，， ∴当时，，故①不符合题意； ②∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意； ③∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故③不符合题意； ④∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤∵，， ∴， 由根与系数的关系可得：，， ∴ ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：C． 33．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 34．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 35．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 36．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 37．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 38．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 39．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 40．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（    ） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②正确； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：C． 41．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为，依题意，，根据题意抛物线开口向下，当时，，即可判断A选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，据此，即可求解． 【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为 依题意， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，，即 ∴，故A选项正确，符合题意； 若对称轴为，即， 而，不能得出对称轴为直线， 故B选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与坐标轴有2个交点， ∴方程有两个不等实数解，即，又 ∴，故C选项错误，不符合题意； 无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 42．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 43．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在边长为1的等边三角形中，D为边上的动点（不与端点重合），过点D作于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分） ①； ②； ③设，则的面积S是关于x的二次函数； ④仅存在一点D，使得． 【答案】①②③④ 【分析】由题意易得，则有，，然后问题根据三角形面积，二次函数的性质及三角函数进行排除答案即可． 【详解】解：∵是等边三角形，且边长为1， ∴， ∵， ∴，， ∵D为边上的动点（不与端点重合）， ∴， ∴，，故①说法正确； ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②说法正确； 设，则有， ∴， ∴， ∴的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确； 过点作，如图所示： ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴仅存在一点D，使得，故④说法正确； 综上所述：正确的有①②③④． 44．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】解：过A作，使，连接、． ∴, ∵， ∴； 又， 设，则． 由旋转性质，得，， ， 又, ， ∴． 在中，， 在中，由勾股定理得， 代入、， 化简得：， ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，取最小值，故 ，即． 45．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 46．（2026·四川乐山·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的，， ， 称为三角形数，第二行的，，， 称为四边形数，第三行的， ， ，称为五边形数． （1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）： ①；        ②；        ③． （2）我们将 边形数中第 个数记为．已知，，则_________．（用含有 的代数式表示） 【答案】 ①③ 【分析】（1）根据图形规律，往后写几个数即可求解； （2）设，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：1和36既是三角形数又是四边形数； 根据题意，第一行的三角形数分别为1,3,6,10,15,21,28,36， 第二行的四边形数分别为1,4,9,16,25,36,49， 第三行的五边形数分别为1,5,12,22,35,51， 故1和36既是三角形数又是四边形数． （2）解：，都是n的二次函数， 也可能是n的二次函数， 不妨设， 根据题意，得， 解得， 故． 47．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 48．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 49．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点关于对称轴的对称点，连接，的长即为的最小值，勾股定理求出的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 50．（2024·四川巴中·中考真题）若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为3 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意； 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称． ∴， ∴，故①符合题意； ∴， ∴ ， ， ∵， ∴当时，取最小值，故②不符合题意； ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ∴， ∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意； 综上：符合题意的有①③④； 故答案为：①③④． 51．（2024·四川·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为______． 【答案】 【分析】根据题意，这些青稞穗的最佳近似长度可以取使函数为最小值的的值，整理上式，并求出青稞穗长的最佳近似长度． 【详解】解：由题意，a与各个测量数据的差的平方和 ， 时，有最小值， 青稞穗长的最佳近似长度为． 故答案为：． 52．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______． 【答案】 ③ 或 【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． （1）①中，取，不存在“近轴点”； ②，由对称性，取，不存在“近轴点”； ③，取时，，得到是的“近轴点”； （2）图象恒过点，当直线过时， ，得到；当直线过时，，得到． 【详解】（1）①中， 时，， 不存在“近轴点”； ②， 由对称性，当时，， 不存在“近轴点”； ③， 时，， ∴是的“近轴点”； ∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③ 故答案为：③； （2）中， 时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ∴， ∴； 当直线过时，， ∴， ∴； ∴m的取值范围为或． 故答案为：或． 53．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则________（填“＞”或“＜”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 54．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， 由题意可知，存在， ∴，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， ∴且， ∵，， ∴且， 解得． 故答案为：，． 55．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是_____．（填写序号） 【答案】 【分析】由题意得，根据可以判断；令求出，，由可以判断；抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），根据根的判别式得出或，或，可以判断，利用两点间的距离可以判断． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴与交点为，故正确， 当时，，解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则有：， ∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧）， ∴，， 解得：或，或， 由得， ∴， 当时，，或当时，， ∴，故错误； 由得：，解得， ∵在的左侧，在的左侧， ∴，，，， ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴由对称性可知：，两点关于对称，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 56．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是______（请填写序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④错误，不符合题意． 故答案为：①② 57．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形， 设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为， 当时，如图， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时，如图， 则矩形菜园的总长为， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴当时，的值均小于； 综上，矩形菜地的最大面积是； 故答案为：． 考点02 二次函数压轴题 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，连接，设，其中，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为， ∴令时，则有，即， 连接，设，其中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：存在点，使得， ∵，，， ∴， ∴，， 过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，则有， ∴， ∴的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】直接将代入抛物线解析式，然后化成一般式即可； ①由题意可得，对称轴为，进而得到，即得，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得，即可确定点的坐标；②过点作于，则，设，得，即得，，，由得到，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， ∴， 即； （2）解：①∵抛物线与轴负半轴交于点， ∴，对称轴为直线， ∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，过点作于，则， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的横坐标为． 3．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解； （3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴令，即，解得， 令，； ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，即， ∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点， ∴设二次函数解析式为， 将点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点， ， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴令，解得，（舍去）， ∴； （3）解：设， ∴，， ∵在抛物线上，在抛物线上， ∴①，②， ∵③， ∴联立①②③，得到，解得，（舍去）， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴轴， ∴． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接．试判定的形状，并说明理由； (3)如图，点、是直线上两动点，且．求面积的最小值． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由如下： 对于抛物线，对称轴为直线， 设直线，代入点、 ∴ 解得 ∴直线 将代入，得 ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，然后求出点坐标，再由勾股定理逆定理求解即可； （3）过点作于点，解，求出，再解中，求出，可得为等腰直角三角形，则，作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接，则，可得为等腰直角三角形，则设，那么，由于，则，求出，故当点三点共线，且点重合时，取得最小值为，则此时取得最小值为，而的高为定值，即可求解面积最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点． ∴， 解得 ∴，即； （2）略 （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴在中，， ∵点、 ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接， 则， ∵ ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴均是等腰直角三角形， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， 当点三点共线，且点重合时，取得最小值为 ∵， ∴此时取得最小值为， 而高为定值， ∴的面积最小值为， ∴的面积为． 5．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 6．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为；点的坐标为 (3)是定值，定值为 【分析】（1）先写出交点式，再代入点C坐标求解即可； （2）过点作轴，交于点，可求直线，根据，可得当面积最大时，四边形面积最大，设（），则，那么，再由，得到，再利用二次函数的性质求解即可； （3）不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点，则，设，，联立直线与抛物线，整理得，，则，可求直线，求出，同理可得，则，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点 ∴， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴，交于点， 设直线， 代入，可得， 解得 ∴直线 ∵ ∴当面积最大时，四边形面积最大， 设（），则 ∴， ∴， 即 ∵，， ∴当时，的面积最大为， ∴四边形面积最大值为， ∴此时点纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：是定值， 如图，不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧， 抛物线， ∴顶点 ∴ 设， 联立直线与抛物线， 则 整理得，， ∴， 设直线，则 解得 ∴直线， 令，则，解得， ∴，同理可得， ∴，， ∴． 7．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)求A、两点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点． ①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①定点； 如图，设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、． ∴． 又∵A、两点到直线的距离相等， ∴． 又∵， ∴． ∴， 即：点为中点． ∵，， ∴中点， 即直线过定点； ②直线过定点 【分析】（1）令，解得，再根据抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），得到，． （2）①设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、．即可证明．得到，则点为中点，根据中点公式得到，即直线过定点； ②先求出顶点，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、，即可证明，得到，设，，分别表示出，，，，代入整理得，再联立，结合根与系数的关系得到，．即可得到，则，直线过定点． 【详解】（1）解：令，解得， ∵抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧）， ∴，． （2）解：①略 ②∵的对称轴为，当时，， ∴顶点， 如图，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴， 设，， ∴，，，， ∴． 整理得． ∵直线与抛物线交于，两点． ∴联立， 可得， ∴，． 代入可得， ∴． ∴， ∴当时，固定不变， ∴直线过定点． 8．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 9．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接，已知点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点P是直线上一个动点，连接， ，当的长度最小时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上一个动点，当时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代入点坐标以及利用对称轴公式求解即可； （2）过点关于直线的对称点，连接，由于，故当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点，然后求出，则直线，再求出直线，联立即可求解交点P的坐标； （3）分两种情况讨论，点在直线上方或者点在直线下方，通过添加辅助线构造相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线经过点，对称轴为直线 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点关于直线的对称点，连接， ∴，当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点， 对于，当时， ∴ ∵，对称轴为直线 ∴ ∴，而 ∴， 由对称可得，， ∴ ∴ 设直线 则，解得 ∴直线 设直线 ∴ 解得 ∴直线 联立， 解得 ∴点； （3）解：当点在直线上方时，过点作交射线于点， ∵ ∴， 过点作轴于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 同理可求直线， 与抛物线表达式联立可得， 解得或 ∴； 当点在直线下方时，设直线与轴交于点，取点，连接， 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 同理可求直线， 与抛物线表达式联立可得， 解得或 ∴， 综上：点Q的坐标为或． 10．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 11．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b为常数，）的图象与轴分别交于点，点，与轴交于点，，． (1)求二次函数的解析式； (2)①连接，点是第一象限内抛物线上的一动点，当点到的距离最大时，求点的坐标； ②在①的条件下，点，分别是轴和抛物线对称轴上两个动点，且轴，连接，，，求的最小值； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②6； (3)存在，Q的坐标为， 【分析】（1）由且，可得，，即，．将两点坐标代入，求解即可； （2）①先求直线解析式为，由为等腰直角三角形，可知点到的距离与竖直线段成正比，设，表示出的长度并配方，当时最大，即可求出点P坐标；②先求出抛物线对称轴为，根据轴，可得为定值．将点向右平移1个单位得，则，原式转化为．当、、三点共线时和最小，由两点间距离公式得，即可求出最小值； （3）已知、，先求得，设的中点为G，则，由三线合一可得，设，由可得，，再结合等边三角形的高列方程求解，得到的两个坐标，对应线段两侧的两种情况． 【详解】（1）解：，， ，， ，， 将，代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①过点作轴的垂线交轴于点，交于点，过点作于点，如图， 当时，， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ， 在中，， 设的解析式为， 将和代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 设，则， 为第一象限内的点， ， ∵， 当时，最大，即当取最大值时，最大，此时； ②将点向右平移1个单位长度得点，则，连接交对称轴于点，如图， ∵，且， ∴， ∵， ， ∴ 当，，三点共线时，最小，为， ∵，， ∴， ， 的最小值为6； （3）解：由（2）得，点坐标为， ∴，， 在中，， 设的中点为G，连接，如图， 则G的坐标为，即，且， ∵为等边三角形， ∴，且， 在中，， 设，由得， 解得， 又∵， ∴ 将代入，得 解得或， 当时，，即； 当时，，即， 综上所述，点Q的坐标为和． 【点睛】本题是二次函数综合题，核心是利用平移法处理定长线段最短路径，避免配方计算失误、平移方向与距离出错、漏解等边三角形的两种位置． 12．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，则可分：①当时，②当时，③当时，④当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线可知：对称轴为直线， ∵抛物线过点，， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴； （2）解：令，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为，， ∵点为线段上一点， ∴， 解得：， ∵过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 根据题意可知：当，时，的最小值应大于的最大值， 分析抛物线对称轴与和时三种关系， ①当时，如图， 此时，都有，符合题意； ②当时，且当时，此时当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴，解得：， ∴当时，恒成立， 当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ③当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ④当时，则， 若时，则的最大值大于，即不成立， 若时，如图， ∴当时，点C的纵坐标取得最大值，当时，点D的纵坐标取得最小值， ∴， 解得：； 综上所述：t的取值范围为或． 13．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点Q，求出点B的坐标为；则可求出直线的函数表达式为；设点P的坐标为，则点Q的纵坐标为，故；可证明；则可证明，据此可得答案； （3）当点E在点B上方时，设交x轴于点H，可证明，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程推出，则直线的函数表达式为，联立，解得或（舍去），则点E的纵坐标为2；当点E在点B下方时，可证明，即轴，则点E的纵坐标为． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点Q 在中，当时，， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的横坐标为p， ∴点Q的纵坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：如图3-1所示，当点E在点B上方时，设交x轴于点H， ∵，点C与点D关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点E的坐标为， ∴点E的纵坐标为2； 如图3-2所示，当点E在点B下方时， 同理可得， ∴，即轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点E的纵坐标为； 综上所述，点E的纵坐标为或2． 14．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、、 【分析】（1）将点代入直线方程求，得到点坐标，再代入抛物线交点式求系数，展开得抛物线表达式； （2）、为定长，将周长最小转化为求的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利用两点之间线段最短确定点位置，联立直线与对称轴求解； （3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线经过点，且点在轴上， ∴令，得， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， 解得， ∴， 综上所述，，抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为：， ∴求四边形周长的最小值，只需求的最小值， ∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵、在直线上，且，在上方， ∴设，， 如图：把点向上平移2个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、， 在四边形中， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与关于直线对称，在直线上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点在与直线的交点处时，最小， 设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴； （3）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，得， 解得：或， ∵在左侧， ∴，， ∵由（1）知，， ∴，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，， ∴点沿射线方向平移个单位长度后与点重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，如图： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴平移后对称轴为直线， ∵点为平移后的抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，， ， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴， 若，如图： 则， ∴， 解得或， ∴或， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴． 15．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与抛物线相交于，两点．，两点在抛物线上，且． (1)若点的坐标为，求的值和点的坐标； (2)在（1）的条件下，记，两点的横坐标分别为，（），当时，函数总在处取得最大值，求的取值范围； (3)若，直线，的交点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标和的值． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)的取值范围是 (3)点E的坐标为， 【分析】（1）将已知点的坐标代入直线解析式，求出的值，再联立直线与抛物线的解析式，解方程组得到点的坐标； （2）根据设出直线的解析式，联立抛物线方程，利用根与系数的关系得到的值，再结合二次函数的图像性质，根据函数在区间上的最大值位置，列出关于函数对称轴的不等式求解； （3）先联立直线、与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到交点横坐标的和与积，再根据建立水平距离的关系，求出与的关系式，然后利用、、和、、三点共线的条件，得到关于的关系式，联立求解得到的值，进而求出的值和点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入， 则， 解得：， ， 联立，可得， 解得：，， 点的坐标为， 点的横坐标为， 将代入得， 点的坐标为； （2）解：， 设的函数解析式为：， 联立， 则， 由根与系数的关系得， 函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 要使函数在处取得最大值，需满足右端点到对称轴的距离不小于左端点到对称轴的距离，即：， 则，即， 解得：； （3）解：设的函数解析式为：， 联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， 同理，联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， ，， ， ，整理得， 即， 设， 如图， 、、三点共线， ∴直线的k值与直线的k值相等， ， 化简得，，则， 同理由、、三点共线得， ， 整理得，， ，，， ， 解得：， ， 解得：， ，， ， ， 点的坐标为，的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、直线与抛物线的交点问题、根与系数的关系的应用、二次函数的最值问题以及利用三点共线求解参数等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图像与性质、灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 16．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①线段长度的最小值为；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴抛物线的解析式为， 设， ∴， 令，， ∴， ∴当时，线段长度的最小值为； ②设，， 设直线的解析式为， ∴， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， ∵，， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； ∵，， ∴， ∴，的底边相同， ∴， ∴， ∴（舍去正值）， ∴ ∴直线的解析式为． 17．（2026·四川泸州·中考真题）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点，且关于直线对称，求二次函数的解析式； (2)当时，该二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，且是等腰三角形，求的面积； (3)当时，点，在该二次函数的图象上，若，求二次函数在上的最大值的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，设该二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，当时，则有，那么是该方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系可得：，然后根据两点间距离公式及等腰三角形的定义进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据可得，则有该二次函数的对称轴范围为，进而根据二次函数的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∵该二次函数的图象经过点， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，则有， 令，则有，即， ∴， 设该二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，不妨设， 当时，则有，那么是该方程的两个不等实数根， ∴根据根与系数的关系可得：， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当该二次函数的图象与轴分别交于，两点，且在轴的右侧， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，解得：（负根舍去）， ∴把代入得：，解得：， ∴，解得：， ∴， ∴； 当该二次函数的图象与轴分别交于，两点，且在轴的左侧， ∵是等腰三角形， ∴， 同理可得：； 综上所述：的面积为； （3）解：当时，则有， ∵点，在该二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∴当时，即，此时二次函数在上，y随x的增大而增大， ∴二次函数在上的最大值为， ∵， ∴， 当时，即， ∴二次函数在上的最大值为， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述：最大值的取值范围为． 18．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 19．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 20．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为 (2)①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为 【分析】（1）将代入求出值，再根据和求出直线的解析式； （2）①根据题意可得，再将代入求解即可；②参考①思路联立解析式即可；③设抛物线的解析式为，则可得点的坐标为，点B的坐标为，先求出的表达式，作交直线于点C，求出直线和直线的解析式并联立，进而求出，结合题意求出t的值即可． 【详解】（1）解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∵点的坐标为， ∴点B的横坐标为， 将代入得，， ∴点B的坐标为， 作交直线于点C，过点B作轴于点D， ∴， ∵直线的解析式为，即第二、四象限的角平分线， ∴直线为第一、三象限的角平分线，解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴，则， ∴点B的坐标为． 21．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：描点，连线，画图如下： 一次，二次； 【检验】：，， 验证：当时，，符合题意； 验证：当时，，符合题意； 【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 22．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 23．（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）②；（3）；（4）且 【分析】（）结合图形找出点的位置即可求解； （）根据点位置的分布即可判断； （）利用勾股定理及线段垂直平分线的性质解答即可求解； （）结合图形性质，根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：（）当为时，线段的垂直平分线为直线，过点垂直于轴的垂线即为轴， ∴点的坐标为； 当为时，如图所示，点的坐标为， 故答案为：，； （）由对称性可知，当为时，如图所示，点的坐标为， ∴由点的位置变化可猜想为我们学过的二次函数， 故答案为：； （）由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴； （）如图，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 又由（）可知当为时，点的坐标为，点三点共线构成不了三角形， ∴， 综上，要使为钝角三角形，的取值范围为且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等，理解题意是解题的关键． 24．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求与的关系； (2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标； (3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）先求得直线的解析式，当在的下方时，如图，过点作轴，交于点，进而求得的长，根据三角形的面积公式建立方程，即可求解；当在上方时，过点作的平行线交抛物线与点，得出直线的解析式为，进而联立抛物线，即可求解； （3）根据题意先求得，根据直角三角形的外心在斜边的中点上得出，设，的中点为，过点作轴交于点，进而得出是等腰直角三角形，则，根据中点坐标求得，代入得出，根据，得出，联立求得，进而将代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得 ∴即 （2）解：∵ ∴ ∴抛物线解析式为 当时， ∴ 设直线的解析式为，代入， 得 解得： ∴ 当在的下方时，如图，过点作轴，交于点， 设，则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴，则 ∴，且轴， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴到的距离为 如图，延长交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形，且 ∴到的距离为， ∵ ∴当在上方时，点在过点与的平行线上，设过点与的平行线交抛物线于点, 设直线的解析式为 代入 ∴ 解得： ∴ 联立 解得：或 ∴或 综上所述，或或 （3）抛物线方程为，由（1）知， 当时，，则 故抛物线为： 设， 当时， ∵ ∴ ∴ 即，解得 ∴ ∵是直角三角形， ∴的外接圆的圆心在上，且为的中点， ∵， ∴的外接圆的圆心坐标为： 因为直线的解析式为 如图，设，的中点为，过点作轴交于点 ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵关于对称， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵在上， ∴     ∴即① ∵ ∴ ∴② 联立①②得， ∴ ∵在抛物线上，代入抛物线方程： 解得：或 ∵ ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，三角形的外心的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 26．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 27．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标； (3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)存在，这两个交点之间的距离为 【分析】（1）理解题意，分别把代入，进行计算，即可作答． （2）先得，再证明，运用，得，设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，再分别求出的解析式为，的解析式为，整理得点，因为点为抛物线上第一象限内一点，得，解得，即可作答． （3）先求出，再整理得平移后的抛物线的解析式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，平移后的抛物线解析式为，求出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，分别把代入， 得， 解得． （2）解：由（1）得， 则， 令，则， ∴， 故， 分别过点E、D作如图所示： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， ∵点为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得， ∴； 此时的，故是符合题意的； 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上：或； （3）解：存在，过程如下： 由（2）得， 整理 ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结． 如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， ∵点在， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则， 即 ∴是等腰三角形， 过点作， ∵， ∴， 则， ∴， 令， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， ∴（舍去）或， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， 令则， ∴， 即， ∴， 则， ∴新抛物线与轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 28．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1) (2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 29．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； （3）存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 30．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． 31．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，的坐标为， (3)的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据抛物线的对称轴为直线，得出则二次函数解析式为代入，得出，即可求解； （2）设，根据点的坐标可得，，分量种情况讨论，①当在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设关于的对称点为，则，验证可得点与点重合，得出，当在的上方时，作点关于的对称点，即，进而联立直线与抛物线解析式，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即 ∴二次函数解析式为 将代入得， 解得：， ∴二次函数关系式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，，则 ∴，， 设，则 ①当在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设关于的对称点为，则， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴点与点重合， ∴ 当在的上方时，作点关于的对称点 ∵都是等腰直角三角形， ∴在轴上， 同理可得直线解析式为 联立 解得：或 ∴ 综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标为， （3）解：如图，在上取一点，使得 ∴ 设，则 在中， ∴，即 解得： ∴ ∴ ∵， 在上取一点，使得，垂足为， ∴ ∴ 即, 如图，作关于的对称点，连接交于点 ∴ ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴的最小值为． 32．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）直接由待定系数法即可求解； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型． 33．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； (2)至少需要购进B款纪念品200个 (3)，W的最大值为4500 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 34．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在定点 【分析】（1）把代入，求出抛物线的解析式，令，即可求解； （2）设直线为，设点，，可得且，即可求解； （3）设直线解析式，直线与抛物线相交于点，，与抛物线解析式联立可得，，．作，，，，，．根据，可得，从而得到，进而得到，继而得到，再由直线不垂直于轴，可得，从而得到直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， ． 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ； （2）解：∵，N是抛物线顶点， ∴， 设直线的解析式为， ，， ∴，解得：， 直线的解析式为， ， 可设直线为， 设点，， 且． 解得：． （3）解：存在定点满足条件． 设直线解析式，直线与抛物线相交于点，， ， ． ，，． 作，，，，，． ， ． 即， ， ， ． ． ． ， 直线不垂直于轴， ， ， ， 直线解析式， 无论为何值，，， ∴过定点，故存在定点． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识．利用数形结合思想解答是解题的关键． 35．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点Q使，此时点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案； （3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； （3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形． 36．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 37．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴当，，当时，， ∴， ∵， ∴顶点坐标在直线上移动， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴当，即：时， 此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； （3）结论：存在； 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直， ∴，设直线的解析式为：， 在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，如图，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：，即：， 联立，整理，得：， ∴，， ∵为的中点， ∴， 联立， 同理可得：， 假设存在点，使得总是平分，如图，作， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 设，则：， 解得： ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 38．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 39．（2025·四川达州·中考真题）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，B的坐标为，C的坐标为，顶点为M． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过第四象限内抛物线上一点作的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F． ①连接，当时，求内切圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接，当点F在的内角平分线上，上的动点P满足的值最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②的面积为2或3或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点A的坐标，进而可判断，是等腰直角三角形，然后根据的外接圆直径是，可得其外接圆的半径，再利用等积法求出r，即可解决问题； ②先求得抛物线的顶点M的坐标和对称轴与x轴的交点T的坐标，作轴于点P，可得，继而可得，于是可得当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合，然后分点F在不同内角平分线上共三种情况，外加当点重合于点O时，此时点F在的平分线上这种特殊情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把B的坐标，C的坐标代入抛物线的解析式。 得，解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：①令， 解得：， ∴， ∵B，C， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵, ∴， ∴当时，是等腰直角三角形，且， ∴， ∴的外接圆直径是， 则其外接圆的半径， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ②∵， ∴抛物线的对称轴是直线，顶点M的坐标是， ∴直线与x轴的交点T的坐标是， 作轴于点P，则在直角三角形中，， ∴， ∴当M、P、Q三点共线且轴时，的值最小，此时Q、T重合， 当点F在的内角的平分线上即时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴E、T重合， ∵B，C， ∴直线的解析式是， 当时，， ∴点P的坐标是， ∴， ∴； 当点F在的内角的平分线上时，如图，作于点K， 则， 设，则， ∵，且, ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由于， ∴点F不可能在的内角的平分线上； 当点重合于点O时，此时平分即点F在的平分线上，符合题意，则， ∴； 综上：的面积为2或3或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、角平分线的性质、解直角三角形、三角形的内切圆和外接圆等知识，综合性强、难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握函数、图形等相关知识的综合应用、灵活应用数形结合思想是解题的关键. 40．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在中，分别是的中点，连接，交于点．     (1)若，，，则四边形的面积为___________； (2)若，的最大面积为．设，求与之间的函数关系式，并求的最大值； (3)若（2）问中取任意实数，将函数的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数的图象．直线交该图象于点，（点在点左边），过点的直线交该图象于另一点，过点的直线与直线交于点．若，试问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大为 (3)是， 【分析】（1）分割法得到四边形的面积，即可得出结果； （2）三角形的中位线定理，证明，进而推出，进而得到当四边形的面积最大时，最大，过点作，过点作，则：，进而得到四边形的最大面积，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （3）根据平移规则，求出抛物线的解析式，设，根据三角形的中线平分面积，得到为的中点，进而得到点坐标，设，结合点H在上列出方程，利用韦达定理解得m和n的关系，再把的坐标代入，求出，根据直线过点，将解析式写为，得到，令，求出值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴四边形的面积 ； （2）∵在中，分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形的面积最大时，的面积最大， 过点作，过点作，则：， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积最大， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，最大为； （3）直线是过定点： 由（2）知：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴为的中点， ∵过点的直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， 设， ∵直线交该图象于点， ∴， 则， ∴，， ∴， 那么，， 解得：， ∴直线：， 即：， ， ∴当，即：时，， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题的关键． 41．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案； （3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， 令 ∴ ， ∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上， 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）； 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去） 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数，通过讨论对称轴的位置求解． 42．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为． (1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值； (2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答． （1）根据待定系数法求出函数解析式，然后配方成顶点式，即可求解； （2）把，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，由函数的增减性求出的取值范围即可； （3）由，得到离对称轴越远，函数值越大，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得出关于m的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：当，且点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴函数图象开口向上， ∴当时，有最小值为2； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ， 解得， 又 ∴； （3）解：∵点，在抛物线上， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，在抛物线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得． 43．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．连接和，点P在抛物线上运动，连接，和． (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点，连接，，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积； (3)在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、三角函数等知识点，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）先运用待定系数法求出函数表达式，然后再化成顶点式即可解答； （2）由，同理可得：，然后求出点P的坐标，进而完成解答； （3）当点Q在点C的上方时，则，用解直角三角形的方法求出，即可求解；点在点C下方时，同理可解． 【详解】（1）解：将点和代入抛物线可得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为：． （2）解：∵， ∴点， 设点，则点， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的表达式为：，则点， 同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：， 如图：连接交于点E，设直线交y轴于点D，则点， 则， 同理可得：， ∴，解得：（舍去）或 ∴点， ∴的面积为． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，； 由点C、P的坐标得，， 当点Q在点C的上方时，则， 由点C、P的坐标得，， 如图：过点Q作于点H， ∵ ∴， 设， ∴,即,解得：， ∴ ∴，解得：； ∴， ∴， ∴， ∴即点； 当点在点C下方时， 同理可得：， ∴点； 综上，或． 44．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 45．（2024·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． (3)如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，，求出，进一步求出直线的解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，可得； （3）由得到，进而得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式为，进而得到，求出，再证明，设，则，得到，得到，即可得到此时，点P的坐标为，点Q的坐标为，求出，，证明，得到，由即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为．； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵轴于点D， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（此时，重合，不合题意舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ∴,， ，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， 设，则， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 46．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； （3）存在： 令， 解得：， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 47．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 48．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，C的坐标为； (3)点G的坐标为，，． 【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）根据题意证明，再设的解析式为，求出的解析式，再设，则，再表示出利用最值即可得到本题答案； （3）根据题意求出，再分情况讨论当为对角线时，当为边时继而得到本题答案． 【详解】（1）解：，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M． ∴轴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． ∴的最大值为，此时点C的坐标为． （3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点， ∴， ∴（舍），， ∴． ∵抛物线F：的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，当为对角线时，由题知， ∴， ∴． 如图3，当为边时，由题知， ∴， ∴． 如图4，由题知， ∴， ∴， 综上：点G的坐标为，，． 49．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． （2）令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． （3）根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 50．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 51．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 52．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)是第一象限内抛物线上的动点（不与点重合），过点作轴的垂线交于点，连接，当四边形为菱形时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后代入，求出b、c的值即可； （2）由对顶角的性质性质知，若存在和相似，则有和两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可； （3）设点，，，，则，，根据菱形的性质得出，可求出，过点作于，可得，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：令，则，则；令，则 ∴， 把，代入，得： 解得： ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：； （2）解：存在点，使得和相似． 设点，则，， ∴，，，， ∵和相似， ∴或 ①如图1，当时， ∴ ∴点纵坐标为6 ∴，解得：或 ∴ ②如图2，当时， 过B作于H ∴ ∴ ∴ ∴，解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，点的坐标为或． （3）如图3，∵四边形为菱形 ∴，， 设点，，， ∴， ∴，即 ∵ ∴，即或 ∵， ∴， ∴ 过点作于 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ 解得：或（不合题意已舍去） ∴点D的横坐标为或． 【点睛】本题是常见的中考数学压轴题型，综合性比较强，涉及到知识点较多；主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质；解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论． 53．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元 (2)或，当时，取得最大值为1000元 【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题． （1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可； （2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元 由题意得： 解得： 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元． （2）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则 ∵，， ∴当时，取得最大值为1000元． 54．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 55．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线与交于定点 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； （2）当时，抛物线：， 则 设，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； （3）设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上   ∴ 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 56．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，根据二次函数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； （3）设直线为，由得， ∴， ∴，             设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接，    由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，，              在中， ，                                               即当时，，此时， 此时直线为，符合不与对称轴重合， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 57．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 58．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 59．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 60．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 此时，，点Q不在在点P上方时， 故舍去 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 61．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点D的坐标为； (2)点M的坐标为； (3)的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可． 【详解】（1）解：由于抛物线经过点和点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， ∵，， ∴长为定值， 作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M， 则， ∴，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点M的坐标为； （3）解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，， ∵等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，1为半径的上， ， 当点在线段上时，有最小值为； 当点在射线上时，有最大值为； ∴的取值范围为． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 62．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 63．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求两种客房每间定价分别是多少元？ (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】(1)种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； (2)当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解； （）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 64．（2024·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及P点坐标； (2)抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段的长； (3)过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M，N，直线交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，轴于点H．请判断点H与直线的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)4 (3)点H在直线上， 证明：如图： 将点代入，得， ∴， 把点N横坐标，代入得， ∵轴，轴， ∴，点G为中点， ∴， ∴点E为中点， ∴， ∵点P关于E的对称点为Q， ∴， ∴， 联立抛物线与直线表达式， 得：， 整理得：， ∴， 解得：， 即， ∵，， ∴， ∴点N、Q、H三点共线， ∴点H在直线上． 【分析】（1）待定系数法即可求解二次函数解析式，再进行配方即可求点P坐标； （2）先由与的正切值相等得到，继而可证明，再由垂径定理得到； （3）将点代入得直线表达式为， 则，而点E为中点，则，可求，联立抛物线与直线表达式，得：，可求，可证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 而， ∴； （2）解：如图： 当时，， ∴点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是经过点A、B、C的的直径， ∵，经过圆心， ∴； （3）略 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，圆周角定理，垂径定理，平行线分线段成比例定理，三角函数，抛物线与直线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 1．（2026·四川广元·三模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，，其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与轴的交点判断的符号；利用、时的函数值推导的符号；结合对称轴范围推导的符号；再根据二次函数与一元二次方程的关系，判断方程的根的分布情况． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，①正确； 由图象可得，当时，， 又当时，， ， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于两点，，且． ，且对称轴， ， ， ， ，即，即， ，③错误； 二次函数的图象与轴交于两点，， ， 当时，， 与关于轴对称，如图所示， 时，即， 又， 结合图像可得，，，④正确； 综上所述，正确的有①②④三个． 2．（2026·四川成都·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C． D．当时，抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当时，，即可判断C选项，当时，，结合二次函数的性质即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项错误； ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故B选项错误； 由图象可得当时，， ∴，故C选项错误； 当时，，此时抛物线的顶点坐标为，故D选项正确． 3．（2026·四川南充·三模）在直角坐标系中，抛物线：与直线：交于，两点，线段的端点分别在线段和抛物线上，并与轴垂直．下列说法：①抛物线的顶点最高为；②的最大值与无关；③若为抛物线的顶点(点A在点B的左侧)，则；④总能成立；⑤当对应函数值时，．成立的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线方程得到交点横坐标，再逐个判断五个说法的正确性，将抛物线换成顶点式，然后根据k的取值即可判定①，设横坐标为，根据两点之间的距离得出关系式即可判定②，根据顶点的横坐标等于点A的横坐标即可求出k的值并判断③，根据两点之间的距离得出，即可判定④，根据得出，解不等式即可判断⑤． 【详解】解：联立抛物线与直线方程：， 化简得， 解得或， 即交点恒为， ①对抛物线配方得， 顶点坐标为，顶点纵坐标， ， ， 当时，取最大值，此时顶点为，故①正确． ②设横坐标为， 轴， ，长度为， ， （在线段上）， ，最大值为，与无关，故②正确． ③若为抛物线顶点，即， 解得，故③错误． ④交点为， ，， 恒成立，故④正确． ⑤即，化简得，解得，故⑤正确． 综上，①②④⑤都正确． 4．（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 【答案】D 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断A，B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断C，D． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故B正确， ∴， ∴，故A正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故C正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故D错误． 5．（2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【分析】将点坐标代入抛物线解析式求出的值，确定函数解析式，根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解 ． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故A，B选项错误； 令，则， 解得， ∴， ∴， 故C选项正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； ∴当时，在时，的值随的增大而减小，在时，随的增大而增大； 故D选项错误． 6．（2026·四川达州·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴．故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵对称轴为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ④观察图象得：当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 7．（2026·四川遂宁·三模）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，是抛物线上的两点，则有；④若m，n（）为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①和②；根据A，C两点与对称轴的距离大小，可判断点的位置高低，即可判断③；将m，n看作抛物线与直线的交点的横坐标，即可根据图象判断． 【详解】解：对于①，由图可知抛物线开口向下， ， 抛物线与y轴的交点位于正半轴， ， 抛物线的对称轴是直线， ， ， ， ①错误； 对于②， ， ， ， ， ， ②错误； 对于③，，且， ， ③错误； 对于④， ，n（）为方程的两个根， ，n可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ， ④正确． 8．（2026·四川乐山·一模）在平面直角坐标系中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，y随x的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】结合函数图象逐个分析即可． 【详解】解：由图象可得， 当时，或，故①错误； 当时，y随x的增大而增大，故②正确； ∵， ∴点M在一次函数的图象上， 如图所示， 由图象可得，有3个交点， ∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误； ∵函数经过点， ∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④． 9．（2026·四川广元·三模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴为直线，那么过点和点 的直线一定不经过（     ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象结合已知条件判断即可． 【详解】解：∵函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点， ∴，，， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴在y轴负半轴上， 当时，， 则在第一象限， ∴过点和点 的直线经过一、三、四象限，一定不经过第二象限． 10．（2026·四川成都·三模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴负半轴的交点横坐标在和之间．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与坐标轴交点位置确定的符号及数量关系；利用和时的函数值符号结合进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 对称轴为直线， ，即． 抛物线与轴交于负半轴， ． ，故A错误． ， ，故B错误． 抛物线与轴负半轴交点在和之间， 当时，，即，故C错误． 当时，， ． 又， ，即，故D正确． 11．（2026·四川乐山·一模）定义：把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“二级抛物线”． （1）抛物线的“二级抛物线”是_____； （2）若直线与（1）中的抛物线交于不同的两点、，且满足，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】（1）先将原抛物线配方为顶点式，根据旋转的性质，旋转后顶点坐标不变，二次项系数变为原二次项系数的相反数，即可得到二级抛物线的解析式； （2）联立直线与抛物线解析式，换元后得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知条件得到与的关系，再根据判别式大于0和平方的非负性求解的范围． 【详解】解：（1）对抛物线 配方得， 顶点坐标为，二次项系数为， 抛物线绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反，二次项系数变为， 因此的解析式为； （2）将 代入 ，整理得 设，则方程化为， 由题意得方程有两个不相等的实数根， ∴， 设方程两根为 ， 由根与系数的关系得， ∵ ， ∴， 整理得， ∵平方数非负， ∴ ， 解得， 将 代入得， 解得， 因此实数的取值范围是． 12．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕着点旋转得到抛物线．已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】根据旋转的性质可得抛物线的解析式，结合二次函数的性质，根据，，都有，列出关于的不等式组求解即可. 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点为， ∵抛物线绕着点旋转得到抛物线， ∴抛物线的顶点与抛物线的顶点关于点对称， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为：， ∵和是抛物线上的两点，若对于，，都有， ∴当时，， 解得：， ∵， ∴解得：或； 解得：， 综上：或. 13．（2026·四川成都·二模）两个整式，，称为整式与整式的求和运算，记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次求和操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作；；以此类推，则第五次求和操作的结果________；若，则对正整数，有________个不同的值． 【答案】 1013 【分析】根据题中给的数据观察数据的变化规律计算第五次即可，再根据前五次求和操作求出第次求和操作结果，并用含的代数式表示，将已知条件进行化简，求出，的值，再代入第次求和操作的结果，利用二次函数的性质即可求出． 【详解】第一次求和操作：； 第二次求和操作：； 第三次求和操作：； 第四次求和操作：； 第五次求和操作：； 可知， ∵， ∴，， 可看作二次函数，为正整数，且， 当时，取得最小值，即为的最小值，且， ∴的对称轴为,最小值在取得，函数值关于对称，满足， 有个不同的值． 14．（2026·四川成都·二模）定义：一个二次函数与x轴有两个交点，且其中一个交点的横坐标是另一个交点的横坐标的一半，称该二次函数为半根函数．例如，二次函数与x轴的交点坐标为，，1是2的一半，所以二次函数是半根函数；二次函数与x轴的交点坐标为，，不是2的一半，所以二次函数不是半根函数．下列说法正确的有______． ①二次函数是半根函数 ②若函数是半根函数，则 ③若函数是半根函数，且对称轴为直线，则 ④若点在直线上，且函数是半根函数，则 【答案】①②④ 【分析】根据二次函数与轴的交点以及半根函数的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：，令， 则， 解得， 是的一半，故二次函数是半根函数，①正确； ，令， 则， 解得， 当时，化简得，即，此时； 当时，化简得，即，此时， 故②正确； 设二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为，且， ， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 根据，得， ， ∴， ∴， 故③错误； 点在直线上， ， 设二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为，且， ， 将代入，得， ， 将代入可得， 即，④正确． 15．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，若且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】依据题意，联立方程，则，则方程的两个根和，满足，，故，再结合且，可，所以令，故，所以时，随的增大而增大，又，则，结合，得，，，所以，则当时，取值为，当时，取值为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，联立方程， ∴， ∴方程的两个根和满足：，， ∴， ∵且， ∴， ∴ 令， ∴， ∴时，随的增大而增大， 又∵， ∴， 又∵， ∴，，， 由得，解得， 由得， 综上得：， ∴在t的范围内，的值随t的增大而增大， ∵当时，取值为，当时，取值为， ∴当时，的范围是． 16．（2026·四川成都·二模）定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称为中心点，点是的“界密点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界密点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心，关于的二次函数（是常数）．将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若上存在的“界密点”，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据新定义得到的“界密点”的坐标范围，推导原二次函数绕原点逆时针旋转后曲线的方程，转化为存在满足范围的点，进而得到的取值范围. 【详解】解：根据“界密点”的定义，的“界密点”满足： 且， 整理得：，， 设原二次函数图象上任意一点为，满足， 将绕原点逆时针旋转得到上的点，根据坐标旋转变换得： ，， 即，， 将，代入原方程得： ， 整理得， 若上存在的“界密点”，即，， 当，时，取得最小值为； 当，时，取得最大值为； 故的取值范围是. 17．（2026·四川南充·二模）抛物线的对称轴在轴右侧，点，，都在抛物线上，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先利用点和点纵坐标相等，求出抛物线对称轴，再结合开口向上的二次函数性质，函数值越大对应点到对称轴距离越大，列出不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 即， 点和纵坐标相等， 关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为 ， ， 即， ，， 点到对称轴的距离为 ，点到对称轴的距离为， ，开口向上，函数值越大，点到对称轴的距离越大， ， 即或 ， 解得或， 当时， ， 点在抛物线上， ，即 ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即 ， 两边平方得：， 展开得： ， 整理得： ， 解得， ∵对称轴在轴右侧 ∴， 即， 综上，的取值范围是或． 18．（2026·四川成都·三模）已知关于的方程的两实根为，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，由根的判别式求出的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积. 将所求代数式整理为关于的二次函数，根据二次函数的性质结合的范围求出最小值． 【详解】解：关于的方程有两个实根， 根的判别式，即 ， 解得， 由根与系数的关系可得，， ， 设，对称轴为， 二次项系数， 抛物线开口向上， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 即的最小值是． 19．（2026·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）抛物线的顶点坐标_____（用含a的式子表示）； （2）和是抛物线上的两点，若对于，都有，则a的取值范围是_____． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）先求出对称轴为直线，代入抛物线解析式中，即可确定顶点坐标； （2）分为和两种情况讨论，根据，结合抛物线的增减性建立不等式解答即可． 【详解】解：（1）抛物线， 对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为； 故答案为：； （2）若，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 设关于对称轴的对称点为， ， ，， ， ， 当时，有， ， ，此时，符合题意； 当时，令，， ，则，此时，不符合题意； 当时，令，， ，此时，不符合题意； 若，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，令，， ， ，此时，不符合题意； 当时，令，， ，则，此时，不符合题意； 当时，有， ，此时，符合题意； 综上所述， 的取值范围为或． 20．（2026·四川成都·模拟预测）函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图像的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．若一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，则__________；若二次函数图像的“阶方点”一定存在，则的取值范围是__________． 【答案】 或 【分析】根据新定义“阶方点”可知满足条件的点在且的正方形区域（含边界）内，先确定一次函数过定点，结合“阶方点”只有一个的条件，得到直线过正方形右顶点，计算得的值；根据二次函数的单调性得到其在上的最值，根据存在交点的条件列不等式求解得的范围． 【详解】解：由“阶方点”定义可得，满足条件的点需满足，． 整理一次函数得，可知该一次函数恒过定点， ∵“阶方点”对应正方形为， ∴直线与该正方形只有一个交点，因此直线必过正方形的右顶点或． 将代入解析式得： 解得：； 将代入解析式得： 解得． 二次函数开口向下，对称轴为直线，，在上，随的增大而增大， ∴当时，取最大值， 当时，取最小值． 二次函数一定存在“阶方点”，即与有公共部分，需满足： 代入得： ， 解不等式①得： 整理不等式②得， 因式分解得， ∵， ∴， ∴，解得：． 综上，n的取值范围为． 21．（2026·四川雅安·一模）综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 【答案】(1)此月平均增长率为 (2) ①每架迷你无人机的售价应降低元；②要想获得利润最大，售价应定为元． 【分析】（1）设此月平均增长率为x，根据1月和3月的销量建立方程求解即可； （2）①设每架迷你无人机的售价应降低m元，根据利润（售价进价）销售量建立方程求解即可；②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元，根据利润（售价进价）销售量列出W关于n的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设此月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：此月平均增长率为； （2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵需要尽量减少库存， ∴， 答：每架迷你无人机的售价应降低元； ②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为1250， 此时， 答：要想获得利润最大，售价应定为元． 22．（2026·四川成都·模拟预测）已知抛物线（是常数）的顶点为，抛物线． (1)求点坐标（用含代数式表示），并求证：点在抛物线上； (2)当时，的图象与轴交于、两点，点在点的左侧． ①若抛物线与的图象除顶点以外的另一个交点为，过点作直线轴，过点作，垂足为点，连接，．当时，求的值； ②在①的条件下，过点作轴的垂线，分别交和于点，；过点作轴的垂线，分别交和于点，；当时，求的值． 【答案】(1)证明：对于抛物线，顶点坐标为， 又中， 当时，， 点在抛物线上； (2)①；②的值为或 【分析】（1）求出抛物线顶点坐标为，根据当时，，即可得证结论； （2）①当时，联立两个抛物线的表达式解得或，根据，得到，通过证明，得到，将其代入，求出，结合即可得到答案； ②由①得到，将分别代入两个抛物线的表达式，得到由表示的点的代数式，分别根据当时，当且时，当时，当时，分情况讨论，列方程求出的值即可． 【详解】（1）略； （2）解：①如图，当时，的对称轴为直线，即直线， 联立和，解得或， 由（1）知：， ， 于点， ， ，， 又， ， ， ， ， ， 将代入，得：，解得：， ， ； ②由①得， ，对称轴为直线， 对于， 当时，，即， 当时，，即， 对于， 当时，，即， 当时，，即； 情况一，当时，即时， ， ， 解得，（不合题意，舍去），， 情况二，当且时，即时， ， ， 解得，（不合题意，舍去），， 情况三，当时， ， ， 解得，（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 情况四，当时， ， ， 解得，（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）， 综上所述，的值为或． 23．（2026·四川成都·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线的对称轴上一点，且抛物线与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，若是以为直角顶点的直角三角形，且，求点和点的坐标； (3)如图2，是抛物线上的两个动点（点在点的左侧），点在同一直线上，过点作轴的垂线，交直线于点．是否存在实数，使得总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在； 【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线，可求的值，再将点代入，即可确定函数的解析式； （2）设对称轴与轴的交点为，过点作交于点，则，能得到，，设，，则，，即可求，； （3）过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为，由题意可知，再由，则，设直线的解析式为，当时，，，求出，可得等式，整理后可得． 【详解】（1）解：是抛物线的对称轴上一点， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的解析式为， 将点代入， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设对称轴与轴的交点为，如图1，过点作交于点， ， ， ， ，， 设，， ，， 解得或（舍，或（舍， ，； （3）解：实数，使得总成立，理由如下： 如图2，过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 当时，，， ，轴， ， ， 解得． 24．（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）如图，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是．抛物线经过A、B、C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并给予证明； (3)设动点M从点A出发沿着x轴向着点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点M运动t秒时，的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②设点M在线段上运动时，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时的t值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)解：是等腰三角形，证明如下： 由（1）得， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (3)①；②的最大值为6，此时；③或5 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点和点的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）利用勾股定理求出的长，再求出的长，则可得到，据此可得结论； （3）①过点作轴于，则，分两种情况讨论：当时，当时，分别画出符合题意的图形，再利用三角形的面积公式得到函数解析式即可；②根据题意可得，据此利用二次函数的性质求解即可；③分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵抛物线与经过A、B、C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：①由（2）得，，故点、同时开始运动，同时停止运动． 过点作轴于点， 在中，， 则在中，， 当时，， ∴ ； 当时，， ∴ ； 综上所述，； ②当点M在线段上运动时，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为； ③当轴时，为直角三角形， 在中，， 在中，， 又∵． ∴， ∴； 当点、分别运动到点、时， 为直角三角形，此时． 当时，则， 当时，，此时一定不是直角三角形， 当时，∵， ∴ ∴； 综上所述，当为直角三角形时，或． 25．（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 26．（2026·四川成都·三模）抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标； (2)如图1，已知P为抛物线上对称轴右侧一点，Q为x轴下方直线上一点，若以B，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标； (3)如图2，N是抛物线顶点，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式 (2)的坐标为 (3)直线过定点，定点坐标为 【分析】（1）由对称轴公式得，代入点求，从而求得抛物线的解析式，即可求另一交点． （2）分三种情况，分别以为直角顶点的等腰直角三角形，画出图形根据全等三角形的性质列方程求解． （3）设直线解析式，直线与抛物线相交于点，与抛物线解析式联立可得，．作 ．根据 ，可得，从而得到，进而得到 ，从而得到，再由直线不垂直于轴，可得，从而得到直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 将点代入得：， ∴， ∴， ∴， 故抛物线解析式为：， 令，得，即， 解得：或， ∴； （2）解：设，其中， ， 以为顶点的三角形为等腰直角三角形， 分三种情况讨论， ①直角顶点为，此时，且， 如图，过点B作y轴平行线，分别过点P，Q作y轴垂线，交于点E，F， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：或（舍去）， ∴； ②直角顶点为，此时，且． 如图，过点Q作y轴垂线，过点P作y轴平行线，交于点F，交x轴于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：或（舍去）， ∴， ③直角顶点为，此时，且． 即在的垂直平分线上，且， ∴， 根据（1）可得，顶点坐标为，， ∴点与点重合， ∴， 综上，所有满足条件的点的坐标为：； （3）解：存在定点． 设直线解析式，直线与抛物线相交于点， ， ， ， 如图2，作， 则， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵直线不垂直于轴， ， ， ， ∴直线解析式 ， ∵无论为何值，， ∴过定点． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $