专题12 二次函数的实际应用（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，汇编山东2024-2026年中考真题及模拟题，涵盖图形动态、销售利润、运动轨迹等5大考点，注重真实情境建模与多知识点综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|5题/15-30分|图形动态面积、函数图像判断|结合动点问题，体现数形结合（如2025东营重叠面积与时间关系）| |多选|1题/3-6分|分段函数与面积计算|多结论判断，需分类讨论（如2025潍坊四边形运动点面积）| |填空|2题/6-12分|函数图像规律、利润最值|图像规律探究（如2025东营正方形周长）| |解答|12题/48-120分|销售双渠道利润、投球双函数联动、喷水几何优化、跨学科应用|情境真实（非遗特产、智能销售），综合二次函数与不等式、几何，贴合2025-2026真题趋势（多结论判断、区间最值）|

专题12 二次函数的实际应用 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01图形问题 2025 东营 / 山东统考 / 烟台 / 潍坊卷、2024 济南 / 烟台卷，2026 多地模拟卷 以选择、多选、填空题为主，分值 3-6 分。早年以动点重叠面积的函数图像判断为核心，侧重基础分段函数识别。2025 年起融合相似三角形、等边三角形、正方形规律探究，2026 统考后多结论正误判断题型占比提升，需分类讨论分段函数形态，对数形结合与动态分析能力要求逐年提高，常作为中档拉分题。 考点02销售问题 2026 德州卷、2024 青岛 / 济宁 / 烟台卷，2026 全省各地模拟卷高频考查 以解答题为核心、填空题为辅，分值 4-10 分，属高频必考考点。早年围绕单件利润与销量的基础关系求最值，设问直白。2025 年起融入非遗特产、智能销售等山东本地情境，2026 统考后新增进价随时间变化的二次函数模型、双渠道利润综合，常结合不等式限定参数范围，对区间最值判断与实际验根要求显著提升。 考点03投球问题 2025 青岛卷，2026 聊城 / 临沂 / 青岛模拟卷 以解答题为主，分值 6-8 分。早年以单一抛物线计算最大高度、落地点距离为主，题型较为常规。2025 年新增水平距离与时间的一次函数联动，需双函数结合求解；2026 模拟题延伸至舒适接球区间、击球高度限定等创新设问，需结合不等式求解范围，对多函数综合建模能力要求逐步提升。 考点04喷水问题 2024 潍坊卷，2026 青岛 / 菏泽 / 临沂模拟卷 以解答题为主，分值 8-10 分。早年聚焦喷灌最大高度、射程等基础计算，侧重解析式应用。2024 年出现喷洒覆盖率方案设计的探究题型，2026 模拟题拓展至双边缘抛物线、平移变换、消防喷水避障等场景，融合圆、矩形几何知识，从单一计算转向方案优化，探究性与综合性持续增强。 考点05其他问题 2026 山东统考卷、2024 潍坊隔热层 / 光伏发电题，2026 青岛 / 淄博模拟卷 以解答题为主，分值 8-12 分。情境覆盖传统文化、能源科技、物理运动等多元领域，早年以单一二次函数建模求解为主。2026 统考后深度结合解直角三角形、一次函数、不等式综合设题，跨学科融合特征明显，情境创新度高，对信息提取、多知识点联动建模的能力要求明显提升。 考点01 图形问题 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得和，则，分三种情况求解，当时，结合题意求得和，利用面积公式求解：当时，；当时，，同理，此时，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， 则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动， ∴， ∵，，， ∴， 即， ； ②当时， ； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用． 2．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，设，可得，如图，在上取点，使，求解：，证明，可得，，结合y关于x的函数图象过点，求解：，再进一步利用二次函数的性质解题即可. 【详解】解：∵，，是角平分线． ∴，，设， ∴， 如图，在上取点，使， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵y关于x的函数图象过点， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴该图象上最低点的坐标为； 故选：B 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键. 4．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 二、多选题 6．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 【答案】AC 【分析】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，动点的函数表达式，作，易得四边形为矩形，得到，进而得到，在中，求出的长，分点在和点在上两种情况，进行讨论，求出函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，故A正确； 当点在上时， ∵，，， ∴，， ∴；故B错误； 当点在上时，如图， 则：， ∴；故C正确； 当时，随着的增大而减小，故D错误； 故选AC． 三、填空题 7．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 考点02 销售问题 一、填空题 1．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 二、解答题 2．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ (4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 【答案】(1) (2) (3)①；②第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； (4)4 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可； （3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可； （4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为， 把代入中得， ∴， ∴第天的单价与满足的一次函数关系式为， ∴A樱桃园第x天的单价是元/盒， 故答案为：； （2）解：由题意得， （3）解：①把代入中得：， 解得， ∴； ②∵，， ∴ ， ∵，且（x为正整数）， ∴当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； （4）解：当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵x的正整数解有4个， ∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 3．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 (2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 4．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 考点03 投球问题 一、解答题 1．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点04 喷水问题 一、解答题 1．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 【答案】（1）； （2）不能，理由： 对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）；当取得最小值时； （4） 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为，进而将草坪分为个正方形，即可求解． 【详解】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）略 （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得： （4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆， 则当时，圆的内接正方形的边长为 而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少， ∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积和喷洒半径之间的函数关系．解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 考点05 其他问题 一、解答题 1．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． (1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度； (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键． （1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可； （2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题意得： 整理得， 当时，则， 解得：． ， 不符合题意，舍去， 该商场建造的隔热层厚度为6． （2）由（1）得， ， ． ， 随的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得； 的取值范围为． 2．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画． (1)求关于的函数表达式； (2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ (3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，将图中的点代入即可求出答案； （2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值； （3）延长与过点作的线交于点，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将代入， 得， 解得， ； （2）解：根据函数解析式得函数对称轴， 故阳能板与水平地面的夹角为度时，日平均太阳辐射量最大； （3）解：， 延长与过点作的线交于点，令， ，， ， ， ， ， ， 延长交与点， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（2026·山东枣庄·三模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为4平方米； ②与之间的函数关系式为； ③当时，矩形的面积最大； ④的值为12．其中正确的结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：观察图2，得出当时，函数值最大，即矩形的最大面积为4平方米， ∴①说法正确，③说法错误； 由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入得 解得， ∴， ∴②说法正确； 当时，函数值最大，即矩形的最大面积为4平方米，此时，， ∵隔断、分别与矩形的两条邻边平行， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∴矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长米， ∴④说法正确． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 2．（2026·山东聊城·一模）篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据表格数据和二次函数的性质逐项判断可得答案． 【详解】解：①根据表格数据，当时，，即发球机出球口离地面竖直高度为，故①正确； ②根据表格数据，当和时，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 由题意，该抛物线的开口向下， ∴当时，y取得最大值， 即当篮球飞行水平距离为时，达到最大高度，故②错误； ③根据表格数据，当时，， 故当篮球飞行水平距离为时，篮球离地面竖直高度为，未落地，故③错误； ④设该抛物线的解析式为， 将时，，时，代入， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴当时，，满足， 小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球，故④正确， 综上，正确的是①④，共2个． 二、填空题 3．（2026·山东淄博·一模）如图，点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，，于点B，连接．若直线与x轴的正半轴所夹的锐角为，则当的值最大时，的面积为__________． 【答案】 【详解】解：如图，设直线与y轴交于G，过A作直线于H，轴于F， ∵轴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点， ∴， 在中，,， 即， ∵随的减小而增大， ∴当最小时有最大值， 即最小时，有最大值，即最大时，有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为， 即， ∴， ∵ ∴当时，有最大值， 此时，，， ∴，， ∴的面积为． 4．（2026·山东临沂·一模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的序号是____________． 【答案】②③/③② 【分析】对于①，计算时，的值即可判断；对于②，将一般式化为顶点式，根据顶点坐标即可判断；对于③，计算时，的值即可判断． 【详解】解：对于①：将代入，得， ∴出手高度为，故①错误； 对于②：， ∴顶点坐标为，故②正确； 对于③：将代入，得 ， 整理，得， 解得或（负值，舍去）， ∴铅球落地时的水平距离为，故③正确． 三、解答题 5．（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． (2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 【答案】(1) (2) (3)道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为 【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设菜地的宽为米， ∵长、宽比为的长方形菜地， ∴菜地的长为米， ∴小路面积S关于的函数表达式为； （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得：， 由（2）得：菜地面积关于的函数表达式， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为． 6．（2026·山东青岛·一模）图1、图2分别是小宇家阁楼装修的效果图和示意图，他要用木条对墙面进行装饰，、为阁楼屋梁，装饰木条、分别与、平行，且均与抛物线窗户有唯一交点．同时，用相同木条在窗户上方与木条、之间搭建支架、、，其中点、在抛物线上，点、分别在木条、上． 信息一：窗户水平宽度为米，竖直高度为米（其中为抛物线顶点）．建立如图2所示的平面直角坐标系，为原点，所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴． 信息二：和关于轴对称，且关系式为，轴，轴，轴． 请解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求木条所在直线的函数表达式； (3)小宇购进了总长为3米的木条，计划用于制作装饰木条、和支架、、，请你通过计算判断3米长的木条是否够用．（木条裁剪过程中的损耗不计） 【答案】(1) (2) (3)解：够用，理由如下： 将代入得， ∴， 将代入得， 解得 ∴ ∴， 设装饰木条和支架的总长度为， 设，则， ∴ 当时，， 解得 ∴， ∵，对称轴为， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，， 答：米的木条够用． 【分析】（1）由题意得，顶点，，再由待定系数法求解即可； （2）设直线表达式为：,与抛物线联立得，，整理得，，根据直线与抛物线有一个交点，则，即可求解； （3）先求出，，则，设装饰木条和支架的总长度为，设，则，则，再求出，然后根据二次函数的性质求解的最大值与比较． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设抛物线表达式为 将代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴设直线表达式为： 与抛物线联立得，， 整理得，， ∵直线与抛物线有一个交点， ∴ 解得， ∴直线表达式为：； （3）略 7．（2026·山东青岛·三模）某企业计划生产一种新型电子产品，进行自产自销，已知企业受人力、物力等各种因素影响，每月生产数量不超过10万件．经测算发现，每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）满足某种函数关系，如下表所示： 生产数量x（万件） … 1 3 4 7 … 每件生产成本y（元） … 9 8 7.5 6 … 企业决定将产品采取抖音销售和门店销售两种方式同时进行，保证每月生产的产品当月销售完，且抖音和门店销售产品的数量按分配销售． 抖音销售：售价12.5元/件； 门店销售：根据销售经验，当售价每件降价2元，销售数量将增加1万件，当企业以16.5元/件的销售单价出售时，可以销售1万件． (1)判断每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）的函数关系，并求出表达式； (2)设门店的售价为m元，则m与x的关系式为________________： (3)你设计一种生产方案，使得每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是多少？ 【答案】(1) 一次函数，表达式为 (2) (3) 生产6万件时每月收益最大，最大收益为22.5万元 【分析】 （1）观察表格数据可知y随x均匀变化，符合一次函数特征，用待定系数法即可求出函数表达式； （2）根据门店销售量与降价幅度的关系，结合门店销售量为，整理推导即可得到m与x的关系式； （3） 分别表示出抖音销售额、门店销售额，相加后减去总成本得到总收益关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大值，结合x的取值范围得到生产方案. 【详解】（1）解：观察表格数据，y随x的增加均匀减少，符合一次函数关系， 设， 将代入得 ， 解得， 验证：当时，，当时，，符合表格数据， 又每月生产数量不超过10万件， ∴函数表达式为； （2）解：由题意，抖音和门店销售数量比为，生产x万件全部售出，故门店销售量为万件； 由题意，得， 整理，得； （3） 解：设每月总收益为w万元，生产数量为x万件，， ∵抖音和门店销售数量比为， ∴抖音销量为万件，门店销售量为万件， 由题意得 ， 由可知，是关于的二次函数且开口向下，且， ∴当时，最大，最大值为22.5万元， 答：生产6万件时，每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是22.5万元； 8．（2026·山东临沂·三模）综合与实践： 【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元/盒）的情况如图所示： 销售单价（元/盒） 月销售量（盒） 65 1300 60 1400 70 1200 (1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 销售单价（元/盒） 60 ________ ________ 月销售量（盒） ________ ________ ________ (2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量与销售单价之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的．设销售这种护眼贴每月获利（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)65，70，1400，1300，1200 (2) (3)当销售单价为85元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500元 【分析】（1）根据题意即可填写； （2）利用待定系数法求解即可； （3）列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：根据销售单价从小到大排列得下表： 销售单价x（元/盒） 60 65 70 月销售量y（盒） 1400 1300 1200 （2）解：观察表格可知月销售量y是关于销售单价x的一次函数， 设月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 将，分别代入， 得， 解得， 月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； （3）解：由题意得， ∵规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的． ∴， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，w随x的增大而增大， 当时，w有最大值，（元）． 答：当销售单价为85元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500元． 9．（2026·山东德州·二模）“非遗传承，匠心味道”，德州特产火腿作为地方特色美食，其传统工艺被列入非物质文化遗产．某经销商主营A、B两款礼盒装火腿，已知：A款礼盒进价50元/盒，B款礼盒进价60元/盒；售出2盒A款和1盒B款共收入192元，售出3盒A款和5盒B款共收入540元． (1)求A、B两款礼盒的售价分别为多少元/盒？ (2)为推广非遗产品，经销商对A款礼盒开展促销；若每盒降价1元，每天销量可增加10盒．已知A款礼盒原每天销量60盒，且降价后售价不低于进价．设每盒A款礼盒降价元，每天销量为盒，求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的促销方案下，设A款礼盒每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式（利润=单盒利润×销量）； ②若要实现每天A款礼盒利润最大化，则需降价多少元，此时最大利润是多少？ 【答案】(1)A款礼盒的售价为元盒，B款礼盒的售价为元盒 (2) (3)①；②A款礼盒每盒售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）设每盒A款礼盒的售价为元，则每盒B款礼盒的售价为元，根据题意列出方程求解即可； （2）由题意得：，再由题意确定x的取值范围即可； （3）①根据题意得出，化简即可；②结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每盒A款礼盒的售价为元，则每盒B款礼盒的售价为元， 根据题意得：， 解得， ∴每盒B款礼盒的售价（元， 答：A款礼盒的售价为元盒，B款礼盒的售价为元盒； （2）解：由题意得：， ∵A款礼盒进价元盒，售价为元盒，且每盒售价不低于进价， ， 答：； （3）①解：， ②， 当时，有最大值， 答：A款礼盒每盒售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元． 10．（2026·山东青岛·二模）数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一．如图1，某水果种植户的温室大棚横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，点是抛物线的顶点，到的距离为．以点为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，则的长为_____米． (3)大棚水果成熟后，种植户将其批发销售．已知每千克水果种植成本为2.5元，且物价部门规定该水果批发单价不得超过6元/千克，每天固定运营成本为80元．若每天该水果批发单价（元/千克）与每天批发销量（千克）满足关系式，请问批发单价定为多少时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)9 (3)批发单价定为6元时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大，最大利润为480元 【分析】（1）设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，平行设出过点的光线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到，进而求出直线的解析式，进而求出点坐标，求出的长即可； （3）设种植户每天批发销售该水果获得的利润为，根据总利润等于总批发价减去总成本，列出二次函数关系式，求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，，，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得，解得， ∴； （2）解：∵，设直线的解析式为， 则，解得， ∴， ∵太阳光是平行光， ∴设过点的光线的解析式为， 联立，得， 由题意，两个图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， 即：的长为米； （3）解：由题意，得：， ∴， 设种植户每天批发销售该水果获得的利润为， 则：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为； 此时， 答：批发单价定为6元时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大，最大利润为480元. 11．（2026·山东青岛·三模）如图，无人机在离地面的处发现大楼处出现火灾，同时观察到点与大楼前的旗杆顶端及着火点正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过，．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并求点坐标； (2)求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； (3)由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） 【答案】(1)，点坐标为 (2)，水喷出的最大高度为 (3)米 【分析】（1）依据题意得：，，设直线的解析式为，得，进而可得的解析式，再令，求出的值即可得出点的坐标； （2）设抛物线的解析式为，再将，，代入计算可得解析式，然后化成顶点式即可得解； （3）依据题意，由抛物线形状保持不变，消防员后退，从而可设新抛物线的解析式为，过点，求出的值可得新抛物线的解析式，然后令，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 又∵， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴点坐标为； （2）解：设抛物线的解析式为， 由题意知该抛物线过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，取得最大值为， ∴水喷出的最大高度为； （3）解：∵抛物线形状保持不变，消防员后退， ∴设新抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴新抛物线的解析式为， 当时，， 又∵， ∴消防员应升高米． 12．（2026·山东菏泽·一模）项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米． (1)求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的水平距离为米． (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下， 当米时，米， 当时，， ∵， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【分析】（1）根据题意得到，抛物线过点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设上边缘抛物线向左平移，且抛物线过点，代入计算得到平移后的解析式，再令，解一元二次方程即可求解； （3）根据题意，当米时，米，把代入上边缘抛物线计算出高度，再与绿化带横截面的比较即可求解． 【详解】（1）解：喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米， ∴，抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到， ∴设上边缘抛物线向左平移， ∴平移后的抛物线解析式为：， 把代入得，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴平移后的解析式为， 令时，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴； （3）略 13．（2026·山东临沂·二模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 0 1.2 2.4 4.8 6.0 … 0 0.5 2.0 4.5 8.0 12.5 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中与的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中的值为__________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与，与的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编，同时开始编织，编织面积恰好相等时，所用时间为__________； ②该工厂接到一批订单，需要平编产品200件，绞编产品100件．已知生产一件平编产品要比生产一件绞编产品多用，本次订单两种产品总编织面积为．那么两种产品每件的编织面积分别是多少？ 【答案】(1) (2)如图所示： (3)①；②平编产品每件的编织面积是，绞编产品每件的编织面积是 【分析】（1）由与的关系可以近似用正比例函数表示，先求出函数表达式，再将代入求即可； （2）根据题干中数据，描点连线即可； （3）①观察函数图象，可得与的关系可用二次函数表示，求出二次函数解析式，再根据面积相等列方程求解即可； ②设生产一件绞编产品需要，则生产一件平编产品需要，根据题意及（1）（2）问得出的结论列一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意，与的关系可以近似用正比例函数， 可设， 将代入可得，解得， ， 当时，， ． （2）略 （3）解：①由函数图象，可得与的关系可用二次函数表示， 可设， 将代入可得， ，解得， ， 由（1）得， 当同时开始编织，编织面积恰好相等时， ，即， 解得或（舍） ． ②设生产一件绞编产品需要，则生产一件平编产品需要． 由题意可得，， 整理可得，因式分解得， 解得或（舍）， 平编产品每件的编织面积为， 绞编产品每件的编织面积为． 14．（2026·山东青岛·二模）某智能物流公司在自动化仓库开展堆垛机安全避障实验．测试开始时，堆垛机以初速度驶入一段足够长的水平直轨（堆垛机的自身长度忽略不计），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小的直线运动）；与此同时，在同一直轨上有一辆搬运车从其正前方处开始以恒定速度（）做同向匀速运动．为确保堆垛机在任何时刻均不与搬运车发生接触（即全程保持非负间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的初始间距的最小值．实验测得堆垛机在水平直轨上运动的数据如表： 时间 0 0.5 1 1.5 2 速度 22 18 14 10 6 行驶路程 0 10 18 24 28 已知速度与时间是一次函数关系，行驶路程与时间是二次函数关系． (1)求速度与时间的关系式及行驶路程与时间的关系式； (2)求堆垛机从驶入水平直轨到完全停下所行驶的总路程； (3)堆垛机驶入水平直轨的同时，搬运车以的速度匀速向前行驶．为保证堆垛机始终不与搬运车发生接触，求初始间距的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设，将，；，代入求出、的值即可得出速度关于时间的一次函数解析式；设，将，；，；，代入求出、、的值即可得出路程关于时间的二次函数解析式， （2）求出时的、的值即可得出堆垛机从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程； （3）目标搬运车行驶的路程为，要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，则可推得，结合二次函数的最大值即可得的最小值； 【详解】（1）解：设， 将，；，代入， 得， 解得， 速度关于时间的一次函数为； 设， 将，；，；，代入， 得， 解得， 路程关于时间的二次函数为， （2）解：路程关于时间的二次函数为， 当时，，即， 此时， 堆垛机从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为． （3）解：目标搬运车行驶的路程为， 要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足， ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值16， 最小值为时才安全， 安全初始距离的最小值是． 15．（2026·山东青岛·二模）根据以下素材，探索完成任务． 滑雪爱好者滑雪轨迹问题 素材1 图1是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台长为1米，平台距地面18米．以地面所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，取1米为单位长度，建立如图2的平面直角坐标系． 已知滑道对应的函数为． 素材2 滑雪爱好者（看成点）在方向获得速度米/秒后，从处向右下飞向滑道，点是下落过程中的某位置．设滑雪爱好者飞出时间为秒，滑雪爱好者与点的竖直距离为米，运动员与点的水平距离为米． 素材3 实验表明：． 素材4 滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行的过程中，若飞行的高度与跳台滑道的竖直距离能超过8米就可获得奖励． 问题解决 (1)确定滑道形状：根据图2，求滑道抛物线的解析式； (2)确定滑雪爱好者与滑道位置关系：根据图3，当时，判断此时滑雪爱好者是否在滑道上． (3)确定滑雪爱好者的滑雪方案：滑雪爱好者从处飞出，如果飞出的路径近似看成函数的图像，该滑雪爱好者能否获得奖励，为什么？ 【答案】(1)滑道抛物线的解析式为； (2)此时滑雪爱好者没有落在滑道上； (3)该滑雪爱好者能够获得奖励． 【分析】本题考查利用二次函数解决实际问题， （1）把代入，即可得到结论； （2）把，代入，，求得，再把代入即可得到结论； （3）根据题意列函数解析式，由二次根式的性质即可解答； 解题的关键是要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 【详解】（1）解：由题意，点的坐标为，且点在滑道所在的抛物线上， ∴， 解得：， ∴滑道抛物线的解析式为； （2）解：当，时， ，， ∴，， ∴， 当时，， 由于， ∴此时滑雪爱好者没有落在滑道上； （3）解：设飞行的高度与跳台滑道的垂直距离为， 依题意，得：， ∵， ∴当时，有最大值8.1， ∵飞行的高度与跳台滑道的垂直距离超过8米就可获得奖励， ∴该滑雪爱好者能够获得奖励． 试卷第1页，共3页 2 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 二次函数的实际应用 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01图形问题 2025 东营 / 山东统考 / 烟台 / 潍坊卷、2024 济南 / 烟台卷，2026 多地模拟卷 以选择、多选、填空题为主，分值 3-6 分。早年以动点重叠面积的函数图像判断为核心，侧重基础分段函数识别。2025 年起融合相似三角形、等边三角形、正方形规律探究，2026 统考后多结论正误判断题型占比提升，需分类讨论分段函数形态，对数形结合与动态分析能力要求逐年提高，常作为中档拉分题。 考点02销售问题 2026 德州卷、2024 青岛 / 济宁 / 烟台卷，2026 全省各地模拟卷高频考查 以解答题为核心、填空题为辅，分值 4-10 分，属高频必考考点。早年围绕单件利润与销量的基础关系求最值，设问直白。2025 年起融入非遗特产、智能销售等山东本地情境，2026 统考后新增进价随时间变化的二次函数模型、双渠道利润综合，常结合不等式限定参数范围，对区间最值判断与实际验根要求显著提升。 考点03投球问题 2025 青岛卷，2026 聊城 / 临沂 / 青岛模拟卷 以解答题为主，分值 6-8 分。早年以单一抛物线计算最大高度、落地点距离为主，题型较为常规。2025 年新增水平距离与时间的一次函数联动，需双函数结合求解；2026 模拟题延伸至舒适接球区间、击球高度限定等创新设问，需结合不等式求解范围，对多函数综合建模能力要求逐步提升。 考点04喷水问题 2024 潍坊卷，2026 青岛 / 菏泽 / 临沂模拟卷 以解答题为主，分值 8-10 分。早年聚焦喷灌最大高度、射程等基础计算，侧重解析式应用。2024 年出现喷洒覆盖率方案设计的探究题型，2026 模拟题拓展至双边缘抛物线、平移变换、消防喷水避障等场景，融合圆、矩形几何知识，从单一计算转向方案优化，探究性与综合性持续增强。 考点05其他问题 2026 山东统考卷、2024 潍坊隔热层 / 光伏发电题，2026 青岛 / 淄博模拟卷 以解答题为主，分值 8-12 分。情境覆盖传统文化、能源科技、物理运动等多元领域，早年以单一二次函数建模求解为主。2026 统考后深度结合解直角三角形、一次函数、不等式综合设题，跨学科融合特征明显，情境创新度高，对信息提取、多知识点联动建模的能力要求明显提升。 考点01 图形问题 一、单选题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 3．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若y关于x的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 5．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 三、填空题 7．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 考点02 销售问题 一、填空题 1．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 二、解答题 2．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ (4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 3．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 4．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 考点03 投球问题 一、解答题 1．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 考点04 喷水问题 一、解答题 1．（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 考点05 其他问题 一、解答题 1．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． (1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度； (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 2．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画． (1)求关于的函数表达式； (2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ (3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，） 一、单选题 1．（2026·山东枣庄·三模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为4平方米； ②与之间的函数关系式为； ③当时，矩形的面积最大； ④的值为12．其中正确的结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·山东聊城·一模）篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（2026·山东淄博·一模）如图，点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，，于点B，连接．若直线与x轴的正半轴所夹的锐角为，则当的值最大时，的面积为__________． 4．（2026·山东临沂·一模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系式为：．有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离时，达到最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的序号是____________． 三、解答题 5．（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． (2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 6．（2026·山东青岛·一模）图1、图2分别是小宇家阁楼装修的效果图和示意图，他要用木条对墙面进行装饰，、为阁楼屋梁，装饰木条、分别与、平行，且均与抛物线窗户有唯一交点．同时，用相同木条在窗户上方与木条、之间搭建支架、、，其中点、在抛物线上，点、分别在木条、上． 信息一：窗户水平宽度为米，竖直高度为米（其中为抛物线顶点）．建立如图2所示的平面直角坐标系，为原点，所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴． 信息二：和关于轴对称，且关系式为，轴，轴，轴． 请解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求木条所在直线的函数表达式； (3)小宇购进了总长为3米的木条，计划用于制作装饰木条、和支架、、，请你通过计算判断3米长的木条是否够用．（木条裁剪过程中的损耗不计） 7．（2026·山东青岛·三模）某企业计划生产一种新型电子产品，进行自产自销，已知企业受人力、物力等各种因素影响，每月生产数量不超过10万件．经测算发现，每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）满足某种函数关系，如下表所示： 生产数量x（万件） … 1 3 4 7 … 每件生产成本y（元） … 9 8 7.5 6 … 企业决定将产品采取抖音销售和门店销售两种方式同时进行，保证每月生产的产品当月销售完，且抖音和门店销售产品的数量按分配销售． 抖音销售：售价12.5元/件； 门店销售：根据销售经验，当售价每件降价2元，销售数量将增加1万件，当企业以16.5元/件的销售单价出售时，可以销售1万件． (1)判断每件生产成本y（元）与生产数量x（万件）的函数关系，并求出表达式； (2)设门店的售价为m元，则m与x的关系式为________________： (3)你设计一种生产方案，使得每月销售完产品获得的收益最大，最大收益是多少？ 8．（2026·山东临沂·三模）综合与实践： 【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元/盒）的情况如图所示： 销售单价（元/盒） 月销售量（盒） 65 1300 60 1400 70 1200 (1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 销售单价（元/盒） 60 ________ ________ 月销售量（盒） ________ ________ ________ (2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量与销售单价之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的．设销售这种护眼贴每月获利（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？ 9．（2026·山东德州·二模）“非遗传承，匠心味道”，德州特产火腿作为地方特色美食，其传统工艺被列入非物质文化遗产．某经销商主营A、B两款礼盒装火腿，已知：A款礼盒进价50元/盒，B款礼盒进价60元/盒；售出2盒A款和1盒B款共收入192元，售出3盒A款和5盒B款共收入540元． (1)求A、B两款礼盒的售价分别为多少元/盒？ (2)为推广非遗产品，经销商对A款礼盒开展促销；若每盒降价1元，每天销量可增加10盒．已知A款礼盒原每天销量60盒，且降价后售价不低于进价．设每盒A款礼盒降价元，每天销量为盒，求关于的函数关系式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的促销方案下，设A款礼盒每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式（利润=单盒利润×销量）； ②若要实现每天A款礼盒利润最大化，则需降价多少元，此时最大利润是多少？ 10．（2026·山东青岛·二模）数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发展进程中重要的参与者之一．如图1，某水果种植户的温室大棚横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，点是抛物线的顶点，到的距离为．以点为原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，在某一时刻，太阳光线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，则的长为_____米． (3)大棚水果成熟后，种植户将其批发销售．已知每千克水果种植成本为2.5元，且物价部门规定该水果批发单价不得超过6元/千克，每天固定运营成本为80元．若每天该水果批发单价（元/千克）与每天批发销量（千克）满足关系式，请问批发单价定为多少时，种植户每天批发销售该水果获得的利润最大？最大利润为多少？ 11．（2026·山东青岛·三模）如图，无人机在离地面的处发现大楼处出现火灾，同时观察到点与大楼前的旗杆顶端及着火点正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过，．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并求点坐标； (2)求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； (3)由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） 12．（2026·山东菏泽·一模）项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米． (1)求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的水平距离为米． (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 13．（2026·山东临沂·二模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 0 1.2 2.4 4.8 6.0 … 0 0.5 2.0 4.5 8.0 12.5 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中与的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中的值为__________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与，与的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编，同时开始编织，编织面积恰好相等时，所用时间为__________； ②该工厂接到一批订单，需要平编产品200件，绞编产品100件．已知生产一件平编产品要比生产一件绞编产品多用，本次订单两种产品总编织面积为．那么两种产品每件的编织面积分别是多少？ 14．（2026·山东青岛·二模）某智能物流公司在自动化仓库开展堆垛机安全避障实验．测试开始时，堆垛机以初速度驶入一段足够长的水平直轨（堆垛机的自身长度忽略不计），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小的直线运动）；与此同时，在同一直轨上有一辆搬运车从其正前方处开始以恒定速度（）做同向匀速运动．为确保堆垛机在任何时刻均不与搬运车发生接触（即全程保持非负间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的初始间距的最小值．实验测得堆垛机在水平直轨上运动的数据如表： 时间 0 0.5 1 1.5 2 速度 22 18 14 10 6 行驶路程 0 10 18 24 28 已知速度与时间是一次函数关系，行驶路程与时间是二次函数关系． (1)求速度与时间的关系式及行驶路程与时间的关系式； (2)求堆垛机从驶入水平直轨到完全停下所行驶的总路程； (3)堆垛机驶入水平直轨的同时，搬运车以的速度匀速向前行驶．为保证堆垛机始终不与搬运车发生接触，求初始间距的最小值． 15．（2026·山东青岛·二模）根据以下素材，探索完成任务． 滑雪爱好者滑雪轨迹问题 素材1 图1是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台长为1米，平台距地面18米．以地面所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，取1米为单位长度，建立如图2的平面直角坐标系． 已知滑道对应的函数为． 素材2 滑雪爱好者（看成点）在方向获得速度米/秒后，从处向右下飞向滑道，点是下落过程中的某位置．设滑雪爱好者飞出时间为秒，滑雪爱好者与点的竖直距离为米，运动员与点的水平距离为米． 素材3 实验表明：． 素材4 滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行的过程中，若飞行的高度与跳台滑道的竖直距离能超过8米就可获得奖励． 问题解决 (1)确定滑道形状：根据图2，求滑道抛物线的解析式； (2)确定滑雪爱好者与滑道位置关系：根据图3，当时，判断此时滑雪爱好者是否在滑道上． (3)确定滑雪爱好者的滑雪方案：滑雪爱好者从处飞出，如果飞出的路径近似看成函数的图像，该滑雪爱好者能否获得奖励，为什么？ 试卷第1页，共3页 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $