第二十五章一元二次方程单元提升练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从一元二次方程概念到实际问题解决的递进，发展抽象能力与运算能力，培养推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定义、一般形式、基本解法|单选1（概念辨析）、填空14（根与系数关系），夯实核心概念与运算能力| |能力提升|判别式、根的性质、变式应用|单选5（命题判断）、填空15（代数综合），强化推理意识与知识迁移| |综合应用|实际问题、跨知识整合|解答23（果园规划）、24（成本利润），提升应用意识与创新意识|

2026-2027学年九上数学人教版第二十五章一元二次方程单元提升练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 3．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 5．下列关于一元二次方程的命题中：①若则；②若方程两根为1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根，真命题有（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 6．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 7．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 8．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 9．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 11．有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，细胞总数变为225个，那么根据题目条件求，可以列方程为（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 二、填空题 13．已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 14．已知是一元二次方程的两个根，则________． 15．如果a.b是不相等的实数，且满足a2-2a=4  b2-2b=4,那么代数式3a2+ab+6b=______ 16．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为_____________． 三、解答题 17．解一元二次方程： (1) (2) 18．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 19．已知：关于x的一元二次方程 (1)已知x=2是方程的一个根，求m的值； (2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB<AC）的边长，当BC=时，△ABC是直角三角形，求此时m的值． 20．定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如：已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“最值码”为． (1)已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”； (2)已知关于的一元二次方程是一个“全整根方程”，求该方程的“最值码”（用含的式子表示）； (3)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“最值码”相等时，求代数式的值． 21．已知关于x的方程 (1)当方程的一个根为2时，求c的值． (2)若方程的两根之积为3，求方程的根． 22．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 23．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 24．立足科教兴国发展战略，助力青少年机器人大赛筹备工作，某科创工坊加工甲、乙两款智能巡线小车配件．已知单件甲型小车耗材成本比乙型多元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同． (1)分别求出甲、乙两款小车单件耗材成本是多少元？ (2)工坊原定计划安排生产甲型小车台，乙型台．为适配赛事升级要求，提升成品性能，工坊优化了生产工艺．甲型小车精简内部线路，单件成本下降元，制作数量增加台；乙型小车加装避障感应配件，单件成本增加元，制作数量减少台，这样全部耗材总费用为元，求的值． 《2026-2027学年九上数学人教版第二十五章一元二次方程单元提升练》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B A B C C D C 题号 11 12 答案 A C 1．D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系：，，先把代入，得出，据此计算即可解答． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， 把代入， 则，即， 故 ， 故选：C． 3．B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 4．B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 5．A 【分析】本题主要考查了命题真假的判断、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解答本题的关键． 把代入判别式中得到，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到，则，可对②进行判断；利用方程有两个不相等的实根得到，则，可对③进行判断． 【详解】解：∵，则， ∴，所以①正确； ∵方程两根为 1 和 2 ， ∴则， ∴，所以②正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， ∴， ∴方程必有实根，所以③正确． 故选：A． 6．B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 7．C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 8．C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 9．D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 10．C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 11．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 细胞分裂每次使细胞数量变为原来的x倍，经过两次分裂后细胞总数为，据此列方程即可． 【详解】解：∵ 初始1个细胞，一次分裂后细胞数为x， ∴ 二次分裂后细胞数为． 又∵ 二次分裂后共得225个细胞， ∴． 故选A． 12．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 13．且 【分析】本题先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为零，再利用根与系数的关系结合已知条件得到参数和的关系，最后根据方程有两个实根，判别式大于等于零求解的取值范围． 【详解】解： 方程 是一元二次方程，． 方程有两个实根 ， 判别式 ． 根据根与系数的关系得：，． ， ， 代入得：， 解得 ， 将 代入 得：， 即 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 且 ． 14．0 【分析】根据一元二次方程解的定义和一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴． 15．20 【详解】∵a.b是不相等的实数，且满足a2-2a=4,b2-2b=4, ∴a、b可看作方程x2-2x-4=0的两根， ∴a+b=2，ab=-4， ∵a2-2a=4， ∴a2=4+2a， ∴3a2+ab+6b=3（4+2a）+ab+6b=12+6a+ab+6b=ab+6(a+b)+12=-4+6=20. 故答案是：20. 16．/8平方厘米 【分析】设矩形的长为，宽为，根据图①和图②的阴影面积列出方程组，求出的值，再求图③的面积求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，由题意，得： ， 整理，得：， 把②代入①得：③， 把③代入①得：， 整理，得：， 解得：， 当时，， 当时，（不合题意，舍去）； ∴长方形的长为cm，宽为cm， ∴图③中的阴影面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．正确的识图，找准等量关系，列出方程，是解题的关键． 17．(1)， (2) 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）变形后利用因式分解法解方程即可； （2）化为一般形式后利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ∴， 则， ∵， ∴， 即． 18．(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 19．(1)m=0或m=1 (2)m=0或m=1 【分析】（1）把x=2代入方程得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可； （2）先计算出判别式，再利用求根公式得到，，则AC=m+2，AB=m+1．因为△ABC是直角三角形，所以当BC或AC为斜边时根据勾股定理分别解关于m的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵x=2是方程的一个根， ∴， ∴m=0或m=1； （2）解：∵△=， ∴x= ∴，， ∴AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根， ∴AC=m+2>0，AB=m+1>0． ∴m>-1． ∵BC=，△ABC是直角三角形， ∴当BC为斜边时，有， 解这个方程，得(不符合题意，舍去)，； 当AC为斜边时，有， 解这个方程，得． 综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形． 【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“最值码”的定义，将方程中的的值代入进行计算． （2）根据“最值码”的定义，将方程中的的值代入，然后化简式子． （3）先分别求出两个方程的“最值码”，再根据“最值码”相等得到和的关系，最后代入代数式求值． 【详解】（1）解：对于方程，其中， 所以该方程的“最值码”为． （2）解：对于方程，其中， 所以该方程的“最值码”为． （3）解：对于方程，其中， 所以该方程的“最值码”为， 由（2）知方程的“最值码”为， 两个方程的“最值码”相等， ， ，即， ， 所以代数式的值为． 21．(1) (2)， 【分析】（1）将方程的根代入原方程即可求解； （2）根据根与系数的关系，即可求出c，再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：将方程的根代入原方程：，解得； （2）设方程的两根为，，若方程的两根之积为3， 则，解得， 即：， 解得，． 22．(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 23．(1) (2)每平方米草莓平均利润下调元 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 24．(1)甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． (2)的值为． 【分析】(1) 设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元，花费元制作甲型小车的数量与花费元制作乙型小车的数量相同，列出分式方程，解方程即可． (2)由题意得新的成本为，甲款小车单件耗材成本为元，数量为台，乙款小车单件耗材成本为元，数量为台，全部耗材总费用为13500元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙型小车耗材成本元，根据题意可知甲型小车耗材成本为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元． （2）解：由（1）知甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 由题意得，新的成本为：甲款小车单件耗材成本元，乙款小车单件耗材成本元 整理得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $