专题18一次函数与几何的综合问题7大重难题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建方法体系，通过7类几何问题（线段、角度、三角形存在性等）实现一次函数与几何性质的深度融合，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法总结|待定系数法求解析式、几何条件坐标转化、分类讨论存在性问题|函数与几何的转化桥梁| |7大题型|每题型1典例+3变式|线段用距离公式、角度用斜率/三角函数、存在性问题分类讨论|从基础计算到复杂存在性的递进| |压轴挑战|1典例+14变式|动态几何分析、新定义问题转化|综合应用与思维拓展|

专题18 一次函数与几何的综合问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、一次函数背景下的线段问题 题型2、一次函数背景下的角度关系问题 题型3、一次函数背景下的等腰三角形存在性问题 题型4、一次函数背景下的直角三角形存在性问题 题型5、一次函数背景下的全等三角形问题 题型6、一次函数背景下的图形交点个数问题 题型7、一次函数背景下的最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数与几何综合题，通常以平面直角坐标系中的直线为载体，结合三角形、四边形、全等、等腰、直角、最值等几何知识。解题时，先用待定系数法求出相关直线解析式，再把几何条件转化为坐标关系；涉及线段长可用两点间距离公式或勾股定理，涉及角度关系可利用斜率或三角函数，涉及存在性问题（等腰、直角、全等）要分类讨论，设出动点坐标，利用几何性质列方程求解；最值问题常结合对称、垂线段最短或函数增减性处理。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、一次函数背景下的线段问题 题型模版 题型特征：在平面直角坐标系中，利用一次函数图象上点的坐标求线段长度或线段关系。 解题方法：求出关键点坐标；利用两点间距离公式、勾股定理或相似比计算线段长；注意坐标与距离的转化。 典例1（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，是斜边上的高，点P为的中点，经过P点的直线分别交边，于点M，N，交轴于点C，已知， (1)点P的坐标为____，直线的函数解析式为____． (2)求的面积． (3)记O，A两点到直线的距离分别为，，直接写出的值． 变式1-1（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过点作直线交于点D，交y轴于点E，且； (1)点B的坐标为 ，线段的长为 ． (2)求直线的函数表达式及点D的坐标． (3)如图，M是线段上一动点不与点C，E重合，交于点N，连接 ①在点M的移动过程中，线段与的数量关系是否变化？请说明理由； ②求 的最小面积． 变式1-2（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与直线相交于点． (1) ， ； (2)点为直线上一点，且点在第二象限，若，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的垂线，与直线，直线分别相交于点、，若，请直接写出点的坐标． 变式1-3（25-26八年级上·广东深圳·期中）给出如下定义：在平面内，对于线段，若点C满足，，称C是线段的“美好点”；特别地，若满足，称C是线段的“黄金美好点”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，已知点； ①若P的横坐标为9，则点A_______（填写“是”或“不是”）线段的“美好点”； ②若P是线段的美好点，求P的坐标； (2)如图2，若直线与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将沿直线翻折到，若平面直角坐标系上一点，满足M是线段的“黄金美好点”，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，，N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段的“黄金美好点”，且N是线段的“美好点”，求满足条件的N的坐标． 题型2、一次函数背景下的角度关系问题 题型模版 题型特征：利用一次函数图象的倾斜角、斜率或几何图形中的角度关系求解。 解题方法：由斜率判断直线倾斜程度；结合平行、垂直、三角形内角和、外角等性质建立角度关系。 典例2（25-26八年级上·浙江金华·期末）我们规定：直线与直线（，为常数，且）互为“类反函数”．例如：直线与直线就互为“类反函数”．已知直线与其互为“类反函数”的直线交于点，且与轴，轴分别交于，两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，当，时， ①求直线的函数表达式．②求四边形的面积． (2)如图2，对于直线和，当，且时，在轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-1（24-25八年级上·浙江·期末）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 变式2-2（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点C、E，与直线交于点，点D的坐标为，点B在x轴上． (1)求m的值； (2)求直线的函数解析式； (3)若点P是直线上一动点（不与点C重合），连接，当时，求点P的坐标． 变式2-3（25-26八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴正半轴，轴正半轴分别交于，两点，，的面积为． (1)求直线的表达式； (2)点为轴上一点． ①如图2，，点为直线上一点且在第四象限．连接，，，若的面积与的面积相等，且，求的值和点的坐标； ②当且时，过点作直线于点，作线段的垂直平分线交直线于点，连接，，试探究的度数是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 题型3、一次函数背景下的等腰三角形存在性问题 题型模版 题型特征：已知一次函数图象上的点或动点，判断或求使三角形为等腰三角形的点坐标。 解题方法：分类讨论哪两边相等；利用两点间距离公式表示三边长，列方程求解；注意检验点的位置。 典例3（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点． (1)求点的坐标； (2)如图2，将等腰直角向右平移个单位，记平移后的等腰直角，点恰好在直线上，求的值以及直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，其中点为的中点，直接写出点的坐标． 变式3-1（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-2（25-26八年级上·山东济南·期中）【模型构建】 （1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】 （2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】 （3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 变式3-3（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，直线经过点A，且与y轴交于点C． (1)点A的坐标为 ， ；（直接写出答案） (2)若点Q为y轴上任意一点． ①连接，当时，请求出点Q的坐标； ②若点P为射线上任意一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于M、N，当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 题型4、一次函数背景下的直角三角形存在性问题 题型模版 题型特征：已知一次函数图象上的点或动点，判断或求使三角形为直角三角形的点坐标。 解题方法：分类讨论哪个角为直角；利用勾股定理逆定理或两直线垂直斜率乘积为-1列方程求解。 典例4（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D． （1）线段的长为_____． （2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为_____． 变式4-1（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，直线与交于点B． (1)求点B的坐标； (2)在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与，交于点M、N，且点M在点N的上方． ①当时，求N的坐标； ②点Q为y轴上一动点，若是以为的直角三角形，且两直角边长之比为．求出满足条件所有点Q的坐标． 变式4-2（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-3如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，且与直线交于点B，点C在，点E在直线上且位于点B的右侧． (1)求k的值及点B的坐标； (2)若在直线上存在点D，使得，求点D坐标； (3)若射线上存在点P，直线上存在点Q，使得点C、P、Q三点构成的为等腰直角三角形，求出点P的坐标． 题型5、一次函数背景下的全等三角形问题 题型模版 题型特征：结合一次函数图象与全等三角形，求点坐标或证明线段相等。 解题方法：根据全等三角形的对应边、对应角相等，把几何关系转化为坐标关系；注意多种对应情况。 典例5（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值； (2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； (3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式5-1（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 变式5-2（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点，连接． (1)求点A的坐标； (2)如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，直接写出点的坐标． 变式5-3直线：分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标 　　； (3)在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等（重合除外），请求出点D的坐标． 题型6、一次函数背景下的图形交点个数问题 题型模版 题型特征：研究直线与线段、射线或图形的交点个数，求参数范围。 解题方法：求出直线与图形边界的交点；分析直线旋转或平移过程中交点个数的变化；注意临界位置。 典例6（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 变式6-1（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线：与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求的值和直线的表达式； (2)过轴上的点作轴的垂线分别交直线，直线于点，，若，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，我们将横，纵坐标都是整数的点叫做“整点”，已知直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点，求的取值范围． 变式6-2（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，正方形在平面直角坐标系中，其中，． (1)点的坐标为_______，求直线的函数解析式； (2)点在直线l上． ①当时，判断点是否在直线上； ②若点在的边上，求的值； ③将直线向上平移个单位长度（为整数）．若直线在第二象限内恰有个整点（横、纵坐标都为整数的点），直接写出的值． 变式6-3（25-26八年级下·辽宁大连·期末）一次函数中，当时，；当时，． (1)求函数解析式； (2)将直线沿轴翻折得到，与交于点． ①过点的直线平行于轴，与，分别交于，，当时，求的值； ②函数且时，当函数的最大值与最小值差时，求的值； ③点，点，函数与线段只有两个交点时，求的取值范围． 题型7、一次函数背景下的最值问题 题型模版 题型特征：在一次函数背景下，求线段和、面积、距离等的最值。 解题方法：利用对称求最短路径；利用垂线段最短；把目标量表示为函数，结合增减性求最值。 典例7（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式7-1（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是_______． 变式7-2（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)直接写出一次函数图象的“亮点”为________； (2)一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点C在x轴上坐标为，点P在直线上，求的最小值． 变式7-3（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)求直线的函数解析式； (2)已知是直线l上的动点． ①当时，判断点P是否在直线上； ②嘉嘉说：“直线l与直线平行．”判断嘉嘉说得对吗？并说明理由； ③当取得最小值时，求a的值； ④直线沿y轴向下平移个单位长度后，与直线l在第四象限有交点，且交点是整点（横、纵坐标都是整数的点），直接写出满足条件的n的整数值的个数． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 典例8（25-26八年级下·山东日照·期末）定义：直线与直线组成一对“值线组”．如图，已知矩形顶点坐标，，，．当时，“值线组”与矩形恰有4个交点，则的取值范围为________． 变式8-1（24-25八年级上·浙江湖州·期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速． （1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为_____ （2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为__________． 变式8-2（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，是的中点，点的坐标分别是和是线段上一个动点，则点从点向点的运动过程中，依次出现的特殊三角形为（    ） A．直角三角形等腰三角形等边三角形直角三角形 B．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 C．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一等腰三角形 D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形 变式8-3（25-26八年级下·湖北武汉·期末）直线与轴，轴交于，两点，直线与轴，轴交于，两点． (1)直接写出点，，，的坐标； (2)如图（1），点在的延长线上，连接，，． ①若点的横坐标是2，求； ②若，直接写出点的横坐标． (3)如图（2），已知点，分别在第一、第四象限内，直线，交轴于，两点．若，求证：直线过定点，并求该定点的坐标． 变式8-4（25-26八年级下·广东深圳·期末）综合与探究： 【定义】在平面直角坐标系中，对于点，当时有点，当时有点，则称点是点的“跃迁点”． 【应用】 (1)①点的“跃迁点”坐标为 ；点的“跃迁点”坐标为 ； ②若点是点的“跃迁点”，则的坐标为 ； 【探究】 (2)已知点在某函数图象上，对于任意实数，点的“跃迁点”的图象如下图所示．当时，点在直线上，当时，点在直线上，求点所在函数的表达式； 【拓展】 (3)在（2）的条件下，若直线与点所在的函数图象有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围． 变式8-5如图，在平面直角坐标系中，，，过点B作直线轴，点是直线l上的动点，以为边在右侧作等腰，使， （1）当时，则点Q的坐标是_____． （2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动，则点Q运动路线的函数解析式是_____． 变式8-6（25-26八年级下·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线，直线． (1)如果直线和直线交于点，求，的值． (2)过点作轴的垂线，分别交和于点，点（点在点的上方）． ①当时，，求的值． ②当时，点在运动过程中，线段的长度恒大于，直接写出的取值范围． 变式8-7（25-26八年级下·四川南充·期末） 如图1， 直线 与直线 相交于y轴上的点B，且直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点． (1)填空∶ ________，________； (2)如图2，在图1 的基础上，设点B关于x轴的对称点为点D，点P从点O出发，沿x轴向左运动，连接PB，以点P为直角顶点，PB为腰在右下方作等腰直角三角形PBE， ①求直线AD的表达式： ②在点P的运动过程中，点E是否一定落在直线AD上？就图2 说明理由． 变式8-8（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另外一种几何图形的过程叫作几何变换，因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的． 在平面直角坐标系中，设直线上一点，变换可以把点对应到点，记为，所有点组成一条直线，称是直线的变换线． 定义如下：点在直线上，， 即点坐标为 例如：点在直线：上，，即 如图，直线：与直线：相交于点， (1)分别求出，所对应的点，的坐标； (2)点在轴上，过点作轴的垂线，与相交于点，与相交于点，， ①当时，求的面积； ②当时，直线与轴的交点的坐标________； ③当线段与直线，组成的图形只有两个交点时．直接写出的取值范围________． 变式8-9已知，如图1，直线分别交平面直角坐标系中轴和轴于、两点，点坐标为，点坐标为，点在直线上，且点坐标为．    (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，当时，求点坐标； (3)如图2，点坐标为，连接，在直线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 变式8-10（25-26八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式8-11已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C．    (1)求新函数的图象的解析式； (2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图2，过点画平行于y轴的直线， ①求证：是等腰直角三角形； ②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 变式8-12（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线经过点，且与轴交于点． (1)直接写出的坐标及直线的解析式； (2)①已知点，若，求的值； ②过点作直线交线段于点，若，求点的坐标； (3)如图2，过点作射线，，分别交线段，于，两点，且，若四边形内部恰好有5个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点的坐标． 变式8-13（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，且在轴的左侧，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 变式8-14（25-26八年级下·湖北鄂州·期末）如图平面直角坐标系中的点和点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角． (1)求直线的解析式； (2)点P为直线上一点，作轴交直线于点Q，若，求点P坐标； (3)如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求证：点M为的中点； (4)在（3）的条件下，若点F在第二象限，且F，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 一次函数与几何的综合问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、一次函数背景下的线段问题 题型2、一次函数背景下的角度关系问题 题型3、一次函数背景下的等腰三角形存在性问题 题型4、一次函数背景下的直角三角形存在性问题 题型5、一次函数背景下的全等三角形问题 题型6、一次函数背景下的图形交点个数问题 题型7、一次函数背景下的最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 一次函数与几何综合题，通常以平面直角坐标系中的直线为载体，结合三角形、四边形、全等、等腰、直角、最值等几何知识。解题时，先用待定系数法求出相关直线解析式，再把几何条件转化为坐标关系；涉及线段长可用两点间距离公式或勾股定理，涉及角度关系可利用斜率或三角函数，涉及存在性问题（等腰、直角、全等）要分类讨论，设出动点坐标，利用几何性质列方程求解；最值问题常结合对称、垂线段最短或函数增减性处理。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、一次函数背景下的线段问题 题型模版 题型特征：在平面直角坐标系中，利用一次函数图象上点的坐标求线段长度或线段关系。 解题方法：求出关键点坐标；利用两点间距离公式、勾股定理或相似比计算线段长；注意坐标与距离的转化。 典例1（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，是斜边上的高，点P为的中点，经过P点的直线分别交边，于点M，N，交轴于点C，已知， (1)点P的坐标为____，直线的函数解析式为____． (2)求的面积． (3)记O，A两点到直线的距离分别为，，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了两条直线交点的求法，线段的求法，等腰直角三角形斜边中线的性质，三角形面积． （1）利用等腰直角三角形的性质即可求得，根据点P为的中点，即可求得，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）首先求得直线和直线的解析式，分别与直线的解析式联立，解方程组求得M、N的坐标，然后根据即可求得； （3）设直线与x轴的交点为E，求得E的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，是斜边上的高， ∴，， ∴， ∵点P为的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 故答案为：，； （2）解：设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∵，点P为的中点， ∴， ∴ （3）解：设直线与x轴的交点为E， 把代入，求得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 变式1-1（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过点作直线交于点D，交y轴于点E，且； (1)点B的坐标为 ，线段的长为 ． (2)求直线的函数表达式及点D的坐标． (3)如图，M是线段上一动点不与点C，E重合，交于点N，连接 ①在点M的移动过程中，线段与的数量关系是否变化？请说明理由； ②求 的最小面积． 【答案】(1)；3 (2)， (3)①在点M的移动过程中，线段与的数量关系保持不变． 理由：， ，， ，， ， 即， 在和中， ，，， ∴， 故在点M的移动过程中，与的数量关系保持不变，始终相等． ② 【分析】（1）令求出y的值，即可求出点B的坐标；先求出点A的坐标即可求出的长； （2）根据求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）①先证明，根据全等三角形的判定和性质得出； ②根据三角形的面积公式可得面积 ，从而得到当最小时，的面积最小，则当时，最小，此时的面积最小，即可求解． 【详解】（1）解：直线交坐标轴于A，B两点，且当时，，当时，， 点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为； （2）解：点，，， ，， 点E的坐标为 设直线的函数表达式为，则 解得， ∴直线的函数表达式为 由得 即点D的坐标为 （3）①略 ②由①知， ， 的面积是， 当取得最小值时，的面积最小． ，，， ， ∵当时，取得最小值， 此时， ，解得， 的最小面积为 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系，以及全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系是解答本题的关键． 变式1-2（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与直线相交于点． (1) ， ； (2)点为直线上一点，且点在第二象限，若，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，点为线段上一点，过点作轴的垂线，与直线，直线分别相交于点、，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据点在直线上，求出点的坐标，把点的坐标代入直线上，求出的值； （2）根据直线的解析式求出点、的坐标，设点的坐标是，根据得到关于的方程，解方程求出的值，利用待定系数法求出直线的函数解析式； （3）设点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标是，根据列方程求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得：， 点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 当时， 可得：， 点的坐标是， ， 设点的坐标是， 点的坐标是， ，， ， ， 解得：， ， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ， 可得：或， 解得：或， 当时，， 点的坐标是， 当时，， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或． 变式1-3（25-26八年级上·广东深圳·期中）给出如下定义：在平面内，对于线段，若点C满足，，称C是线段的“美好点”；特别地，若满足，称C是线段的“黄金美好点”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，已知点； ①若P的横坐标为9，则点A_______（填写“是”或“不是”）线段的“美好点”； ②若P是线段的美好点，求P的坐标； (2)如图2，若直线与x轴相交于点B，与直线相交于点C，将沿直线翻折到，若平面直角坐标系上一点，满足M是线段的“黄金美好点”，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，一次函数，P是直线上一点，，N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段的“黄金美好点”，且N是线段的“美好点”，求满足条件的N的坐标． 【答案】(1)①是；② (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确作出图形是解题的关键 （1）①求得点，计算长度即可解答； ②设，可得在线段的垂直平分线上，可得，代入解析式即可解答； （2）证明，根据题意以为底构建等腰直角三角形，利用点即可解答； （3）分两种情况，即在上方或下方两种情况，利用全等三角形的判定和性质可得点的坐标． 【详解】（1）①解：把代入， 可得， ， 根据勾股定理可得， ， 点A是线段的“美好点”， 故答案为：是； ②解：设， 是线段的美好点， 在线段的垂直平分线上， ， ， 将，代入直线得， 即； （2）解：当时，，解得， ， 当时，， ， 为等腰直角三角形， ，且， 由折叠的性质，可知且， 是线段的“黄金美好点”， 则以为斜边，构建等腰， ， ， ， ，即， ，， ． （3）解：点是线段的“黄金美好点”，且是线段的“美好点”， 在线段的垂直平分线上，即，且是以为斜边的等腰直角三角形， 当在上方时， 如图，作轴交轴于点，作交直线于点， ，， ，且 ， ， 设，得， 将点代入得， ， 解得，即 当在下方时，如图，作轴交轴于点，作交直线于点， 同理可得， 将点代入得， ， 解得，即 综上，或． 题型2、一次函数背景下的角度关系问题 题型模版 题型特征：利用一次函数图象的倾斜角、斜率或几何图形中的角度关系求解。 解题方法：由斜率判断直线倾斜程度；结合平行、垂直、三角形内角和、外角等性质建立角度关系。 典例2（25-26八年级上·浙江金华·期末）我们规定：直线与直线（，为常数，且）互为“类反函数”．例如：直线与直线就互为“类反函数”．已知直线与其互为“类反函数”的直线交于点，且与轴，轴分别交于，两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，当，时， ①求直线的函数表达式．②求四边形的面积． (2)如图2，对于直线和，当，且时，在轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① ；②； (2)存在，或 【分析】本题考查了新定义“类反函数”的理解、一次函数的图象与性质、图形面积计算以及角的构造与存在性探究，解题的关键是根据“类反函数”的定义求出直线表达式，结合坐标与几何性质进行分析计算． （1）① 根据题目给出的“类反函数”定义，直接将，代入公式，就能写出直线的表达式．②先求出两条直线与坐标轴的交点坐标，再联立方程求出两直线交点的坐标．然后用割补法，用的面积减去的面积，即可得到四边形的面积． （2）先根据写出两条直线的表达式，结合求出的值，确定点、的坐标．要构造角，可通过作垂线截取等长线段得到等腰直角三角形，再求出该三角形的斜边所在直线与轴的交点，即为点的坐标． 【详解】（1）① 解：根据“类反函数”的定义，当，时， 直线的表达式为， 即 ② 解：对于， 令，则，解得，所以； 令，则，所以． 对于， 令，则，解得，所以； 令，则，所以． 联立， 解得，，所以． 计算的面积：， 计算的面积：， 所以四边形的面积为：． 答：四边形的面积为． （2）解：已知，则，． 对于，令，则，解得，所以． 因为，，所以，则． 将代入的表达式：，解得． 所以，，． 设，要使，构造等腰直角三角形． 过点作的垂线，截取，则为等腰直角三角形，， 由到，横坐标增加，纵坐标增加． 过作的垂线，有两个方向： 向左上：横坐标减，纵坐标加，得； 向右下：横坐标加，纵坐标减，得． 当时，设直线的表达式为，因， ∴，解得：， ∴直线的表达式为，令，得，所以； 当时，设直线的表达式为，因， ∴，解得：， ∴直线的表达式为，令，得，所以． 答：存在点，坐标为或． 变式2-1（24-25八年级上·浙江·期末）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形， 理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴， ，∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）略 变式2-2（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点C、E，与直线交于点，点D的坐标为，点B在x轴上． (1)求m的值； (2)求直线的函数解析式； (3)若点P是直线上一动点（不与点C重合），连接，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入直线即可求出答案； （2）利用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （3）先求出点B的坐标为，根据得到，即轴，则点P的横坐标为3，将代入，得，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， 将代入，得． （2）解：由（1）得点A的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将、代入得，           解得， 直线的函数解析式为． （3）解：令，解得， 点B的坐标为．           ，即轴， 点P的横坐标为3，           将代入，得， 点P的坐标为 变式2-3（25-26八年级下·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：的图象与轴正半轴，轴正半轴分别交于，两点，，的面积为． (1)求直线的表达式； (2)点为轴上一点． ①如图2，，点为直线上一点且在第四象限．连接，，，若的面积与的面积相等，且，求的值和点的坐标； ②当且时，过点作直线于点，作线段的垂直平分线交直线于点，连接，，试探究的度数是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，； ②是，定值为 【分析】（1）证明，根据的面积为得到点和点的坐标，结合待定系数法解题； （2）①设，分别用含和的式子表示的面积与的面积，列方程可求出，再根据可求出； ②设的垂直平分线交于点，过点作交轴于点，设，根据勾股定理可求出，分别求出直线、直线的解析式，联立得到点的坐标，进而得到直线的解析式，可得到点的坐标，结合和的数量关系即可解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，， 将，代入， 有， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①设， 由题意知， 解得； ∵，， ∴， ∵， ， ∵， ∴， 解得，即， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ， 解得或（舍去）， ∴； ②如图，设的垂直平分线交于点，过点作交轴于点， 由题意知为的中点， ∴，即，； ∵，， ∴，即， 设，则有， ∴， 整理得， ∴； 设，代入，， 有， 解得， ∵， ∴； 设，代入， 有， 解得， ∴； 设，代入，， 则有， 解得， ∴； 联立， 解得，即， 设，代入， 有， 解得， ∴， ∵点在直线上，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，即， ∵垂直平分， 由对称性可知， ∴． 题型3、一次函数背景下的等腰三角形存在性问题 题型模版 题型特征：已知一次函数图象上的点或动点，判断或求使三角形为等腰三角形的点坐标。 解题方法：分类讨论哪两边相等；利用两点间距离公式表示三边长，列方程求解；注意检验点的位置。 典例3（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点． (1)求点的坐标； (2)如图2，将等腰直角向右平移个单位，记平移后的等腰直角，点恰好在直线上，求的值以及直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，其中点为的中点，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）作轴于点，轴于，证明，得出，，由点坐标为，点坐标为， 得出，，求出，即可得出结果； （2）由平移的性质可得，，结合点恰好在直线上，求出，从而可得，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （3）由（2）可得，，，直线的解析式为，求出，由勾股定理可得，，当点在的上方时，设，则，，求出，作交于点，则为等腰直角三角形，从而可得，由等面积法得出，从而可得，求出的值即可得出的坐标；当点位于的下方时，此时，证明，得出，即点为的中点，设，则，解得，即可得出的坐标，从而得出结果． 【详解】（1）解：如图，作轴于点，轴于， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∵点坐标为，将等腰直角向右平移个单位，记平移后的等腰直角， ∴，， ∵点恰好在直线上， ∴， 解得：， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：由（2）可得：，，，直线的解析式为， ∵点为的中点， ∴，即， ∴，， 如图，当点在的上方时， 设， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴，即， 作交于点，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理可得， 解得或， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不符合题意，舍去； 如图，当点位于的下方时，此时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点为的中点， 设，则， 解得，此时，故，符合题意； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、一次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 变式3-1（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；，，， 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、三角形面积关系的应用以及平面直角坐标系中等腰三角形的存在性问题；解题的关键是熟练运用待定系数法、理解同高三角形面积比等于底边比的性质，以及分类讨论等腰三角形的不同构成情况；易错点是计算过程中的符号与准确性，以及在讨论等腰三角形时可能遗漏其中一种情况． （1）利用待定系数法，将已知点，的坐标代入一次函数解析式，建立方程组求解即可； （2）由​且两三角形有公共高，可得，即点是线段的中点，据此利用中点坐标公式求解； （3）等腰三角形的存在性问题，需分类讨论，分别以点为顶点或点为顶点的三种情况，进行讨论，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点，， ∴设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：直线解析式中， 令，， 则点， ∵​， 且与有公共顶点和公共边所在的直线（即它们的高相等）， ∴， ∴点为线段的中点， ∵点，点，由中点坐标公式得点的坐标为： ∴ （3）解：设点的坐标为，已知点，点， 由勾股定理得： ， ， ， 分三种情况讨论： 情况一：以为顶点，， 即，解得或. 此时点坐标为，. 情况二：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 或， 或， 当，点与点重合，故舍去. ∴点. 情况三：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 整理得， 解得 ∴点． 综上所述，在轴上存在点，使得是等腰三角形， 其坐标共有4个，分别为：，，，． 变式3-2（25-26八年级上·山东济南·期中）【模型构建】 （1）如图1，将含有的三角板的直角顶点C放在直线l上，过点A作于点D，过点B作于点E，请写出图1中（除外）相等的线段，并证明； 【初步感知】 （2）如图2，直角三角板放置在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点B坐标为，请求出点A的坐标和直线的表达式； 【深入探究】 （3）如图3，点A坐标为，点B坐标为，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点，点D是一次函数图象上的一个动点，当是一个以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】 （1），； 证明：由题可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）； （3）点D坐标为或或 【分析】（1）证，即可得解； （2）易证，从而得到，，再利用待定系数法求出直线表达式即可； （3）分类讨论，画出图形，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过C作轴，再分别过A、B作的垂线段，垂足分别为点D、E， ∵点C的坐标为，点B坐标为， ∴，， 由题可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设直线表达式为，将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴直线的表达式； （3）设点D坐标为， 当时，且点D在x轴上方时，如图， 此时，，， 同（1）法可得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时，且点D在x轴下方时，如图， 此时， 同理可得， ∴， 又∵， ∴，此时方程无解， 即不存在此种情况； 当，点在轴上方时，如图， 此时， 同理可得， ∴，即， 解得， ∴； 当，点在轴下方时，作轴，如图， 同理：， ∴， ∴， 当时，， ∴； 如图，，点P在左侧，如图， 此时，， 同理可得， ∴， ∴，方程无解， 即不存在此种情况； 综上，点D坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式3-3（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，直线经过点A，且与y轴交于点C． (1)点A的坐标为 ， ；（直接写出答案） (2)若点Q为y轴上任意一点． ①连接，当时，请求出点Q的坐标； ②若点P为射线上任意一点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于M、N，当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①点Q的坐标为或；②点P的坐标为或或． 【分析】（1）先得出A点坐标；将A点坐标代入直线从而得出b的值； （2）①分两种情形：当在下方时，过点B作于E，作轴于点F，作于D，，可证得，从而，，设，从而得出方程，进一步得出结果；同理得出当在上方的情形； ②设，当点P在x轴负半轴时，当（或）时，由得方程求解；当时，由得方程求解，同样方法求解当点P在x轴正半轴时情形． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 当，时，， ∴， 故答案为：，； （2）解：①如图1-1， 过点B作于E，作轴于点F，作于D， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴， 设的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图1-2， 同理可得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：点Q的坐标为或； ②设， 如图2-1， 当（或）时， ，， 由得，， ∴； ∴点P的坐标为； 如图2-2， 当时， 由得，， ∴； ∴点P的坐标为； 如图2-3， 当时，， ∴； ∴点P的坐标为； 当（或）， ， ∴（舍去） 综上所述：点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰直角三角形． 题型4、一次函数背景下的直角三角形存在性问题 题型模版 题型特征：已知一次函数图象上的点或动点，判断或求使三角形为直角三角形的点坐标。 解题方法：分类讨论哪个角为直角；利用勾股定理逆定理或两直线垂直斜率乘积为-1列方程求解。 典例4（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D． （1）线段的长为_____． （2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为_____． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据解析式求出点、坐标，由代入数据求出长即可； （2）先求出点坐标，由角平分线可知，所以当为直角三角形时，其为等腰直角三角形，利用一线三垂直全等，构造等线段，从而建立方程求解即可． 【详解】解：（1）直线交轴于点，交轴于点， ，， ， ， 由等面积可知，， ； 故答案为：； （2）在中，， ， 如图，过作于点， 根据等面积可得， 把代入可得， ， ，平分， ①如图，当时，则， 过作轴，过作于点，于点，则， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ②如图，当时，则， 过作轴，过作于点，过作于点， 同理可得， 设，， 则， 解得， ， ，； 综上，点坐标为或． 故答案为：或． 变式4-1（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，直线与交于点B． (1)求点B的坐标； (2)在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与，交于点M、N，且点M在点N的上方． ①当时，求N的坐标； ②点Q为y轴上一动点，若是以为的直角三角形，且两直角边长之比为．求出满足条件所有点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）联立，解得，故； （2）①设平行于y轴的动直线为，然后用含m的式子表示出M和N点坐标，然后根据两点间距离公式列方程求得m的值即可； ②根据题意，分和两种情况列方程求解． 【详解】（1）解：直线与交于点， 联立方程组可得， 解得：， 点坐标为； （2）解：①如图，设平行于轴的动直线为：直线， 过点作轴，交直线于点， 点坐标为，点坐标为， ， 解得：， ； ②如图， （i）在中，当且时， 设，， 点坐标为，点坐标为，点坐标为， ， 解得：， 点坐标为， （ii）在中，当且时， 设，， 点坐标为，点坐标为，点坐标为， ， 解得：， 点坐标为， 综上，点坐标为或． 变式4-2（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2) (3) (4)，，， 【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， ∴关于的不等式的解集是：； （3）解：由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； （4）当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 变式4-3如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，且与直线交于点B，点C在，点E在直线上且位于点B的右侧． (1)求k的值及点B的坐标； (2)若在直线上存在点D，使得，求点D坐标； (3)若射线上存在点P，直线上存在点Q，使得点C、P、Q三点构成的为等腰直角三角形，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)或或或 【分析】（1）将点代入直线，即可求出k的值，再联立两条直线，求解方程组，即可得到点B的坐标； （2）过点C作直线的垂线，交直线与点E，将点代入，求出m的值，再联立两直线，得到点E的坐标，即可得到点C到直线的距离，即为的高，设点，根据即可求解； （3）设，分三种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点， 将点代入直线，得：， 解得：； 联立直线和直线； 则，解得， ； （2）解：如图，过点C作直线的垂线，交直线于点E， 将点代入，得：， 解得：， 直线， ，解得， ∴， ∴， 即为的高， 设点， ， ， ， ，即， ， ， 或， 当时，，当时，， 点D的坐标为，； （3）解：设， ， 为等腰直角三角形， 当时，， 如图，过点C作x轴的平行线，过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， 解得， 点P的坐标为：； 当时，， 如图，过点Q作x轴的垂线，过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， ，， 同理得：， ，即， 解得， 点P的坐标为：； 当时，， 如图，过点P作x轴的垂线，过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， ，， 同理得：， ，即， 解得， 点P的坐标为：； 如图，过点P作x轴的平行线，过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， ，， 同理得：， ，即， 解得， 点P的坐标为：； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算、等腰直角三角形的性质等，注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握一次函数的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 题型5、一次函数背景下的全等三角形问题 题型模版 题型特征：结合一次函数图象与全等三角形，求点坐标或证明线段相等。 解题方法：根据全等三角形的对应边、对应角相等，把几何关系转化为坐标关系；注意多种对应情况。 典例5（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值； (2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； (3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或，或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的综合问题，全等三角形的性质，以及坐标与图形等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入解析式即可求出答案． （2）先求出，由折叠的性质可知，，设，则，，，最后由勾股定理求解即可． （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 把代入， 即 解得． （2）解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴． 设， 则，， 则， 在中，， 即， 解得：， ∴ （3）解：∵，， ∴， ∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 当时， ∴， ∴点E的横坐标为：或， 由（1）直线的解析式为， ∴点E的纵坐标为：，或， 故或 当时， ∴， ∴点纵坐标为或， ∴点E的纵坐标为或， 即或， 解得：或， ∴或 综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或． 变式5-1（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)； (2)①；② (3)或 【分析】（1）由新定义求出函数表达式，即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，即可求解； ②由的面积，即可求解； （3）①当点M在点E的上方时，证明，得到，再根据待定系数法求一次函数进行求解即可；②当在点E下方时，则点和关于直线对称，求出点M与的坐标，再根据待定系数法求一次函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由新定义知，的解析式 ， 把点代入上式得： ， 解得； （2）解：①∵一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 即， 解得， ∴点； ②当时，， 解得， ∴点C的坐标为 当时，， 解得， ∴点A的坐标为， ∴ 则的面积； （3）解：设直线交y轴于点K， ①当点M在点E的上方时，如图，过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线，过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点的延长线于点H， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 即， ∵， 则， 则为等腰直角三角形， 设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， 即点， 设直线的表达式为，将与分别代入，得 ， 解得 ∴直线的表达式为：， ②当在E下方时，令在E下方的点M为，如图 则点M和关于直线：对称， 当时，， ∴， 则， 解得， ∴， 同理可得，的表达式为， 综上所述，直线的表达式为或． 变式5-2（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点，连接． (1)求点A的坐标； (2)如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为 【分析】（1）过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，可证得，从而得出，，进一步得出结果； （2）可表示出平移后坐标为，坐标为，将点代入，求得m的值，进一步得出结果； （3）作轴于S，作，交于T，可推出，从而得出，进而得出T点坐标，从而求得的解析式，进一步得出结果；延长至，使，连接，可推出，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点C坐标为，向右平移m个单位，坐标为，坐标为， ∵过， ∴， ∴， ∴坐标为，坐标为， 设的解析式为， ∴可得，解得， ∴直线的解析式：； （3）解：如图， 作轴于S，作，交于T， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理（1）得，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知：， 设直线的解析式为，则有： ，解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， ∴， 延长至，使，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴， 综上所述：点坐标为． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，函数图像的交点与方程组之间的关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是具备较强的计算能力． 变式5-3直线：分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标 　　； (3)在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等（重合除外），请求出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 或 或 (3)或或 【分析】（1）由直线过点A，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，进而可得出点B的坐标及的长度，结合可求出点C的坐标，再由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）根据等腰三角形的定义（两条边相等的三角形是等腰三角形）结合图形求解即可； （3）分和两种情况考虑，结合的长度即可得出点D的坐标． 【详解】（1）∵直线：过点A， ∴， ∴． 当时，， ∴点B的坐标为，即． ∵， ∴． ∵点C在x轴正半轴， ∴点C的坐标为． 设直线BC的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为． （2）∵、 ∴， ∴ ①当为腰时，点P的位置有三处，(，和)如图， 当时，则有 ∴， 当时， ∴， 当时， ∴； ②当为底边时，设，则有 解得， ∴， ∴点P的坐标为或 或 或 故答案为：或 或 或； （3）分在x轴上方：和（如图1）和点D在y轴上（如图②）两种情况考虑： 如图①： ①当时， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为； ②当时，，， ∴， ∴点D的坐标为． 如图② 当时， ∴ ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的性质，解题的关键是由点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式；分和两种情况求出点D的坐标． 题型6、一次函数背景下的图形交点个数问题 题型模版 题型特征：研究直线与线段、射线或图形的交点个数，求参数范围。 解题方法：求出直线与图形边界的交点；分析直线旋转或平移过程中交点个数的变化；注意临界位置。 典例6（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（）1；， 如图： （）； （）的取值范围为；（）或； 的取值范围为或． 【分析】本题考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图像，一次函数的性质，一次函数与几何图形综合等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （）当时，，当时，，然后填表，再根据画函数图像步骤画出图像即可； （）根据函数图像即可求解； （）当时，有最小值：，当时，有最大值，从而求出的取值范围； （）由一次函数（为常数，）的图像过点，则，又关于，的方程组无解，即一次函数与图像无交点，然后分当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得，即当时，关于，的方程组无解；当图像与平行时，一次函数与图像无交点，此时，即当时，关于，的方程组无解； 先求出解析式为，解析式为，解析式为，解析式为，然后找出临界点即可求出的取值范围． 【详解】解：（）当时，，当时，， ∴如表， （）根据图像可得当时，的值随的值增大而减小，原说法正确； 当时，，解得或，原说法错误； 该函数存在最大值，最大值为，原说法错误； 该函数图像是轴对称图形，原说法正确； 故选：； （）∵， ∴当时，有最小值：，当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为； （）由一次函数（为常数，）的图像过点， ∴， ∵关于，的方程组无解， ∴一次函数与图像无交点， ∴如图，当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得：， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 如图，当图像与平行时，一次函数与图像无交点， ∴此时， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 综上可得：关于，的方程组无解，则的取值范围是或， 故答案为：或； 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 同理解析式为， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 由函数当时，，即解析式为， 时，，即解析式为， 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：； 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：， ∴综上可得：的取值范围为或． 变式6-1（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线：与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求的值和直线的表达式； (2)过轴上的点作轴的垂线分别交直线，直线于点，，若，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，我们将横，纵坐标都是整数的点叫做“整点”，已知直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点，求的取值范围． 【答案】(1)3； (2)或 (3) 【分析】（1）把代入，得，把和代入，求解即可； （2）设，则，，分类求解即可； （3）根据题意，得，直线过定点，由题意得：当时，，求解即可； 【详解】（1）解：把代入，得，把和代入， ， 解得， ：． （2）解：设，则，， 当时，，， ， 解得， 即； 当时，，， ， 解得， 即； 当时，，， ， 解得（舍）， 综上：点C坐标为或． （3）解：， ∴直线过定点， 当直线经过点，前面有共有9个整点，正好不包含第10个整数点， 此时，，解得，， 当直线经过点，共有如下整点： ，正好包含第10个整数点，此时，，解得，， 故直线：与直线，直线围成的图形内（不含边界）恰好有10个整点的 的取值范围． 变式6-2（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，正方形在平面直角坐标系中，其中，． (1)点的坐标为_______，求直线的函数解析式； (2)点在直线l上． ①当时，判断点是否在直线上； ②若点在的边上，求的值； ③将直线向上平移个单位长度（为整数）．若直线在第二象限内恰有个整点（横、纵坐标都为整数的点），直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①点不在直线上；②或；③ 【分析】（1）根据正方形的性质结合坐标系写出点的坐标，进而根据待定系数法求得直线的解析式； （2）①代入，得出，将代入解析式，即可求解； ②分别考虑点在边上时，求得对应的的值以及的横纵坐标的范围，即可求解； ③先求得平移后的解析式，根据直线在第二象限内恰有个整点，得出为负奇数，则与轴的交点横坐标满足：，解不等式组，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，． ∴轴，，， 则轴， ∴，， 设直线的函数解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的函数解析式； （2）解：①当时，， 在中， 当时，， 即点不在直线上； ②∵，， ∴， 当在上时，令，则，即， 当在上时，，且， 当，解得，不在上，（舍去） 当在上时，，， ∴ 解得，符合题意， 综上所述，或； ③点在直线l上． ∴直线的解析式为， 将直线向上平移个单位长度后的解析式为， 当时， ∴； 直线在第二象限内恰有个整点（横、纵坐标都为整数的点）， ∴为负奇数， 取，，，，，（共6个奇数），对应值均为正整数， ，即与轴的交点横坐标满足：， 解得， ∵为整数， ∴ 变式6-3（25-26八年级下·辽宁大连·期末）一次函数中，当时，；当时，． (1)求函数解析式； (2)将直线沿轴翻折得到，与交于点． ①过点的直线平行于轴，与，分别交于，，当时，求的值； ②函数且时，当函数的最大值与最小值差时，求的值； ③点，点，函数与线段只有两个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或；或； 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）根据沿轴翻折得到，确定的解析式，求出点坐标，进而确定的解析式． ①把分别代入，得，的坐标，表示，列方程求解即可； ②在交点左右两边分情况讨论，求出最大与最小值，列方程求解； ③待定系数法确定直线的解析式，求出其与直线，的交点，根据题意只有两个交点即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ，解得， 函数解析式为； （2）解：由（1）得， 将直线沿轴翻折得到， ． 将点代入得， ． 将点代入得， ， ． ①当时，代入得，解得， ． 代入得，解得， ． ， ，即， 或， 解得或， 的值为或． ②把代入得， 把代入得， 令，即，解得； 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最小值为， ． 解得，符合题意； 当时，函数的最小值为， ． 解得，符合题意； 故或． ③设直线的解析式为　， 把，分别代入得， 解得． 直线的解析式为． 联立，解得， 直线与的交点为， 联立，解得， 直线与的交点为， 两个交点都在线段上， 函数与线段只有两个交点， ． 题型7、一次函数背景下的最值问题 题型模版 题型特征：在一次函数背景下，求线段和、面积、距离等的最值。 解题方法：利用对称求最短路径；利用垂线段最短；把目标量表示为函数，结合增减性求最值。 典例7（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，点在边上，且，为的中点，为上的动点，当四边形周长最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作交轴于，得出点 和点 关于直线 对称，连接交 于点 ，此时四边形 周长最小，通过求直线与 的交点坐标求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， 设直线 解析式为 ，将代入得， 解得， ∴直线 解析式为 ， ， ， ， 为 中点， ， ∵四边形 周长 ，其中 为定值， ∴要使周长最小，需 最小 ， 过作交轴于， ∵， ∴， ∴，， ∴， 点 关于直线 的对称点为 ，连接 交 于点 ，此时 最小， 直线 为 ， 设直线解析式为 ， 将 ，代入得 ， 解得 ， 直线解析式为， 联立 ， 解得 ， 点的坐标为． 变式7-1（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是_______． 【答案】 【分析】作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，结合轴对称的性质以及垂线段最短的性质可得当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得直线的解析式，进而确定点，易得为等腰直角三角形，再证明为等腰直角三角形，进而解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点， 则，，， ∴， 过点作的平行线，由图可知线段在直线上方， 故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值， 设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数的应用等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 变式7-2（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)直接写出一次函数图象的“亮点”为________； (2)一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点C在x轴上坐标为，点P在直线上，求的最小值． 【答案】(1) (2)，， (3)5 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”代入求得n，再代入求得m即可； （3）作点关于直线的对称点，连接，则的长即为的长的最小值，根据题意可得，求出，，然后证明，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数图象的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， ∴， 解得， ∴一次函数图象的“亮点”为； （2）解：由条件可知点在上， ， 解得， 点的坐标为， ， 解得； （3）解：作点关于直线的对称点，连接，则的长即为的长的最小值． 由条件可知直线与直线没有交点，即直线与平行， ， 直线的解析式为， 在中，当时，， 当时，， ，， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得，， 的长的最小值为5． 变式7-3（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)求直线的函数解析式； (2)已知是直线l上的动点． ①当时，判断点P是否在直线上； ②嘉嘉说：“直线l与直线平行．”判断嘉嘉说得对吗？并说明理由； ③当取得最小值时，求a的值； ④直线沿y轴向下平移个单位长度后，与直线l在第四象限有交点，且交点是整点（横、纵坐标都是整数的点），直接写出满足条件的n的整数值的个数． 【答案】(1) (2)①点P不在直线上； ②嘉嘉说得对． 理由：∵， ∴设，， ∴， ∴直线l与直线平行． ③； ④满足条件的n的整数值有6个 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）①当时，，再将代入，计算即可得出结果；②，，从而可得，即可得出结果；③结合图象可知直线与有交点，且交点在线段上，当点P是该交点时，取得最小值，由此计算即可得出结果；④直线向下平移n个单位长度后的直线的函数解析式为，求出直线l与x轴的交点为，从而可得当直线向下平移n个单位长度后，与直线l在第四象限有交点时，x的取值范围是．联立得，解得，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为． 将点，代入得， 解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：①∵， ∴． 将代入中，， ∴点P不在直线上． ②略； ③结合图象可知直线与有交点，且交点在线段上， 当点P是该交点时，取得最小值． 联立得， 解得， 即a的值为． ④直线向下平移n个单位长度后的直线的函数解析式为． 在中，当时，，即直线l与x轴的交点为． 当直线向下平移n个单位长度后，与直线l在第四象限有交点时，x的取值范围是． 联立得， 解得， 当、4、6、8、10、12时，交点是整点，n的值是整数， 故此时n的整数值有6个． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 典例8（25-26八年级下·山东日照·期末）定义：直线与直线组成一对“值线组”．如图，已知矩形顶点坐标，，，．当时，“值线组”与矩形恰有4个交点，则的取值范围为________． 【答案】或 【分析】根据“值线组”的定义得出两条直线的解析式，结合矩形的顶点坐标，分析直线与矩形恰有4个交点时，每条直线需与矩形有两个交点，通过计算直线经过矩形顶点时的斜率临界值，确定的取值范围． 【详解】解：由题意得，当时，“值线组”对应的两条直线分别为和， 记和， 当时，，， ∴直线恒过定点，直线恒过定点， 若“值线组”与矩形恰有4个交点，则直线与矩形有2个交点，直线与矩形有2个交点， 当时，直线从左下向右上延伸，直线从左下向右上延伸， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 所以当时，满足条件； 当时，直线从左上向右下延伸，直线从左上向右下延伸， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 直线经过点时，，解得， 当时，与矩形有两个交点， 所以当时，满足条件； 综上所述，的取值范围为或． 变式8-1（24-25八年级上·浙江湖州·期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速． （1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为_____ （2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（2），正确找出临界位置是解题关键． （1）先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）先求出线段上共有5个整数点：，，，，，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，分别求出点的坐标，由此即可得． 【详解】解：（1）如图，由题意得：， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点位于轴的负半轴上， ∴直线与轴的交点的坐标为， 故答案为：． （2）对于函数， 要使得y为整数，则x为偶数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴线段上共有5个整数点：，，，，， ∵， ∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为， 则有以下两个临界位置： ①当点的坐标为，点的坐标为时， 设直线的解析式为， 将点和代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得，即， 同理可得：直线的解析式为， 当时，，解得，即， ∴此时的最小值为； ②当点的坐标为，点的坐标为时， 同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，，解得，即， 当时，，解得，即， ∴此时的最小值为； ∵， ∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 变式8-2（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，是的中点，点的坐标分别是和是线段上一个动点，则点从点向点的运动过程中，依次出现的特殊三角形为（    ） A．直角三角形等腰三角形等边三角形直角三角形 B．直角三角形等边三角形等腰三角形直角三角形 C．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一等腰三角形 D．等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质等，先利用一次函数的解析式可得，，即得，得到，进而得到是等边三角形，即可得，再根据等腰三角形的定义和性质、等边三角形的性质进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点的坐标分别是和， ∴，， ∴， ∴点从点向点的运动过程中， 当点与点重合时，，此时是等腰三角形； 当点运动到的中点位置时，，此时是直角三角形； 当点与点重合时，，此时是等边三角形； 当点与点重合时，，由三角形外角性质可得，即得，此时是直角三角形； 综上，依次出现的特殊三角形为等腰三角形一直角三角形一等边三角形一直角三角形， 故选：． 变式8-3（25-26八年级下·湖北武汉·期末）直线与轴，轴交于，两点，直线与轴，轴交于，两点． (1)直接写出点，，，的坐标； (2)如图（1），点在的延长线上，连接，，． ①若点的横坐标是2，求； ②若，直接写出点的横坐标． (3)如图（2），已知点，分别在第一、第四象限内，直线，交轴于，两点．若，求证：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)①7；②点的横坐标为 (3)证明：设直线解析式为，代入，， 得，解得， ∴直线解析式为， 同理，直线的解析式为， 直线解析式为． ，． ，， ， ， 将代入， 得， 当时，， 故直线经过定点，这个定点坐标为； 【分析】（1）当或时，得到直线与轴，轴交点坐标，据此求解即可； （2）①根据计算即可． ②设，则；过作轴交直线于，则，得到，最后根据列方程求解即可； （3）先求出直线解析式为，直线的解析式为，直线解析式为．即可得到，，根据得到，代入直线解析式计算即可； 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴交于，两点， ∴当时，则； 当时，，解得，则； ∵直线与轴，轴交于，两点， ∴当时，则； 当时，，解得，则； （2）解：①∵，，， ，， ∴， ∵点的横坐标是2， ∴， ． ②∵点在的延长线上， ∴设， ∴； 过作轴交直线于，则，， ， ∵， ∴， 解得 即点的横坐标为． （3）略 变式8-4（25-26八年级下·广东深圳·期末）综合与探究： 【定义】在平面直角坐标系中，对于点，当时有点，当时有点，则称点是点的“跃迁点”． 【应用】 (1)①点的“跃迁点”坐标为 ；点的“跃迁点”坐标为 ； ②若点是点的“跃迁点”，则的坐标为 ； 【探究】 (2)已知点在某函数图象上，对于任意实数，点的“跃迁点”的图象如下图所示．当时，点在直线上，当时，点在直线上，求点所在函数的表达式； 【拓展】 (3)在（2）的条件下，若直线与点所在的函数图象有且只有两个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) (3) 【分析】（1）①根据“跃迁点”的定义，横坐标不变，再结合时与时纵坐标的变化求解即可； ②设出点的坐标，结合，求解点的纵坐标即可； （2）根据“跃迁点”的定义，分类讨论时与时纵坐标的变化求解即可； （3）作出点所在的函数图象，数形结合求解的取值范围即可． 【详解】（1）解：①点中，则有， ∴点的“跃迁点”坐标为， 点中，则有， ∴点的“跃迁点”坐标为； ②∵点是点的“跃迁点”， ∴点的横坐标为，且， 设点的坐标为， ∴点的纵坐标，可得， ∴点的坐标为； （2）解：∵点的“跃迁点”为点， 又∵当时，点在直线上， ∴点的纵坐标为，即点所在函数的表达式为； ∵当时，点在直线上， ∴点的纵坐标为，即点所在函数的表达式为； ∴点所在函数的表达式为； （3）解：点所在的函数以及直线如图， 根据图象可知，当时，直线与点所在的函数图象有且只有两个交点， 变式8-5如图，在平面直角坐标系中，，，过点B作直线轴，点是直线l上的动点，以为边在右侧作等腰，使， （1）当时，则点Q的坐标是_____． （2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动，则点Q运动路线的函数解析式是_____． 【答案】 【分析】（1）过Q作轴于M，证，得，，则，即可得出答案； （2）过点P作于E，过点Q作于F，先证，得，，则，，得点Q的坐标为，进而得出结论． 【详解】解：（1）时，P与B重合，如图1所示： 过Q作轴于M， ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由角的互余关系得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标是； （2）过点P作于E，过点Q作于F，如图2所示： ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴，， ∴， ∵无论a为何值，点Q的坐标都满足一次函数解析式， ∴点Q始终在直线上运动， 即点Q运动路线的函数解析式是． 变式8-6（25-26八年级下·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，已知直线，直线． (1)如果直线和直线交于点，求，的值． (2)过点作轴的垂线，分别交和于点，点（点在点的上方）． ①当时，，求的值． ②当时，点在运动过程中，线段的长度恒大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）将分别代入和中求解即可； （2）①根据，求出的坐标，在根据，点在点的上方，推出，代入求解即可；②先求出的坐标，再根据，点在点的上方，推出，代入整理得，再进行分类讨论（）、，（）、，（）、，根据求解即可． 【详解】（1）∵直线和直线交于点， ∴据题意可得，解得 ∴，； （2）①∵， ∴， ∵过点作轴的垂线，分别交和于点，点， 又∵，直线． ∴，， ∵，点在点的上方， ∴，即，解得； ②∵过点作轴的垂线，分别交和于点，点， 又∵，直线． ∴，， ∵线段的长度恒大于，点在点的上方， ∴，即，则， 分类讨论：（）、，恒成立， （）、，则 ∵， ∴，解得， ∴， （）、，则， ∴，解得， ∴， ∴综上，． 变式8-7（25-26八年级下·四川南充·期末） 如图1， 直线 与直线 相交于y轴上的点B，且直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点． (1)填空∶ ________，________； (2)如图2，在图1 的基础上，设点B关于x轴的对称点为点D，点P从点O出发，沿x轴向左运动，连接PB，以点P为直角顶点，PB为腰在右下方作等腰直角三角形PBE， ①求直线AD的表达式： ②在点P的运动过程中，点E是否一定落在直线AD上？就图2 说明理由． 【答案】(1)； (2)①直线的表达式为：； ②点一定落在直线上，理由如下： 如图，过点作轴于点，则有， 即， 由题意知，， ， 又，， ， ，， 设点的坐标为，则， 对于，当时，有， 在点的运动过程中，点一定落在直线上． 【分析】（1）根据已知点坐标得到直线的表达式，得到点坐标，进而得到直线的表达式． （2）①根据与点关于轴的对称，得到点的坐标，进而得到直线的表达式； ②过点作轴于点，通过证明，得到对应线段相等，设点的坐标为，根据线段的等量关系得到点，代入直线的表达式，得证结论． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴代入，得：，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴当时，， ∴点，代入直线，得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：①点与点关于轴对称， ， 设直线的表达式为， 则有，解得：， 直线的表达式为：， ②略； 变式8-8（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另外一种几何图形的过程叫作几何变换，因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的． 在平面直角坐标系中，设直线上一点，变换可以把点对应到点，记为，所有点组成一条直线，称是直线的变换线． 定义如下：点在直线上，， 即点坐标为 例如：点在直线：上，，即 如图，直线：与直线：相交于点， (1)分别求出，所对应的点，的坐标； (2)点在轴上，过点作轴的垂线，与相交于点，与相交于点，， ①当时，求的面积； ②当时，直线与轴的交点的坐标________； ③当线段与直线，组成的图形只有两个交点时．直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】（1）求出点A的坐标，再根据定义求解即可； （2）①求出点M和点N的坐标，再根据定义求出点和点的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可，；②求出点M和点N的坐标，再根据定义求出点和点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可得到答案；③可求出点在直线上，点在直线上；可证明不管a取何值，线段与直线一定交于点；求出点恰好与点重合和点恰好与点重合时a的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：联立两直线解析式得，解得， ∴点A的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为，点的坐标为； （2）解：①在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点B的坐标为， ∴， ∴； ②在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴直线与y轴的交点的坐标为； ③由（2）②得点的坐标为，点的坐标为， ∴点在直线上，点在直线上； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴直线与y轴的交点的坐标为，直线与y轴的交点的坐标为； 当时，点的坐标为，点的坐标为， 此时线段与直线交于点，与直线交于点，符合题意； 当时，则点在y轴右侧，点在y轴左侧， ∴此时线段与直线交于点； 当时，则点在y轴左侧，点在y轴右侧， ∴此时线段与直线交于点； ∴不管a取何值，线段与直线一定交于点； 联立，解得，联立，解得， 如图所示，当点恰好与点重合时， ∴， 解得， 在中，当时，， 当时，， ∴此时线段与直线必有一个交点， ∴当时，线段与直线，组成的图形只有两个交点； 如图所示，当点恰好与点重合时， ∴， 解得， 此时点的坐标为， 在中，当时，， ∴此时点在直线上； 在中，当时，， 当时，， ∴此时线段与直线必有一个交点； ∴当时，线段与直线，组成的图形只有两个交点； 当时，， ∴此时线段与直线没有交点，不符合题意； 综上所述，当或时，线段与直线，组成的图形只有两个交点． 变式8-9已知，如图1，直线分别交平面直角坐标系中轴和轴于、两点，点坐标为，点坐标为，点在直线上，且点坐标为．    (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，当时，求点坐标； (3)如图2，点坐标为，连接，在直线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为，点坐标为 (2)或 (3)点坐标为或 【分析】（1）设直线的表达式为，代入点坐标，点坐标，然后解方程组即可求得和，然后将代入解析式，可求得值，得到点坐标； （2）利用，，求得，从而求得点坐标； （3）当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴垂线，分别过，作，，证明，得到，，从而推出点的坐标，然后利用待定系数法求得的表达式，联立和，求得交点；当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴，交于点，过点作轴，过点作交于，先证明，得到，，通过，求得坐标，接下来利用待定法求直线的解析式，最后联立直线和求得交点即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为，代入点坐标，点坐标，得到 解得 点在直线上，且点坐标为 点坐标为 故直线的表达式为，点坐标为； （2）解：， ， ， 设， ， 或 或 （3）解：①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，     ， ， 过点作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， 即点坐标为 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立 解得： ②如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴，交于点，过点作轴，过点作交于，   ，， ， 即， 又， 即在中，， ，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组 解得： 综上所述点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与三角形的面积，等腰直接三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 变式8-10（25-26八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3)点E的坐标为或或或 【分析】（1）先根据求出点B的坐标，结合求出点A的坐标，代入即可求出k的值； （2）先用勾股定理求出长度，设点C的坐标为，则，，由折叠的性质得，，最后由勾股定理解即可； （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 点B的坐标为， ， ， ， 点A在x轴的正半轴上， 点A的坐标为， 将代入，得：， 解得； （2）解：，， ， 设点C的坐标为， 则， ， 由折叠得，， ， 在中，， ， 解得， 点C的坐标为； （3）解：， ， ， 当以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 分两种情况： 当时，， 如图： 点E的横坐标为或， 点E的纵坐标为或， 点E的坐标为或； 当时，， 如图： 点F的纵坐标为或， 点E的纵坐标为或， 即或， 解得或， 点E的坐标为或， 综上可得，点E的坐标为或或或． 变式8-11已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C．    (1)求新函数的图象的解析式； (2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图2，过点画平行于y轴的直线， ①求证：是等腰直角三角形； ②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①证明：∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②存在；满足条件的点P为或 【分析】（1）求出的坐标，根据对称性，求出点坐标，待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）①求出的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可； ②分点，点，点分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，，当时，， ∴， ∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C， ∴与关于轴对称，过点， ∴， 设，将，代入得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ①当点在线段上：即：时， ； ②当点在线段的延长线上，即：时，   ， 综上：； （3）①略 ②存在， 当点为直角顶点时，设，如图：    ∵平移， 设直线的解析式为，当时，，当时，， ∴，， 过点作，设交轴于点， ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时，如图：    过点作轴，则， 同上法可得：， ∴，， ∴或（舍去）； ∴直线向上平移了4个单位， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点为直角顶点时：此时在轴正半轴上，在轴负半轴上， 设平移后的解析式为：，当时，，当时，， ∴，， 当在的右侧时：      同法可得：， ∴， ∴，解得： 当时，与点重合，不符合题意； 当在的左侧时：    同法可得：， ∴， ∴， ∴， 当时，点的纵坐标不是整数，不符合题意； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，难度大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 变式8-12（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线经过点，且与轴交于点． (1)直接写出的坐标及直线的解析式； (2)①已知点，若，求的值； ②过点作直线交线段于点，若，求点的坐标； (3)如图2，过点作射线，，分别交线段，于，两点，且，若四边形内部恰好有5个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，直线的解析式为 (2) (3)或或 【分析】（1）两点是直线与两坐标轴的交点，令，可以解出的坐标，令，可以解出的坐标， 观察图可得的坐标，将，代入直线解析式，解出即可； （2）①根据题可分析在轴的上半轴，且在的上方，根据条件以及外角的性质可得，进而得到，再用勾股定理求出的长度，进而可得的长度，即可求出的值； ②在射线上取一点使，过点M作轴于点N，证明，求出，得到直线的解析式为，然后和直线联立求解即可； （3）先找出四边形的边界，再根据的条件，枚举出区域内的整点，根据整点个数为5的限制，结合在上的条件，求解点的坐标即可． 【详解】（1）解：令得， 解得， ∴； 令得， ∴； 由图得， 将，代入直线， ∴，解得， ∴直线解析式为：； （2）解：①根据题意可得在轴的上半轴，且在的上方，如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ②在射线上取一点使，过点M作轴于点N，如图所示， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线得 解得， ∴； （3）在中，整数点为，，， 在中，整数点为，，， 在轴上且符合范围的整数点为，，， 若上一点为，则旋转后，在上对应的点的坐标为， 当经过点时，经过，如图， 此时四边形内部有整数点，，，，，符合题意， 可得直线的解析式为， ∴将直线和联立得，， 解得， ∴； 当经过点时，经过，如图， 此时四边形内部有整数点，，，，，符合题意， 可得直线的解析式为， 同理联立得，， 解得， ∴； 当经过点时，经过，如图， 此时四边形内部有整数点，，，，，符合题意， 可得直线的解析式为， 同理联立得，， 解得， ∴． 综上所述，点的坐标为或或． 变式8-13（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，且在轴的左侧，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：；直线的表达式为：； (2)时， (3)15 (4)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两直线，求得交点的横坐标，结合图形判断即可； （3）先求出点坐标，利用求三角形的面积即可； （4）可判断，再利用待定系数法求出直线，即可作答． 【详解】（1）解：将代入直线得：， 则直线的表达式为：； 将点和点分别代入直线得：， 解得， 则直线的表达式为：； （2）解：令，得， 解得， 则点，结合图象可知时，； （3）解：将代入，得到，解得， ∴点， ∵， ∴， ∴． （4）解：当点在轴左侧时， ， ． 设的解析式为， 把代入解析式，得， 故直线的表达式为， 令得， 则点的坐标为． 变式8-14（25-26八年级下·湖北鄂州·期末）如图平面直角坐标系中的点和点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角． (1)求直线的解析式； (2)点P为直线上一点，作轴交直线于点Q，若，求点P坐标； (3)如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求证：点M为的中点； (4)在（3）的条件下，若点F在第二象限，且F，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)证明：如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∵，， 同（2）方法可证明，， ∴， 在和中， ， ， ，即点M为的中点； (4)点F的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，证明得到，，则可得点C坐标，进而求得直线的解析式为，设，则，由列方程求得m值即可解答； （3）如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，再 证明得到即可证得结论； （4）分三种情况分别作出辅助线，构造全等三角形，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：，， ，， 如图1，过点作轴于点，则， 则， 等腰直角三角形中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴，解得或， ∴点P的坐标为或； （3）略 （4）解：由（2）、（3）可知，，，， ∴， ∴， 如图，当，时，过点F作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点F作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点F作轴于点，过点作于点S， 同理可证， ，， ，， ，，则， 点， 综上所述：点F的坐标为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $