专题06 一次函数与几何的综合（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题06 一次函数与几何的综合 目录 1 类型一、一次函数与坐标轴围成的三角形问题 1 类型二、一次函数与线段长度的综合 8 类型三、一次函数与角的综合 18 类型四、一次函数与存在性问题 29 类型五、一次函数与平移、折叠几何变换综合 42 56 类型一、一次函数与坐标轴围成的三角形问题 基础核心：求单条直线与坐标轴围成的面积 这是最基础的题型，通常涉及一条直线 与 轴、 轴围成的直角三角形。 解题三步法： 1. 求交点（找顶点）： · 与 轴交点： 令 ，解得 ，交点为 。 · 与 轴交点： 令 ，解得 ，交点为 。 · 原点： 坐标为 。 2. 求边长（定底高）： · 由于坐标轴互相垂直，围成的三角形通常是直角三角形，两条直角边即为底和高。 · 底边长： （注意：线段长度必须为非负数，所以要加绝对值）。 · 高： 。 3. 算面积： · 避坑指南： 很多同学容易忽略 或 为负数的情况，直接用坐标值相乘。切记：计算面积时，坐标要转化为距离（加绝对值）。 进阶技巧：多直线围成的图形面积（割补法） 当题目涉及两条或多条直线，或者直线与坐标轴围成不规则图形（如四边形、钝角三角形）时，直接套公式往往行不通。 常用策略： 1. 求交点坐标： 联立两条直线的解析式，解二元一次方程组，得到交点坐标。 2. 分割法（化整为零）： · 将不规则图形分割成几个规则的三角形（通常是直角三角形）。 · 技巧： 尽量利用坐标轴作为分割线。例如，求两条直线与 轴围成的三角形面积，底边通常是两直线与 轴交点之间的距离，高则是两直线交点的纵坐标的绝对值。 3. 补形法（大减小）： · 构造一个大的规则图形（如矩形或大直角三角形），然后减去多余部分的面积。 典型模型：两条直线与 轴围成的三角形 设直线 与 轴交于 ，直线 与 轴交于 ，两直线交于点 。 · 底边： 线段 的长度 · 高： 点 到 轴的距离 · 面积： 逆向思维：已知面积求解析式或参数 这类题目通常会给出三角形的面积，要求你求出函数解析式中的未知系数（如 或 ），或者求动点的坐标。 解题思路： 1. 设未知数： 将直线解析式中的参数（如 ）保留。 2. 表示交点： 用含 的代数式表示出直线与坐标轴的交点坐标。 3. 建立方程： 根据面积公式 列出关于 的方程。 4. 解方程并检验： 解出 的值。 多解情况提醒： 在解绝对值方程时，往往会有多个解。例如，已知面积为 ，求 中的 。 解出的 可能有正有负，对应的直线可能在 轴上方或下方，或者经过不同的象限。一定要分类讨论，不要漏解！ 例1．如图，平面直角坐标系中，在直线和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形(图中所示的阴影部分)，其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第2023个等腰直角三角形的面积为_______． 变式1-1．在平面直角坐标系中，直线经过点和．另一条直线也经过点A． (1)求k，b，c的值； (2)画出函数与函数的图象； (3)求两直线与x轴围成的三角形的面积． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴，垂足为点，一次函数的图象经过点，与交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)沿轴向右平移，点的对应点恰好落在直线上，求的面积． 变式1-3．已知直线与直线交于点，且直线与轴交于点． (1)求直线解析式； (2)求点的坐标； (3)如图，直线的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，当点的坐标是时求的面积． 类型二、一次函数与线段长度的综合 一次函数与线段长度的综合问题，是连接“数”与“形”的关键桥梁。这类问题通常涉及动点、定长、最值等，其核心思想是 “化动为静，数形结合” 。掌握以下技巧，便能将复杂问题分解为清晰的步骤，从容应对。 核心工具：两点间距离公式 这是解决所有斜线段长度问题的根本。当线段不与坐标轴平行时，必须使用此公式。 公式内容： 在平面直角坐标系中，若点 ，点 ，则线段 的长度为： 本质理解： 该公式源于勾股定理。通过构造以线段 为斜边的直角三角形，两直角边的长度即为横、纵坐标之差的绝对值。 应用要点： 在计算时，通常先计算坐标差的平方和，再开方。在列方程时（如 ），可以直接平方去掉根号，简化计算。 关键步骤：设点与表示线段 这是解题中最关键的一步，核心在于“化动为静”，用代数式表示几何量。 设动点坐标： 在坐标轴上： 若点 在 轴上，设为 ；若在 轴上，设为 。 在已知直线上： 若点 在直线 上，设其横坐标为 ，则纵坐标可直接表示为 ，即 。这样做能将两个未知数减少为一个。 表示线段长度： 平行于坐标轴： 长度等于相应坐标之差的绝对值。例如，水平线段长为 ，竖直线段长为 。 倾斜线段： 运用上述的距离公式。 铅垂线段（特殊技巧）： 若两点横坐标相同（如点 在直线 上，点 在直线 上，且 轴），设它们的横坐标均为 ，则线段 的长度为 。这可以避免使用复杂的距离公式。 常见题型与解题策略 根据题目所求，可将问题分为以下几类，每类都有其对应的核心策略。 线段相等问题： 策略： 方程思想。 步骤： 设出动点坐标。 用含未知数的代数式分别表示出两条线段的长度。 根据线段相等（如 ）列出方程。 解方程，求出未知数，进而得到点的坐标。 · 注意： 列方程时，通常两边平方以去掉根号。 线段和差最值问题： 策略： 几何变换（对称），化折为直。 求线段和最小值（“将军饮马”模型）： 问题： 在直线 上找一点 ，使 最小（ 在 同侧）。 解法： 作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，此时 为最小值。 求线段差最大值： 问题： 在直线 上找一点 ，使 最大（ 在 异侧）。 解法： 作点 关于直线 的对称点 ，连接 并延长，交直线 于点 ，此时 为最大值（依据三角形两边之差小于第三边）。 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． (1)求直线的解析式； (2)若，求点M的坐标． 变式2-1．如图，正方形边长为4，点是对角线上一点，．过点作于点于点，连接．延长交于点，连接，则的长为（） A． B． C． D． 变式2-2．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，，在第一象限内，，且，，． (1)顶点的坐标为________，顶点的坐标为_________； (2)如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成两部分，求直线的函数表达式； (3)如图3，设对角线，交于点，在轴上，有一个长为个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，，则的最小值为_________． 类型三、一次函数与角的综合 一次函数与角的综合问题是初中数学中代数与几何深度融合的体现，也是中考的难点和热点。这类问题通常涉及角度相等、特殊角（如45°）、二倍角或半角等条件，要求求解点的坐标或直线的解析式。解决这类问题的核心思想是 “角优先，形助数” ，即优先处理角度关系，通过构造几何图形将其转化为可计算的边长或坐标关系。 核心策略：角度转化与代换 当题目给出的角度关系无法直接使用时，首要任务是利用几何性质进行转化，将其与已知角或坐标系中的特殊角（如90°）联系起来。 利用基本角关系： 熟练运用余角、补角、对顶角相等等基本性质。例如，若已知 ，且 ，则可推导出 。 利用三角形外角定理： 这是一个非常高效的“倒角”技巧。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。这个定理常常能建立起已知角与未知角之间的桥梁。例如，若 是 的外角，则 。 利用平行线性质： 如果题目中出现或可以构造出平行线，那么同位角、内错角相等，同旁内角互补的性质将成为角度转化的利器。例如，若 ，且能证明 ，问题便迎刃而解。 模型构造：将角的关系“图形化” 这是解决此类问题的精髓。通过构造特定的几何模型，可以将抽象的角度条件转化为具体的、可计算的线段关系。 遇45°角，构造“一线三垂直”模型： 核心思想： 45°角通常与等腰直角三角形紧密相关。当题目中出现45°角时，应优先考虑构造等腰直角三角形。 操作步骤： 以已知点（通常是45°角的顶点）作为等腰直角三角形的直角顶点。 过该顶点作一条辅助线（通常是水平线或竖直线，即“一线”）。 过等腰直角三角形的另外两个顶点，分别向这条辅助线作垂线（即“三垂直”）。 目的： 这样可以构造出一对全等三角形（通常是“K字型”或“A字型”全等）。利用全等三角形对应边相等的性质，可以将斜边（与45°角相关的边）的长度关系转化为水平和竖直方向的坐标差，从而求出点的坐标。 遇二倍角或半角，构造等腰三角形： 核心思想： 利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”的性质。 从一倍角到二倍角： 若已知角为 ，需要构造 。可以在角的一边上找一点 ，使得它与角的顶点 和另一边上的点 构成等腰三角形（即 ），则 ，其外角 。 从二倍角到一倍角： 若已知角为 ，可以利用角平分线的性质，或者逆向思考，构造一个等腰三角形，使其外角等于 ，从而找到大小为 的内角。 实战演练：解题步骤模板 面对一次函数与角的综合题，建议遵循以下四步法，将复杂问题清晰化、步骤化。 第一步：审清条件，标记角度。 仔细阅读题目，在图形上标出所有已知的角度关系和特殊角。 明确题目要求解的目标（点的坐标、直线解析式等）。 第二步：角度转化，寻找突破口。 运用“余角、补角、外角定理”等技巧，对已知角度进行“倒角”，尝试将分散的角度关系集中起来，或转化为与坐标轴相关的角。 思考题目中的角度是否暗示了某种几何模型（如45°暗示等腰直角三角形）。 第三步：构造模型，转化关系。 根据第二步的分析，果断添加辅助线，构造出“一线三垂直”或等腰三角形等模型。 利用全等、相似或勾股定理等几何性质，将角度关系最终转化为线段长度或坐标之间的关系。 第四步：设点列式，代数求解。 设出动点的坐标（通常设横坐标为 ，则纵坐标可用直线解析式表示）。 将第三步得到的几何关系用代数方程表示出来。 解方程，求出未知数，最终得到答案。 注意： 此类问题常常存在多解情况（如点在直线的不同位置），务必进行分类讨论，避免漏解。 例3．如图1，A、B两点坐标分别为、． (1)求直线的解析式． (2)如图2，直线分别与y轴、交于点、，若，求的值； (3)如图3，平移直线，平移后的直线与x轴交于点，与轴交于点，分别延长、交于点，点坐标为，求与之间的函数关系式． 变式3-1．平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，且a．b满足 ．不论k为何值，直线l：都经过x轴上一定点A． (1)_______，_______；点A的坐标为_______； (2)如图1，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点B对应的点M恰好在直线l上，与点C对应的点N恰好在直线上，请你判断四边形的形状，并求出M点坐标； (3)如图2，当k的取值发生变化时，直线l：绕着点A旋转，当它与直线相交的夹角为时，求出相应的k的值． 变式3-2．如图，正方形的边长为2，为坐标原点，和分别在轴、轴的正半轴上，点是边的中点，过点的直线交线段于点，连接，若平分．则的值为_____． 变式3-3．在平面直角坐标系中，点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，． (1)如图1，求点A点坐标； (2)如图2，直线交x轴负半轴于C，点，交线段于D，点D的横坐标为t，的面积是S，用含t的式子表示S． (3)如图3，在（2）的条件下，，点E在线段上，连接并延长至F，连接并延长，交x轴于点G，时，求G点坐标． 类型四、一次函数与存在性问题 一次函数背景下的存在性问题，是初中数学中综合性最强、难度最高的题型之一。这类问题通常设定为“是否存在点P，使得……”，要求判断并求出符合条件的点。其核心思想是“假设存在，代数求解，几何验证”。解决此类问题，关键在于掌握分类讨论的思想和数形结合的方法。 核心思想：假设与求解 解决存在性问题的通用流程如下： 假设存在： 首先假设满足条件的点P是存在的。 设点坐标： 根据点P所在的位置（如坐标轴、已知直线），用一个未知数（如 或 ）表示其坐标。例如，若P在直线 上，可设 。 转化条件： 将题目中的几何条件（如构成等腰三角形、直角三角形等）转化为关于未知数的代数方程。 求解验证： 解出方程的根。若有解，则点P存在；若无解，则点P不存在。最后，务必检验解是否符合题意（如点是否在规定象限）。 等腰三角形存在性：“两圆一线”法 当题目要求构成等腰三角形时，通常需要进行分类讨论。最直观有效的方法是“两圆一线”法。 问题模型： 已知两点A、B，在平面内找一点P，使得 为等腰三角形。 分类讨论： 以A为顶点，AB为腰： 几何作法： 以点A为圆心，线段AB长为半径画圆。圆上除B点外的任意一点都满足 。 代数表示： 。 以B为顶点，AB为腰： 几何作法： 以点B为圆心，线段AB长为半径画圆。圆上除A点外的任意一点都满足 。 代数表示： 。 以AB为底边： 几何作法： 作线段AB的垂直平分线。垂直平分线上的任意一点都满足 。 代数表示： 。 避坑指南： 解题时，要画出符合题意的图形，确保不重不漏。特别是当点P被限制在某条直线或坐标轴上时，需要看“两圆一线”与该直线/坐标轴有几个交点，每个交点都对应一个解。 直角三角形存在性：勾股定理与斜率 当题目要求构成直角三角形时，同样需要分类讨论哪个角是直角。 问题模型： 已知两点A、B，在平面内找一点P，使得 为直角三角形。 平行四边形存在性：中点坐标公式 平行四边形的存在性问题通常涉及四个点，其中三个点已知或可表示，一个点未知。核心是利用平行四边形“对角线互相平分”的性质。 问题模型： 已知三点A、B、C，在平面内找一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。 分类讨论： 以AB为对角线： 此时CD为另一条对角线。根据对角线互相平分，AB的中点与CD的中点重合。 代数方法： 利用中点坐标公式， ， 。可简化为 。 以AC为对角线： 此时BD为另一条对角线。 代数方法： 。 以BC为对角线： 此时AD为另一条对角线。 代数方法： 。 技巧总结： 对于平行四边形存在性问题，牢记“对角线两端点的横、纵坐标之和分别相等”这一结论，可以快速列出方程，避免复杂的几何构造。 实战演练：解题步骤模板 第一步：明确目标，设点坐标。 仔细阅读题目，明确要找的点P满足什么几何条件。 根据点P的限制条件（如在x轴上、在直线 上），设出其坐标。 第二步：分类讨论，画出图形。 根据几何条件（等腰、直角、平行四边形），确定需要分几种情况讨论。 在草稿纸上画出每种情况的草图，帮助理解。 第三步：转化条件，列出方程。 用距离公式、勾股定理、斜率关系或中点公式，将几何条件转化为关于点P坐标的代数方程。 第四步：求解方程，检验答案。 解出方程的根，得到点P的坐标。 检验解是否符合题目中的所有条件（如点是否在指定象限，是否与已知点重合等）。 最终写出结论：“存在，点P的坐标为……”或“不存在”。 例4．模型的建立与应用． (1)【建立模型】如图1，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：． (2)【模型应用】如图2，直线：与轴、轴分别交于，两点，经过点作．点在第二象限且在直线上，满足，求直线的函数表达式． (3)【模型拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-1．如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，点在轴负半轴上，，直线与直线相交于点，且点的横坐标为． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点是点关于点的对称点，点是射线上一点，点，点是直线上两动点（点在点的下方），且，连接，，，当时，求的最小值： (3)将绕点逆时针旋转得到，作直线，再将沿直线平移得，当平移后的点刚好落在直线上，此时点为直线上一动点，若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 变式4-3．如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一 次函数的解析式 ； (2)点D是y轴上一 点 ，且的面积是的面积的 3 倍 ，求点D的坐标 ； (3)若点 E在第二象限 ，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 类型五、一次函数与平移、折叠几何变换综合 一次函数与几何变换的综合问题是初中数学中“数形结合”思想的高级体现。这类题目不再局限于静态的图形计算，而是通过平移和折叠让图形“动”起来。解决此类问题的关键在于掌握变换背后的代数规律：平移遵循“坐标加减”，折叠遵循“轴对称性质”。 平移变换：掌握“左加右减，上加下减” 平移是几何变换中最基础的一类，其核心在于理解解析式随坐标变化的规律。无论是直线的移动还是图形的整体平移，都可以转化为解析式中系数 和 的变化。 口诀核心： 上下平移（针对 y 或 b）： 向上平移 个单位，解析式变为 ；向下平移 个单位，解析式变为 。即“上加下减”。 左右平移（针对 x）： 向左平移 个单位，将 替换为 ，解析式变为 ；向右平移 个单位，将 替换为 ，解析式变为 。即“左加右减”。 斜率不变性： 平移前后的两条直线互相平行，因此它们的斜率 保持不变。这是解题的重要隐含条件。 解题策略： 当题目给出平移后的直线经过某点，或与原直线、坐标轴围成特定图形时，先根据平移规则写出新直线的解析式（通常含有一个未知参数，如平移距离），再代入已知点坐标求解。 折叠变换（轴对称）：利用“垂直平分”与“全等” 折叠问题本质上就是轴对称问题。折叠前后的图形关于折痕对称，这意味着对应线段相等、对应角相等，且对应点的连线被折痕垂直平分。 核心性质： 全等性： 折叠前后的部分完全重合，对应的边长、角度、面积都相等。 对称性： 若点 折叠后落在点 处，则折痕所在的直线是线段 的垂直平分线。 常见模型与解题技巧： 求折痕解析式： 若已知对应点 和 ，可先求线段 的中点坐标和斜率。 折痕经过中点，且斜率与 的斜率互为负倒数（ ）。 利用点斜式或待定系数法求出折痕解析式。 求落点坐标： 利用“对应点连线被折痕垂直平分”列方程组求解。 或者利用几何性质（如全等三角形、勾股定理）在图形中计算。 坐标系中的特殊折叠： 若沿 轴折叠，点 变为 。 若沿 轴折叠，点 变为 。 若沿原点折叠（中心对称），点 变为 。 综合应用：平移与折叠的结合 在较难的题目中，平移和折叠往往结合出现，或者与动点问题结合。 平移+折叠： 先处理平移，确定中间状态的图形位置；再处理折叠，利用对称性求解。 注意：平移不改变图形形状，折叠改变图形方向。 与面积、周长结合： 折叠后重叠部分的面积计算，通常需要利用相似三角形或全等三角形的性质来求边长。 利用平移将不规则图形转化为规则图形（如平行四边形）来计算面积。 例5 如图，正方形的顶点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式5-1 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线分别交x轴，y轴于点D，E，且直线，垂足为点C． (1)求C点坐标． (2)如图1，在y轴上有一长为1的线段（点P在点Q上方），当线段在y轴正半轴移动时，求的最小值． (3)如图2，将沿直线方向平移，将平移后的记作，当为等腰三角形时，请求出此时点的坐标． 变式5-2 如图1，直线：交轴、轴分别于点、，直线：与轴交于点，与直线交于点，， (1)求直线的解析表达式； (2)如图2，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴交与点，与直线交于点，连接，点为直线上一点．若，求点的坐标． (3)如图2．将直线向左平移个单位长度得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 变式5-3 已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点且分别交轴于点，其中的长是方程的两个实数根． (1)求的值； (2)如图2，为上一动点，作轴交于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)如图3，平面内有一点与点关于轴对称，、分别为、上一动点（均不与重合），为平面内一点，问：是否存在点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，点在第一象限，且，． (1)求点坐标； (2)点在直线上，，求点坐标； (3)点是线段上的一个动点（点，除外），试探究在轴的上方是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交函数和的图象于点、，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，若一次函数的图象与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 4．如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、． (1)求的值及直线的解析式； (2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，直线：经过点，且与轴交于点． (1)直接写出、的坐标及直线的解析式； (2)已知点在直线上，若，求点的坐标； (3)如图，将绕点顺时针旋转，分别交线段、于、两点，若四边形内部恰好有个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点的坐标． 6．当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 7．如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，且与直线相交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标． (2)如图1，点D在直线上，且横坐标为2，点Q为射线上一动点，若，请求出点Q的坐标． (3)如图2，过点A作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上一点，且，请直接写出直线的表达式． 8．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为4． (1)求b的值； (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围； (3)若有动点，当取最小值时，求m的值． 11．如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，点的横坐标为3，直线与轴相交于点． (1)直线的函数表达式为______；（直接写出结果） (2)点为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图所示的平面直角坐标系中，正比例函数的图象过点． (1)直接写出正比例函数的解析式． (2)将线段绕原点旋转得到线段，连接， ①点坐标为_____． ②将沿轴平移，点、、的对应点分别为、、，设点的横坐标为，求出当点落在直线上时，的值． ③当点位于轴上方时，过点作直线轴，交轴于点，交直线于点．将沿直线平移，点的对应点分别为，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 13．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在点E的右侧，满足的面积为，点Q为直线上一动点，请求出的最大值； (3)如图3，将直线向下平移4个单位得到直线，直线与x轴交于点F，连接，若点M为平面内一动点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出直线与y轴交点的坐标，若不存在，请说明理由． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数与几何的综合 目录 1 类型一、一次函数与坐标轴围成的三角形问题 1 类型二、一次函数与线段长度的综合 8 类型三、一次函数与角的综合 18 类型四、一次函数与存在性问题 29 类型五、一次函数与平移、折叠几何变换综合 42 56 类型一、一次函数与坐标轴围成的三角形问题 基础核心：求单条直线与坐标轴围成的面积 这是最基础的题型，通常涉及一条直线 与 轴、 轴围成的直角三角形。 解题三步法： 1. 求交点（找顶点）： · 与 轴交点： 令 ，解得 ，交点为 。 · 与 轴交点： 令 ，解得 ，交点为 。 · 原点： 坐标为 。 2. 求边长（定底高）： · 由于坐标轴互相垂直，围成的三角形通常是直角三角形，两条直角边即为底和高。 · 底边长： （注意：线段长度必须为非负数，所以要加绝对值）。 · 高： 。 3. 算面积： · 避坑指南： 很多同学容易忽略 或 为负数的情况，直接用坐标值相乘。切记：计算面积时，坐标要转化为距离（加绝对值）。 进阶技巧：多直线围成的图形面积（割补法） 当题目涉及两条或多条直线，或者直线与坐标轴围成不规则图形（如四边形、钝角三角形）时，直接套公式往往行不通。 常用策略： 1. 求交点坐标： 联立两条直线的解析式，解二元一次方程组，得到交点坐标。 2. 分割法（化整为零）： · 将不规则图形分割成几个规则的三角形（通常是直角三角形）。 · 技巧： 尽量利用坐标轴作为分割线。例如，求两条直线与 轴围成的三角形面积，底边通常是两直线与 轴交点之间的距离，高则是两直线交点的纵坐标的绝对值。 3. 补形法（大减小）： · 构造一个大的规则图形（如矩形或大直角三角形），然后减去多余部分的面积。 典型模型：两条直线与 轴围成的三角形 设直线 与 轴交于 ，直线 与 轴交于 ，两直线交于点 。 · 底边： 线段 的长度 · 高： 点 到 轴的距离 · 面积： 逆向思维：已知面积求解析式或参数 这类题目通常会给出三角形的面积，要求你求出函数解析式中的未知系数（如 或 ），或者求动点的坐标。 解题思路： 1. 设未知数： 将直线解析式中的参数（如 ）保留。 2. 表示交点： 用含 的代数式表示出直线与坐标轴的交点坐标。 3. 建立方程： 根据面积公式 列出关于 的方程。 4. 解方程并检验： 解出 的值。 多解情况提醒： 在解绝对值方程时，往往会有多个解。例如，已知面积为 ，求 中的 。 解出的 可能有正有负，对应的直线可能在 轴上方或下方，或者经过不同的象限。一定要分类讨论，不要漏解！ 例1．如图，平面直角坐标系中，在直线和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形(图中所示的阴影部分)，其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第2023个等腰直角三角形的面积为_______． 【答案】 【分析】先利用一次函数求出等腰直角三角形的边长，列出前5个等腰直角三角形的面积，进行归纳总结，即可得出结果． 【详解】解：当时，， ∴第1个等腰直角三角形的边长为1，面积为； 当时，， ∴第2个等腰直角三角形的边长为2，面积为； 当时，， ∴第3个等腰直角三角形的边长为4，面积为； 当时，， ∴第4个等腰直角三角形的边长为8，面积为； 当时，， ∴第5个等腰直角三角形的边长为16，面积为； ， ∴第n个等腰直角三角形的边长为，面积为， ∴第2023个等腰直角三角形的面积为． 变式1-1．在平面直角坐标系中，直线经过点和．另一条直线也经过点A． (1)求k，b，c的值； (2)画出函数与函数的图象； (3)求两直线与x轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用两点法画出函数图象即可； （3）根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴， 解得：， ∵另一条直线也经过点， ∴，解得：； （2）解：由（1）得：两函数解析式分别为和， 对于， 当时，， ∴函数的图象过点， 对于， 当时，， ∴函数的图象过点， 画出函数图象，如图： （3）解：由（2）得： 两直线与x轴围成的三角形的面积为． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴，垂足为点，一次函数的图象经过点，与交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)沿轴向右平移，点的对应点恰好落在直线上，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知求出点C的坐标，再将点C的坐标代入一次函数解析式求出k，即可得解； （2）根据平移得的纵坐标为4，把代入即可求出点的坐标，即可求，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线的解析式和一次函数的解析式，即可求出点的坐标，过点作，垂足为点，求出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：轴， 点， 一次函数的图象经过点， ， 解得：， ； （2）解：点的对应点恰好落在直线上， 的纵坐标为4， 把代入得， 点， ， ， 点， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， ， 解得， 点， 过点作，垂足为点， ， ， 的面积． 变式1-3．已知直线与直线交于点，且直线与轴交于点． (1)求直线解析式； (2)求点的坐标； (3)如图，直线的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，当点的坐标是时求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点坐标代入即可求得； （2）将两直线解析式联立方程组即可； （3）以为底，点到的距离为高求解三角形面积即可． 【详解】（1）解：将点代入直线可得， ∴直线解析式为； （2）解：联立方程组， 解得， ∴； （3）解：∵点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，点的坐标是， ∴当时，，， ∴， ∴， 又， ∴点到的距离为， ∴ ． 类型二、一次函数与线段长度的综合 一次函数与线段长度的综合问题，是连接“数”与“形”的关键桥梁。这类问题通常涉及动点、定长、最值等，其核心思想是 “化动为静，数形结合” 。掌握以下技巧，便能将复杂问题分解为清晰的步骤，从容应对。 核心工具：两点间距离公式 这是解决所有斜线段长度问题的根本。当线段不与坐标轴平行时，必须使用此公式。 公式内容： 在平面直角坐标系中，若点 ，点 ，则线段 的长度为： 本质理解： 该公式源于勾股定理。通过构造以线段 为斜边的直角三角形，两直角边的长度即为横、纵坐标之差的绝对值。 应用要点： 在计算时，通常先计算坐标差的平方和，再开方。在列方程时（如 ），可以直接平方去掉根号，简化计算。 关键步骤：设点与表示线段 这是解题中最关键的一步，核心在于“化动为静”，用代数式表示几何量。 设动点坐标： 在坐标轴上： 若点 在 轴上，设为 ；若在 轴上，设为 。 在已知直线上： 若点 在直线 上，设其横坐标为 ，则纵坐标可直接表示为 ，即 。这样做能将两个未知数减少为一个。 表示线段长度： 平行于坐标轴： 长度等于相应坐标之差的绝对值。例如，水平线段长为 ，竖直线段长为 。 倾斜线段： 运用上述的距离公式。 铅垂线段（特殊技巧）： 若两点横坐标相同（如点 在直线 上，点 在直线 上，且 轴），设它们的横坐标均为 ，则线段 的长度为 。这可以避免使用复杂的距离公式。 常见题型与解题策略 根据题目所求，可将问题分为以下几类，每类都有其对应的核心策略。 线段相等问题： 策略： 方程思想。 步骤： 设出动点坐标。 用含未知数的代数式分别表示出两条线段的长度。 根据线段相等（如 ）列出方程。 解方程，求出未知数，进而得到点的坐标。 · 注意： 列方程时，通常两边平方以去掉根号。 线段和差最值问题： 策略： 几何变换（对称），化折为直。 求线段和最小值（“将军饮马”模型）： 问题： 在直线 上找一点 ，使 最小（ 在 同侧）。 解法： 作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，此时 为最小值。 求线段差最大值： 问题： 在直线 上找一点 ，使 最大（ 在 异侧）。 解法： 作点 关于直线 的对称点 ，连接 并延长，交直线 于点 ，此时 为最大值（依据三角形两边之差小于第三边）。 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． (1)求直线的解析式； (2)若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点，代入，然后求解即可； （2）首先确定点坐标，易知，进而可得；设点的坐标为，根据题意可知点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，进而确定点坐标，然后计算的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式； （2）对于直线，当时可得，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即， 又∵点在直线上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，点M的坐标为或． 变式2-1．如图，正方形边长为4，点是对角线上一点，．过点作于点于点，连接．延长交于点，连接，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方形的对称性得出，结合矩形性质和勾股定理求出的长，建立平面直角坐标系求出点的坐标，最后利用两点间距离公式求解． 【详解】解：连接． ∵四边形是正方形，在对角线上， ∴点与点关于对称， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 设，则． 在中，，即． ∵四边形是正方形， ∴, ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴, ∵， ∴;; 联立， 解得或． ∵，且，， ∴， ∴，，即，． 以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 则． 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为． 联立， 解得， ∴． ∴． 变式2-2．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 【答案】 【分析】设点B的坐标为，根据长方形的性质求出长，利用求出的长，进而得出点C的坐标，代入即可求解． 【详解】解：设点B的坐标为，其中， 四边形是长方形，点、在x轴上 ， 轴、轴、轴， ， 点C的纵坐标为 ， ， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 将点代入得：， 解得． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点为坐标原点，顶点在轴的正半轴上，，在第一象限内，，且，，． (1)顶点的坐标为________，顶点的坐标为_________； (2)如图2，若直线过点，且把平行四边形的面积分成两部分，求直线的函数表达式； (3)如图3，设对角线，交于点，在轴上，有一个长为个单位长度的可以左右平移的线段，点在点的左侧，连接，，则的最小值为_________． 【答案】(1)； (2)直线解析式为：或． (3)的最小值为． 【分析】（1）过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，求出点的坐标，根据平行四边形的性质，求出点的坐标，即可； （2）根据点在直线上，求得；根据点在轴上，设点，求出点；根据点在直线上，设点，求出点，根据题意，求出，，，根据直线把平行四边形的面积分成两部分，由图可得，分成两个高为的梯形，分类讨论：当，，解出，即可； （3）将点向右平移两个单位长度，得到点，连接，根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，得到，推出，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为，根据中点坐标公式，求出点的坐标，过点作的延长线于点，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴点， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴点的横坐标为： ∴点； 故答案为：； （2）解：∵点在直线 ∴， ∴直线解析式为：； ∵点在轴上， ∴设点， ∴， ∴， ∴，； ∵点在直线上， ∴设点， ∴， ∴； ∵点，点，， ∴，，， 直线把平行四边形的面积分成两部分，由图可得，分成两个高为的梯形， ∴，， ∴当， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：； 当，， 解得：， ∴直线解析式为：； 综上所述：直线解析式为：或． （3）解：将点向右平移两个单位长度，得到点，连接， ∴点，， ∵，点，在轴上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，当点，，三点共线时，有最小值，最小值为， ∵点，点， ∴点， 过点作的延长线于点， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、分式方程、一次函数的解析式、梯形的面积公式、平移的性质等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键． 类型三、一次函数与角的综合 一次函数与角的综合问题是初中数学中代数与几何深度融合的体现，也是中考的难点和热点。这类问题通常涉及角度相等、特殊角（如45°）、二倍角或半角等条件，要求求解点的坐标或直线的解析式。解决这类问题的核心思想是 “角优先，形助数” ，即优先处理角度关系，通过构造几何图形将其转化为可计算的边长或坐标关系。 核心策略：角度转化与代换 当题目给出的角度关系无法直接使用时，首要任务是利用几何性质进行转化，将其与已知角或坐标系中的特殊角（如90°）联系起来。 利用基本角关系： 熟练运用余角、补角、对顶角相等等基本性质。例如，若已知 ，且 ，则可推导出 。 利用三角形外角定理： 这是一个非常高效的“倒角”技巧。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。这个定理常常能建立起已知角与未知角之间的桥梁。例如，若 是 的外角，则 。 利用平行线性质： 如果题目中出现或可以构造出平行线，那么同位角、内错角相等，同旁内角互补的性质将成为角度转化的利器。例如，若 ，且能证明 ，问题便迎刃而解。 模型构造：将角的关系“图形化” 这是解决此类问题的精髓。通过构造特定的几何模型，可以将抽象的角度条件转化为具体的、可计算的线段关系。 遇45°角，构造“一线三垂直”模型： 核心思想： 45°角通常与等腰直角三角形紧密相关。当题目中出现45°角时，应优先考虑构造等腰直角三角形。 操作步骤： 以已知点（通常是45°角的顶点）作为等腰直角三角形的直角顶点。 过该顶点作一条辅助线（通常是水平线或竖直线，即“一线”）。 过等腰直角三角形的另外两个顶点，分别向这条辅助线作垂线（即“三垂直”）。 目的： 这样可以构造出一对全等三角形（通常是“K字型”或“A字型”全等）。利用全等三角形对应边相等的性质，可以将斜边（与45°角相关的边）的长度关系转化为水平和竖直方向的坐标差，从而求出点的坐标。 遇二倍角或半角，构造等腰三角形： 核心思想： 利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”的性质。 从一倍角到二倍角： 若已知角为 ，需要构造 。可以在角的一边上找一点 ，使得它与角的顶点 和另一边上的点 构成等腰三角形（即 ），则 ，其外角 。 从二倍角到一倍角： 若已知角为 ，可以利用角平分线的性质，或者逆向思考，构造一个等腰三角形，使其外角等于 ，从而找到大小为 的内角。 实战演练：解题步骤模板 面对一次函数与角的综合题，建议遵循以下四步法，将复杂问题清晰化、步骤化。 第一步：审清条件，标记角度。 仔细阅读题目，在图形上标出所有已知的角度关系和特殊角。 明确题目要求解的目标（点的坐标、直线解析式等）。 第二步：角度转化，寻找突破口。 运用“余角、补角、外角定理”等技巧，对已知角度进行“倒角”，尝试将分散的角度关系集中起来，或转化为与坐标轴相关的角。 思考题目中的角度是否暗示了某种几何模型（如45°暗示等腰直角三角形）。 第三步：构造模型，转化关系。 根据第二步的分析，果断添加辅助线，构造出“一线三垂直”或等腰三角形等模型。 利用全等、相似或勾股定理等几何性质，将角度关系最终转化为线段长度或坐标之间的关系。 第四步：设点列式，代数求解。 设出动点的坐标（通常设横坐标为 ，则纵坐标可用直线解析式表示）。 将第三步得到的几何关系用代数方程表示出来。 解方程，求出未知数，最终得到答案。 注意： 此类问题常常存在多解情况（如点在直线的不同位置），务必进行分类讨论，避免漏解。 例3．如图1，A、B两点坐标分别为、． (1)求直线的解析式． (2)如图2，直线分别与y轴、交于点、，若，求的值； (3)如图3，平移直线，平移后的直线与x轴交于点，与轴交于点，分别延长、交于点，点坐标为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可． （2）求出直线的交点坐标，根据得到，根据两点间距离公式求解即可． （3）设平移得到解析式为，求得对应直线的解析式，然后建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：，且A、B两点坐标分别为、． 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； （2）解：直线分别与y轴、交于点、， 故， 根据题意，得， 解得， 故点， ， ， ， 整理，得或， 解得或， ， 舍去， 故； （3）解：设平移得到解析式为， 根据题意，得，， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； 根据题意，得， 解得， 故点， 点坐标为， ， 整理，得． 变式3-1．平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，且a．b满足 ．不论k为何值，直线l：都经过x轴上一定点A． (1)_______，_______；点A的坐标为_______； (2)如图1，当时，将线段沿某个方向平移，使得与点B对应的点M恰好在直线l上，与点C对应的点N恰好在直线上，请你判断四边形的形状，并求出M点坐标； (3)如图2，当k的取值发生变化时，直线l：绕着点A旋转，当它与直线相交的夹角为时，求出相应的k的值． 【答案】(1)2，4， (2)平行四边形， (3)或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值；将直线的解析式变形为，即可求出定点的坐标； （2）根据平移的性质可知四边形是平行四边形；设出点的坐标，利用平移规律表示出点的坐标，代入直线求出的值，即可得到点的坐标； （3）过点作于点，过点O作于点D，求出， 得，可得直线的解析式为．求得，得直线的解析式为．在直线上取点使得，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直”模型（K字模型）构造全等三角形求出点的坐标，进而求出直线的解析式及的值． 【详解】（1）解：， ， ， ． 直线的解析式为， ， 当时，， 即直线经过定点． （2）解：四边形是平行四边形理由如下： 由平移的性质可知，且， 四边形是平行四边形， 对，令，则， 解得， ， 令，得， ， 当时，直线的解析式为， 设点的坐标为， 点平移得到点， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， 点平移得到点， 点的坐标为，即， 点在直线上， ， 解得， 点的坐标为， 故四边形是平行四边形， 点的坐标为； （3）解：过点作于点．过点O作于点D，则， 由（2）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 解得， ∴， 设解析式为，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， ， 过点作轴于点，则， ， 在直线上取点，使得，连接， ， 是等腰直角三角形， ， 即直线与直线的夹角为，此时直线即为直线， 过点作交的延长线于点（当在左下方时）或交的延长线于点（当在右上时）， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在点左下方时（记为）， ，， ， ∴， ∴， 当点在点右上方时（记为）， ，， ， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 变式3-2．如图，正方形的边长为2，为坐标原点，和分别在轴、轴的正半轴上，点是边的中点，过点的直线交线段于点，连接，若平分．则的值为_____． 【答案】1或3 【分析】根据正方形的性质得到，，，分类讨论当点与点重合和当点不与点重合的情况即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 如图所示：作， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将代入得：， ∴； 当点与点重合时，满足平分， 此时， 将代入得：， ∴． 综上所述，的值为1或3． 变式3-3．在平面直角坐标系中，点，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，． (1)如图1，求点A点坐标； (2)如图2，直线交x轴负半轴于C，点，交线段于D，点D的横坐标为t，的面积是S，用含t的式子表示S． (3)如图3，在（2）的条件下，，点E在线段上，连接并延长至F，连接并延长，交x轴于点G，时，求G点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长度，进而得到点A坐标． （2）先确定的长度，再根据点D的横坐标t，结合直线的解析式求出点D的纵坐标，最后利用三角形面积公式构建关于t的表达式． （3）因为已知S的值，所以先代入（2）的表达式求出t的值，确定点D坐标，进而得到直线的解析式；因为、，所以可通过构造全等三角形，结合全等三角形的判定定理证明三角形全等，再根据全等性质得到线段长度，从而求出点G坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， （2）解：设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵， ∴， 点横坐标为，则的纵坐标，这是中边上的高． ∴． （3）解：当时，代入得， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 又∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 如图，过点E作，过点B作射线交x轴于点M，且，过点G作于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ∴G点坐标为． 类型四、一次函数与存在性问题 一次函数背景下的存在性问题，是初中数学中综合性最强、难度最高的题型之一。这类问题通常设定为“是否存在点P，使得……”，要求判断并求出符合条件的点。其核心思想是“假设存在，代数求解，几何验证”。解决此类问题，关键在于掌握分类讨论的思想和数形结合的方法。 核心思想：假设与求解 解决存在性问题的通用流程如下： 假设存在： 首先假设满足条件的点P是存在的。 设点坐标： 根据点P所在的位置（如坐标轴、已知直线），用一个未知数（如 或 ）表示其坐标。例如，若P在直线 上，可设 。 转化条件： 将题目中的几何条件（如构成等腰三角形、直角三角形等）转化为关于未知数的代数方程。 求解验证： 解出方程的根。若有解，则点P存在；若无解，则点P不存在。最后，务必检验解是否符合题意（如点是否在规定象限）。 等腰三角形存在性：“两圆一线”法 当题目要求构成等腰三角形时，通常需要进行分类讨论。最直观有效的方法是“两圆一线”法。 问题模型： 已知两点A、B，在平面内找一点P，使得 为等腰三角形。 分类讨论： 以A为顶点，AB为腰： 几何作法： 以点A为圆心，线段AB长为半径画圆。圆上除B点外的任意一点都满足 。 代数表示： 。 以B为顶点，AB为腰： 几何作法： 以点B为圆心，线段AB长为半径画圆。圆上除A点外的任意一点都满足 。 代数表示： 。 以AB为底边： 几何作法： 作线段AB的垂直平分线。垂直平分线上的任意一点都满足 。 代数表示： 。 避坑指南： 解题时，要画出符合题意的图形，确保不重不漏。特别是当点P被限制在某条直线或坐标轴上时，需要看“两圆一线”与该直线/坐标轴有几个交点，每个交点都对应一个解。 直角三角形存在性：勾股定理与斜率 当题目要求构成直角三角形时，同样需要分类讨论哪个角是直角。 问题模型： 已知两点A、B，在平面内找一点P，使得 为直角三角形。 平行四边形存在性：中点坐标公式 平行四边形的存在性问题通常涉及四个点，其中三个点已知或可表示，一个点未知。核心是利用平行四边形“对角线互相平分”的性质。 问题模型： 已知三点A、B、C，在平面内找一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形。 分类讨论： 以AB为对角线： 此时CD为另一条对角线。根据对角线互相平分，AB的中点与CD的中点重合。 代数方法： 利用中点坐标公式， ， 。可简化为 。 以AC为对角线： 此时BD为另一条对角线。 代数方法： 。 以BC为对角线： 此时AD为另一条对角线。 代数方法： 。 技巧总结： 对于平行四边形存在性问题，牢记“对角线两端点的横、纵坐标之和分别相等”这一结论，可以快速列出方程，避免复杂的几何构造。 实战演练：解题步骤模板 第一步：明确目标，设点坐标。 仔细阅读题目，明确要找的点P满足什么几何条件。 根据点P的限制条件（如在x轴上、在直线 上），设出其坐标。 第二步：分类讨论，画出图形。 根据几何条件（等腰、直角、平行四边形），确定需要分几种情况讨论。 在草稿纸上画出每种情况的草图，帮助理解。 第三步：转化条件，列出方程。 用距离公式、勾股定理、斜率关系或中点公式，将几何条件转化为关于点P坐标的代数方程。 第四步：求解方程，检验答案。 解出方程的根，得到点P的坐标。 检验解是否符合题目中的所有条件（如点是否在指定象限，是否与已知点重合等）。 最终写出结论：“存在，点P的坐标为……”或“不存在”。 例4．模型的建立与应用． (1)【建立模型】如图1，在等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：． (2)【模型应用】如图2，直线：与轴、轴分别交于，两点，经过点作．点在第二象限且在直线上，满足，求直线的函数表达式． (3)【模型拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用证明即可； （2）求出点，，可得，，过点作轴于点．同理可得，可得点，再利用待定系数法求出直线的函数表达式，即可； （3）分两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ； （2）解：对于， 当时，， 当时，， ∴， 点，， ，， 如图1，过点作轴于点． ，， 由（1），同理可得， ，， 点， 设直线的函数表达式为， 将点代入，得， ， 直线的函数表达式为． （3）解：如图2，当时，过点作轴于点，过点作交的延长线于点 点， ，， ，，，， 由（1），同理可得， ，， 点的坐标为； 如图2，当时． ，， ， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 变式4-1．如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 【答案】或 【分析】根据一次函数的表达式求得，的值，进而求得的值，分两种情形：当四边形是平行四边形时，，可求得，进而得出，同样求得当四边形是平行四边形时的情形． 【详解】解：当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图1， 当四边形是平行四边形时，． ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． 如图2，连接， 当四边形是平行四边形时，，， ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵，C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点，点均在轴上，点是，的公共点，轴， ∴点D和点O重合， ∴． 综上所述：点D的坐标为或． 【点睛】解决问题的关键是找到当四边形是平行四边形及四边形是平行四边形时的两种情况作图进行分类讨论． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点，点在轴负半轴上，，直线与直线相交于点，且点的横坐标为． (1)如图1，请求出直线的解析式： (2)如图2，点是点关于点的对称点，点是射线上一点，点，点是直线上两动点（点在点的下方），且，连接，，，当时，求的最小值： (3)将绕点逆时针旋转得到，作直线，再将沿直线平移得，当平移后的点刚好落在直线上，此时点为直线上一动点，若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）先分别求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）利用对称求出，过点P作轴，交于点，设，则，得出，可得，解得，得出，此时，过点N作轴，过点M作轴，与交于点R，得出是等腰直角三角形，则，将点P沿方向平移个单位长度得点，即水平向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，连接，得出，由平移性质得，作点关于的对称点，连接，，，由对称性可知，，，则，当且仅当、、共线时取得最小值，求出，即可求解； （3）利用旋转求出，，求出直线的解析式为，利用平移求出，由图可知是定角，不是直角，当时，设为，延长交轴于点Y，过点作轴于点S，求出，求出直线的解析式为，与联立求解即可；当时，设为，设，利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， 将，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点是点关于点的对称点， ∴，代入， 得， ∴， 如图，过点P作轴，交于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，即，此时如图， 过点N作轴，过点M作轴，与交于点R， 当时，，得， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 将点P沿方向平移个单位长度得点，即水平向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，连接， ∴，即， 由平移得平移得，由平移性质得， 作点关于的对称点，连接，，， 由对称性可知，，， ∴，当且仅当、、共线时取得最小值， 当时，，得，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：将绕点逆时针旋转90°得到， ∴，，，， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 即，， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 由， ∴设点到是水平向左平移m个单位长度，再竖直向下平移m个单位长度， 则， 代入，得， 解得， ∴， 由图可知是定角，不是直角， 当时，设为，延长交轴于点Y，过点作轴于点S， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴； 当时，设为，设， ∴，，， ∵， 得， 解得， ∴， ∴； 综上，或． 变式4-3．如图 ，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求正比例函数与一 次函数的解析式 ； (2)点D是y轴上一 点 ，且的面积是的面积的 3 倍 ，求点D的坐标 ； (3)若点 E在第二象限 ，且是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)正比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当为直角时，证明，得到点，当为直角时，同理可解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得：，则， ∴正比例函数的解析式为， 把，代入，得：， 解得：， 故一次函数解析式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， 的面积，则的面积， 设点， 的面积， 解得：或， 故点D的坐标为或． （3）解：当为直角时，则，过点E作轴于点H， ，， ， ，， ， 则，， ， 则点 当为直角时， 同理可得，点， 综上，点E的坐标为或． 类型五、一次函数与平移、折叠几何变换综合 一次函数与几何变换的综合问题是初中数学中“数形结合”思想的高级体现。这类题目不再局限于静态的图形计算，而是通过平移和折叠让图形“动”起来。解决此类问题的关键在于掌握变换背后的代数规律：平移遵循“坐标加减”，折叠遵循“轴对称性质”。 平移变换：掌握“左加右减，上加下减” 平移是几何变换中最基础的一类，其核心在于理解解析式随坐标变化的规律。无论是直线的移动还是图形的整体平移，都可以转化为解析式中系数 和 的变化。 口诀核心： 上下平移（针对 y 或 b）： 向上平移 个单位，解析式变为 ；向下平移 个单位，解析式变为 。即“上加下减”。 左右平移（针对 x）： 向左平移 个单位，将 替换为 ，解析式变为 ；向右平移 个单位，将 替换为 ，解析式变为 。即“左加右减”。 斜率不变性： 平移前后的两条直线互相平行，因此它们的斜率 保持不变。这是解题的重要隐含条件。 解题策略： 当题目给出平移后的直线经过某点，或与原直线、坐标轴围成特定图形时，先根据平移规则写出新直线的解析式（通常含有一个未知参数，如平移距离），再代入已知点坐标求解。 折叠变换（轴对称）：利用“垂直平分”与“全等” 折叠问题本质上就是轴对称问题。折叠前后的图形关于折痕对称，这意味着对应线段相等、对应角相等，且对应点的连线被折痕垂直平分。 核心性质： 全等性： 折叠前后的部分完全重合，对应的边长、角度、面积都相等。 对称性： 若点 折叠后落在点 处，则折痕所在的直线是线段 的垂直平分线。 常见模型与解题技巧： 求折痕解析式： 若已知对应点 和 ，可先求线段 的中点坐标和斜率。 折痕经过中点，且斜率与 的斜率互为负倒数（ ）。 利用点斜式或待定系数法求出折痕解析式。 求落点坐标： 利用“对应点连线被折痕垂直平分”列方程组求解。 或者利用几何性质（如全等三角形、勾股定理）在图形中计算。 坐标系中的特殊折叠： 若沿 轴折叠，点 变为 。 若沿 轴折叠，点 变为 。 若沿原点折叠（中心对称），点 变为 。 综合应用：平移与折叠的结合 在较难的题目中，平移和折叠往往结合出现，或者与动点问题结合。 平移+折叠： 先处理平移，确定中间状态的图形位置；再处理折叠，利用对称性求解。 注意：平移不改变图形形状，折叠改变图形方向。 与面积、周长结合： 折叠后重叠部分的面积计算，通常需要利用相似三角形或全等三角形的性质来求边长。 利用平移将不规则图形转化为规则图形（如平行四边形）来计算面积。 例5 如图，正方形的顶点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】首先将点的坐标代入直线的解析式求出的值，确定直线的方程；然后过点作轴的垂线，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求出点的坐标；最后根据平移规律表示出平移后点的坐标，代入直线的解析式即可求出的值． 【详解】解：将点代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∵四边形正方形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵A在轴负半轴 ∴， ∴， ∴， ∴， 将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点的对应点的坐标为， ∵点落在直线上， ∴， 解得． 变式5-1 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线分别交x轴，y轴于点D，E，且直线，垂足为点C． (1)求C点坐标． (2)如图1，在y轴上有一长为1的线段（点P在点Q上方），当线段在y轴正半轴移动时，求的最小值． (3)如图2，将沿直线方向平移，将平移后的记作，当为等腰三角形时，请求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）根据题意联立直线与得到二元一次方程组并求解，即可得到点C的坐标； （2）过点Q作的平行线，过点O作与该平行线垂直，垂足为H，过点H作，过点P作，连接，证得四边形是平行四边形，根据已知条件分别求出点A、B、D、E的坐标，利用含30度直角三角形的性质结合平行四边形的性质得到，当C、P、G三点共线时，有最小值，从而分别求得相关线段的长度，进而求得最终结果； （3）先求得，设沿x轴正方向平移t个单位长度，则沿y轴负方向平移个单位长度，分别求得点，，的坐标表达式，从而得出，，，此时分情况讨论：，，，求得不同情况下t的值并代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知， 联立直线与 ， 解得， ∴． （2）解：如图，过点Q作的平行线，过点O作与该平行线垂直，垂足为H，过点H作，过点P作，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，令，则，令，则， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当C、P、G三点共线时，有最小值， ∵， ∴， ∴点E与点P重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴有最小值为． （3）解：在中，令，则，令，则， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由（2）知，，， 设沿x轴正方向平移t个单位长度，则沿y轴负方向平移个单位长度， ∴，，， ∴，，， 此时分以下情况讨论： ①当时，， 此时t无解； ②当时，， 解得，， ∴或； ③当时，， 解得， 此时点与点D重合，点与点O重合，不存在为等腰三角形， ∴舍去， 综上所述，点的坐标为或． 变式5-2 如图1，直线：交轴、轴分别于点、，直线：与轴交于点，与直线交于点，， (1)求直线的解析表达式； (2)如图2，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴交与点，与直线交于点，连接，点为直线上一点．若，求点的坐标． (3)如图2．将直线向左平移个单位长度得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】（1）先根据直线求出A、B的坐标，进而求出C的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）根据平移规律求出的解析表达式，然后联立和的解析表达式可求出F的坐标，联立和的解析表达式可求出D的坐标，设直线与y轴交于点G，求出点G的坐标，根据，可求出点P的纵坐标，进而求出横坐标，即可求解； （3）分两种情况讨论：当M在直线左侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形，则，根据等角对等边可证明，证明，得出，，则，，联立解方程组，可求出H的坐标，根据待定系数法求出直线解析表达式，联立直线和直线解析表达式可求出点M的坐标；当M在直线左侧时，类似求解即可． 【详解】（1）解∶对于直线：，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线：与轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析表达式为； （2）解：∵直线向左平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析表达式为， 联立方程组， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， 设直线与y轴交于点G， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，， 解得， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：由（2）知：直线的解析表达式为， 当M在直线左侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， 设直线解析表达式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴M的坐标为； 当M在直线右侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形， 同理可求， 直线解析表达式为， 联立方程组， 解得， ∴M的坐标为， 综上，M的坐标为或． 变式5-3 已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【答案】(1)； (2)平移过程中线段所扫过的面积为； (3)，，，； 【分析】（1）设直线l的解析式为，将点，代入求解即可得到答案；（2）根据解析式求出点D的坐标，再根据对称求出点B的坐标，再根据平移得到平行四边形，设出点E坐标，根据平移线段相等列式求解求出E点坐标，最后根据三角形面积即可求出答案；（3）设出点F的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分求出点G的坐标，最后根据矩形对角线相等列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设直线l的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线l的解析式为：； （2）解：当时， ， ∴， ∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∵线段沿射线的方向平移，点C恰好落在y轴上的点D处，点B落在点E处， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴平移过程中线段所扫过的面积为； （3）解：设点F的坐标为，， ∵，，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形， ∴对角线互相平分且相等， ①当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ②当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述点F可能为：，，，． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，矩形的性质，平移的性质，中心对称的性质，解题的关键是根据平移、对称的性质及平行四边形对角线互相平分表示出点的坐标，分类讨论的思想． 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点且分别交轴于点，其中的长是方程的两个实数根． (1)求的值； (2)如图2，为上一动点，作轴交于点，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，求点坐标； (3)如图3，平面内有一点与点关于轴对称，、分别为、上一动点（均不与重合），为平面内一点，问：是否存在点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）通过解方程求出线段的长度，得到，则，分别代入直线与直线即可求解； （2）设，则，用a表示出的长度，利用平行四边形的性质求解即可； （3）分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∴， ∴， 分别代入直线与直线得， ， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵轴，以O、E、C、F为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∵直线与直线交于点C， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴E点坐标为或． （3）解：存在， ∵点M与C点关于x轴对称，， ∴， 设，分三种情况： ①为对角线时，如图，过点Q作轴于N，过点P作轴于L， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上一动点（均不与C重合）， ∴，解得：， ∴，与C重合，不合题意； ∴此种情况不存在； ②为对角线时，如图，过点Q作轴于N，过点P作轴于H，交于L， 同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P为直线上一动点（均不与C重合）， ∴，解得， ∴，与C重合，不合题意； ③为对角线时，如图5，过点P作轴，过点M作于N，过点Q作于L， 同理得， 设， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图6，过点P作轴，过点M作于N，过点Q作于L， 同理得， 设， ∴， ∴，解得：， ∴； 综上所述，存在，Q点坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，点在第一象限，且，． (1)求点坐标； (2)点在直线上，，求点坐标； (3)点是线段上的一个动点（点，除外），试探究在轴的上方是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为 (2)点坐标为或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算以及菱形的存在性问题，熟练运用相关定理和分类讨论思想是解答本题的关键． （1）先根据直线解析式求出，两点的坐标，再通过构造“一线三垂直”模型证明三角形全等，利用全等三角形的性质求出点的坐标； （2）先求出直线与的交点的坐标，设出点的坐标，用含未知数的式子表示的长度，结合三角形面积公式列方程求解点坐标； （3）根据菱形的性质，分“以为对角线”和“以为边”两种情况，结合一次函数解析式与菱形的边长关系，分类讨论求解点的坐标． 【详解】（1）解：直线分别与轴，轴交于点，， 当时，；当时，， 、， 如图，过点作轴于点， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 点坐标为； （2）解：设与直线交于点， 由，当时，， ， 点在直线上，设， ， ， ， 即， 解得：或， 点坐标为或； （3）解：存在， ①如图，当时，四边形为菱形， 则、在的中垂线上， 的纵坐标为， 把代入中，得， ，； ②如图，当时，四边形为菱形， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 3．如图1，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交函数和的图象于点、，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，若一次函数的图象与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）联立与解方程组即可求解； （2）过点作轴的垂线，在中，由勾股定理求得的长，再由 求得的长，用点的横坐标表示出点、的坐标，利用的长求得值，根据即可求得的面积； （3）先求得点的坐标，得出，又，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解： ， 解得， ∴． （2）过点作轴的垂线，垂足为， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ， 解得， ； （3）四边形是平行四边形，理由如下， 当时， ∴ ∴ 由（2）可得， ， ∴ ∴四边形是平行四边形． 4．如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、． (1)求的值及直线的解析式； (2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为，直线的解析式为 (2)点的坐标为，，， 【分析】（1）先用待定系数法求出直线的解析式，再求出点坐标，把点坐标代入直线的函数解析式求出的值； （2）根据题意分析出以，，为顶点的三角形是直角三角形，然后分三种情况进行讨论；利用勾股定理得出对应方程，求出点的坐标，再根据矩形的性质对角线互相平分求出点的坐标． 【详解】（1）解：令直线的函数解析式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得， 故点，再将点代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 综上，的值为，直线的解析式为． （2）解：令形成矩形的中心点为，点坐标为 ∵点在直线上， 令点坐标为， ∵、， 则，，， 对结果进行分类讨论： ①当为对角线，时， 此时点为、中点， 即点， 由，根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得或， 当时，， 由为中点，即、横坐标之和、纵坐标之和除以为点的横、纵坐标， 可得，， 解得，， 故此时； 当时，， 由为中点， 可得，， 可得，， 故此时； ②当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； ③当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、B横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； 综上，点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查一次函数的综合题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质以及解析式的求法，掌握解一元二次方程的方法，还需要结合三角形面积、矩形的性质等几何定理，运用数形结合的思想进行求解． 5．如图，平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于、两点，直线：经过点，且与轴交于点． (1)直接写出、的坐标及直线的解析式； (2)已知点在直线上，若，求点的坐标； (3)如图，将绕点顺时针旋转，分别交线段、于、两点，若四边形内部恰好有个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，直线的解析式为 (2)点坐标为或 (3)点坐标为或或 【分析】（1）通过直线方程与坐标轴的交点特征求出 A、B 坐标，再利用待定系数法求直线l 的解析式； （2）需要根据已知角度关系，结合直线方程求出点 H 的坐标； （3）找到整点，再画出图形，最后根据旋转的性质以及整数点的分布来确定点F 的坐标． 【详解】（1）解：在直线中， 当时，， 解得， ， 当时，， ， 因为直线：经过点和， 将代入得， 把和代入，得到， 解得， 故直线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， 取点，连接， ∴， ∴， 在直线上取，过M作于N，如图： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：或， ∴直线的解析式为：或， 联立直线和直线解析式： 或， 解得或， ∴或； （3）解：在内部共有、、三个整数点， 在内部共有、、三个整数点， 当绕O点旋转后，四边形区域内必有、、三个整数点， 若上一点，则旋转后在上的对应点为， 当经过点时，经过点，此时直线的解析式为， 当时，解得， ∴； 当经过点时，经过点，此时直线的解析式为， 当时，解得， ∴； 当经过点时，经过点，此时直线的解析式为， 当时，解得， ∴； 综上所述：点F坐标为或或． 6．当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②P的坐标为或或 【分析】（1）由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得，求得n值即可求解； （2）设“完美点”，由，m，n是非零实数，可得，则故P在直线上； （3）①先求得，由（2）知“完美点”E在直线上，解方程组求得，进而可求解； ②，，分两种情况：当时和当时，利用全等三角形的对应边相等列方程求得a值即可解答． 【详解】（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 7．如图，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，且与直线相交于点A， (1)求直线的表达式和点A的坐标． (2)如图1，点D在直线上，且横坐标为2，点Q为射线上一动点，若，请求出点Q的坐标． (3)如图2，过点A作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上一点，且，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1)； (2) (3)直线的表达式为或 【分析】（1）将点，点代入之中求出，进而可得直线的表达式；联立，得，由此可得点A的坐标； （2）连接，依题意得点，根据点，点，由此可利用勾股定理的逆定理证明，设点，其中，则，然后根据得，由此解出，进而可得点Q的坐标； （3）依题意有以下两种情况：①点M在点E的上方时，过点B作交直线于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，先证明为等腰直角三角形得，进而证明和全等得，由此得，则点，然后利用待定系数法即可求出直线的表达式；②当点M在点E的下方的时，先求出点，则，证明和全等得，则点，再利用待定系数法即可求出直线的表达式，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， ，得：， ∴直线与直线的交点坐标为； （2）解：连接，如图1所示： ∵点D在直线上，且横坐标为2， ∴点， ∵， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， ∵点Q为射线上一动点， ∴设点，其中， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为； （3）解：∵M为y轴上一点，且， ∴有以下两种情况： ①点M在点E的上方时，过点B作交直线于点N，过点N作轴于H，过点A作轴于T，如图2所示： 则， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∵点N的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线的表达式为； ②当点M在点E的下方的时，如图3所示： ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴点M的坐标为， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将代入， 得：，解得：， ∴直线的表达式为， 综上所述：直线的表达式为或． 【点睛】此题主要考查了一次函数，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，一次函数交点坐标，正确地作出辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解决问题的关键． 8．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先求得点E坐标，C点坐标，从而得出B点坐标，设直线l1的解析式为：，将点E和点B坐标代入，进一步得出结果； （2）作轴于G，交于H，设，则，从而得出，可求得，，进一步得出结果； （3）先求得直线的解析式为： ，设，作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接，，从而得出，当时，可求得的解析式，将点Q坐标代入的解析式，从而得出t，进而得出点Q坐标；同样得出当时的结果． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于G，交于H， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：如图2-1， ∵，， ∴直线的解析式为： ， 设， 作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 当时， 由得，， ∴， ∴直线的解析式为：， 将点代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 如图2-2， 当时， ∵，， ∴直线的解析式为：， 将代入得， ， ∴， ∴，， ∴ ， 综上所述：或． 9．如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面几何图形与一次函数的结合，图形面积的计算，等腰直角三角形的性质与存在性问题．熟悉求直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标的方法，利用坐标计算三角形的面积的方法，根据等腰直角三角形的性质，结合一次函数，全等三角形的知识，解决动点条件下的几何存在性问题的方法，是解题的关键． （1）根据长方形的性质和平行的性质，计算直线与坐标轴，直线与直线的交点坐标． （2）根据直线与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算的面积． （3）设，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，分①点在上方，②点在下方，两种情况讨论，通过证明，，得到对应线段相等，建立关于的一元一次方程，得到的值，继而得到点的坐标． 【详解】（1）解：在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为， ，，轴， ∵直线与交于点，与轴交于点， ∴当时，，解得， 当时，， ，： （2）解：如图，令与轴的交点为， 令，解得， ， ， ，，； ，，， ， ； （3）解：点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上， ∴设， 如图，过点作交所在直线于点，交所在直线于点， ①若点在上方， 是等腰直角三角形，且， ，， ， ， ， 在与中，， ， ， ， ，解得：， ； ②若点在下方，同理可证，， ， ， 即，解得， ， 综上可知，点的坐标为或． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为4． (1)求b的值； (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围； (3)若有动点，当取最小值时，求m的值． 【答案】(1)b的值是6 (2) (3) 【分析】（1）由可求出，把代入即可得b的值是6； （2）由数形结合思想直接可得，当y1＞y2时，x的取值范围是； （3）作A关于直线的对称点，根据、关于直线对称，得，，即知P在线段上时，最小，即最小，设直线为，用待定系数法可得直线为，将代入即得． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， 把代入得：， ∴； （2）由图象可得，当时，x的取值范围是； （3）作A关于直线的对称点，如图： ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴P在线段上时，最小，即最小， 由（1）知，即点， 设直线为， 将代入得：，解得， ∴直线为， 将代入得：， 解得． 11．如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过点的一次函数的图象相交于点，点的横坐标为3，直线与轴相交于点． (1)直线的函数表达式为______；（直接写出结果） (2)点为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标； ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①或；②点的坐标为或 【分析】（1）求出D点坐标，把C、D两点的坐标代入即可解决问题； （2）①分两种情形或分别构建方程即可； ②分两种情形当：点D落在x轴正半轴上（记为点）时，如图2中，当点D落在y轴负半轴上（记为点）时，如图3中，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于， 令，则， ∴， ∵一次函数的图象过，， ∴， 解得， ∴； （2）①直线将的面积分为两部分， 或． 在中，当时，． ． 在中，当时，． ， 如图1中，过点作轴于点， 由（1）知，， ∴． ． 或． 设，由题意知． 过点作轴于点，则． 或． 解得或2． 的坐标为或． ②当点落在轴正半轴上（记为点）时，如图2中． 由（2）知：． 由翻折得． 在和中， ， ， ． 由翻折得． ． 轴． 点的纵坐标为2， 当点落在轴负半轴上（记为点）时，如图3中． 过点作，，垂足分别为点、． 由翻折得． ． 由（2）知，即． ． 在中，由勾股定理，得． ， 解得． ． 综上，点的坐标为或 12．如图所示的平面直角坐标系中，正比例函数的图象过点． (1)直接写出正比例函数的解析式． (2)将线段绕原点旋转得到线段，连接， ①点坐标为_____． ②将沿轴平移，点、、的对应点分别为、、，设点的横坐标为，求出当点落在直线上时，的值． ③当点位于轴上方时，过点作直线轴，交轴于点，交直线于点．将沿直线平移，点的对应点分别为，设点的横坐标为．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②或；③或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）①过点作轴于点，过点作轴于点，分两种情况进行讨论，证明得出相等的线段即可； ②根据平移的性质确定点的坐标，然后代入解析式进行求解即可； ③根据题意，分三种情况进行讨论，根据平移的性质进行求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， ∴； （2）解：①如图所示，当逆时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当顺时针旋转时， 同理可得，， ∴， ∴； 综上，点坐标为或； ②当点的坐标为时， ∵， ∴， ∴， 解得； 当点的坐标为时， ∵， ∴， ∴， 解得； ∴或； ③如图所示， ∵点坐标为，， 当时，， 解得， 即， 当与点重合时，只有两个顶点在外部，符合题意，此时； 当点平移到点时，，即， 当点平移到点时，，即， ∴当时，只有两个顶点在外部，符合题意； 当点平移到直线上时，此时，， 解得， ∴； 当点平移到轴上时，此时，； ∴当时，只有两个顶点在外部，符合题意； 综上，的取值范围为或或． 13．如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在点E的右侧，满足的面积为，点Q为直线上一动点，请求出的最大值； (3)如图3，将直线向下平移4个单位得到直线，直线与x轴交于点F，连接，若点M为平面内一动点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出直线与y轴交点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出，，结合求出，然后代入求解即可； （2）首先求出，求出，设，然后利用的面积为求出，如图，取的中点，连接，，证明出，得到，当点在线段的延长线上时，取得最大值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出直线的表达式为，得到，然后分两种情况讨论：点M在右边和点M在右边，分别构造全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵直线， ∴当时，， ∴，即， ∵直线， ∴当时，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线， 当时，， 解得， ∴， ∴， 联立直线和直线得，， 解得， ∴， ∴， ∵点P为直线上一点，设， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得， ∴， 如图，连接， ∵， ∴轴，且 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 如图，取的中点，连接，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段的延长线上时，取得最大值，即的长度， ∴， ∴的最大值为； （3）解：∵将直线向下平移4个单位得到直线， ∴直线的表达式为， ∴当时，， 解得， ∴， 如图，当点M在右边时，过点F作且，过点G作轴于点N，连接，取中点H，作直线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点H是的中点， ∴， ∴，符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴，即， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∴当时，， ∴直线与y轴交点的坐标为； 如图，当点M在左边时，过点F作且，过点G作于点N，过点B作于点I，连接，取中点H，作直线， 同理可证，， ∴，， ∴点G的横坐标为， ∴， ∵点H是的中点， ∴，即， 同理可得，直线的表达式为， ∴当时，， ∴直线与y轴交点的坐标为； 综上所述，直线与y轴交点的坐标为或． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $