专题3.7 扇形（8题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦初中数学扇形专题，以弧长公式l=nπR/180为基础，延伸至扇形面积公式S=nπR²/360及S=1/2lR，构建从弧长计算到面积应用的知识支架，衔接圆的性质与实际问题解决。 资料通过“即学即练”结合8类题型（如弓形面积、旋转扫过面积），融入纸扇、盾构机等生活实例，培养学生几何直观与推理能力。课中助力教师系统授课，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.7扇形 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01孤长 2.知识清单 知识点02扇形的面积 题型01求孤长 题型02求扇形半径 题型03求圆心角 孤长及扇形的面积 题型04求某点的弧形运动路径长度 3.题型精讲 题型05求扇形面积 题型06求弓形面积 题型07求其他不规则图形的面积 题型08求图形旋转后扫过的面积 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解扇形及弧的概念，掌提扇形面积公式SnnR nnR 360和弧长公式1=180· 教学目标 2.能运用公式进行扇形面积与弧长的计算，并能解决与扇形相关的简单实际问题。 3.通过扇形面积与弧长公式的推导，体会弧长与面积之间的关系，发展转化思想。 重点： 1.扇形面积公式与弧长公式的掌握与应用。 教学重难点 2.已知扇形半径和圆心角求面积或弧长，以及已知面积或弧长求半径或圆心角。 教学难点： 1.将扇形面积公式与弧长公式结合运用，解决较复杂的组合图形面积问题。 1/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.在公式S=R的理解与运用中，体会扇形与三角形面积的类比关系。 知识清单 知识点01弧长 弧长的计算 在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长1的计算公式为：1=， 【即学即练】1.如图，PAPB是⊙0的切线，A、B为切点，BC为⊙0直径，∠P=40°且BC=18,求 AB的长() A A.3π B.5π C.7π D.9π 2.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交AB于点D,交 BC于点E.若AB=12,则DE的长为() B A.π B.2π C.3π D.4π 3.在半径为5的⊙0中，弦AB所对的圆心角为60°，则弦AB所对的弧长为 知识点02扇形的面积 与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形（弧长为）面积的计算公式为：S扇形=三1R 【即学即练】4.如图，正六边形ABCDEF的边长为1.扇形EAC(阴影部分)的面积为() 2/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B. 3元 2 c. D.元 5.如图，正六边形ABCDEO的边长为3，⊙O经过点A、E,则阴影部分的面积为， 6.中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学 制作了一把扇形纸扇.如图，OA=25cm,OB=5cm,纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不 计)的夹角∠A0C=120°，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为一cm2. 题型精讲 题型01求弧长 【典例1】(2026安徽安庆·二模)如图，点A,B,C均在⊙0上，若∠ABC=140°，OA=3,则AC的长 是() B A 3/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 4 A. B. 3π C.T D.2 【变式1】(2026湖北省直辖县级单位·二模)如图，在⊙0中，OC⊥AB于点C,若⊙0的半径为10， AB=10N5,则劣弧AB的长为() C B 5π A.3 B. D餐 【变式2】(2026吉林中考真题)如图，车轮的半径0A=30cm,车轮边缘上一点A绕点0转过的角 ∠AOB=80°，则劣弧AB的长为 cm(结果保留π). B 【变式3】(2026陕西中考真题)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，∠4CB的平分线交⊙0于点 D.若AB=4,则BD的长为 题型02求扇形半径 【典例1】(2026湖南邵阳模拟预测)在⊙0中，如果108°的圆心角所对的弧长是3πcm,那么⊙0的半 径是() A.4cm B.5cm C.8cm D.10cm 【变式1】(25-26九年级上江西赣州期末)《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九 尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 弧长为9尺，米堆的高为5尺，若π取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为() A.30平方尺 B.35平方尺 C.40平方尺 D.45平方尺 【变式2】(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)一个扇形的圆心角为60°，扇形的面积为3π，则扇形半径是 【变式3】(2026甘肃平凉·二模)中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版小全张，上面绘制了 代表二十四节气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（如 图)，该邮票的形状是扇形的一部分，延长AB、DC交于点O,∠AOD=15°，其“下圆弧”BC的长为 2 3 cm,“直边”4B的长为6cm,则单枚邮票的周长为， cm（结果保留元) 题型03 求圆心角 【典例1】(2026：安徽合肥：二模)一滑轮装置如图，滑轮的半径为30cm,假设绳索与滑轮之间没有滑动 (π取3.14)，当重物上升47©m时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为() A.30° B.60° C.90° D.180° 【变式1】(25-26九年级下·四川南充期中)如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三个 格点，那么AC所对的圆心角的大小是() 5/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A. 75° B.80° C.90° D.100° 【变式2】(2026江苏连云港·三模)一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角的度数是 【变式3】(2026山西运城二模)如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮A和从动带轮B组成，皮 带紧绷且传动时无滑动.已知主动带轮半径为6cm，从动带轮半径为8Cm，当主动带轮转动的圆心角为 240°时，从动带轮转动的圆心角为°. B 题型04求某地的弧形运动路径长度 【典例1】(2026江苏盐城二模)如图，重物上升时定滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径 为l2cm;当点A转过30°时，重物上升的高度是() 白重物 A.2πcm B.4πcm C.6πcm D.12πcm 【变式1】(2026浙江宁波·二模)如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°得到△AOB',若OA=3, 则点A经过的路径长为()， B A B 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 3π π B.4 9π C.8 9π D.4 【变式2】(2026湖南怀化·一模)图1为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形.图2为其 几何示意图.已知该盾构机前端的刀盘直径16.6米，匀速旋转一周用时约45秒，刀盘上的滚刀从A开始， 匀速旋转9秒后到达B处，则此过程中该滚刀所经过的路径AB的长度为一m.(结果保留π) 图1 图2 【变式3】(2026宁夏银川二模)如图，边长为2√3cm的正六边形螺帽，中心为点0,0A垂直平分边 CD,垂足为B,AB=15cm,用扳手拧动螺帽旋转l20°，则点A在该过程中所经过的路径长为cm 题型05利用扇形面积公式求面积 【典例1】如图，线段AB是⊙O的直径，点C,D是圆上两点，连接AC,BD,CD,若∠D=30°， AC=6,则阴影部分的面积为() A.3 B.2 C 3π D. 【变式1】如图是一把折扇示意图，扇面ABCD是由两条弧(AD,BC)和两条线段(AB,CD)所组成的封闭图 形.己知OA=30cm,∠A0D=120°，AB=20B,则扇面ABCD的面积为() 7/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 800 100 A. C.300zcm2 D.100zcm 【变式2】家具厂利用如图所示的直径为1m的圆形材料加工成一种扇形家具部件.己知扇形的圆心角 ∠BAC=90°，则扇形部件的面积为一 【变式3】如图，AB是⊙0的直径，0C=6,∠BAC=40°，则图中阴影部分的面积为 的 题型06求弓形的面积 【典例1】如图，点A,B,C在⊙0上，若∠BAC=45°，BC=4V2,则图中阴影部分的面积为() 0 B A.π-8 B.16π-8 C.4r-8 D.16π-4 【变式1】如图，四边形ABCD内接于圆O,对角线AC是圆O的直径，DB平分∠ABC,AC长6cm,求 阴影部分的面积() 8/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ B.4π+2 99 9 99 c.4π D.4π+4 【变式2】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公 式是：弧田面积=（弦×矢+矢）.弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中 “弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弦AB=8米，半径等于5米的 弧田，按上述公式计算出弧田的面积为平方米. B 【变式3】如图，已知△ABC在边长为1的小正方形的格点上，△ABC的外接圆的一部分和△ABC的边 AB、BC组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为一 B 题型07求图形旋转后扫过的面积 【典例1】如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△AB'C,已知AC=10,BC=6,则线段AB扫过的图形面 积为() 9/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B) 16 32 A.10元 D.3π 【变式1】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△AB'C,己知4C=4,BC=3,则线段AB扫过的 图形（阴影部分）的面积为() B 2 A.3π B. c D.元 【变式2】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=2,将△ABC绕点C顺时针旋转到 Rt△AB'C时，线段AB扫过的面积为— B 【变式3】甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积(). A.甲图阴影大 B.乙图阴影大 C.一样大 题型08不规则图形的面积计算 【典例1】如图，AB是半圆O的直径，且AB=8,C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在直线折叠，若 10120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC恰好过圆心O,则图中阴影部分的面积为() C B B.3 16 A.3 D.3 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=2,以C为圆心，CA为半径作弧，与 BC交于点D,再以B为圆心，BD为半径作弧，与AB交于点E,则图中阴影部分的面积为() E B D A.25-元 B.√-元 C.25-2π 3 D. 【变式2】如图，在扇形A0B中，OA=2,∠A0B=90°，点C在AB上且CD垂直平分线段OA,D为垂足， 以O为圆心，OD为半径作弧交OB于点E,则阴影部分面积=一· B D 【变式3】如图，在扇形OAB中，OB=V2,圆心角∠A0B=130°，C是AB上的点，∠CAB=20°，则阴 影部分的面积为一。 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26七年级下·黑龙江大庆·期末)如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形 花圃，扇形圆心角∠A0B=120°.半径OA为6m,那么此花圃的面积为() A.12m2 B.9元m2 C.6zm2 D.3m2 2.(2026重庆三模)如图，点A,B,C是⊙0上的三个点，OB=0C=3,∠A=70°，则扇形B0C的面 积为() 个 A. C. D.2元 3.(2026山东菏泽·二模)如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为2cm的正六 边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”·请计 算这部分阴影区域的面积为()（结果保留π） B E 2π A. 3 B.2 c.& D. 6 12120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 4.(2026广东惠州：二模)如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心0， 点A,B,C均在圆弧上，经测量得∠ABC=135°，OB=2,则AC的长度为() A.2 B.x D. 5.(2026河南平顶山三模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径的OO与BC,AB分别交于点 D,E,连接AD,DE.若∠BDE=40°，AC=4,则阴影部分的面积为() D 10元 A 9 B.兀 D. 二、填空题 6.(2026黑龙江哈尔滨·三模)如图，一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πCm,假设绳索与滑轮 之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了度. 重物 7.(2026福建福州三模)已知⊙0的半径为6，AC是⊙0的弦，点B是⊙0上异于点A.C的一点，若 AC=4元，则∠ABC的大小为 8.(2026:安徽合肥模拟预测)如图，⊙0的直径AB=10cm,C是⊙0上一点，且∠ABC=30°，则AC 的长为 cm.(结果保留π) 13120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 9.(2026河南洛阳·二模)如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若AB 与CD所在圆的圆心都为点O,那么阴影部分的周长为一 10.(25-26九年级下·河南商丘期中)如图是小明同学用尺规画的一个“蝴蝶风筝”图案，其中 AB=BC=I0cm,∠ABC=90°，分别以AB,BC为直径画半圆交于点D,则阴影部分的面积为 cm2 三、解答题 11.(25-26九年级上广东珠海期末)如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位 长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到 △DEC B (I)画出△DEC: (2)求边AC在旋转过程中扫过的图形面积. 12.(2026浙江金华·一模)如图，在△ABC中，∠CAB=Rt∠，以AB为直径作半O0,点D是该半圆上 14120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的点，连接AD交BC于点E,AE=BE. E 0 B (1)求证：E为BC的中点： (2)若AC=AE=6,求BD的长. 13.(2026河南信阳·一模)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,BE=OF, 连接OC、BC 分 D (I)求证：△CFO≌aCEB: (2)若OA=2,求阴影部分的面积. 14.(25-26九年级下·湖南长沙期中)“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实 劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发 现其还蕴含了数学知识.如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示 意图如图2，∠DBE=∠BEF=120°，BD=6cm.当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD',此时 BD'∥EF(如图3). 喷嘴及 伸缩连枉 导管 图1 图2 图3 (I)求点D转动到点D'的路径长； (②)求点D到直线BD'的距离（结果精确到0.1cm),(参考数据：V5≈1.732） 15.(2026河南开封·模拟预测)在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化 成东方特有的美学符号.下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为AB的中点，且CD⊥弦 15/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB,连接AC」 D 图1 图2 (1)请用无刻度的直尺和圆规作AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O,若AD=OD=V2,求阴影部分的面积. 16.(2026浙江宁波·二模)如图，在△ABC中，∠CAB=90°，以AB为直径作半⊙0，点D是该半圆上 的点，连接AD交BC于点E,AE=BE D A 0 B (I)求证：E为BC的中点： (2)若AC=AE=6,求BD的长. 能力提升 一、单选题 1.(25-26七年级下山东青岛期末)如图，长方形的长和宽分别为6cm和2cm,图中阴影部分面积 S,-S2=5cm2 则图中扇形面积为() S2 S A.16πcm2 B.25πcm2 C.15cm2 D.17cm2 2.(2026山东济宁·二模)如图，AB为半圆O的直径，CD与半圆O相切于点C,CD=AB,连接AC, BD,己知AC=BD=V2,则图中阴影部分的面积为() 16120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ D 的 4.2、π + 4 B.24 c n 3.(2026陕西西安·模拟预测)如图，正方形ABCD内接于⊙O,点E在AD上，且AE=2DE,连接BE 已知⊙O的半径为V2,则BE的长为() E D 0 B A. 5V2 B 52」 12π 4.(2026山西大同模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB边的中点.以 点C为圆心，CD长为半径画弧，分别交AC,BC边于点E,F.分别以点A,B为圆心，AD长为半径 画弧，交AC,BC边于点G,H.若AC=2V2,则图中阴影部分的面积为() A.π-2 B2π-2 C.2π-4 D.4π-4 5.(2026山东临沂二模)如图，直线∥飞，直线m分别交4，于点A,B以A为圆心，AB长为半径 画弧，分别交2，于直线m同侧的点C,D,∠ADB=35°，AB=9,则CD的长等于() m D 17120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 7 A.4π B. C.3π D.4 m D 由作图可知， B 12 AB=AC=AD=9 .∠ADB=∠ABD=35 4%, ∴.∠ADB=∠DBC=35°， ∴∠DAC=2∠DBC=70°， 二、填空题 6.(2026黑龙江哈尔滨·一模)已知扇形半径是4cm,弧长为3πCm,则扇形的圆心角为 7.(25-26六年级下·上海青浦期中)已知半径为50厘米，圆心角为108°的弧的长度为 厘米 (结果保留兀) 8.(25-26六年级下·上海期末)把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是150°，则该扇形与另 一个扇形的弧长之比是 9.(2026河南平顶山三模)如图，在△ABC中，∠B=70°，BC=6,以BC为直径作半圆O,分别交 AB,AC于点D,E.若D是BE的中点，则CE的长为 A E D 0 10.(2026河南新乡·三模)如图，在以AB为直径的半圆O中，点C为AB的中点，过点C作半圆O的切 线CD,以点D为圆心，CD长为半径画弧，得到扇形CDE,且∠D=O°，DE与AB的延长线交于点F, 若DF=2BF=2,则图中阴影部分的面积为」 18120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 三、解答题 11.(2026广东清远三模)如图，已知⊙0的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，延长AB到点P,使 PB=OB,连接PC B (1)求证：PC是⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为2，求图中阴影部分的面积. 12.(2026江西中考真题)如图，AD为⊙0的直径，AD=4,B,C是⊙0上的点，四边形OABC为菱 形 B (1)求AC的长： (2)延长AD到点P,使得DP=2,求证：PC是⊙0的切线. 13.(2026江苏无锡中考真题)如图，AB是⊙0的直径，AD是⊙0的弦，过点B的切线交AD的延长 线于点C,AD=DC=1 D B (1)求BC的长： (2)求图中阴影部分的面积. 19120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(2026湖北武汉·中考真题)如图，AB为⊙0的直径，C为O0上一点，过点A的直线和过点C的切 线互相垂直，垂足为D,AD交⊙O于点E,连接AC, D E (I)求证：AC平分∠DAB: (②)若AE=6,ED=3.求图中阴影部分的面积. 15.(2026山东日照三模)如图，已知直线PA交O0于A、B两点，AE是⊙0的直径，点C为⊙0上一 点，且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D. PDA B (1)求证：CD为⊙O的切线： (2)⊙0的直径为20 ①当CD-AD=4时，求AB的长度， ②若∠AEC=30°，求图中阴影部分的面积. 20120 专题3.7 扇形 教学目标 1. 理解扇形及弧的概念，掌握扇形面积公式S =和弧长公式l =。 2. 能运用公式进行扇形面积与弧长的计算，并能解决与扇形相关的简单实际问题。 3. 通过扇形面积与弧长公式的推导，体会弧长与面积之间的关系，发展转化思想。 教学重难点 重点： 1. 扇形面积公式与弧长公式的掌握与应用。 2. 已知扇形半径和圆心角求面积或弧长，以及已知面积或弧长求半径或圆心角。 教学难点： 1. 将扇形面积公式与弧长公式结合运用，解决较复杂的组合图形面积问题。 2. 在公式S =lR的理解与运用中，体会扇形与三角形面积的类比关系。 知识点01 弧长 弧长的计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 【即学即练】1．如图，是的切线，A、B为切点，为直径，且，求的长（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 ，根据切线的性质可得，利用四边形内角和为求出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接 ， ∵、是的切线，A、B为切点， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴的长为. 2．如下图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用含角的直角三角形的性质求出的长度和的度数，再根据半径相等判定为等边三角形，求出的度数，进而得到弧所对的圆心角的度数，最后代入弧长公式计算弧的长度． 【详解】解：连接， ∵在中，，，， ∴，， ∵以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 3．在半径为5的中，弦所对的圆心角为，则弦所对的弧长为___________． 【答案】 或 【分析】弦在圆中对应两条不同的弧，分别为劣弧和优弧，根据弧长公式分别计算两条弧的长度即可. 【详解】解：已知的半径，弦所对的圆心角为，弧长公式为，其中为弧所对的圆心角度数，为圆的半径.当所求弧为劣弧时， 当圆心角，代入公式得； 当所求弧为优弧时，圆心角， 代入公式得. 综上：弧长为或 知识点02 扇形的面积 与扇形有关的面积计算 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR 【即学即练】4．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 5．如图，正六边形的边长为3，经过点、，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质可知其内角为，结合题干中正六边形的边长为3，可知阴影部分为半径为、圆心角为的扇形，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：多边形 是正六边形，边长为3， ，且， 经过点、， 的半径， ． 6．中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为_______． 【答案】 【分析】用大扇形面积减去小扇形面积即可得山水画所在纸面的面积． 【详解】解：，， ∴山水画所在纸面的面积为． 题型01 求弧长 【典例1】（2026·安徽安庆·二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，在圆上取点，连接，，由圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理求出，再根据弧长公式计算得到答案． 【详解】解：如图，在圆上取点，连接，， ，四边形是的内接四边形， ， ， 的长为：． 【变式1】（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图，在中，于点C，若的半径为10，，则劣弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，构造圆心角，因为要求劣弧的长，所以需要先求出弧所对的圆心角的度数和已知的半径，用弧长公式计算．由垂径定理，因为，所以是的一半，可求出的长度．在中，已知是半径、的长度，用三角函数可求出的度数，进而得到圆心角的度数．代入弧长公式，其中n为圆心角度数，R为半径，计算劣弧的长度． 【详解】 连接，， ∵，， ∴． ∵半径， ∴在中，由勾股定理得： ， ∴直角三角形中直角边， ∴， ∴， ∴圆心角． 弧长公式为（为圆心角度数，为半径），代入得： 劣弧的长． 选：C． 【变式2】（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 【变式3】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 题型02 求扇形半径 【典例1】（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥底面半径的计算以及弧长的计算． 设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为9尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为9尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺． 故选：A． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形半径是______． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 根据题意，得， 则 解得或（不符合题意，舍去）， 扇形的半径是． 【变式3】（2026·甘肃平凉·二模）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版小全张，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（如图），该邮票的形状是扇形的一部分，延长、交于点，，其“下圆弧”的长为，“直边”的长为，则单枚邮票的周长为_________（结果保留） 【答案】 【分析】利用弧长公式求得该邮票的“下圆弧”的半径，再利用弧长公式求得该邮票的“上圆弧”的长，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，每一枚邮票的圆心角为， ∴设该邮票的“下圆弧”的半径为，则， 解得：， ∴该邮票的“上圆弧”的半径为， 则该邮票的“上圆弧”的长为， ∴单枚邮票的周长为：． 题型03 求圆心角 【典例1】（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 【详解】解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 【变式1】（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，则点为这条圆弧所在圆的圆心． 连接，， 在与中 ， ， ，， ， ， ， 即所对的圆心角的大小是． 【变式2】（2026·江苏连云港·三模）一个扇形的半径是3，面积为，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 【答案】 【分析】将已知的半径和面积代入扇形面积公式，即可求解得到圆心角． 【详解】解：设该扇形的圆心角为，已知扇形半径，面积， 根据扇形面积公式，得，整理得，解得：， 即这个扇形的圆心角是． 【变式3】（2026·山西运城·二模）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 题型04 求某地的弧形运动路径长度 【典例1】（2026·江苏盐城·二模）如图，重物上升时定滑轮上点A的位置在不断改变，已知滑轮的半径为；当点A转过时，重物上升的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意，重物上升的高度是. 【变式1】（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 【变式2】（2026·湖南怀化·一模）图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意，求出圆心角，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：∵匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达点， ∴， ∴的长度为． 【变式3】（2026·宁夏银川·二模）如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为_____． 【答案】 【分析】利用正六边形的性质得出是等边三角形，得出，利用勾股定理求出的长度，进而得到的长度，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 题型05 利用扇形面积公式求面积 【典例1】如图，线段是的直径，点是圆上两点，连接，，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得到，，再由直径所对的圆周角是直角得到，在中，设，则，再由勾股定理列方程求解得到，再由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ，， 线段是的直径， ， 在中，设，则， 由于，根据勾股定理可得， ， 解得， 的半径为， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查求扇形面积，涉及圆周角定理、含的直角三角形性质、勾股定理及扇形面积公式，熟记圆周角定理、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． 【变式1】如图是一把折扇示意图，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形．已知，，，则扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．先求出的长度，再利用扇形面积公式计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴扇面的面积为：； 故选：A． 【变式2】家具厂利用如图所示的直径为1m的圆形材料加工成一种扇形家具部件．已知扇形的圆心角，则扇形部件的面积为 ． 【答案】 【分析】先确定扇形的半径，再根据扇形面积公式进行面积计算． 【详解】解：①首先确定扇形的半径： 已知圆形材料的直径为，连接， ∵， ∴是圆的直径，即． 在中，，根据勾股定理， ∴，解得：，即扇形半径． ②计算扇形的面积： 已知圆心角，根据扇形面积公式得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及勾股定理的应用，解题关键是确定扇形的半径，熟练掌握扇形面积公式． 【变式3】如图，是的直径，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边之比”得，从而得，根据圆周角定理求出的度数，进而由扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 题型06 求弓形的面积 【典例1】如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝，则图中阴影部分的面积为(   ) A．π－8 B．16π－8 C．4π－8 D．16π－4 【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以得到∠BOC的值，然后根据勾股定理可以得到OB的长，由图可知S阴影＝S扇形BOC−S△BOC，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵OB＝OC，OB2＋OC2＝BC2，BC＝4， ∴2OB2＝()2， 解得OB＝4， ∴S阴影＝S扇形BOC−S△BOC ＝ ＝4π−8． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、圆周角定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【变式1】如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC是圆O的直径，DB平分，AC长6cm，求阴影部分的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OD，求出，求出扇形ODC的面积，的面积，两者相减即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接OD， ∵直径AC长6cm， ∴半径为3cm，， ∵DB平分， ∴， ∴， ∴扇形ODC的面积为， 的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查求弓形的面积，扇形面积，圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，解题的关键是求出，扇形ODC的面积，的面积． 【变式2】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【答案】10 【分析】由垂径定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键． 【详解】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 【变式3】如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图： 由网格可知，， ， ∵ ， 故答案为：． 题型07 求图形旋转后扫过的面积 【典例1】如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 【变式1】如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可以得出扫过的图形的面积，由旋转的性质就可以得出就可以得出扫过的图形的面积求出其值即可． 【详解】解：绕点旋转得到△， △， ，． 扫过的图形的面积， 扫过的图形的面积， 扫过的图形的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键． 【变式2】在中，，，，将绕点C顺时针旋转到时，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，直角三角形的相关计算，找到旋转后线段扫过的图形是解题的关键．根据题意可知线段扫过的图形是由以点C为圆心的扇形面积去掉与的面积去掉以点C为圆心的扇形两部分组成，两者相加即可得解． 【详解】解：如图所示： 线段扫过的图形是由以点C为圆心的扇形面积去掉与的面积去掉以点C为圆心的扇形两部分组成， ，，， ，，， 由旋转的性质得：，，，， 设线段扫过的图形的面积为S， 则 ， 故答案为：． 【变式3】甲乙两幅图中，正方形边长都相等，则甲乙阴影部分的面积（    ）． A．甲图阴影大 B．乙图阴影大 C．一样大 【答案】C 【分析】本题考查不规则图形的面积，根据组合图形的关系，得出阴影部分的面积=正方形的面积－圆的面积是解决此题的关键． 甲图为正方形面积减去一个圆的面积；乙图为正方形的面积减去一个的圆和两个的圆的面积和，即减去一个圆的面积，即可解答． 【详解】解：图甲的阴影部分的面积为：正方形面积减去一个圆的面积； 图乙的阴影部分面积为：正方形的面积减去一个的圆和两个的圆的面积和，即减去一个圆的面积， 所以甲乙阴影部分的面积一样大， 故选：C． 题型08 不规则图形的面积计算 【典例1】如图，是半圆O的直径，且，C为半圆上的一点，将此半圆沿所在直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，连接，，由折叠的性质可知，的对应点为，则，，推出，为等边三角形，再结合圆周角定理，推出，最后利用扇形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接，， 则， 由折叠的性质可知，的对应点为，则，， ， 是半圆O的直径，且， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，等边三角形性质和判定，圆周角定理，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【变式1】如图，在中，，，，以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积公式，由直角三角形的性质可得，求出，，再由题意可得，，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E， ∴，， ∴ ， 故选：A． 【变式2】如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，扇形的面积，先根据圆周角定理求出，进而求出，利用阴影部分的面积等于求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 2．（2026·重庆·三模）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，， ， ， 扇形的面积． 3．（2026·山东菏泽·二模）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为的正六边形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部分阴影区域的面积为（     ）（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积，然后求出中心角即圆心角，再由扇形面积公式求解． 【详解】解：由圆与正六边形的对称性可得，阴影区域的面积即为扇形的面积， 而， ∴扇形的面积， ∴这部分阴影区域的面积为． 4．（2026·广东惠州·二模）如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B，C均在圆弧上，经测量得，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】补全整个圆，根据圆内接四边形结合圆周角定理求出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴的长度为． 5．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，．若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B．π C． D． 【答案】A 【分析】连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了 ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了_______度． 【答案】 【分析】根据弧长为 ，利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设滑轮上某一点P旋转了， 根据题意，得 ， 解得 ． 7．（2026·福建福州·三模）已知的半径为，是的弦，点是上异于点的一点，若，则的大小为________． 【答案】或 【分析】先根据弧长公式求出所对的圆心角度数，再分点在优弧上和点在劣弧上两种情况，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：设所对的圆心角为， 由弧长公式，将，代入得：， 解得，即所对的圆心角为， 分两种情况讨论：当点在优弧上时， 根据圆周角定理，， 当点在劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补，得， 则的大小为或． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，的直径，C是上一点，且，则的长为________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，由直径求出半径，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 直径， 半径， ． 9．（2026·河南洛阳·二模）如图所示，边长为1的正方形网格中，O、A、B、C、D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】由网格可得出，，，，根据弧长公式求出和，最后根据阴影部分的周长为求解即可． 【详解】解：由网格可知，， ∴的长：， 由网格可知，， ∴的长：，， 由网格可知， ∴阴影部分的周长为． 10．（25-26九年级下·河南商丘·期中）如图是小明同学用尺规画的一个“蝴蝶风筝”图案，其中，，分别以，为直径画半圆交于点，则阴影部分的面积为________ 【答案】50 【分析】设，的中点分别为点E、F，连接，根据割补法可知，进而问题可求解． 【详解】解：设，的中点分别为点E、F，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴“蝴蝶风筝”图案左边部分阴影面积等于等腰直角三角形的面积， ∴根据轴对称图形的性质可知：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广东珠海·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出； (2)求边在旋转过程中扫过的图形面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题考查了作旋转图形，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握作旋转图形及扇形的面积是关键． （1）分别作出点A与点B绕点C顺时针旋转后的对应点D与点E，连结，和即可； （2）根据勾股定理求得，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，     线段在旋转过程中扫过的图形面积为． 12．（2026·浙江金华·一模）如图，在中，，以为直径作半，点是该半圆上的点，连接交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点． (2)的长为． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质，可得，，可得，可得，，可得，由等角对等边可得，即可证得结论； （2）连接，是等边三角形，可得，可得，由圆周角定理可得，由三角形外角的性质，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，可得，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 13．（2026·河南信阳·一模）如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，连接． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：∵是⊙O的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴ 在与中 ∴． (2) 【分析】（1）根据直径所对圆周角等于，已知垂直的条件证明，即可判定； （2）根据可得，进而可得为等边三角形，由此得出阴影部分所在扇形的圆心角等于，再根据阴影部分的面积等于扇形减去计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴，为等边三角形． ∴，． ∴， ∴． 14．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． (1)求点D转动到点的路径长； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)点转动到点的路径长为 (2)点到直线的距离约为 【分析】本题考查圆的弧长、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握弧长公式． （1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点D转动到点的路径长； （2）过点作于点，先证是等边三角形，结合等边三角形的性质与勾股定理可得的长，即点到直线的距离． 【详解】（1）解：，且， ． ， ． ， ， 点转动到点的路径长为． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）知， ， 是等边三角形． ， ． ，， ． 点到直线的距离约为． 15．（2026·河南开封·模拟预测）在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）连接，由、，可知为等腰直角三角形，得，半径．则圆心角，分别计算：扇形面积、面积，进而即可计算阴影的面积． 【详解】（1）解：略 （2）解：由题意得，（1）中所作垂直平分线与的交点为圆心O， 连接，如图， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 16．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，以为直径作半，点是该半圆上的点，连接交于点，． (1)求证：为的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴为的中点． (2) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质，可得，可得，可得，，可得，由等角对等边可得，即可证得结论； （2）连接是等边三角形，可得，可得，由圆周角定理可得，由三角形外角的性质，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，可得，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 由（1）得， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的长度． 一、单选题 1．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 2．（2026·山东济宁·二模）如图，为半圆的直径，与半圆相切于点，，连接，，已知，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可证得是平行四边形，由勾股定理求解出半径，阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积，即可求解． 【详解】解：连接、， ∵为半圆的直径， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设半圆的半径为，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，正方形内接于，点在上，且，连接．已知⊙的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、，证明是的直径，O为圆心，则，利用弧和圆心角的关系得到，进而得，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接、、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴是的直径，O为圆心， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴的长为． 4．（2026·山西大同·模拟预测）如图，在中，，，为边的中点．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，边于点，．分别以点，为圆心，长为半径画弧，交，边于点，．若，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中阴影部分的面积等于计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，， ∴，，， ∵为边的中点， ∴， ∴，，， ∴图中阴影部分的面积为 ． 5．（2026·山东临沂·二模）如图，直线，直线分别交，于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交，于直线同侧的点，，，，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由等腰三角形等边对等角以及平行线的性质，求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如下图所示： 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 二、填空题 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形半径是，弧长为，则扇形的圆心角为________ 【答案】/135度 【分析】已知扇形的半径和弧长，直接利用弧长公式即可求出圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的圆心角为度，根据弧长公式， 将，代入， 得 解得． 7．（25-26六年级下·上海青浦·期中）已知半径为50厘米，圆心角为的弧的长度为____________厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：厘米． 8．（25-26六年级下·上海·期末）把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 【答案】 【分析】同一个圆的半径相等，结合扇形弧长公式可知，弧长之比等于圆心角度数之比，先求出另一个扇形的圆心角，再化简比即可得到结果． 【详解】解：设原圆的半径为， ∵其中一个扇形的圆心角是， ∴另一个扇形的圆心角为：， ∵扇形弧长公式为，且两个扇形的半径相同， ∴弧长之比等于圆心角之比， ∴则该扇形与另一个扇形的弧长之比是． 9．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E．若D是的中点，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，，由圆周角定理得，求出，再由题意得出，从而可得，求出，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，． 为直径， ， ． D是的中点， ， ， ． ， ， ， 的长为． 10．（2026·河南新乡·三模）如图，在以为直径的半圆中，点为的中点，过点作半圆的切线，以点为圆心，长为半径画弧，得到扇形，且，与的延长线交于点，若，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据圆心角定理、切线性质和条件证明四边形是矩形，再根据扇形面积公式和圆的面积公式以及矩形面积公式，通过和差计算出阴影面积． 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ． 三、解答题 11．（2026·广东清远·三模）如图，已知的直径与弦的夹角，延长到点P，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， 则， ，， 又， ，则为等边三角形， ，又， ， ， ， ， ，则，即， 又是半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）先证为等边三角形，进而得到即可证明； （2）分别求出、扇形的面积，再由求解． 【详解】（1）略 （2）解：的半径为2，，， ，， ， ， ． 12．（2026·江西·中考真题）如图，为的直径，，，是上的点，四边形为菱形． (1)求的长； (2)延长到点，使得，求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图2，连接． 由（1）可得，， ∴， ， 是等边三角形， ，． ， ， ． ， 又∵是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接．首先，证得是等边三角形，得，，然后，求得，最后，再代入弧长公式计算即可； （2）连接．先证得是等边三角形，得，，再由，得，进而得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图1，连接． ∵四边形为菱形， ，． 又， 是等边三角形． ， ． ∵， ， 的长为； （2）略 13．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点，． (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得，利用直径得，勾股定理计算． （2）通过转化思想，计算． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． （2）解：连接， ，， ∴，， ， ， ． 14．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点，连接，交于点， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·山东日照·三模）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)的直径为20． ①当时，求的长度， ②若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴为的切线． (2)或； 【分析】（1）连接，先证明，由，可得，即可证明结论； （2）①连接，过点作于点，先证明四边形是矩形，可得，，设，则，，在中，利用勾股定理列出方程即可求解；②连接，过点作于点，由，可得，则是等边三角形，再利用，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，连接，过点作于点，则， ∵的直径为20， ∴， 由（1）可知，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 设，则，， ∵， ∴在中，， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，，则， 当时，，则， ∴的长度为或． ②如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵的直径为20， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $