专题3.6 正多边形与圆（8题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本初中数学讲义聚焦“正多边形与圆”核心知识点，系统梳理正多边形与圆的关系、中心半径边心距等概念，通过性质（对称性、相似性）、计算（半径边长关系）及尺规作图构建从概念到应用的学习支架。 资料以分层题型（角度计算、坐标系综合等）为特色，通过转化思想（正多边形问题转化为直角三角形）培养推理能力，结合蜂巢、硬币等实例渗透应用意识，课中助力教师高效教学，课后辅助学生查漏补缺。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.6正多边形与圆 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01圆内接正多边形 2.知识清单 题型01正多边形和圆有关的角度计算 题型02正多边形和圆有关的周长、面积问题 题型03正多边形的边长、半径与中心角的关系 正多边形与圆 题型04正多边形的边长、半径与边心距的关系 3.题型精讲 题型05正多边形和圆有关的尺规作图问题 题型06正多边形和圆与平面直角坐标系的综合 题型07正多边形和圆中的证明 题型08正多边形和圆中的最值问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.了解正多边形与圆的关系，掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 2.探索并掌握正多边形的对称性，理解正多边形都是轴对称图形，且当边数为偶数时 教学目标 还是中心对称图形。 3.能用等分圆周的方法画正多边形，并能运用正多边形的性质进行相关计算。 重点： 1.正多边形与圆的关系及各相关概念的理解。 2.正多边形中半径、边心距、中心角、边长之间的数量关系与计算。 教学重难点 教学难点： 1.将正多边形的计算问题转化为等腰三角形或直角三角形的问题，构建数学模型。 2.通过等分圆周的方法画正多边形，理解其原理（如用圆规和直尺画正六边形、正三 1/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 角形)。 知识清单 知识点01圆内接正多边形 正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正边形的中心；当 边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相 似比的平方.. 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：(1)各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形：(2)各角相等的圆的外切多边形 是圆的外切正多边形. 正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为Rm、中心角为an、边长为a、边心距为ra,则利用等腰三角形OAB,通过解 直角三角形OAH,可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正n边形的周长及面积. 【即学即练】1.如图，AB为弦，若∠ABC=30°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为 () B 2/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 2.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB‖x轴，交y轴 于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点A的对应点的坐标为 () A.（5, B.(-1,-5 c.（-5-) D.（-l, 3.如图，己知正五边形和正六边形有一条公共边，点O是正六边形的中心，点A和点H分别是正六边形 和正五边形的两个顶点，则∠AOH= 题型精讲 题型01正多边形和圆有关的角度计算 【典例1】(2026四川成都二模)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，连接AC,AD,则∠CAD的度 数是() D A.30° B.45 C.40° D.36 3/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(2026河北石家庄·一模)如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O,连接FD, 则∠ADF的度数为() A.16° B.18° C.20° D.30° 【变式2】(2026江苏南京二模)已知⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P在BC上，则∠APB的度 数为° 【变式3】(2026陕西咸阳二模)如图，正方形ABCD为⊙0的内接四边形.若点E是CD上的任一点， 则∠BEC的度数为 D B 题型02正多边形和圆有关的周长、面积问题 【典例1】(24-25九年级上贵州遵义期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，若⊙0的周长是12π， 则正六边形的周长是() A.18 B.36 C.123 D.185 【变式1】(2025·山东枣庄·二模)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割 圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆的内接正十二边形的面积 S来近似估计⊙0的面积S,设⊙0的半径为1，则S-S的值为()（π≈3.14） 4/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0.14 B.0.2 C.0.5 D.1 【变式2】(2026安徽模拟预测)南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率π”精算到小数第 七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值.如图，若⊙0 的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为一· 【变式3】(25-26九年级上江苏连云港期中)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，若⊙0的周长等于 6π，则正六边形的周长为一· F 题型03 正多边形的边长、半径与中心角的关系 【典例1】(2026河南商丘·二模)正方形的中心角的度数为() A.45o B.60° C.90 D.360° 【变式1】(25-26九年级上甘肃张掖期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，⊙0的半径为3，则 AB的长为() E D 5/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.5 D.2W5 【变式2】(2026重庆北碚·模拟预测)若一个正多边形的内角和比它的外角和多900，则这个正多边形的 中心角度数为 【变式3】(2026陕西西安·一模)如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、CF是两条对角线，则 ∠ACF= 0 B 题型04 正多边形的边长、半径与边心距的关系 【典例1】(25-26九年级上河南安阳期末)若正方形的外接圆半径是V2,则其边心距为() A.1 B.2 C.2 D.2 【变式1】(2425九年级上：广东江门期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，⊙0的半径为4，则这 个正六边形的边心距OM为()， A.3 B.25 C36 D.2 2 【变式2】(2025陕西西安·模拟预测)若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 【变式3】(2425九年级上·甘肃酒泉期末)如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙0，则它的边 心距为一 6/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 题型05正多边形和圆有关的尺规作图问题 【典例1】(2026年陕西西安国际港务区铁一中陆港初级中学九年级二模数学试题)如图，己知⊙0，请 用尺规作图法，求作⊙O的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）· 【变式1】(2026江苏徐州一模)按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） 图① 图② (I)在图①中作正方形ABCD,且顶点都在圆上. (2)在图②中将圆的面积6等分 【变式2】(25-26九年级上：吉林长春·期末)作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知⊙O的内接正六边形：（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必 须用黑色字迹的签字笔描黑) (2)若已知⊙0的半径为2，则这个内接正六边形的面积为. 【变式3】(2026：江西吉安·模拟预测)如图，在正五边形ABCDE中，请仅用无刻度直尺按要求完成以下 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作图（保留作图痕迹）· y B D 图1 图2 (1)在图1中作一条与边AB平行的线段. (②)在图2中作出线段AP,使得AP⊥CD 题型06正多边形和圆与平面直角坐标系的综合 【典例1】如图，平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点D,E在x轴上，顶点F在y轴上，若正 六边形的中心点P的坐标为(2，N5则点B的坐标为() A.(2,23) B.(25,3 c.(25,2 D.(3,25) 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴， 交y轴于点P,将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为( B D A.(W3,-1) B.(-1,-V3) C.(-3,-) D.1,V3) 【变式2】在平面直角坐标系中，正六边形ABCDOE按如图所示的方式放置，若点A的坐标为(0,4)，则 8/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点E的坐标为 E D 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴， 交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2024次旋转结束时，点A的坐标为 F D E 题型07正多边形和圆中的证明 【典例I】如图，正方形ABCD内接于⊙O,E是AD的中点，连接BE,CE. (1)求∠E的度数. (2)求证：BE=CE (3)若AB=2,则点E到BC的距离为_· 【变式1】如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为AD上的一点，连接BM,CM. 9/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (I)若BM=CM,求证：M为AD的中点， (2)若正方形的面积为4，请直接写出⊙0的半径. 【变式2】如图，是中国人民银行1992年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”， 霖霖移动该硬币（⊙O)与直角三角形(DEF)形成如图所示位置.其中，AB是⊙O内接正九边形的一 条边，DF经过点B和圆心O,点C是DE与⊙O的交点，∠AOC=∠E=90°，∠F=50° D 角 YIJIAO (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若EF切⊙O于点G,且霖霖测得DE≈25mm,EF≈21mm,求该硬币（⊙0）的直径为多长（精确到 0.1mm). 【变式3】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O中，连结AC,AD,CE,CE交AD于点F. B D (1)若半径为5，求弧CD的长： (2)求证：AE=AF: (3)求证：F点为AD的黄金分割点. 题型08 正多边形和圆中的最值问题 【典例1】如图，⊙0的圆心0与正方形的中心重合，已知⊙0的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意 点到正方形边上任意一点距离的最小值为() 10/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● A.0.5 B.1 C.4-2√2 D.2-V2 【变式1】如图，已知边长为2的正△ABC顶点A的坐标为(0,6)，BC的中点D在y轴上，且在点A下方， 点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE 的最小值为( A.3 B.4-V5 C.4 D.6-23 【变式2】如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4,O为AD的中点，以O为圆心，3为半径作⊙O,M 为⊙0上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d, F E D B (1)0A= (2)当△BCM面积最小时，点M到BC的距离为， d的最大值为 【变式3】将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放。 11/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AMB D (1)∠a=」 (2)已知点M在边AB上，则S△McD的最大值为 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级下山东聊城期中)半径为2Cm的圆内接正六边形的面积等于() A.3v3cm2 B.6√3cm2 C.6cm2 D.4πcm2 2.(2026河南周口·一模)如图，⊙0为正八边形的外接圆，AB,BC为正八边形的边，P为优弧AC上 点，连接AP,CP,则∠P的度数为() B A.30° B.40° C.45° D.60° 3.(2026云南昭通模拟预测)在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美 好的祝愿.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,若正六边形ABCDEF的周长为l8cm,则OO的半径为 () 12120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.1.5cm B.3cm C.4cm D.6cm 4.(2023·贵州贵阳模拟预测)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,连接D0并延长交⊙0于点F,交 AB于点G,连接CF交AB于点H,则∠BHC的度数为() E A.36° B.45° C.54° D.72° 5.(2026山东枣庄·一模)如图，A,B,C,D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆 心，连接AD、BD,∠ADB=20°，则这个正多边形的边数为() A.7 B.8 C.9 D.10 二、填空题 6.(25-26九年级下·上海嘉定期中)如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形是正边 形. 7.(25-26九年级下山东菏泽期中)如图，⊙0是正五边形ABCDE的外接圆，半径为10，若用扇形 OAC(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 13120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 8.(2026陕西西安·三模)如图，在正六边形ABCDEF中，连接CF,若CF=12,则该正六边形的周长 为 9.(2026山东滨州一模)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，P为O0上的一点（点P不与点C、D重 合)，则∠CPD的度数为一. 10.(2026广西梧州一模)广西壮锦是国家级非物质文化遗产，纹样精美多样，包含正八边形、正方形 等图案.如图，在⊙O的内接正八边形ABCDEFGH中，分别连接BG和DG.若DG=2+2√2，则AB长 为 B 三、解答题 11.(25-26九年级上甘肃甘南期末)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，P为DE上一点（点P与点D 不重合)，求∠CPD的度数. 14120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 12.(25-26九年级上河南许昌·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的中心为原 点O,顶点A,D在x轴上，半径为2Cm.求其各个顶点的坐标. 13.(25-26九年级上广东潮州期末)如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形 0 图1 图2 (I)请在图2中利用尺规作出正六边形ABCDEF(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求地基的面积（答案保留根号）· 14.(2025·四川广安·一模)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，连接AD、FD. (I)若P是CD上的动点，连接BP、FP,求∠BPF的度数： (2)若△ADF的面积为2W3,求⊙O的面积.（结果保留π） 15.(2025·上海嘉定·二模)已知正五边形ABCDE,请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留 作图痕迹，不写作法). 15120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 【初步感知】 (1)如图1，请直接写出∠ABE的度数： 【实践探究】 (2)请在图2中作出以BE为对角线的菱形ABME,并证明你的结论： 【拓展延伸】 (3)请在图2正五边形ABCDE的基础上再设计一个新的正五边形AB,CD,E,.(不需要证明) 能力提升 一、单选题 1.(2425九年级下河北衡水开学考试)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，点P是劣弧BC上一点 (点P不与点C重合)，则∠CPD的度数为() B .0 A.72 B.70° C.36 D.30° 2.(2425九年级下广东惠州开学考试)边长为2的正四边形ABCD内接于⊙0，则该正四边形的半径 为() A.1 B.2 c.2 D./3 3.(2425九年级上贵州遵义期末)如图，正六边形ABCDEF的边心距为V3,以顶点A为圆心，AB长 为半径画圆，则BF的长为() 16120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 2π 4 A. 3 B.3π C.2n D.3 F D 是正六边形， ABCDEF :.△AOF是等边三角形， .∠FA0=60°， ,正六边形ABCDEF的边心距OH=√3， ∴圆的半径AB=OA= 5 =2, sin60° 120π×24π ·BF的长为180=3· 故选：B 4.(2425九年级上广西南宁·月考)大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精 巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.一个巢房的横 截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为4mm,则这个正六边形的面积是(） A.18mm2 B.12v3 mm2 C.24/3 mm2 D.48mm2 5.(25-26九年级上河南安阳月考)如图，⊙0内有一内接正五边形，点A为劣弧BC上的任意一点（不 与端点重合)，则∠BAC的度数是() 17120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B A.150° B.145° C.144° D.136° 二、填空题 6.(2025·吉林长春·二模)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为8，则这个正六边形的边 心距OM的长为 E M R 7.(25-26九年级上陕西延安·月考)如图，正五边形ABCDE内接于⊙0，点F是劣弧AB的中点，连接 CF,则∠BCF的度数是°. A 8.(2025·河南南阳·二模)如图，正方形ABCD内接于⊙O,点E为AD上一点，连接DE,若 ∠ADE=15°，AB=2N2,则阴影部分的面积为 D B 9.(2021陕西西安·一模)如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，点A、D分别在x 轴、y轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心P的坐标是一· 18120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 10.(25-26九年级上江西南昌·月考)窗是我国传统建筑中重要的构成要素之一，窗的类型很多，图1是 一个正六边形窗，这个正六边形的示意图如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的边心距为√3dm,则这 个正六边形ABCDEF的面积为_dm?. B E D 图1 图2 三、解答题 11,(24-25九年级上甘肃张掖月考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，过点O作OM⊥BC于点 M,半径r=4,求边心距OM的长. F B 12.(23-24九年级上：广东东莞期末)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，边长为2. E D (1)求⊙O的直径AD的长： (2)求∠ADB的度数， 13.(23-24九年级上·浙江杭州期中)已知正六边形ABCDEF的外接圆圆心为O,半径OA=5 19120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B (1)求正六边形的边长： (2)求AC的长度 14.(24-25九年级上江苏盐城月考)如图，正方形ABCD内接于⊙0，M为弧AD中点，连接BM,CM. M A 0 (I)求证：BM=CM: (2)连接OB、OM,求∠BOM的度数. 15.(24-25九年级上北京期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E,点D 在AB上，DE⊥EB. C (I)求证：AC是△BDE的外接圆的切线： (2)若AD=2,AE=23,求EC的长. 20120 专题3.6 正多边形与圆 教学目标 1. 了解正多边形与圆的关系，掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 2. 探索并掌握正多边形的对称性，理解正多边形都是轴对称图形，且当边数为偶数时还是中心对称图形。 3. 能用等分圆周的方法画正多边形，并能运用正多边形的性质进行相关计算。 教学重难点 重点： 1. 正多边形与圆的关系及各相关概念的理解。 2. 正多边形中半径、边心距、中心角、边长之间的数量关系与计算。 教学难点： 1. 将正多边形的计算问题转化为等腰三角形或直角三角形的问题，构建数学模型。 2. 通过等分圆周的方法画正多边形，理解其原理（如用圆规和直尺画正六边形、正三角形）。 知识点01 圆内接正多边形 正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 【即学即练】1．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 2．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，，然后利用解直角三角形求得点坐标，接着求出第1次旋转后，第2次旋转后，第3次旋转后，第4次旋转后，发现 4次为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵边长为2的正六边形的中心与原点重合， ，； ， 是等边三角形， ， ∵， ， ∵轴，， ∴， ，， ； ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第1次旋转，得，第2次旋转，得，第3次旋转，得，第4次旋转，得， 4次为一个循环， ， ∴第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标与相同， 即为． 3．如图，已知正五边形和正六边形有一条公共边，点O是正六边形的中心，点A和点H分别是正六边形和正五边形的两个顶点，则___________． 【答案】114 【分析】连接，，作正六边形的外接圆，先根据正六边形的性质及圆周角定理，证明是直径，并求出，然后计算五边形的内角，求得，再根据等腰三角形的性质求出，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，，作正六边形的外接圆， 则，，， 是直径，， 又正五边形的内角， ， ， ， 是等边三角形， ， 五边形是正五边形， ， ， ， ． 【点睛】用正多边形的外接圆及圆周角定理求正多边形中的角是常用的方法。 题型01 正多边形和圆有关的角度计算 【典例1】（2026·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：D． 【变式1】（2026·河北石家庄·一模）如图，正四边形和正五边形内接于，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（2026·江苏南京·二模）已知是正五边形的外接圆，点P在上，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先求出弧所对圆心角的度数，再根据圆周角定理计算即可求解． 【详解】解：是正五边形 的外接圆， 弧所对圆心角的度数为， 是弧所对的圆周角， ∴的度数为． 【变式3】（2026·陕西咸阳·二模）如图，正方形为的内接四边形．若点E是上的任一点，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】连接，，由正方形的性质得出，然后由圆周角定理得出． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形为的内接四边形．点E是上的任一点，且， ∴． 题型02 正多边形和圆有关的周长、面积问题 【典例1】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周长的公式可算出直径，由正六边形内接于可知正六边形的半径为6，，又正六边形的中心角为，所以正六边形的边长也为6，即可求出正六边形的边长． 【详解】∵， ∴， 即， ∵正六边形内接于， ∴边长= ， ∴周长=． 故选B． 【点睛】本题考查了圆内接正六边形的相关性质，解决本题的关键是正六边形的边长和它的半径相等． 【变式1】（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：A． 【变式2】（2026·安徽·模拟预测）南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【答案】/ 【分析】利用圆面积公式，根据已知半径求出圆的面积，把圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，通过正十二边形中心角求出为等边三角形，得到相关边长和高，求出单个等腰三角形面积，乘以12得到正十二边形面积，用圆的面积减去正十二边形的面积，得出面积差． 【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A，B，C为顺次三个分点，连接，交于点D， ∵圆的半径， ∴， ∵正十二边形的中心角为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴正十二边形的面积为12个这样的等腰三角形面积之和，即：， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为____． 【答案】18 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．由正六边形内接于，由的直径得出的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果． 【详解】解：连接，， 正六边形内接于，的周长为， 的半径为3， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长为18， 故答案为：18． 题型03 正多边形的边长、半径与中心角的关系 【典例1】（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 【变式2】（2026·重庆北碚·模拟预测）若一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的中心角度数为_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查多边形内角和定理，多边形外角和性质以及正多边形中心角的计算，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意设正多边形的边数为，利用内角和与外角和的关系列方程求出边数，再计算正多边形的中心角度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，任意多边形的外角和为， 根据题意，得， 解得， 正多边形的中心角和为，因此这个正多边形的中心角度数为． 【变式3】（2026·陕西西安·一模）如图，在正八边形中，、是两条对角线，则___________． 【答案】 【分析】构造正八边形的外接圆，求出所对的圆心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】如图，取中点O，以点O为圆心作正八边形的外接圆， 则正八边形的各顶点都在圆O上， 连接、、， ∵正八边形的中心角为， ∴， ∴， ∴． 题型04 正多边形的边长、半径与边心距的关系 【典例1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若正方形的外接圆半径是，则其边心距为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的基本概念，正方形的性质与特殊直角三角形，理解正方形的半径是解题关键． 明确正方形的半径为外接圆半径，然后利用它与边心距、半边长构成的等腰直角三角形，通过勾股定理即可算出边心距． 【详解】解：已知正方形的外接圆半径是，则其外接圆半径为，记为， 边心距为中心到边的距离，记为， 在正方形中，其外接圆半径和边心距、半边长构成等腰直角三角形，斜边为， 两直角边均为， ，即， 解得，即边心距为1． 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，正六边形内接于的半径为4，则这个正六边形的边心距为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出度数，得到为的等边三角形，三线合一求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， 由题意，得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴； 故选B． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的性质、正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键． 根据正方形的周长为12，易得，如图∶作正方形的外接圆，圆心为点O，连接，作于点E，则，所以即可解答． 【详解】解：如图，正方形的周长为12， ∴，且， ∴， 如图∶作正方形的外接圆，圆心为点O，连接，作于点E， ∵，， ∴ ∴正方形ABCD的边心距为． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，边长为的正六边形内接于，则它的边心距为_____． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质以及勾股定理进行计算即可．掌握正六边形的性质以及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∵边长为的正六边形内接于， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴它的边心距为． 故答案为：． 题型05 正多边形和圆有关的尺规作图问题 【典例1】（2026年陕西西安国际港务区铁一中陆港初级中学九年级二模数学试题）如图，已知，请用尺规作图法，求作的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，四边形即为所求， 【分析】本题考查了圆的性质，正方形的判定，以及用尺规作图的方法作线段的垂直平分线，正确作图是解题的关键．先作一条直径，再作该直径的垂直平分线，将直径以及垂直平分线与圆的四个交点顺次连接即可． 【详解】略 【变式1】（2026·江苏徐州·一模）按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1) 如图，正方形即为所求； (2) 如图所示： 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·期末）作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【答案】(1) 解：如图，正六边形即为所求： (2) 【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． 【详解】（1）作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； （2）如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用． 【变式3】（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在正五边形中，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作一条与边平行的线段． (2)在图2中作出线段，使得． 【答案】(1) 解：如图所示， 即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求， 【分析】（1）连接即为所求； （2）延长交于点，连接交于点，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 题型06 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合 【典例1】如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正多边形的性质是解题关键，利用正多边形的性质结合勾股定理计算，找到规律即可得解． 【详解】解：在中，，， ， 点的坐标为， 第1次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为， 第2次顺时针旋转，点的对应点第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为， 第4次顺时针旋转，点的对应点第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为， 每4个一循环，则， 第2024次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为， 故选：． 【变式2】在平面直角坐标系中，正六边形按如图所示的方式放置，若点的坐标为 ，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形的性质及解直角三角形，过点 作轴，垂足为，通过正六边形的性质和解直角三角形求出点的横坐标，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为 ∵正六边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴ 在中， ∵在第二象限 ∴           故答案为：. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为 【答案】 【分析】首先确定点的坐标，再根据旋转推导出4次一个循环，再计算经过第2024次旋转后点的坐标即可；本题考查了正多边形的性质，规律型问题，旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点重合，轴， ∴， ∴， ∴; ∵每次旋转，， ∴4次一个循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 题型07 正多边形和圆中的证明 【典例1】如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 【变式1】如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键． （1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论； （2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 【变式2】如图，是中国人民银行年发行的铝锌合金外圆内凹九边形立体感极强的“菊花1角硬币”．霖霖移动该硬币（）与直角三角形（）形成如图所示位置．其中，是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，． (1)求证：是的切线； (2)若切于点，且霖霖测得，，求该硬币（）的直径为多长（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2)该硬币（）的直径为 【分析】本题考查了正多边形与圆，切线的判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据正多边形的性质可得中心角，进而得出得出则，即可得证； （2）连接，证明四边形是正方形，设的半径为，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是内接正九边形的一条边， ∴中心角， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴该硬币（）的直径为． 【变式3】如图，正五边形内接于中，连结，，，交于点． (1)若半径为5，求弧的长； (2)求证：； (3)求证：点为的黄金分割点． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）由五边形是正五边形，得到，，，，，，根据菱形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到； （3）根据菱形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，得到点为的黄金分割点． 【详解】（1）解： 五边形是正五边形， ，，，，，， 四边形是菱形， ， 同理可求：， ， ， 弧的长； （2）证明：四边形是菱形， ， ， 同理， ， ， ，， ， ， ； （3）证明：四边形是菱形， ， ， ， 同理， △△， ，即， ， 解得（舍去负值）． 点为的黄金分割点． 【点睛】本题主要考查了正多边形的判定及性质和圆，相似三角形的判定及性质，黄金分割，菱形的判定及性质，多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握正多边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 题型08 正多边形和圆中的最值问题 【典例1】如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可． 【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：    则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值， 由题意可得：，， 由勾股定理可得：， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，已知边长为2的正顶点A的坐标为，的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中的最小值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】分析：首先得到当点E旋转至y轴上时最小，然后分别求得、的长，最后求得的长即可． 【详解】解：如图，连接， 根据，当D，E，O三点共线时，最小； ∵边长为2的是等边三角形，点A的坐标为，的中点D在y轴上， ∴，， ∴， ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正六边形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 【变式2】如图，在正六边形中，，O为的中点，以O为圆心，为半径作，M为上一动点，设点M到正六边形上的点的距离为d． （1） ． （2）当面积最小时，点M到的距离为 ，d的最大值为 ． 【答案】 4 / 【分析】（1）连接，可得是等边三角形，即可； （2）当垂直平分时，面积最小，设的延长线交于点N，连接，根据勾股定理求出的长，即可；根据题意得当点M在线段上时，d最大，即可． 【详解】解：（1）连接， 在正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：4 （2）如图1，当垂直平分时，面积最小，设的延长线交于点N，连接． ∴，，， ∴， ∴， 即此时M到的距离为． 如图2，当点M在线段上时，d最大，． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形与圆的性质是解题的关键． 【变式3】将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）连接交于，连接，交于，则，当、重合时，点到线段的值最大，为，证明是等边三角形，得到，故，由含的直角三角形的性质得出，，从而求出，的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接交于，连接，交于，则， ， ∴当、重合时，点到线段的值最大，为， 由正六边形的性质可得：， ∴是等边三角形， ∴，故， ∵， ∴，， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级下·山东聊城·期中）半径为的圆内接正六边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆内接正六边形可以分割为6个全等的等边三角形，且等边三角形的边长等于圆的半径，先计算单个等边三角形面积，再乘以6即可得到正六边形的面积． 【详解】解：∵圆内接正六边形的边长等于其外接圆的半径，已知外接圆半径为， ∴正六边形的边长为，正六边形可被中心与各顶点的连线分为6个全等的边长为的等边三角形． 对单个等边三角形，由勾股定理得高， ∴单个等边三角形的面积， ∴正六边形的面积． 2．（2026·河南周口·一模）如图，为正八边形的外接圆，，为正八边形的边，P为优弧上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正多边形的性质得，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接、， 为正八边形的外接圆， ， ． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，正五边形内接于，连接并延长交于点F，交于点G，连接交于点H，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用正五边形的性质，垂径定理解决问题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ， ， ∵, ∴, ∴, ∴， 是的直径， ， ， ． 5．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接，可得，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ， ∴这个正多边形的边数为． 二、填空题 6．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形是正______边形． 【答案】五 【分析】利用正多边形所有中心角的和为，且各中心角相等，计算得到多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的中心角和为，且每个中心角相等， ∴这个多边形的边数为， 故这个多边形是正五边形． 7．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，是正五边形的外接圆，半径为，若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是__________． 【答案】 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是， 是正五边形的外接圆，半径为， ， 解得， 这个圆锥底面圆的半径是， 故答案为：． 8．（2026·陕西西安·三模）如图，在正六边形中，连接，若，则该正六边形的周长为________． 【答案】36 【分析】设中点为O，连接，根据正多边形的性质得到，根据中心角的定义求出，则是等边三角形，求出的值，即可求出正六边形的周长． 【详解】解：设中点为O，连接， ∴， ∵正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长为． 9．（2026·山东滨州·一模）如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点C、D重合），则的度数为______． 【答案】或 【分析】如图，连接，，由正五边形的性质求出，然后分两种情况讨论，分别根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴ ∵P为上的一点（点P不与点C、D重合）， 如图，当点P在优弧上时， ∴； 如图，当点P在劣弧上时， ∴ ∴； 综上所述，的度数为或． 10．（2026·广西梧州·一模）广西壮锦是国家级非物质文化遗产，纹样精美多样，包含正八边形、正方形等图案．如图，在的内接正八边形中，分别连接和．若，则长为______． 【答案】2 【分析】设为，通过作垂线，构造直角三角形，利用圆周角定理以及直角三角形的边角关系，可以用的代数式表示，，然后列方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，则， 八边形是的内接正八边形， ， ， 同理得， 在中，，设， ， 同理， ， ， ， 解得， ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，正五边形内接于为上一点（点与点不重合），求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆，先理解题意，得，运用圆周角定理得，即可作答． 【详解】解：连接 正五边形内接于， ， ． 12．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【答案】，，，，， 【分析】本题考查了正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质、勾股定理、点坐标与轴对称，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．过点作轴于点，连接，先求出，，再根据等边三角形的判定与性质可得，利用勾股定理可得，然后根据点坐标与轴对称变换规律求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ∵正六边形的中心为原点，半径为， ∴，，正六边形关于轴和轴对称， ∴是等边三角形，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称， ∴，，，， 综上，正六边形各个顶点的坐标分别为，，，，，． 13．（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1) 正六边形如图所示， (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 平方米． 14．（2025·四川广安·一模）如图，正六边形内接于，连接、． (1)若P是上的动点，连接、，求的度数； (2)若的面积为，求的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆内接正六边形问题，解题的关键是掌握圆内接正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． （）连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积． 【详解】（1）如图所示，连接 ， ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 面积为： 15．（2025·上海嘉定·二模）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）略 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北衡水·开学考试）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的性质以及圆周角定理，熟练掌握正多边形内角与圆心角的关系以及圆周角定理是解题的关键．先连接、，利用正五边形的性质求出圆心角的度数，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：连接、， ∵ 五边形是正五边形 ∴ ∴ ∴ 故选：C． 2．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）边长为2的正四边形内接于，则该正四边形的半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，理解正多边形的边长与其外接圆的关系是解题的关键；正四边形即正方形内接于圆时，其外接圆半径等于正方形对角线的一半． 【详解】解：正四边形的对角线长为，则其内接圆的半径为； 故选：C． 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，正六边形的边心距为，以顶点为圆心，长为半径画圆，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据正六边形的边心距求出边长，正六边形的边心距，指的是从正六边形的中心到任意一条边的垂直距离．再利用圆心角的度数和弧长公式求出弧长． 【详解】解：连接对角线，交点为，作,垂足为点H,则, ∵是正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∵正六边形的边心距， ∴圆的半径， ∴的长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了正六边形的性质以及弧长公式计算，解题关键是明确正多边形的性质和熟记弧长公式． 4．（24-25九年级上·广西南宁·月考）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为，则这个正六边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先将正六边形分割成六个全等的正三角形，然后求出一个正三角形的面积，最后乘以得到正六边形的面积．本题主要考查了正六边形的性质以及正三角形面积的计算，熟练掌握正六边形可以分割成六个全等的正三角形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的半径为 ∴正六边形可分成六个边长为的正三角形 令其中一个正三角形为，过作于点， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴一个正三角形的面积为 ∴正六边形的面积为 故选：C． 5．（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形，圆的内接四边形，能够正确作出辅助线是解题关键； 连接，通过正五边形性质求出，进而求出，最后利用圆的内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形， ∴， ∴， ∵为圆的内接四边形， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·吉林长春·二模）如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查圆内接正六边形的边心距问题，掌握正多边形的性质，会求中心角，会利用边心距和半径构成直角三角形，会用锐角三角函数求解是关键．连接，根据六边形是内接正六边形得出，进而根据三角函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵六边形是内接正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，正五边形内接于，点F是劣弧的中点，连接，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，连接，可求出的度数，再由垂径定理的推论可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∵点F是劣弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·河南南阳·二模）如图，正方形内接于，点E为上一点，连接，若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，由正方形内接于，得，，由，求得，因为，所以，则是等边三角形，所以，作于点I，则，求得，由阴影＝求得阴影，于是得到问题的答案． 【详解】连接，则， 正方形内接于，， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 作于点I，则，， ， ∴阴影＝， 故答案为： 【点睛】此题重点考查正多边形和圆、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 9．（2021·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，点、分别在轴、轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键． 连接，过点P作于点G，由正六边形推出为等边三角形，进而求出的长度即可求得P点坐标． 【详解】解：如图所示，连接，过点P作于点G，则， ∵多边形为正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 又∵， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的坐标是， 故答案为： 10．（25-26九年级上·江西南昌·月考）窗是我国传统建筑中重要的构成要素之一，窗的类型很多，图1是一个正六边形窗，这个正六边形的示意图如图2所示，已知该正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理、含30度的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过正六边形的中心作于点，连接、，根据正六边形的性质可得，，再利用含30度的直角三角形的性质得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，利用三角形的面积公式求出，即可求出正六边形的面积． 【详解】解：如图，过正六边形的中心作于点，连接、， 则，，， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的面积为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·甘肃张掖·月考）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，半径，求边心距的长． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，． 12．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知正六边形的外接圆圆心为，半径． (1)求正六边形的边长； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，关键是掌握弧长公式，正多边形的性质． （1）求出正六边形的中心角，得到是等边三角形，得到； （2）求出的度数，由弧长公式即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，，， ∵正六边形的外接圆圆心为， ∴，， ∴是等边三角形， ， 即正六边形的边长； （2）∵， ， ， 的长． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，，平分交于点，点在上，． (1)求证：是的外接圆的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由，根据圆周角定理可得为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心，再证明，根据平行线的性质得到，于是可根据切线的判定定理判断即可求解． （2）设的半径为，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例定理来求解． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图， ， ， 为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心． 平分， ． ， ， ， ， ， ， 是的外接圆的切线． （2）解：设的外接圆的半径为 在中， ， 即， 解得． ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，圆周角定理． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $