第10讲 点与圆、直线与圆的位置关系（知识点+题型精讲）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第10讲 点与圆、直线与圆的位置关系 目录 知识点1 点与圆的位置关系（核心判定） 2 知识点2 点与圆的最值模型 2 知识点3 直线与圆的位置关系 2 知识点4 切线判定与性质定理 2 知识点5 切线长定理 3 知识点6 三角形内切圆基础 3 题型1 点与圆的位置关系 3 题型2 点与圆上一点的最值问题 5 题型3 判断直线和圆的位置关系 9 题型4 证明某直线是圆的切线 11 题型5 切线的性质定理 17 题型6 切线长定理求解 20 题型7 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 27 解答题 34 1. 知识目标：掌握点与圆、直线与圆的三种位置关系及判定依据，熟记切线的判定定理、性质定理、切线长定理，了解三角形内切圆相关概念与公式。 2. 能力目标：能精准判定点、直线与圆的位置关系，熟练解决圆上动点最值、切线证明、切线计算题型，掌握直角三角形内切圆半径公式并灵活运用。 3. 素养目标：建立圆的位置数形结合思维，掌握切线类题型辅助线做法，提升几何判定、证明与综合计算能力。 知识点1 点与圆的位置关系（核心判定） 设圆的半径为，平面内一点到圆心的距离为，位置关系分三种： 1. 点在圆外： 2. 点在圆上： 3. 点在圆内： 知识点2 点与圆的最值模型 定点与圆心为、半径为的圆，圆上一动点为： 1. 线段最大值：（三点共线，点、圆心、动点同向） 2. 线段最小值：（三点共线，动点在定点与圆心之间） 知识点3 直线与圆的位置关系 设圆半径为，圆心到直线的距离为，位置关系对照表： 位置关系 数量关系 公共点个数 直线名称 图形 相离 0个 割线 相切 1个 切线 相交 2个 割线 知识点4 切线判定与性质定理 1. 切线判定定理：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大条件（缺一不可）：①过半径外端；②垂直于半径。 2. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 知识点5 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆心与该点的连线平分两条切线的夹角。 核心结论：线段相等、角度相等、对称全等。 知识点6 三角形内切圆基础 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点。 直角三角形内切圆半径公式：（为直角边，为斜边） 通用三角形内切圆半径：（为面积，为周长） 题型1 点与圆的位置关系 解题技巧（算距离、比半径、直接判定） 1. 核心步骤：计算点到圆心的距离，对比圆半径； 2. 判定规则：在圆外、在圆上、在圆内； 3. 坐标题型：利用平面直角坐标系距离公式求，再对比判定； 4. 参数题型：根据位置关系列不等式，求解参数范围。 1．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点与圆位置关系得到，结合数轴距离写出，解不等式得到的取值区间，估算值后求解即可． 【详解】解：∵点B在外， ∴． ∵点A、B在数轴上，分别表示和， ∴． ∴． ∴或． ∵， ∴，， ∴的值可能是． 2．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 3．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 4．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 题型2 点与圆上一点的最值问题 解题技巧（定点圆心连线、共线取最值） 1. 万能模型：定点、圆心、圆上动点三点共线时，取得最值； 2. 最大值：定点到圆心距离+半径； 3. 最小值：定点到圆心距离-半径（绝对值）； 4. 避坑：点在圆内、圆外通用此模型，无需分类讨论，直接套用公式。 5．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 6．左图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，，． 则最大为______；若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为 _________． 【答案】 150 18000 【分析】连接，根据题意可得，则，由勾股定理可得，据此求出的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，有最大值，当有最小值时，有最小值， ∴的最大值为，的最小值为； ∴若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为． 7．如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 【答案】 【分析】将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，作的中点，连接，利用旋转的性质进一步证明，得到，确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解． 【详解】解：如图所示，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形， 取的中点，连接， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴点共线， ∵, ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，     ∵E是的中点，为的中点，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为定点，为定长， ∴点是在以点为圆心，半径为半径的圆上运动， ∴， ∴的最小值为． 8．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的轨迹，再求出点到的距离，从而得到点到距离的取值范围，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点在半径为4的上， ∴， ∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 设点到的距离为， ∵点在以为圆心，2为半径的圆上，且圆心到的距离为4 ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 题型3 判断直线和圆的位置关系 解题技巧（算弦心距、比半径、数形判定） 1. 解题核心：求圆心到直线的垂直距离； 2. 大小对比：相离、相切、相交； 3. 几何题型：作圆心到直线的垂线段，计算垂线段长度； 4. 坐标题型：用点到直线距离公式求值对比。 9．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 10．以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 11．若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 12．的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系；由题意得出，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴， 即， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故答案为：相交． 题型4 证明某直线是圆的切线 解题技巧（两种辅助线、对症解题） 1. 已知直线与圆有交点：连半径，证垂直，证明半径与直线夹角为90°； 2. 未知交点、无明确切点：作垂直，证半径，证明圆心到直线距离等于半径； 3. 必满足双条件：过半径外端+垂直半径，缺一不可； 4. 常用方法：角度互余、平行垂直、全等三角形推导直角。 13．对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 14．已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质．甲中，由圆周角定理得到，可判定是的切线；乙中，由作图知，证明，得到，可判定是的切线． 【详解】解：甲中，由作图知是的直径， ∴， ∴是的切线； 乙中，由作图知，，，即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 综上，甲乙都对． 故选：C． 15．如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 【答案】(1)解：与相切．理由如下： 如图，连接， ∵与相切于点B，， ∴，即， ∵为的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； (2)，的半径为 【分析】（1）连接，证明，可得证； （2）根据题意，求得，，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）得， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 16．已知：如图，在中，，平分交于，为上一点，以为圆心，为半径的圆恰好经过点，且分别交、于、． (1)求证：是的切线； (2)若，，图中阴影部分的面积为_____． 【答案】(1)证明：平分， ， 如图，连接，则， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义，等边对等角，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等以及切线的判定定理推导即可； （2）由（1）得，，利用两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余，直角三角形中所对的边是斜边的一半以及勾股定理推出、的长，再利用阴影部分面积为三角形的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得或（舍去）， ，， 阴影部分的面积扇形的面积． 题型5 切线的性质定理 解题技巧（遇切线、连切点、构直角） 1. 固定辅助线：题目出现切线，立刻连接圆心与切点，得到垂直关系； 2. 核心结论：切线⊥过切点的半径，直接得到90°直角； 3. 综合解题：结合直角三角形、等腰三角形、内角和求角度、边长； 4. 证明应用：利用垂直性质推导平行、全等、角度等量关系。 17．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 18．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在优弧上取点，连接，根据切线的性质，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，进行求解即可. 【详解】解：如图所示，连接，在优弧上取点，连接， 、是切线， ， ， ， 又∵圆内接四边形的对角互补， ． 19．如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 【答案】/度 【分析】连接，由切线的性质得，由，得，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 题型6 切线长定理求解 解题技巧（切线等长、角度平分、对称转化） 1. 核心等量：圆外一点引双切线，两条切线长度相等； 2. 角度性质：圆心与外点连线平分切线夹角； 3. 解题思路：利用线段等长替换、角度等量倒角； 4. 周长秒杀：切线长模型可快速求解外切多边形周长。 21．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 22．如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______． 【答案】/50度 【分析】连接，先利用切线的性质得，再根据圆周角定理得，然后利用互余计算的度数． 【详解】解：连接，如图所示， 为的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，比连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了圆周角定理． 23．已知：如图，四边形内接于，为直径，过点C的切线交的延长线于点E，且． (1)求证：． (2)若，求的正切值． 【答案】(1)证明：连接，是的切线，，又，，．，，，，∴． (2) 【分析】（1）连接，因为是的切线，所以，结合可推出与平行，进而得到角相等；再利用圆的半径相等得到角相等，结合圆周角定理的推论，证明和相等，即可得到． （2）由直径性质，可得；由和，得到与的比值；设，，由勾股定理得，证明，得​，得．过点C作于点G，由，求出​，得，由勾股定理得，得．连接，求出​．由，即得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴． 设，， 是直径， ， ∴． ∵，， ∴， ​， ∴． 过点C作于点G， ，平分， ∴， ∵， ∴​， ∴， 在中，由勾股定理：， ． 连接， ∵， ∴​． ∵， ∴​． 24．为的一条弦，将弦绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，若与相切，判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，以为边作等边三角形，点落在上，连接，． ①求证：； ②若，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)解：相切，理由如下： 连接， ∵与相切， ∴， ∴， ∵弦绕点顺时针旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切． (2)① 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴． ②4； 【分析】（1）连接，根据切线的性质和判定证明即可； （2）①先证明，然后证明即可； ②根据两点间线段最短，弧长公式计算即可． 本题考查了等边三角形的性质，切线的性质和判定，圆的性质，弧长公式，熟练掌握判定和性质，公式是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）① 略 ②解：∵ ∴， 连接， 当、、三点共线时，的值最大 此时， ∴， ． 25．如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解此题的关键．根据切线的性质得出，，求出，求出，根据圆周角定理求出，根据，即可求解． 【详解】解：、分别与相切于点、， ，， ， ， ， 是的直径， ， ， 故选：C． 题型7 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题技巧（熟记公式、直接代值、快速计算） 1. 直角三角形专属：内切圆半径； 2. 通用公式：任意三角形 （S面积、C周长）； 3. 解题思路：已知三边长直接代专属公式，已知面积周长用通用公式； 4. 逆向题型：已知半径反求边长、周长、面积，列方程求解即可。 26．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长为： 故选：D． 27．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 28．在欧几里得的时代，几何学被视为理解宇宙秩序的关键，它不仅是数学的一部分，更是哲学思考的重要载体．今天，我们将通过一道经典的几何题目，一同探索蕴含其中的文化与美学价值．如图，在平面直角坐标系中，已知点，围绕该点以3为半径作，直线切于点，且在下方，若在上存在动点，当点的坐标为______时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别求解即可． 【详解】解：过点作与相切， 此时，连接，作轴于点， 根据题意得，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，若点位于如图所示位置， 同①可求，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，满足，此时点的坐标为； 当时，点的位置如图所示，过点作轴于点，由①②知，， ∴， ∵，，即为的垂直平分线，则满足，此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义、切线长定理、切线的性质、勾股定理、解直角三角形，分类讨论是解答本题的关键． 29．《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 【详解】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 30．如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由切线长定理得出，，，根据勾股定理，得．整理得，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：设， 根据切线长定理，得，，， 根据勾股定理，得， 整理，得， ∴， 则的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 31．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 32．如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 解答题 33．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和上一点． 求作：的切线，使经过点． 作法：如图， ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧交射线于，两点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于，两点； ④作直线．则就是所求作的的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，， ∴垂直平分（________）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（________）． 【答案】(1)切线如图所示： (2)证明：∵，， ∴垂直平分（垂直平分线的逆定理）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（切线的判定定理）． 【详解】（1）略 （2）略 34．如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点为上一点，过点的切线交延长线于点， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，证明，，，进一步可得，可得，可证明； （2）连接，证明与是等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 35．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 36．如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证是的切线，只需证明，即证，结合角平分线性质、直角三角形两锐角互余推导角度关系即可； （2）由、得为等腰直角三角形，求出长度，再用得． 【详解】（1）证明：， ， ， 平分， ， (半径)， ， ， 即， ， 又点在上， 是的半径， 是的切线． （2）解：由（1）知，即， ， 是等腰直角三角形， ， 半径， ， ， ． 37．如图，为的弦，，与相交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，则有，由题意可设，则，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， ∴， ∵，设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 点与圆、直线与圆的位置关系 目录 知识点1 点与圆的位置关系（核心判定） 2 知识点2 点与圆的最值模型 2 知识点3 直线与圆的位置关系 2 知识点4 切线判定与性质定理 2 知识点5 切线长定理 3 知识点6 三角形内切圆基础 3 题型1 点与圆的位置关系 3 题型2 点与圆上一点的最值问题 4 题型3 判断直线和圆的位置关系 5 题型4 证明某直线是圆的切线 5 题型5 切线的性质定理 7 题型6 切线长定理求解 8 题型7 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 10 解答题 12 1. 知识目标：掌握点与圆、直线与圆的三种位置关系及判定依据，熟记切线的判定定理、性质定理、切线长定理，了解三角形内切圆相关概念与公式。 2. 能力目标：能精准判定点、直线与圆的位置关系，熟练解决圆上动点最值、切线证明、切线计算题型，掌握直角三角形内切圆半径公式并灵活运用。 3. 素养目标：建立圆的位置数形结合思维，掌握切线类题型辅助线做法，提升几何判定、证明与综合计算能力。 知识点1 点与圆的位置关系（核心判定） 设圆的半径为，平面内一点到圆心的距离为，位置关系分三种： 1. 点在圆外： 2. 点在圆上： 3. 点在圆内： 知识点2 点与圆的最值模型 定点与圆心为、半径为的圆，圆上一动点为： 1. 线段最大值：（三点共线，点、圆心、动点同向） 2. 线段最小值：（三点共线，动点在定点与圆心之间） 知识点3 直线与圆的位置关系 设圆半径为，圆心到直线的距离为，位置关系对照表： 位置关系 数量关系 公共点个数 直线名称 图形 相离 0个 割线 相切 1个 切线 相交 2个 割线 知识点4 切线判定与性质定理 1. 切线判定定理：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大条件（缺一不可）：①过半径外端；②垂直于半径。 2. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 知识点5 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆心与该点的连线平分两条切线的夹角。 核心结论：线段相等、角度相等、对称全等。 知识点6 三角形内切圆基础 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三条角平分线的交点。 直角三角形内切圆半径公式：（为直角边，为斜边） 通用三角形内切圆半径：（为面积，为周长） 题型1 点与圆的位置关系 解题技巧（算距离、比半径、直接判定） 1. 核心步骤：计算点到圆心的距离，对比圆半径； 2. 判定规则：在圆外、在圆上、在圆内； 3. 坐标题型：利用平面直角坐标系距离公式求，再对比判定； 4. 参数题型：根据位置关系列不等式，求解参数范围。 1．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 3．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 4．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 题型2 点与圆上一点的最值问题 解题技巧（定点圆心连线、共线取最值） 1. 万能模型：定点、圆心、圆上动点三点共线时，取得最值； 2. 最大值：定点到圆心距离+半径； 3. 最小值：定点到圆心距离-半径（绝对值）； 4. 避坑：点在圆内、圆外通用此模型，无需分类讨论，直接套用公式。 5．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 6．左图是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了右图的机械设备，磨盘半径，把手，点O，M，Q成一直线，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动并带动磨盘绕点O转动，，． 则最大为______；若磨盘转动100周，则点P在轨道上滑动的路径长为 _________． 7．如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 8．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 题型3 判断直线和圆的位置关系 解题技巧（算弦心距、比半径、数形判定） 1. 解题核心：求圆心到直线的垂直距离； 2. 大小对比：相离、相切、相交； 3. 几何题型：作圆心到直线的垂线段，计算垂线段长度； 4. 坐标题型：用点到直线距离公式求值对比。 9．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 10．以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 12．的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 题型4 证明某直线是圆的切线 解题技巧（两种辅助线、对症解题） 1. 已知直线与圆有交点：连半径，证垂直，证明半径与直线夹角为90°； 2. 未知交点、无明确切点：作垂直，证半径，证明圆心到直线距离等于半径； 3. 必满足双条件：过半径外端+垂直半径，缺一不可； 4. 常用方法：角度互余、平行垂直、全等三角形推导直角。 13．对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 14．已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 15．如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 16．已知：如图，在中，，平分交于，为上一点，以为圆心，为半径的圆恰好经过点，且分别交、于、． (1)求证：是的切线； (2)若，，图中阴影部分的面积为_____． 题型5 切线的性质定理 解题技巧（遇切线、连切点、构直角） 1. 固定辅助线：题目出现切线，立刻连接圆心与切点，得到垂直关系； 2. 核心结论：切线⊥过切点的半径，直接得到90°直角； 3. 综合解题：结合直角三角形、等腰三角形、内角和求角度、边长； 4. 证明应用：利用垂直性质推导平行、全等、角度等量关系。 17．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 18．如图，、分别与相切于、，，为上一点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 19．如图，切于点B，交于点C，过点B作交于点D，连接．若，则______． 20．如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 题型6 切线长定理求解 解题技巧（切线等长、角度平分、对称转化） 1. 核心等量：圆外一点引双切线，两条切线长度相等； 2. 角度性质：圆心与外点连线平分切线夹角； 3. 解题思路：利用线段等长替换、角度等量倒角； 4. 周长秒杀：切线长模型可快速求解外切多边形周长。 21．以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 22．如图所示，线段是的一条直径，，过点作的切线交的延长线于点，则等于______． 23．已知：如图，四边形内接于，为直径，过点C的切线交的延长线于点E，且． (1)求证：． (2)若，求的正切值． 24．为的一条弦，将弦绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，若与相切，判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，以为边作等边三角形，点落在上，连接，． ①求证：； ②若，求的最大值及此时的长． 25．如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型7 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题技巧（熟记公式、直接代值、快速计算） 1. 直角三角形专属：内切圆半径； 2. 通用公式：任意三角形 （S面积、C周长）； 3. 解题思路：已知三边长直接代专属公式，已知面积周长用通用公式； 4. 逆向题型：已知半径反求边长、周长、面积，列方程求解即可。 26．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 27．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 28．在欧几里得的时代，几何学被视为理解宇宙秩序的关键，它不仅是数学的一部分，更是哲学思考的重要载体．今天，我们将通过一道经典的几何题目，一同探索蕴含其中的文化与美学价值．如图，在平面直角坐标系中，已知点，围绕该点以3为半径作，直线切于点，且在下方，若在上存在动点，当点的坐标为______时，是等腰三角形． 29．《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 30．如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 31．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 32．如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 解答题 33．下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和上一点． 求作：的切线，使经过点． 作法：如图， ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧交射线于，两点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于，两点； ④作直线．则就是所求作的的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，， ∴垂直平分（________）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（________）． 34．如图，已知是的直径，点为上一点，过点的切线交延长线于点，且． (1)求证：； (2)过点作交于点，若，求的长． 35．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 36．如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求的长． 37．如图，为的弦，，与相交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $