3.6 正多边形与圆（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦正多边形中心、半径概念，圆内接正五（六）边形尺规作图及原理，已知半径求周长面积。通过螺母、蜂巢等生活情境导入，复习正多边形定义与判定，结合圆的圆心角、弧、弦关系，搭建“等分圆周—连弦成形”的学习支架。 特色在于以生活实例培养数学眼光，通过正六边形用半径截取作图、原理推导（弧相等→弦相等→正多边形）发展推理能力，面积计算分割成三角形体现模型意识。助力学生提升空间观念，为教师提供动态演示和递进练习策略，突破作图与面积推导难点。

3.6 正多边形与圆 教学设计 1.教学内容 本课选自苏科版九年级上册第三章圆3.6《正多边形与圆》。核心知识点： 1.正多边形的中心、半径的概念； 2.圆内接正五边形、正六边形的尺规作图及原理； 3.已知外接圆半径 时，正六边形、正方形等正多边形周长 、面积 的计算。 2.内容解析 本节在“圆”章节的末端出现，是对“圆与多边形”知识的综合与提升。教材先借生活情境（螺母、蜂巢）激发兴趣，随后复习正多边形概念并回顾正三角形、正方形的作图，为新知“等分圆周法”作铺垫。通过“定角画弦—等弧截取—连线成形”的链条，引出圆内接正五边形、正六边形的作图逻辑，体现“弧相等⇨弦相等⇨边角全等”的数学价值。接着利用“边长＝半径”的特殊性，建立正六边形周长、面积与半径的函数模型，并推广至一般 边形公式，突出“模型化思维”。教材最后安排练习与拓展（旋转对称、平行关系、综合应用），既巩固计算技能，又渗透“形数结合、变换思想”，是培育学生空间观念与几何证明能力的关键环节。教学重点在于作图原理与长度面积计算，难点在于正五边形的尺规构造与面积模型的推导。 1.教学目标 •理解正多边形的中心、半径的定义。 •掌握圆内接正五边形、正六边形两种尺规作图方法，知晓作图原理。 •会已知外接圆半径，求解正六边形、正方形等正多边形的周长与面积。 2.目标解析 • 能指出给定正多边形的中心与半径；能用语言表述定义并举例； • 在方格纸或白纸上，能独立使用尺规完成正五边形、正六边形的内接作图，并口述“等分圆周—连弦成形”原理。 3.重点难点 • 教学重点：圆内接正五边形、正六边形的尺规作图步骤与原理。 • 教学难点：理解“弧—弦—圆周角”对应关系，实现五等分圆周的作图思想。 学生已系统学习过三角形、四边形及圆的基本性质，能熟练作等边三角形、正方形；掌握圆心角、弦、弧及相等关系；会用 、勾股定理求面积与距离。优势：已有作图与简单模型经验，能理解“等分圆周法”的直观意义。薄弱： 1.正五边形的作图步骤多、精度要求高，易在弧长截取时出错； 2.将面积模型由具体图形推广到一般 边形的抽象推理能力尚待培养。教学对策：通过演示＋分组实践降低操作难度；利用动态几何或纸折演示“等分—连线—验证”过程；设置递进式练习，引导学生用“三角形分割”与“符号表示”完成面积公式推导，帮助突破难点。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.观察这两个物体，表面分别是什么图形？这些图形有什么共同特征？ 2.知识回顾 ①什么样的多边形叫作正多边形？ 各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形． ②正多边形的判定条件是什么？ 判定正多边形必须同时满足：各边相等，各内角也相等． 思考：正多边形的各边相等，各边所对的圆心角之间有什么关系？ 【设计意图】将“工业制造”“自然现象”等贴近生活的实例引入课堂，激发学生探究兴趣；通过复习“正多边形”定义与判定，调动已有认知，为后续新知构建奠定基础。 探究点：正多边形与圆 1.新知探究 如何画圆的内接正五边形呢？ 分析：正五边形的各边所对的圆心角都相等，都等于72°． 由此可得画法如下： 作法： ① 画一个圆和一个72°的圆心角∠AOB，连接 AB； ② 从点 B 开始，用圆规取 AB 的长，依次在⊙O 上截取得到点 C、D、E，连接BC、CD、DE、EA，得到五边形 ABCDE． 思考：为什么这样画出的图形是正五边形？ 理由如下： ∵点A、B、C、D、E把⊙O五等分， ∴ ，，，， 的度数都是72°， ∴ AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝72°×＝108°， ∴ 五边形ABCDE是正五边形． 等分圆周法： 圆被多边形的顶点等分→ 弧相等→弦相等，圆周角相等→各边相等，各角相等→多边形是正多边形． 2.交流讨论 类比正五边形的画法，如何画一个圆的内接正六边形？ 作法： ① 画一个圆和一个60°的圆心角∠AOB，连接 AB； ② 从点 B 开始，用圆规取 AB 的长，依次在⊙O 上截取得到点 C、D、E、F，连接BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形 ABCDEF． △AOB是什么三角形？ 作法2：从圆上的任意一点开始，用圆规取半径的长，依次在圆上确定其他顶点的位置． 3.知识归纳 圆的内接正六边形的边长与外接圆的半径相等． 一般地，正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径． 我们可以通过确定一个正多边形的外接圆来确定正多边形的中心和半径． 4.典例分析 例：如图，正六边形ABCDEF的半径为4， 求这个正六边形的周长和面积． 分析： ① 要求正六边形的周长，需要知道什么？ 边长 ② 正六边形的边长与半径有什么关系？ 相等 ③ 要求正六边形的面积，可以将它怎样分割？ 分割成6个全等的等边三角形． 解： 如图，连接OA，OB， 根据题意，得∠AOB＝＝60°． ∵OA＝OB， ∴△OAB为正三角形，AB＝OA＝4． 正六边形的周长l＝4×6＝24． 过点O作OG⊥AB，垂足为G． 在Rt△OAG中，OA＝4，AG＝AB＝2， ∴OG． ∴正六边形的面积 S＝×4××6＝． 5.新知应用 填表： 6.知识归纳 【设计意图】通过“连半径—作高—分割三角形”的统一模型解决，帮助学生迁移到“正 边形”一般情形，形成可操作的思维模板。 1．将一个正十边形绕它的中心至少旋转多少度，就能与它自身重合？正五边形呢？ 解：将正十边形绕它的中心至少旋转 36° 就能与它自身重合； 将正五边形绕它的中心至少旋转 72° 就能与它自身重合． 重要结论：旋转角度为()°的整数倍时，就能与自身重合． 2.在正六边形中，能否找到两条边和一条对角线，它们互相平行？ 解：能找到．如图， ∵∠AOB＝∠BCO＝60°， ∴ BC∥AD． 同理，EF∥AD． ∴ EF∥AD∥BC． 同理，DE∥CF∥AB，AF∥BE∥CD． 3.如图，正六边形ABCDEF的边长为5，求对角线AD、AC的长． 解：∵ AB＝BC＝5，∠B＝120°， ∴ ∠ACB＝∠BAC＝＝30°， ∵∠BCD＝120°， ∴ ∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°， ∵ ∠BAD＝60°， ∴ ∠DAC＝∠DAB－∠BAC＝60°－30°＝30°， ∴ AD＝2CD＝2×5＝10，AC＝CD＝5． 4.如图，把一个边长为 a 的正三角形纸片剪成正六边形，剪去的三个小三角形的边长应是多少？为什么？ 解：∵ 剪去三个三角形，得到正六边形， ∴ 剪去的三个三角形是全等的等边三角形． ∵ 被剪的正三角形的边长为 a， ∴ 剪去的三个小三角形的边长应是 ． 能力提升 1．用长 24m 的木栅栏围成正三角形或正方形或正六边形的绿地．这三种围法中，哪一种围成的绿地面积最大？为什么？ 解：正三角形的边长为 ＝8(m)，面积为 ×8×4＝16()． 正方形的边长为 ＝6(m)，面积为 6×6＝36(m²)． 正六边形的边长为 ＝4(m)，面积为 6× ×4×2＝24(m²)． ∵ 16＜36＜24， ∴ 正六边形围成的绿地面积最大． 重要结论：在周长相等的正多边形中，边数越多，面积越大．当边数趋近于无穷大时，正多边形就变成了圆，因此圆是周长相等时面积最大的平面图形． 2．如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正八边形的一边. AB是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由． 解：连接OB． ∵ AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC＝60°. ∵ BC是⊙O的内接正八边形的一边，∴∠BOC＝45°. ∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝60°－45°＝15°， ∴ AB是⊙O的内接正二十四边形的一边． 【设计意图】通过练习巩固多边形内部角度及平行知识，培养学生的图形观察与分析能力。 主板书 3.6 正多边形与圆 探究点 正多边形与圆 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $