专题05 全等三角形模型之截长补短模型与倍长中线模型的二类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形截长补短与倍长中线模型，构建“通法提炼-题型归纳-压轴突破”三阶训练体系，通过模型特征分析与辅助线构造方法培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2模型|截长/补短构造全等；倍长中线（含类中线）构造SAS全等|从模型定义到证法步骤，建立“条件-辅助线-全等证明”逻辑链| |题型归纳|2题型（典例+变式）|截长补短：线段和差转化；倍长中线：分散条件集中|典例覆盖不同情境，变式拓展模型应用边界| |压轴挑战|10题|综合运用两种模型解决复杂图形问题|衔接中考高频考点，提升综合推理与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形模型之截长补短模型与倍长中线模型的二 类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 题型二、全等三角形之倍长中线模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 【截长补短模型及证法】 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等。 【倍长中线模型及证法】 1)倍长中线模型（中线型） 1/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 条件：AD为△ABC的中线。 结论：△ABD三△ECD 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连结CE。 ,AD为△ABC的中线，∴，BD=CD,,'∠BDA=∠CDE,△ABD≌△ECD(SAS) 2)倍长类中线模型（中点型） 倍长类中线 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED,使DF=DE,连接CF。 ,D为BC边的中点，∴.BD=DC,,∠BDE=∠CDF,∴△EDB≌△FDC(SAS) ◆◆ 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 典例1(25-26八年级上·上海阶段检测)已知在△ABC中，AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部，分 别交线段AC于点G、H. G -N E E 图1 图2 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()如图1，若∠ABC=60°，∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F. ①求证：AE=BG； ②若AD=BF,连接CF,求∠CFE的度数： SACE (2)如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点F,连接CF.若∠BFE=∠BAC=2∠CFE,求SABr的值」 题型模版 1特征：证明一条线段等于两条线段之和或差，需通过截长或补短构造全等三角形。 2方法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段使等于长线段（补短），构造全等后转 化证明。 变式1-1(24-25八年级上湖北武汉期中)学习理解： (1)如图1，AB=6,AC=4,点D为BC的中点，则AD的取值范围为 活学活用： (2)如图2，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，点F为BC的中点. SABC =SADE 求证： 思维拓展： (3)如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC和∠ABC的角平分线AD与BE相交于点F,连接DE, SAABC =30 SACDE=4 S.4BF= ,则 E B D E 图1 图2 图3 变式1-2(25-26七年级下辽宁阜新期末)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B=∠ADC=9O°，E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=6O°，探究图中线段BE,EF,FD之间的 数量关系 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B B E E 图1 图2 图3 ()小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证 明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是_；（直接写结论，不需证明） (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADF=180°，E,F分别是BC、CD上的点，且 EAF=)∠BAD,(1)中结论是否仍然成立，并说明理由； 3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=I80°，E,F分别是边BC、CD延长线上的点， 且∠B-号BD,(>中的结论是香仍然成立：若成立，请证明：老不成立，诗与出它们之间的数量 关系，并证明。 题型二、全等三角形之倍长中线模型 典例2(25-26八年级上·安徽阜阳期末)如图，△ABC中，D、E在BC上，AE平分∠BAC,且DE=EC DF=AC.求证：AB∥DF. B 题型模版 1.特征：已知三角形中线，常通过倍长中线构造全等三角形，将分散条件集中。 2方法：延长中线至其两倍，连接构造平行四边形或全等三角形，利用对应边角相等转化已知条件。 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-1(25-26八年级上河南安阳期中)(1)如图①，在△ABC中，D是BC的中点，过点C作直线 CE,使CE∥AB,交AD的延长线于点E,求证：AD=ED.请结合图①写出完整的证明过程. 图① 图② (2)如图②，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°，连接AC、BD,E是AC的中点，延长E0交 BD于点F,OF=2,OE=4,则△BOD的面积为 变式2-2(25-26八年级上山东潍坊期中)【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解 决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通 过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有 关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”，此方法在解决几何问题中有着广泛的应用， 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在△ABC中，AB=5,AC=9,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.经过合作 交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,可以判定△ADC≌aEDB,从而 得到AC=EB=9.这样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中，再利用三角形的三边关系，即可求 出中线AD的取值范围， 请你直接写出AD的取值范围： ； (2)如图2，∠ABD=∠ECD=∠ADE=90°，点D为BC的中点，AB=10,CE=22,求AE: (3)如图3，在△ABD和△ACE中，∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE.连接DE,BC,点F是 BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G.请猜想DE和AF的数量关系并说明理由， E D D B F 图1 图2 图3 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一支克高障压轴，突残思缘上保 一、单选题 1.(25-26八年级上全国期中)如图，在△ABC中，AB=6,AC=4,AD是BC边上的中线，则AD的 取值范围是() D A.2<AD<10B.1<AD<5 C.0<AD<10 D.无法确定 2.(25-26八年级上·重庆江北期末)如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE 相交于点O,BD交AC于点D,CE交AB于点E,若己知△ABC周长为20，BC=7,AE:AD=5:4,则 AE长为() 10 A.3 B.3 c. D.4 3.(25-26八年级上辽宁抚顺期末)如图，△ABC中，AB>AC,AD是△ABC中线，有下面四个结论： ①。MBD与AACD的面积相等；②D<(B+4C)H@若点p是线段AD上的一个动点（点p不与点么D 重合)，连接PB,PC,则△ABP的面积比△ACP的面积大：④点P,是A,D所在直线上的两个动点（点P 与点O不重合)，若DP=DO,连接PB,QC,则PB‖QC.所有正确结论的序号是() 6/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.①②③④ B.①②④ C.②③ D.①④ 二、填空题 4.(25-26七年级下四川达州阶段检测)如图，AD是△ABC的中线，在AB边上取一点E,连接CE交 AD于点F,若AB=CF,∠ACE=16°，∠CAD=30°，则∠AEF的度数为. 5.(25-26八年级下湖南岳阳阶段检测)在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F 分别在射线CB、DC上，且∠B4F-BD,当BC-4:DC=7,CF-1时，ACF的周长等丁 B 6.(25-26八年级上·北京阶段检测)如图，AP是△ABC的高，∠BAP=,AD=AC,∠DAC=2a,过 点D作DEI‖AB交BC于点E.下列四个结论中： ①∠ACB=∠BDE:②当a=45时，BD⊥BC;③BD=DE;④BC=2BP+BE. 所有正确结论的序号是 三、解答题 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26八年级上陕西榆林·期末)【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造 图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段. 【问题探究】 (I)如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,∠C=2∠B,点K在边AB上，且AK=AC,连 接DK,试说明：AB=AC+CD 图1 图2 【综合研究】 (2)2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推 动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在△ABC中，AC=I00 米，校学生会在边AB、AC上分别取点E、F,使得点E为AB的中点，EF⊥AC于点F,在线段EF上 找点G,使得EG=30米，△BCG为等腰直角三角形，∠BGC=90°，并沿其三条边搭建安全文化宣传长 廊（宽度不计），其他区域规划为展示区.为了预算，需要知道CF的长，请你帮助校学生会计算出CF的 长 8.(25-26八年级上吉林长春·期末)同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三 角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题. 图① 图② 图③ 图④ (①)(1)在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,求证：AC=AB+BD;任选下面一种方法，并写 出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决问题： 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而解决问题 (2)如图③，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之间的等量关系 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图④，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2∠C,AD,BG分别为∠BAC∠ABC的角平分线， AB=5,BD=3, AG=25 ,直接写出GC=- 9.(25-26八年级上·浙江衢州期末)某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结 论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”，如图1，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积为6，则△ADC的面积为 ②“倍长中线法可以求中线范围”.如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据SAS可以判定 △ADC≌aEDB,得出AC=BE.这样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中，根据三角形三边关系可以 求出中线的范围.若AB=4,AC=6,则AD的取值范围是 【拓展应用】 ①如图2，在△ABC中，D是BC的中点，E是边AC上的一点，连接BE,交AD于点F.若AF=AE, 请判断AC,AD,AF之间的数量关系，并说明理由. 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在△ABC中，D是BC的中点，BE是△ABC的角平分线，交AD于点F,AE=3.设△BFD, △AFE S S2 的面积分别为和 ,若BC-1B=6,试求8 S1-S2 的最大值。 图1 图2 图3 10.(25-26八年级上江西新余期末)【经典再现】 (1)如图1，D为等边△ABC外一点，BD=CD,∠BDC=120°，BD=2cm,连接AD.则： ①线段AD和线段BC的位置关系是（直接写出结果）· ②AD= cm 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【深入探究】 (2)如图2，D为等边△ABC外一点，BD=CD,∠BDC=120°，点M和点N分别为等边△ABC的边AB 和AC上任意一点，∠MDN=6O°，试探究线段BM,CN和MN的数量关系，并加以证明. 【拓展应用】 (3)①把(2)中的条件“点M和点N为等边△ABC的边AB和AC上任意一点”改为“点M和点N为直 线AB和直线AC上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段BM,CN和MN的数量关系. ②当(2)中的点M和点N在等边△ABC的边AB和AC上运动时，记△AMN的周长为P,记△ABC的周长 为Q,则o的值是否改变？若不变，请求出0的值：若改变，请说明理由. M D 图1 图2 10/10 专题05 全等三角形模型之截长补短模型与倍长中线模型的二类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 题型二、全等三角形之倍长中线模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 【截长补短模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2） 补短：将短线段延长，证与长线段相等。 【倍长中线模型及证法】 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 典例1（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、． (1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、． ①求证：； ②若，连接，求的度数； (2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值． 【答案】(1)①证明：，， 为等边三角形， 则，， ，， ， ，， ， 在与中， ， ， ； ② (2) 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）①由，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②证明即可解决问题； （2）如图2，在上取，连接，推出，根据全等三角形的性质得到，，证得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）①略 ②如图1，取的中点连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：如图2，在上取，连接， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ． 题型模版 1.特征：证明一条线段等于两条线段之和或差，需通过截长或补短构造全等三角形。 2.方法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段使等于长线段（补短），构造全等后转化证明。 变式1-1（24-25八年级上·湖北武汉·期中）学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 【答案】（1）； （2）证明：如图2，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）13 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出的取值范围为，从而得到； （2）如图2，延长至点G，使，连接，证明，，通过三角形面积转化得到结论； （3）先证明，如图3，在上截取，，连接，通过三角形全等和三角形面积转化，得出的面积． 【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 略 （3）解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，在上截取，，连接， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，，，， 过点N作于点P，过点E作于点Q， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 故答案为：13． 变式1-2（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2) 解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ (3) 解：结论不成立，结论：． 证明：如图中，在上截取，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （）结论不成立，结论：．如图中，在上截取，使，连接，证明和即可求证； 本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 题型二、全等三角形之倍长中线模型 典例2 （25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，中，D、E在上，平分，且，．求证：． 【答案】 证明：如图，延长至G，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ，即为等腰三角形， 则， 平分， ，则， 又， ， ． 【分析】延长至G，使得，连接，利用“”易证，得，，根据“等边对等角”，得，根据角平分线的定义可得，等量代换可得，根据“同位角相等，两直线平行”即可求证． 【详解】略 题型模版 1.特征：已知三角形中线，常通过倍长中线构造全等三角形，将分散条件集中。 2.方法：延长中线至其两倍，连接构造平行四边形或全等三角形，利用对应边角相等转化已知条件。 变式2-1（25-26八年级上·河南安阳·期中）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 变式2-2（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：； 理由如下：延长至点H，使，连接，如图： ， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解； （3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长交的延长线于H， ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴； （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 整理得． 故选：B． 2．（25-26八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，， ，易证得，可得，即可对④进行判断. 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图 ∵， ∴ ∴ 则在中，， ∴，故②正确； 点是线段上的一个动点(点不与点重合)，连接，如图 ∵， ∴， 又∵与的面积相等， ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点是所在直线上的两个动点(点与点不重合)，若，连接，如图， 由，， ， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：B. 二、填空题 4．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·湖南岳阳·阶段检测）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 6．（25-26八年级上·北京·阶段检测）如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 【答案】②④ 【分析】①在线段上截取，连接，可证，得，，可证，得，即； ②当时，，由得，利用角的和差可证，即； ③由得，利用角的和差可证，则与不一定相等； ④由得，利用角的和差可证，，由三角形全等的性质可证，从而可证． 【详解】解：①在线段上截取，连接， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 则①错误； ②当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 则②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 则当时，， 此时， 但题目中未给出的具体值，所以与不一定相等； 则③错误； ④∵， ∴， ∴， 由③得， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； 则④正确； 故答案为：②④． 三、解答题 7．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 【答案】（1）∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）米． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质等，熟练掌握一线三等角的全等模型和倍长中线的全等模型是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等腰的性质证明，再根据倍长中线证明，最后通过等量代换求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）过点作，交的延长线于点，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴米， ∵米， ∴（米）． 8．（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1) 若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________． ②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________． 【拓展应用】 ①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值． 【答案】[性质探究]①3；②； [拓展应用]①．理由如下： 如图2，延长到点H，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【分析】[性质探究]①根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可； ②根据题干求解思路和三角形的三边关系求解即可； [拓展应用]①如图2，延长到点H，使，连接，证明得到，，则，利用平行线的性质和等边对等角推导出，则，进而可得结论； ②作交于P，过E作于T，证明得到，，，则；根据三角形的中线性质，结合图形中推导出，根据垂线段最短和三角形的面积公式得到，进而可求解． 【详解】解：[拓展应用] ①∵在中，是的中点，的面积为6， ∴的面积为， 故答案为：3； ②如图1，延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴； [拓展应用] ①略 ②如图3，作交于P，过E作于T， ∵是的角平分线， ∴，又， ∴， ∴，，， ∴； ∵是的中点， ∴, 设， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故的最大值为． 10．（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【详解】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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