第二章 一元二次方程 培优单元卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程单元核心，以“基础巩固-能力提升-拓展创新”分层设计，通过概念理解、运算应用到综合探究的递进路径，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|根的判别式、解方程、根与系数关系|选择1-5直接考查概念，填空11-13强化基础运算，夯实知识根基| |能力提升|实际应用（增长率/面积）、配方、根的性质|选择6-10结合生活情境，解答18-20需方程建模，提升应用能力| |拓展创新|换元法、新定义（友好方程）|解答22-23通过阅读材料与新定义问题，培养创新思维与推理能力|

第二章 一元二次方程 培优单元卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．关于一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）． A．-7 B．7 C．-8 D．8 3．若等腰三角形的三边长均满足方程x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 4．关于x的方程x2+2x+m＝0有两个根为x1、x2，则x1+x2＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 5．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 6．某景区2024年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2026年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 7．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 8．如图，长为20m、宽为15m的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为252m2，若设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为（　　） A．x2+20×15﹣2x＝252 B．20×15﹣20x﹣2×15x＝252 C．（20﹣x）（15﹣2x）＝252 D．（20﹣2x）（15﹣x）＝252 9．甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（　　） A．x2+4x﹣15＝0 B．x2﹣4x+15＝0 C．x2+4x+15＝0 D．x2﹣4x﹣15＝0 10．设关于x的方程x2+（a﹣2）x+5﹣a＝0在2＜x＜4范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣6＜a＜﹣2 B．﹣6＜a＜﹣4 C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．一元二次方程x2﹣x＝0的解是__________． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 12．代数式的最大值为　　 ． 13．若a是方程3x2﹣5x+2＝0的根，则﹣6a2+10a﹣5＝　　 ． 14．已知k是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则k2﹣k＝　　 ． 15．若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根，则的值为　　 ． 16．我们把关于x的一元二次方程和称为“同族二次方程”，若方程2（y﹣1）2+3＝0和ay2+y+c＝0是关于y的“同族二次方程”，则c的值为 　　 ． 三、解答题（本大题共7个小题，共66分） 17．解方程：①x2+2x﹣4＝0； ②x（x﹣3）＝2x﹣6； ③3x2+2x﹣2＝0； ④． 18．已知关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值． 20．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 21．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 22．阅读下列材料：已知实数m、n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝y， 则原方程可化为（y+1）（y﹣1）＝80，即y2＝81； 解得y＝±9． ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为360，直接写出这四个连续的正整数为 　　 ． （2）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （3）解方程x2﹣3|x|+2＝0． 23．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0． （1）写出一元二次方程x2+3x﹣10＝0的“友好方程”　　 ； （2）已知一元二次方程x2+3x﹣10＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣5，它的“友好方程”的两根x3＝ 　　 ，x4＝ 　 ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1，x2，与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为 　 ； （3）已知关于x的方程2024x2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程c（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2024的两根． 参考答案 第二章 一元二次方程 培优单元卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．关于一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0判别式Δ＝b2﹣4ac＝32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 2．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）． A．-7 B．7 C．-8 D．8 【解答】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 3．若等腰三角形的三边长均满足方程x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 【解答】解：（x﹣2）（x﹣5）＝0， x﹣2＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝2，x2＝5， 因为2+2＝4＜5， 所以等腰三角形的三边长分别为5，5，2或5、5、5或2、2、2， 所以等腰三角形的周长为12，或15或6． 故选：D． 4．关于x的方程x2+2x+m＝0有两个根为x1、x2，则x1+x2＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【解答】解：由题意，根据根与系数的关系得， ∴． 故选：D． 5．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0， 解得m≤1， 故选：B． 6．某景区2024年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2026年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故选：B． 7．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 【解答】解：x2+6x+c＝0， x2+6x＝﹣c， x2+6x+9＝﹣c+9， （x+3）2＝﹣c+9． ∵（x+3）2＝2c， ∴2c＝﹣c+9，解得c＝3， 故选：C． 8．如图，长为20m、宽为15m的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为252m2，若设小道的宽为xm，则根据题意，可列方程为（　　） A．x2+20×15﹣2x＝252 B．20×15﹣20x﹣2×15x＝252 C．（20﹣x）（15﹣2x）＝252 D．（20﹣2x）（15﹣x）＝252 【解答】解：可列方程为（20﹣2x）（15﹣x）＝252， 故选：D． 9．甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（　　） A．x2+4x﹣15＝0 B．x2﹣4x+15＝0 C．x2+4x+15＝0 D．x2﹣4x﹣15＝0 【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得 α+β4，αβ15， 令a＝1，那么关于α、β的一元二次方程是x2﹣4x﹣15＝0． 故选：D． 10．设关于x的方程x2+（a﹣2）x+5﹣a＝0在2＜x＜4范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣6＜a＜﹣2 B．﹣6＜a＜﹣4 C． D． 【解答】解：由题意，设y＝x2+（a﹣2）x+5﹣a， ∴， ∴由①得：a＜﹣4或a＞4， 由②得：a＞﹣5， 由③得：， 由④得：﹣6＜a＜﹣2， ∴原不等式组的解集为：． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 x1＝0，x2＝1　 ． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 12．代数式的最大值为　3　 ． 【解答】解：﹣m2+3m（m）2+3， ∵﹣（m）2≤0， ∴﹣（m）2+3≤3， ∴原式的最大值为3． 故答案为：3． 13．若a是方程3x2﹣5x+2＝0的根，则﹣6a2+10a﹣5＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵a是方程3x2﹣5x+2＝0的根， ∴3a2﹣5a＝﹣2， ∴3a2﹣5a＝﹣2， ∴﹣6a2+10a﹣5＝﹣2（3a2﹣5a）﹣5＝﹣2×（﹣2）﹣5＝﹣1． 故答案为﹣1． 14．已知k是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则k2﹣k＝　2　 ． 【解答】解：∵k是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根， ∴x＝k满足该方程，即k2﹣k﹣2＝0， 解得k2﹣k＝2． 故答案为：2． 15．若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根，则的值为　　 ． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根， ∴x1+x23，x1•x25， ∴， 故答案为：． 16．我们把关于x的一元二次方程和称为“同族二次方程”，若方程2（y﹣1）2+3＝0和ay2+y+c＝0是关于y的“同族二次方程”，则c的值为 　　 ． 【解答】解：∵方程2（y﹣1）2+3＝0和ay2+y+c＝0是关于y的“同族二次方程”， ∴ay2+y+c＝0可表示为a（y﹣1）2+3＝0， 整理得ay2﹣2ay+a+3＝0， ∴﹣2a＝1，c＝a+3， 解得a， ∴c3． 三、解答题（本大题共7个小题，共66分） 17．解方程：①x2+2x﹣4＝0； ②x（x﹣3）＝2x﹣6； ③3x2+2x﹣2＝0； ④． 解：①x2+2x﹣4＝0， 移项，得x2+2x＝4， 两边同时加上1，得x2+2x+1＝5， 即（x+1）2＝5， ∴， 解得：，； ②x（x﹣3）＝2x﹣6， 移项，得x（x﹣3）﹣（2x﹣6）＝0， 方程左边分解因式，得（x﹣3）（x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝3，x2＝2； ③3x2+2x﹣2＝0， a＝3，b＝2，c＝﹣2， b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣2）＝4+24＝28＞0， ∴， ∴，； ④， 去分母，得3x2+5x＝2， 移项，得3x2+5x﹣2＝0， a＝3，b＝5，c＝﹣2， b2﹣4ac＝52﹣4×3×（﹣2）＝25+24＝49＞0， ∴x1＝﹣2，． 18．已知关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根． 【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即（2a+1）2﹣4a2＞0时， 解得a； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即（2a+1）2﹣4a2＝0， 解得a， ∴方程为x2x0， ∴（x）2＝0， ∴x0， ∴x1＝x2． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为正整数，求负整数m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0， ∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：x2﹣（m+3）x+m+2＝0， （x﹣1）[x﹣（m+2）]＝0， ∴x＝1，x＝m+2， ∴m+2＞0，m＞﹣2， ∵m是负整数， ∴m＝﹣1． 20．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝77﹣4x+3＝（80﹣4x）米， 根据题意可得x（80﹣4x）＝300， 解得x1＝5，x2＝15， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，AD＝80﹣4×5＝60（米），不合题意， ∴x＝15米． 答：边AB的长为15米； （2）若羊圈的总面积不能为440平方米， 则结合（1）可得 x（80﹣4x）＝440， 整理，得 x2﹣20x+110＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0， ∴羊圈的总面积不能为440平方米． 21．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【解答】解：（1）设3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x， 由题意得：200（1+x）2＝338， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， 答：3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元， 由题意得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 整理得：y2+44y﹣92＝0， 解得：y1＝2，y2＝﹣46（，不符合题意，舍去）， 答：每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 22．阅读下列材料：已知实数m、n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝y， 则原方程可化为（y+1）（y﹣1）＝80，即y2＝81； 解得y＝±9． ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为360，直接写出这四个连续的正整数为 　3，4，5，6　 ． （2）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （3）解方程x2﹣3|x|+2＝0． 【解答】解：（1）设最小数为x，则x（x+1）（x+2）（x+3）＝360， 即：（x2+3x）（x2+3x+2）＝360， 设x2+3x＝y，则y2+2y﹣360＝0， ∴y1＝18，y2＝﹣20， ∵x为正整数， ∴y＝x2+3x＝18， ∴x1＝3，x2＝﹣6＜0（舍去）， ∴这四个整数为3，4，5，6． 故答案为：3，4，5，6． （2）设2x2+2y2＝t． ∵（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27， ∴t2﹣9＝27， ∴t2＝36， ∵t≥0， ∴t＝6， ∴2x2+2y2＝6， ∴x2+y2＝3； （3）x2﹣3|x|+2＝0， |x|2﹣3|x|+2＝0， 设|x|＝t，则t≥0， ∴t2﹣3t+2＝（t﹣1）（t﹣2）＝0， ∴t﹣1＝0或t﹣2＝0， ∴t1＝1，t2＝2， ∴|x|＝1或|x|＝2， ∴x1＝﹣1，x2＝1，x3＝﹣2，x4＝2； 23．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0． （1）写出一元二次方程x2+3x﹣10＝0的“友好方程”　10x2﹣3x﹣1＝0　 ； （2）已知一元二次方程x2+3x﹣10＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣5，它的“友好方程”的两根x3＝ 　　 ，x4＝ 　　 ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1，x2，与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为 　互为倒数　 ； （3）已知关于x的方程2024x2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程c（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2024的两根． 【解答】解：（1）由“友好方程”的定义可知， 一元二次方程x2+3x﹣10＝0的“友好方程”为﹣10x2+3x+1＝0，即10x2﹣3x﹣1＝0， 故答案为：10x2﹣3x﹣1＝0； （2）由（1）可知，一元二次方程x2+3x﹣10＝0的友好方程为10x2﹣3x﹣1＝0， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想ax2+bx+c＝0的两根x1，x2，与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； （3）已知关于x的方程2024x2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，， 那么cx2+bx+2024＝0的两个根分别是x3＝﹣1，x4＝2024， 将c（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2024整理为：c（x﹣1）2+b（x﹣1）+2024＝0， 那么有x﹣1＝﹣1或x﹣1＝2014， 即x5＝0，x6＝2025． ∴关于x的方程c（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2024的两根为x＝0或x＝2025． 学科网（北京）股份有限公司 $