第二章 一元二次方程 单元检测卷 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元检测卷，涵盖方程概念、解法、根的性质及实际应用，题型全面，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养运算能力、模型意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|一般形式、解法、根的判别式、实际应用（销售、增长率）|结合几何情境（矩形折叠问题）、古代数学方法（赵爽构图），考查抽象能力| |填空题|6题|根与系数关系、新定义运算、等腰三角形与方程综合|创新设计“降次法”转化高次代数式，培养推理意识| |解答题|7题|因式分解法、配方法、利润问题、增长率问题|综合应用题（销售利润、增长率）体现模型意识，注重运算能力与实际应用能力|

第二章 一元二次方程 单元检测卷 一、单选题 1．方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是 (　　) A．x2－5x+5=0 B．x2+5x+5=0 C．x2+5x－5=0 D．x2+5=0 2．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600 C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600 3．已知一元二次方程的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是 A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（　　）． A． B． C． D． 5．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0 6．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角三角形的面积是（　　） A．6 B．12 C．12或 D．6或 9．已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 ，且 ，则k的值是（　　） A．－2 B．2 C．－1 D．1 10．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 11．已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为（　　） A．-7 B．-3 C．2 D．5 12．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为　 　. 14．对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若 ，则x的值为　 　. 15．已知关于x的一元二次方程 的一个根比另一个根大2，则m的值为　 　. 16．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为　 　． 17．已知关于 的一元二次方程 ，有下列结论： ①当 时，方程有两个不相等的实根； ②当 时，方程不可能有两个异号的实根； ③当 时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为　 　． 18．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 即 为例加以说明.数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，据此易得 .那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程 的正确构图是　 　.（只填序号） 三、解答题 19．按要求解下列方程： （1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）； （2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）． 20．解下列方程． （1） （用配方法）； （2） ． 21．已知关于x的一元二次方程 有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且 ，求m的值． 22．已知关于x的一元二次方程 有 ， 两实数根. （1）若 ，求 及 的值； （2）是否存在实数 ，满足 ？若存在，求出求实数 的值；若不存在，请说明理由. 23．列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 24．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 25．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价 （元/件） 60 65 70 销售量 （件） 1400 1300 1200 （1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围） （2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】一元二次方程x2-2（3x-2)+（x+1)=0的一般形式是x2-5x+5=0． 故选A． 【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化 2．【答案】D 【解析】【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， 根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600. 故答案为：D. 【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积=长×宽可得出关于x的一元二次方程. 3．【答案】A 【解析】【分析】解得，∴较小根为。 ∵， ∴。故选A。 4．【答案】A 【解析】【解答】解： 移项得 ， 二次项系数化1的 ， 配方得 即 故答案为：A 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意可得，（2k-1）2-4×k×（k-2）＞0，k≠0 4k2+1-4k-4k（k-2）＞0 4k2+1-4k-4k2+8k＞0 4k+1＞0 4k＞-1 k＞- ∴k＞-且k≠0 故答案为：C. 【分析】根据一元二次方程的含义、一元二次方程根的判别式，计算得到k的取值范围。 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ， ∴ = = = = = ， ∵ ，且 ， ∴ ， ∴原式= ， 故答案为：C. 【分析】先求得 ，代入 即可得出答案. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：设有x个班级参加比赛， ， ， 解得： （舍）， 则共有6个班级参加比赛， 故答案为：B. 【分析】设有x个班级参加比赛，由于单循环形式，可得x个班级比赛场数为，据此列出方程，解之即可. 8．【答案】D 【解析】【解答】解方程 得 ， 当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为 ； 当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 ，面积为 ； 则该直角三角形的面积是6或 ， 故答案为：D. 【分析】先求出方程的解，然后分两种情况：①当3和4分别为直角三角形的直角边，直接利用三角形的面积公式求解即可；②当4为斜边，3为直角边，先利用勾股定理求出另一直角边，再求出面积即可. 9．【答案】D 【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ， ， ， ， ， ， 整理得出： ， 解得： ， 故答案为：D. 【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得，，再将变形为，然后整体代入可得关于k的方程，求出k值即可. 10．【答案】B 【解析】【解答】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故答案为：B 【分析】小红看错了常数项q，可得到两根之和-2，小明看错了一次项系数P，可得到两根之积为-20，由此可得到原来的方程. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 ， ， ∴ ，即： ， + =3， ∴ = -2( + )=-1-2×3=-7. 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与，然后将其代入变形后的代数式求值即可. 12．【答案】D 【解析】【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得： ． 故答案为：D． 【分析】总营业额=4月营业额+5月营业额+6月营业额，列出相应关系式， 13．【答案】3 【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根， ∴m2+3m-1=0， ∴3m-1=-m2， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴ ， 故答案为：3. 【分析】根据一元二次方程的根及根与系数关系，可得m2+3m-1=0，m+n=-3，然后整体代入计算即可. 14．【答案】-1或2 【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： ， 整理可得 ， 解得 ， ， 故答案为：-1或2. 【分析】利用定义新运算可得，然后求出方程的解即可. 15．【答案】1 【解析】【解答】解： （x-3m）（x-m）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 解得x1=3m,x2=m， ∴3m-m=2 解得m=1 故答案为：1. 【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解. 16．【答案】8或9 【解析】【解答】解：由题意，分以下两种情况： （1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于 的方程 的一个根， 因此有 ， 解得 ， 则方程为 ，解得另一个根为 ， 此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理； （2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根， 因此，根的判别式 ， 解得n=9， 则方程为 ，解得方程的根为 ， 此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理； 综上， 的值为8或9， 故答案为：8或9． 【分析】当4为等腰三角形的腰长时，将x=4代入原一元一次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=4符合题意；当4为等腰三角形的底边长时，利用等腰三角形的性质可得出的判别式 ，解之可得n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合题意。 17．【答案】①③④ 【解析】【解答】解：根据题意，∵一元二次方程 ， ∴ ； ∴当 ，即 时，方程有两个不相等的实根；故①符合题意； 当 ，解得： ，方程有两个同号的实数根，则当 时，方程可能有两个异号的实根；故②不符合题意； 抛物线的对称轴为： ，则当 时，方程的两个实根不可能都小于1；故③符合题意； 由 ，则 ，解得： 或 ；故④符合题意； ∴正确的结论有①③④； 故答案为：①③④． 【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案． 18．【答案】② 【解析】【解答】解： 即 ， 构造如图 中大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ， 据此易得 。 故答案为： 。 【分析】仿照题干提供的构造方法，构建面积是的大正方形，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 ，从而即可得出方程，求解即可。 19．【答案】（1）解：（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0， 2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0， 所以x1＝ ，x2＝1 （2）解：x2﹣2x＝ ， x2﹣2x+1＝ +1， （x﹣1）2＝ ， x﹣1＝± ， 所以x1＝1+ ，x2＝1﹣ ． 【解析】(1)解：由（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0， 得2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0， 所以x1＝ ，x2＝1 (2)解：x2﹣2x＝ ， x2﹣2x+1＝ +1， （x﹣1）2＝ ， x﹣1＝± 所以x＝1± 【分析】此题考查因式分解解二元一次方程和用配方法解二元一次方程，关键在于掌握这2种解方程的方法即可。 20．【答案】（1）解： ； ． （2）解： 或 ； ； 【解析】【分析】（1）利用配方法解方程求解即可； （2）利用因式分解法解方程求解即可。 21．【答案】解：①根据题意得： ， 解得： ， ②根据题意得： ， ， ， 解得： ， （不合题意，舍去）， ∴m的值为 ． 【解析】【分析】（1）、根据题意结合判别式公式，得到关于m的关系式，解出答案即可 （2）、仔细审题结合一元二次方程根与系数的关系列出关于m的一元二次方程，解出m再结合（1）的结果可得出答案 22．【答案】（1）解：由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0， ∴m<5， 将x1=1代入原方程得：m=3， 又∵x1•x2=2m−1=5， ∴x2=5，m=3 （2）解：设存在实数m，满足 ，那么 有 ， 即 ， 整理得： ， 解得 或 . 由（1）可知 ， ∴ 舍去，从而 ， 综上所述：存在 符合题意 【解析】【分析】（1）由题意可得△≥0，据从求出m≤5，再将x1=1代入原方程得m=3，利用根与系数的关系可得x1•x2=2m−1=5，从而求出； （2）利用根与系数的关系可得x1+x2=6，x1•x2=2m−1，代入可得 ，解出m值并检验即可. 23．【答案】解：设这种水果每千克降价 元， 则每千克的利润为： 元，销售量为： 千克， 整理得， 或 ， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为 （元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【解析】【分析】每千克利润=售价-进价，总利润=每千克利润×销售量 解题关键：找等量关系，列出一元二次方程。 24．【答案】（1）解：设每件的售价定为x元， 则有： ， 解得： (舍)， 答：每件售价为50元 （2）解：设该商品至少打m折， 根据题意得： ， 解得： ， 答：至少打八折销售价格不超过50元． 【解析】【分析】（1）根据等量关系列出一元二次方程，求出答案即可； （2）根据销售价格不超过50元，列出不等式求出答案即可。 25．【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0）， 把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得， ， 解得， ， ∴ 与 之间的函数表达式为 ； （2）解：设该种衬衫售价为x元，根据题意得， （x-50）(-20x+2600)=24000 解得， ， ， ∵批发商场想尽量给客户实惠， ∴ ， 故这种衬衫定价为每件70元； （3）解：设售价定为x元，则有： = ∵ ∴ ∵k=-20＜0， ∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）. 所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元. 【解析】【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少. 1 学科网（北京）股份有限公司 $