第九讲 直线的点斜式方程、斜截式方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案围绕直线的点斜式、斜截式方程展开，通过点和方向的几何要素引导学生利用斜率公式探索方程，衔接倾斜角、斜率等前置知识，以表格对比方程形式与局限性，搭建题型分类的学习支架。 资料以探究过程培养学生数学眼光，通过分层题型训练发展数学思维，强调“直线的方程”与“方程的直线”的理解提升数学语言表达，帮助学生构建知识体系，习题覆盖基础应用到综合问题，适合自主学习与课堂教学。

第九讲 直线的点斜式方程、斜截式方程 【学习目标】1.能根据确定直线位置的几何要素：点和方向，经历利用斜率公式探索点斜式方程的过程，得出点斜式方程，并能解释“直线的方程”和“方程的直线”； 2.能通过特殊化，得出直线的斜截式方程； 3.能利用点斜式方程解决一些简单问题． 【学习重点】直线的点斜式方程的求法. 【学习难点】对建立直线上任意一点与其他要素之间关系中“任意一点”的理解，对直线的方程、方程的直线的认识． 必掌握知识点： 1 直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点 为斜率 不包括垂直于轴的直线 斜截式 为斜率 是直线在轴上的截距 不包括垂直于轴的直线 (1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. 必考题型全归纳： 题型一：直线点斜式方程基础 点斜式公式：若直线过点，斜率为，则直线方程：。 适用条件：直线斜率存在（倾斜角不等于）； 核心用法： ①已知一点 + 斜率，直接写方程； ②已知一点 + 倾斜角，先算，再代入点斜式。 1．过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 3．过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（   ） A． B． C． D． 题型二：倾斜角与斜率换算 倾斜角范围：； 斜率公式：；时斜率不存在； 倾斜角互补：两条直线倾斜角互补，则斜率互为相反数； 倾斜角加减旋转：直线绕定点旋转，倾斜角增加 / 减少旋转角度，再用正切求新斜率。 4．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．经过点，且倾斜角是的直线方程是（   ） A． B． C． D． 题型三：平行、垂直直线斜率关系 设两条直线斜率分别，前提两直线斜率都存在： 两直线平行：； 两直线垂直：； 解题步骤：先由已知直线得到斜率，再用平行 / 垂直得到目标直线斜率，配合直线上一点，用点斜式写方程。 7．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 题型四：方向向量求直线斜率 若直线方向向量，，则直线斜率。 拿到方向向量，先换算出斜率，再结合直线上的点，代入点斜式写出直线方程。 10．过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：垂直平分线（中点 + 垂直斜率） 求线段垂直平分线两步： 求中点坐标：； 求斜率，垂直平分线斜率； 将中点和垂直斜率代入点斜式，得到垂直平分线方程。 11．已知两点，则线段AB的垂直平分线方程为（   ） A． B． C． D． 12．已知两点，，则线段AB的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型六：直线定点问题（点斜式变形识别定点） 方程写成形式，无论取何值，直线恒过定点； 做题技巧：把方程整理成标准点斜式，直接读出定点与斜率。 13．若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 14．已知直线的方程是，则由点斜式知该直线经过的定点、斜率分别为（    ） A．（－1，2），－1 B．（2，－1），－1 C．（－1，－2），－1 D．（－2，－1），1 题型七：斜截式，截距与图像判断 斜截式：，为斜率，为轴截距； 直线上升；直线下降； ，直线交轴正半轴；交轴负半轴； 轴截距：令，解出的值； 根据正负，判断直线图像、经过哪些象限。 15．过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 16．方程表示的直线可能是 A．B． C． D． 17．在平面直角坐标系中，过点(2，1)且倾斜角为的直线不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 巩固提升： 1 已知在直角坐标系中，等边中与原点重合，若的斜率为，则的斜率可能为 . 2.已知，则直线的倾斜角的取值范围是 . 3.已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 . 4. 在线段上运动，已知，则的取值范围是 . 5．已知直线经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 6．经过点，且倾斜角是的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九讲 直线的点斜式方程、斜截式方程 【学习目标】1.能根据确定直线位置的几何要素：点和方向，经历利用斜率公式探索点斜式方程的过程，得出点斜式方程，并能解释“直线的方程”和“方程的直线”； 2.能通过特殊化，得出直线的斜截式方程； 3.能利用点斜式方程解决一些简单问题． 【学习重点】直线的点斜式方程的求法. 【学习难点】对建立直线上任意一点与其他要素之间关系中“任意一点”的理解，对直线的方程、方程的直线的认识． 必掌握知识点： 1 直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点 为斜率 不包括垂直于轴的直线 斜截式 为斜率 是直线在轴上的截距 不包括垂直于轴的直线 (1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否. 必考题型全归纳： 题型一：直线点斜式方程基础 点斜式公式：若直线过点，斜率为，则直线方程：。 适用条件：直线斜率存在（倾斜角不等于）； 核心用法： ①已知一点 + 斜率，直接写方程； ②已知一点 + 倾斜角，先算，再代入点斜式。 1．过点，斜率为2的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用直线方程的点斜式求出方程即得. 【详解】依题意，所求直线方程为，即.故选：B 2．经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为.故选：B 3．过点且斜率为2的直线的点斜式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点斜式方程即可求解. 【详解】由题意直线方程为：，故选：B 题型二：倾斜角与斜率换算 倾斜角范围：； 斜率公式：；时斜率不存在； 倾斜角互补：两条直线倾斜角互补，则斜率互为相反数； 倾斜角加减旋转：直线绕定点旋转，倾斜角增加 / 减少旋转角度，再用正切求新斜率。 4．过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即.故选：C. 5．若直线l的倾斜角与直线的倾斜角互补，则l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜截式特征，结合直线倾斜角和斜率的关系进行求解即可. 【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以有，的补角为，所以l的倾斜角为.故选：B 6．经过点，且倾斜角是的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由及直线的点斜式直线方程求解即可. 【详解】因为，所以．故选：D 题型三：平行、垂直直线斜率关系 设两条直线斜率分别，前提两直线斜率都存在： 两直线平行：； 两直线垂直：； 解题步骤：先由已知直线得到斜率，再用平行 / 垂直得到目标直线斜率，配合直线上一点，用点斜式写方程。 7．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得， 整理得，即. 8．过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得．故选：A． 9．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直可得直线的斜率，再由点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线的斜率为，直线与该直线垂直， 所以直线的斜率，又直线经过点，所以直线的方程为即.故选：D. 题型四：方向向量求直线斜率 若直线方向向量，，则直线斜率。 拿到方向向量，先换算出斜率，再结合直线上的点，代入点斜式写出直线方程。 10．过点且方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又因为直线过点，所以所求直线方程为，即.故选：A. 题型五：垂直平分线（中点 + 垂直斜率） 求线段垂直平分线两步： 求中点坐标：； 求斜率，垂直平分线斜率； 将中点和垂直斜率代入点斜式，得到垂直平分线方程。 11．已知两点，则线段AB的垂直平分线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出线段的中点坐标及直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】两点，则线段的中点，直线的斜率为， 所以线段AB的垂直平分线方程为，即.故选：D 12．已知两点，，则线段AB的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线AB的斜率及线段AB的中点，再借助直线方程的点斜式即可作答. 【详解】依题意，，则线段AB的垂直平分线的斜率为，又A，B两点的中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即.故选：B 题型六：直线定点问题（点斜式变形识别定点） 方程写成形式，无论取何值，直线恒过定点； 做题技巧：把方程整理成标准点斜式，直接读出定点与斜率。 13．若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程，再逐项判断即可. 【详解】依题意，直线的方程为，即， 对于A，当时，，A不是； 对于B，当时，，B不是； 对于C，当时，，C是； 对于D，当时，，D不是.故选：C 14．已知直线的方程是，则由点斜式知该直线经过的定点、斜率分别为（    ） A．（－1，2），－1 B．（2，－1），－1 C．（－1，－2），－1 D．（－2，－1），1 【答案】C 【分析】把方程化为点斜式即可. 【详解】由，得，所以直线的斜率为－1，过定点（－1，－2）． 故选：C. 题型七：斜截式，截距与图像判断 斜截式：，为斜率，为轴截距； 直线上升；直线下降； ，直线交轴正半轴；交轴负半轴； 轴截距：令，解出的值； 根据正负，判断直线图像、经过哪些象限。 15．过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求斜率再由点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题知的斜率为，所以的方程为，令，得.故选：B. 16．方程表示的直线可能是 A．B． C． D． 【答案】C 【解析】分和两种情况讨论，即得答案. 【详解】由题意，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选. 故选：. 【点睛】本题考查由直线方程识别图象，考查分类讨论，属于基础题. 17．在平面直角坐标系中，过点(2，1)且倾斜角为的直线不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由倾斜角可知直线斜率，再根据点斜式可得直线方程，进而得到直线不经过的象限． 【详解】由题得，且直线过点，则直线方程为， 整理有，该直线过点和，可知直线经过一，二，四象限，故选C．【点睛】直线的位置由直线的斜率和截距决定． 巩固提升： 1 已知在直角坐标系中，等边中与原点重合，若的斜率为，则的斜率可能为 . 【答案】 【解析】设的倾斜角，的倾斜角，则或，， 当时，， 当时，． 2.已知，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 ． 【解析】如图所示， 由，，可得斜率，， 因为直线与线段相交，所以直线的倾斜角的取值范围是． 3.已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【解析】点，过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率或， 的斜率为，的斜率为， 直线的斜率或，故选： 4. 在线段上运动，已知，则的取值范围是 . 【答案】 [，] 【解析】如图： 表示线段上的点与连线的斜率，，， 则的取值范围是[，]． 5．已知直线经过点，且倾斜角为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【详解】倾斜角为，斜率为，由点斜式得，即.故选：D. 6．经过点，且倾斜角是的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倾斜角先求斜率，根据直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角是，所以斜率， 又经过点，所以直线的方程是.故选：B. 7．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切的和角公式与直线方程的点斜式求解即可 【详解】设直线的倾斜角为，则， 又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线， 所以直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 故直线的方程是，即，故选：D． 8．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $