2.2.2 直线的两点式方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线的两点式、截距式方程及中点坐标公式，通过5个递进式探究问题导入，从已知两点确定直线关系出发，引导学生变形点斜式推导两点式，再结合坐标轴截距得出截距式，搭建起从旧知（点斜式）到新知的学习支架。 资料通过表格梳理方程条件、形式及适用范围，搭配温馨提示强调注意事项，典例分角度设计并附解题感悟，变式探究与课堂达标检测结合，助力学生发展数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型观念、应用意识），提升自主探究与问题解决效率。

2.2.2 直线的两点式方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例掌握直线的两点式、截距式方程. 2.了解两点的中点坐标公式. 3.会求直线的两点式、截距式方程，能利用直线的两点式、截距式方程、中点坐标公式解决相应的问题. 一、直线的两点式、截距式方程 探究1　已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2），因为两点确定一条直线，所以直线是唯一确定的.也就是说，对于直线l上的任意一点，它的坐标与点P1，P2的坐标之间具有唯一确定的关系.这一关系是什么呢？ 探究2　当y1≠y2时，如何变形y－y1＝·（x－x1），使得式子y在左侧，x在右侧？ 探究3　探究1和2的结果一样吗？它们能表示所有直线吗？ 探究4　如图，若给定直线上两点A（a，0），B（0，b）（a≠0，b≠0），你能否得出直线l的方程呢？ 探究5　探究4的结果与探究2的结果有什么联系？不能表示哪些直线？ ★梳理教材 名称 两点式 截距式 条件 两点P1（x1，y1）， P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2 ） 在x轴，y轴上的截距分别为a，b（其中a≠0，b≠0） 示意图 方程 适用范围 线段的中点坐标公式 点P（x，y）是线段P1P2的中点，其中P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x＝ ，y＝ . ★温馨提示　（1）①对于两点式中的两点，只要是直线上的两个不同点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关. ②把直线的两点式方程化为（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1），则该方程表示过平面内任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）的直线. （2）①如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程. ②将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. ③与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示；过原点的直线的横、纵截距都为零. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.（ 　） （2）方程＝和（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）适用的范围相同.（ 　） （3）不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示.（ 　） （4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示.（ 　） 角度1　直线的两点式方程 【典例1】　已知三角形的顶点是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求边AC所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程. ★解题感悟 直线的两点式方程的适用条件及注意点 （1）适用条件：已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，可以利用直线的两点式求其方程. （2）注意点：对于两点式中的两点，只要是直线上的两个点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关，但书写时坐标顺序要一致. 提醒：已知两点坐标，求过这两点的直线方程时也可以先求斜率，再用点斜式求其方程. 【练习1】　已知直线经过点A（1，0），B（m，1），求这条直线的方程. 角度2　直线的截距式方程 【典例2】　直线l过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程. 【变式探究】　在本典例中若改为“截距之积为6”，又如何求直线l的方程？ ★解题感悟 应用截距式方程的注意事项 （1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. （2）选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. （3）要注意直线的截距式方程的逆向应用. 【练习2】　已知直线l经过点P（4，3），且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 二、直线的两点式、截距式方程的综合应用 【典例3】　在△ABC中，已知点A（5，－2），B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上. （1）求点C的坐标； （2）求直线MN的方程. ★解题感悟 求直线方程时方程形式的选择技巧 （1）已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程. （2）已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距. （3）已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程. （4）已知直线上两点时，通常选用两点式方程. 【练习3】　已知直线l过点P（－2，1）. （1）当直线l与点B（－5，4），C（3，2）的距离相等时，求直线l的方程； （2）当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为时，求直线l的方程. ★课堂达标 1.经过M（3，2）与N（6，2）两点的直线方程为（ 　） A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6 2.（多选）过点（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ 　） A.y＝x B.x＋y＝5 C.y＝－x D.x＋y＋5＝0 3.已知点A（3，2），B（－1，4），则经过点C（2，5）且经过线段AB的中点的直线方程为 . 4.直线l经过点A（－3，4），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为 . 解析版 ★学习目标　1.结合教材实例掌握直线的两点式、截距式方程. 2.了解两点的中点坐标公式. 3.会求直线的两点式、截距式方程，能利用直线的两点式、截距式方程、中点坐标公式解决相应的问题. 一、直线的两点式、截距式方程 探究1　已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2），因为两点确定一条直线，所以直线是唯一确定的.也就是说，对于直线l上的任意一点，它的坐标与点P1，P2的坐标之间具有唯一确定的关系.这一关系是什么呢？ 提示：由经过两点P1，P2的直线的斜率公式可以求出直线l的斜率，因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题. 当x1≠x2时，经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线的斜率k＝. 任取P1，P2中的一点，例如，取点P1（x1，y1），由直线的点斜式方程，得y－y1＝（x－x1）. 探究2　当y1≠y2时，如何变形y－y1＝·（x－x1），使得式子y在左侧，x在右侧？ 提示：按要求等价变形式子， 得到结果＝. 探究3　探究1和2的结果一样吗？它们能表示所有直线吗？ 提示：一样，不能表示所有直线，只能表示不垂直于x轴的直线. 探究4　如图，若给定直线上两点A（a，0），B（0，b）（a≠0，b≠0），你能否得出直线l的方程呢？ 提示：根据两点式方程，＝， 整理得＋＝1. 探究5　探究4的结果与探究2的结果有什么联系？不能表示哪些直线？ 提示：探究4是探究2的一种特殊情况，探究4不能表示与坐标轴垂直或过原点的直线. ★梳理教材 名称 两点式 截距式 条件 两点P1（x1，y1）， P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2 ） 在x轴，y轴上的截距分别为a，b（其中a≠0，b≠0） 示意图 方程 　＝　 　＋＝1　 适用范围 　斜率存在且不为0　 　斜率存在且不为0且直线不过原点　 线段的中点坐标公式 点P（x，y）是线段P1P2的中点，其中P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x＝　　，y＝　　. ★温馨提示　（1）①对于两点式中的两点，只要是直线上的两个不同点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关. ②把直线的两点式方程化为（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1），则该方程表示过平面内任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）的直线. （2）①如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程. ②将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. ③与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示；过原点的直线的横、纵截距都为零. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.（　√　） （2）方程＝和（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）适用的范围相同.（　✕　） （3）不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示.（　✕　） （4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示.（　√　） 角度1　直线的两点式方程 【典例1】　已知三角形的顶点是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求边AC所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程. 解：过点A（－5，0），C（0，2）的直线的两点式方程为＝， 整理得2x－5y＋10＝0，这就是边AC所在直线的方程. 设线段AC的中点为D（x，y），则边AC上的中线是顶点B与边AC中点D的连线. 因为 所以D（－，1）. 由两点式得直线BD的方程为＝， 整理可得8x＋11y＋9＝0. 此即为边AC上的中线所在直线的方程. ★解题感悟 直线的两点式方程的适用条件及注意点 （1）适用条件：已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，可以利用直线的两点式求其方程. （2）注意点：对于两点式中的两点，只要是直线上的两个点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关，但书写时坐标顺序要一致. [提醒]已知两点坐标，求过这两点的直线方程时也可以先求斜率，再用点斜式求其方程. 【练习1】　已知直线经过点A（1，0），B（m，1），求这条直线的方程. 解：因为直线经过点A（1，0），B（m，1），所以该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时， 利用两点式，可得直线方程为＝， 即x－（m－1）y－1＝0. 综上可得，当m＝1时， 直线方程为x＝1； 当m≠1时， 直线方程为x－（m－1）y－1＝0. 角度2　直线的截距式方程 【典例2】　直线l过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程. 解：设直线l的方程为＋＝1（ab≠0）， 由已知得a＋b＝12. ① 又直线l过点（－3，4）， ∴＋＝1. ② 由①②，解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0. 【变式探究】　在本典例中若改为“截距之积为6”，又如何求直线l的方程？ 解：设直线l的方程为＋＝1， 由已知得ab＝6. ① 又直线l过点（－3，4），∴＋＝1. ② 由①②，解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. ★解题感悟 应用截距式方程的注意事项 （1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. （2）选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. （3）要注意直线的截距式方程的逆向应用. 【练习2】　已知直线l经过点P（4，3），且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 解：当直线l过原点时，它在两坐标轴上的截距都是0，满足题意. 设直线l的方程为y＝kx（k≠0），又因为l过点P（4，3），所以3＝4k，故k＝，所以直线l的方程为y＝x. 当直线l不过原点时，设直线的截距式方程为＋＝1（a≠0）， 又因为直线过点P（4，3），所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为＋＝1，即x＋y－7＝0. 综上，直线l的方程为y＝x或x＋y－7＝0. 二、直线的两点式、截距式方程的综合应用 【典例3】　在△ABC中，已知点A（5，－2），B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上. （1）求点C的坐标； （2）求直线MN的方程. 解：（1）设点C（x，y），由题意得＝0，＝0， 得x＝－5，y＝－3，故所求点C的坐标是（－5，－3）. （2）由（1）知点M的坐标是（0，－），点N的坐标是（1，0）， 故直线MN的方程是＝， 即5x－2y－5＝0. ★解题感悟 求直线方程时方程形式的选择技巧 （1）已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程. （2）已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距. （3）已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程. （4）已知直线上两点时，通常选用两点式方程. 【练习3】　已知直线l过点P（－2，1）. （1）当直线l与点B（－5，4），C（3，2）的距离相等时，求直线l的方程； （2）当直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为时，求直线l的方程. 解：（1）①当直线l∥BC时，kl＝kBC＝＝－，所以直线l的方程为y－1＝－（x＋2），即x＋4y－2＝0. ②当直线l过线段BC的中点时，线段BC的中点为M（－1，3），所以直线l的方程为y－1＝（x＋2），即2x－y＋5＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋4y－2＝0或2x－y＋5＝0. （2）设直线l的方程为＋＝1（ab≠0）. 则解得或 所以直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋4y－2＝0. ★课堂达标 1.经过M（3，2）与N（6，2）两点的直线方程为（　B　） A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6 解析：由M，N两点的坐标，可知直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2. 2.（多选）过点（2，3），并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（　AB　） A.y＝x B.x＋y＝5 C.y＝－x D.x＋y＋5＝0 解析：设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b. 当a＝b≠0时，直线方程为＋＝1， ∴＋＝1，∴a＝5，∴x＋y＝5； 当a＝b＝0时，直线的斜率k＝，∴y＝x. 综上所述，直线方程为y＝x或x＋y＝5. 3.已知点A（3，2），B（－1，4），则经过点C（2，5）且经过线段AB的中点的直线方程为　2x－y＋1＝0　. 4.直线l经过点A（－3，4），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为　4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0　. 解析：当直线经过原点时，直线方程为y＝－x，即4x＋3y＝0； 当直线不经过原点时，设直线方程为＋＝1， 把点A（－3，4）代入，得＋＝1，解得a＝， 所以直线方程为x＋2y－5＝0. 综上可得，直线方程为4x＋3y＝0或x＋2y－5＝0. 页 学科网（北京）股份有限公司 $