2.2.1 直线的点斜式方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过探究问题引导学生从确定直线的几何要素出发，结合斜率、倾斜角等旧知推导方程，构建知识脉络，形成学习支架。 以探究为核心，通过判断正误、典例分析培养学生推理能力，结合方程应用问题发展模型意识，习题分层设计帮助巩固知识，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

2.2.1 直线的点斜式方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例了解确定直线的几何要素、直线的方程的概念. 2.掌握直线的点斜式、斜截式方程. 3.理解直线在y轴上的截距的几何意义. 4.会求直线的点斜式、斜截式方程，能利用直线的点斜式、斜截式方程解决相应的问题. 一、直线的点斜式方程和斜截式方程 探究1　我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0（x0，y0）和斜率k（或倾斜角），就能唯一确定一条直线.也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x，y）与点P0的坐标（x0，y0）和斜率k之间的关系是完全确定的.那么，这一关系如何表示呢？ 探究2　直线l上每一个点的坐标（x，y）都满足关系式y－y0＝k（x－x0）吗？ 探究3　若点P1（x1，y1）的坐标x1，y1满足关系式y－y0＝k（x－x0），则直线l：y1－y0＝k（x1－x0）. ①当x1＝x0时，点P1在直线l上吗？ ②当x1≠x0时，点P1在直线l上吗？ 探究4　考虑一种特殊情形：如果直线l的斜率为k且过点P0（0，b），那么此时直线的方程如何表示？ ★梳理教材 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P（x0，y0）和 斜率k和在y轴上的 图示 方程 截距 直线l与y轴的交点（0，b）的 叫做直线l在y轴上的截距 ★温馨提示　（1）经过点P0（x0，y0）的直线有无数条，可以分为两类：①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k（x－x0）； ②斜率不存在的直线，方程为x＝x0. （2）直线的斜截式方程y＝kx＋b是直线的点斜式方程y－y0＝k（x－x0）的特例，如：直线l的斜率为k且过点P0（0，b），则该直线方程为y＝kx＋b. （3）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式y－y0＝k（x－x0）.（ 　） （2）直线在y轴上的截距不能等于0.（ 　） （3）当直线的倾斜角为0°时，过（x0，y0）的直线l的方程为y＝y0.（ 　） （4）直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念.（ 　） 角度1　直线的点斜式方程 【典例1】　分别求满足下列条件的直线方程． (1)过点(－1，2)且斜率为3； (2)过点(－1，2)且与x轴平行； (3)过点(－1，2)且与x轴垂直； (4)已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°； (5)过点(－1，2)且直线的一个方向向量为a＝(2，－1). ★解题感悟 (1)求直线的点斜式方程的思路 （2）点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．　 【练习1】　（1）（多选）已知直线的方程是y＋1＝（x－2），则（ 　） A.这是直线的点斜式方程 B.直线经过点（2，1） C.直线的斜率 D.直线的倾斜角为60° (2)在平面直角坐标系中，下列三个结论： ①每一条直线都有点斜式方程； ②方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线； ③直线l过点P0(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0. 其中正确结论的序号为________． 角度2　直线的斜截式方程 【典例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； （2）倾斜角为30°，在y轴上的截距是－2； （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. ★解题感悟 直线的斜截式方程的求解策略 （1）直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示. （2）直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件. （3）求直线的斜截式方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k. 【练习2】　已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程. 二、点斜式方程和斜截式方程的应用 探究5　前面一节课中我们已经讨论过斜率对于直线平行、垂直的影响.设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么时候：（1）l1∥l2；（2）l1，l2重合；（3）l1⊥l2？ 【典例3】　（1）求证：无论a为何值，直线y＝ax－3a＋2（a∈R）恒过定点； （2）当a为何值时，直线l1：y＝（2a－1）x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 【变式探究】　若将本典例（1）改为“无论a为何值，直线l：y＝（a－1）x＋2a＋1总过第二象限”，如何证明呢？ ★解题感悟 　　1.两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2. （1）若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，若k1＝k2，且b1≠b2，则l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. （2）若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之，若k1k2＝－1，则l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2.已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系，注意考虑b1≠b2这个条件. 3.直线过定点问题的解题策略 直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义，结合图形探求和证明. 【练习3】　已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，求m为何值时，l1与l2平行或垂直？ ★课堂达标 1.直线y＝ax－的图象可能是（ 　） 2.方程y＝k（x－2）表示（ 　） A.过点（－2，0）的所有直线 B.过点（2，0）的所有直线 C.过点（2，0）且不垂直于x轴的所有直线 D.过点（2，0）且除去x轴的所有直线 3.已知直线l1：x＋y－1＝0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角为（ 　） A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知点A（1，2）和直线l：y＝－x＋，求： （1）过点A与直线l平行的直线l1的方程； （2）过点A与直线l垂直的直线l2的方程. 解析版 ★学习目标　1.结合教材实例了解确定直线的几何要素、直线的方程的概念. 2.掌握直线的点斜式、斜截式方程. 3.理解直线在y轴上的截距的几何意义. 4.会求直线的点斜式、斜截式方程，能利用直线的点斜式、斜截式方程解决相应的问题. 一、直线的点斜式方程和斜截式方程 探究1　我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0（x0，y0）和斜率k（或倾斜角），就能唯一确定一条直线.也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x，y）与点P0的坐标（x0，y0）和斜率k之间的关系是完全确定的.那么，这一关系如何表示呢？ 提示：如图，设P（x，y）是直线l上不同于点P0的任意一点，因为直线l的斜率为k，由斜率公式得k＝，即y－y0＝k（x－x0）. 探究2　直线l上每一个点的坐标（x，y）都满足关系式y－y0＝k（x－x0）吗？ 提示：由于点P是直线l上异于点P0的任意一点，所以当x≠x0时，一定满足，特别的，当x＝x0时也满足上式，所以直线l上的每一点的坐标都满足上式. 探究3　若点P1（x1，y1）的坐标x1，y1满足关系式y－y0＝k（x－x0），则直线l：y1－y0＝k（x1－x0）. ①当x1＝x0时，点P1在直线l上吗？ ②当x1≠x0时，点P1在直线l上吗？ 提示：①当x1＝x0时，y1＝y0，这时点P1与P0重合，显然有点P1在直线l上. ②当x1≠x0时，有k＝，这表明过点P1，P0的直线l1的斜率为k.因为直线l，l1的斜率都为k，且都过点P0，所以它们重合.所以点P1在直线l上. 探究4　考虑一种特殊情形：如果直线l的斜率为k且过点P0（0，b），那么此时直线的方程如何表示？ 提示：由y－b＝k（x－0）得y＝kx＋b. ★梳理教材 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P（x0，y0）和　斜率k　 斜率k和在y轴上的　截距b　 图示 方程 　y－y0＝k（x－x0）　 　y＝kx＋b　 截距 直线l与y轴的交点（0，b）的　纵坐标b　叫做直线l在y轴上的截距 ★温馨提示　（1）经过点P0（x0，y0）的直线有无数条，可以分为两类：①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k（x－x0）； ②斜率不存在的直线，方程为x＝x0. （2）直线的斜截式方程y＝kx＋b是直线的点斜式方程y－y0＝k（x－x0）的特例，如：直线l的斜率为k且过点P0（0，b），则该直线方程为y＝kx＋b. （3）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式y－y0＝k（x－x0）.（　✕　） （2）直线在y轴上的截距不能等于0.（　✕　） （3）当直线的倾斜角为0°时，过（x0，y0）的直线l的方程为y＝y0.（　√　） （4）直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念.（　✕　） 角度1　直线的点斜式方程 【典例1】　分别求满足下列条件的直线方程． (1)过点(－1，2)且斜率为3； (2)过点(－1，2)且与x轴平行； (3)过点(－1，2)且与x轴垂直； (4)已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°； (5)过点(－1，2)且直线的一个方向向量为a＝(2，－1). 解：(1)y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5. (2)y＝2. (3)x＝－1. (4)直线的斜率k＝tan 60°＝，线段AB的中点为(1，4)，则该直线的点斜式方程为y－4＝(x－1)，即y＝x－＋4. (5)因为直线的一个方向向量为a＝(2，－1)， 则直线的斜率k＝＝－， 故直线的方程为y－2＝－(x＋1)， 即y＝－x＋. ★解题感悟 (1)求直线的点斜式方程的思路 （2）点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．　 【练习1】　（1）（多选）已知直线的方程是y＋1＝（x－2），则（　ACD　） A.这是直线的点斜式方程 B.直线经过点（2，1） C.直线的斜率 D.直线的倾斜角为60° 解析：y＋1＝（x－2）是直线的点斜式方程，故A正确；直线y＋1＝（x－2）经过点（2，－1），故B错误；直线y＋1＝（x－2）的斜率为，倾斜角为60°，故C，D正确.故选ACD. (2)在平面直角坐标系中，下列三个结论： ①每一条直线都有点斜式方程； ②方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线； ③直线l过点P0(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0. 其中正确结论的序号为____③____． 解析：直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以①错误．点(2，－1)不在方程k＝所表示的直线上，所以②错误．③显然正确． 角度2　直线的斜截式方程 【典例2】　根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； （2）倾斜角为30°，在y轴上的截距是－2； （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：（1）y＝2x＋5. （2）因为直线的倾斜角为30°，所以斜率k＝tan 30°＝，由斜截式可得方程为y＝x－2. （3）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距为3或－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. ★解题感悟 直线的斜截式方程的求解策略 （1）直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示. （2）直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件. （3）求直线的斜截式方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k. 【练习2】　已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程. 解：设直线l的斜截式方程为y＝x＋b， 则当x＝0时，y＝b； 当y＝0时，x＝－6b. 由已知可得·｜b｜·｜－6b｜＝3， 即6｜b｜2＝6，解得b＝±1. 故所求直线的斜截式方程为y＝x＋1或y＝x－1. 二、点斜式方程和斜截式方程的应用 探究5　前面一节课中我们已经讨论过斜率对于直线平行、垂直的影响.设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么时候：（1）l1∥l2；（2）l1，l2重合；（3）l1⊥l2？ 提示：（1）k1＝k2且b1≠b2； （2）k1＝k2且b1＝b2；（3）k1k2＝－1. 【典例3】　（1）求证：无论a为何值，直线y＝ax－3a＋2（a∈R）恒过定点； （2）当a为何值时，直线l1：y＝（2a－1）x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 解：（1）证明：将直线方程变形为y－2＝a（x－3），由直线的点斜式方程，可知直线恒过定点（3，2）. （2）由题意可知，＝2a－1，＝4. ∵l1⊥l2，∴4（2a－1）＝－1，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝－x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直. 【变式探究】　若将本典例（1）改为“无论a为何值，直线l：y＝（a－1）x＋2a＋1总过第二象限”，如何证明呢？ 证明：方法一：直线l的方程可化为y－3＝（a－1）（x＋2），则直线l恒过定点（－2，3）. 由于点（－2，3）在第二象限，故直线l总过第二象限. 方法二：直线l的方程可化为a（x＋2）－（x＋y－1）＝0. 令解得 ∴无论a取何值，直线l总经过点（－2，3）. ∵点（－2，3）在第二象限，∴直线l总过第二象限. ★解题感悟 　　1.两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2. （1）若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，若k1＝k2，且b1≠b2，则l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. （2）若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之，若k1k2＝－1，则l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2.已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系，注意考虑b1≠b2这个条件. 3.直线过定点问题的解题策略 直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义，结合图形探求和证明. 【练习3】　已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，求m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 解：当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时， l2的方程可化为y＝－x＋. 若l1∥l2，则 解得 所以当m＝－时，l1与l2平行； 若l1⊥l2，则－·（－）＝－1，此方程无解. 综上，当m＝－时，l1与l2平行； 当m＝0时，l1与l2垂直. ★课堂达标 1.直线y＝ax－的图象可能是（　B　） 解析：由y＝ax－可知，斜率和在y轴上的截距必须异号，故B正确. 2.方程y＝k（x－2）表示（　C　） A.过点（－2，0）的所有直线 B.过点（2，0）的所有直线 C.过点（2，0）且不垂直于x轴的所有直线 D.过点（2，0）且除去x轴的所有直线 解析：易验证直线过点（2，0），又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴. 3.已知直线l1：x＋y－1＝0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角为（　A　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：因为直线l2与l1垂直，且＝－， 所以＝－1，解得＝， 设l2的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan α＝，所以α＝30°. 故选A. 4.已知点A（1，2）和直线l：y＝－x＋，求： （1）过点A与直线l平行的直线l1的方程； （2）过点A与直线l垂直的直线l2的方程. 解：（1）由y＝－x＋，得直线l的斜率k＝－， ∵l∥l1，∴直线l1的斜率k1＝k＝－. ∴直线l1的方程为y－2＝－（x－1）， 即y＝－x＋. （2）由y＝－x＋，得直线l的斜率k＝－. ∵l⊥l2，∴直线l2的斜率k2满足k2·k＝－1， ∴k2＝. ∴直线l2的方程为y－2＝（x－1）， 即y＝x＋. 页 学科网（北京）股份有限公司 $