专题02 空间直线与平面的夹角问题（10大题型专项训练）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 聚焦空间夹角问题，以“异面直线夹角—线面角—二面角”为逻辑主线，通过分级题型（基础计算、逆向求解、范围探索）系统覆盖空间几何核心考查点，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线夹角|2题型（求角、已知求其他）|结合正三棱柱、正四面体等模型，考查平移法求角|从线线位置关系切入，建立空间角概念基础| |线面角|4题型（求值、范围、已知求其他、探索性）|涉及翻折、动点问题，强调线面垂直判定与空间向量应用|以线面垂直为桥梁，深化空间角与距离转化| |二面角|4题型（求值、范围、已知求其他、探索性）|结合棱锥、棱柱模型，综合考查面面垂直与二面角计算|递进至面面关系，构建空间角完整知识体系|

专题02 空间直线与平面的夹角问题 常考题型·精准突破 考点一 异面直线夹角 题型1 求异面直线的夹角 1．【答案】C 【详解】取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 所以（或其补角）为和所成的角， 因为三棱柱为正三棱柱，且， 所以，， ， 在中，由余弦定理可得. 2．【答案】 【分析】详解】设正四面体棱长为2，取AC中点N，连接MN、NS， 因为M为AB中点，则且， 可知SM与BC所成角为（或其补角）， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以SM与BC所成角为. 3．【答案】（或） 【分析】详解】根据题意，折起后， 且平面平面，所有条件都符合棱长为1的正方体的局部结构， 我们可以直接将折起后的几何体补形为棱长为1的正方体， 所有边长、面面垂直关系都和正方体性质一致， 连接，则由正方体的性质可知， 因此与所成的角等于与的夹角， 在中：， 因此是等边三角形，， 结合异面直线所成角的范围，可得直线和所成角为（即）. 故答案为：. 4．【答案】/ 【详解】连接，两者交于点，连接， 在正三棱柱中，可得，因点为的中点，则， 故异面直线与所成角即为直线与所成角，即或其补角. 不妨设，易得，，， 在中，由余弦定理，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 题型2 已知异面直线夹角求其他 5．【答案】1或 【分析】详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 6．【答案】2 【分析】详解】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 7．【答案】或 【分析】详解】取线段的中点，连接、， 在四面体中，，、分别为、的中点，为的中点， 所以，，，且，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为异面直线与所成角为，则或. 当时，则是边长为的等边三角形，此时，； 当时，由余弦定理可得 . 综上所述，或. 故答案为：或. 考点二 线面角 题型3 求线面角的值 8．【答案】B 【分析】详解】取的中点H，连接，则． 因为平面，平面，所以． 又平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，，， 则． 9．【答案】B 【分析】详解】因为平面，平面，所以． 因为四边形是正方形，所以，又，，平面SBD， 所以平面SBD，又平面，所以，故选项A正确，选项B错误； 因为平面，平面，所以． 因为四边形是正方形，所以，又，，平面，所以平面，所以与平面所成角为，因为四边形是正方形，所以，选项C正确； 如图，取中点，连接，，因为平面，平面，所以． 因为四边形是正方形，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以． 因为，所以，又，，平面，所以平面，所以与平面所成角为． 不妨设，所以，，在中，得，则，故选项D正确． 10．【答案】/ 【分析】详解】连接， 因为是正方体，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 设正方体边长为2，因为E，F分别为棱，的中点， 所以，，所以，， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值是. 11．【答案】(1)如图所示，连接， 因为菱形对角线，所以为中点， 因为为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2) 【详解】（1）略. （2）连接，因为平面，，所以为直角三角形，， 因为，，所以，， 因为为中点，所以， 因为，所以平面， 则直线和平面所成角为， 因为平面，所以，则， 则直线和平面所成角的正弦值为. 12．【答案】(1)在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理可得，解得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. (2) 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 因为，，由勾股定理可得， 连接，如下图所示： 因为，为的中点，所以， 由（1）可知， 因为，、平面，所以平面， 所以与平面所成角为， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理可得，故， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为. 题型4 求线面角的取值范围 13．【答案】A 【分析】详解】如图所示，过点作， 因为平面平面，平面， 所以平面， 所以直线与水平面所成的角为， 设，因为，，所以，， 又因为点到平面的距离为， 所以 设，则， 所以当时，有最小值，此时有最大值， 且最大值为. 故选：A. 14．【答案】D 【分析】详解】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，， 故四边形为正方形，且，， 又由点关于折叠而来，故，且， 又、平面，且， 故平面，过点作于点， 由、，故，又平面， 故平面，连接，则为与平面所成角， 由平面，故， 故与平面所成角的正切值即为， 由，，， 故与全等，故， ， 过点作于点，则有， 设，则， 当点在线段上（可在点，不可在点）时，则， 有， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 故， 当点在线段上（不在两端）时，， 则， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 此时， 综上所述，， 即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为. 故选：D. 【点睛】本题难点在于在翻折过程中如何找到与平面所成角，可以发现翻折过程中平面始终是固定的平面，即虽然在动，但实际上平面并不会动，只需找到点在平面上投影即可得到该角. 15．【答案】(1)因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，因此平面， 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理得：，得证； (2)由平面，平面，得， 过作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，得， 因为，平面， 所以平面，又平面， 因此，得证； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3） 因为底面是菱形，设边长为，设点到平面的距离为， 因为，所以. 因为平面，平面， 所以， 根据勾股定理， ，而. 所以为等腰三角形，其高为. 所以棱锥的体积为. 又的面积为， 所以棱锥的体积为. 所以根据等体积法，解得. 所以. 根据基本不等式的性质得. 所以，当且仅当， 即时等号成立. 此时取最大值为. 16．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：取的中点，连接. 因为分别是的中点，所以. 因为底面为平行四边形，分别为线段的中点， 所以， 所以. 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，不在平面内，所以平面. （2）连接交于点，连接，则. 因为平面，平面， 所以. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以. 所以是的中垂线，所以. 在直角中，， 所以，即. （3）因为底面是菱形，设边长为，设点到平面的高为， 因为，所以，所以，所以. 根据勾股定理，而. 所以为等腰三角形，其高为. 所以棱锥的体积为. 又的面积为， 所以棱锥的体积为. 所以根据等体积法，解得. 所以. 根据基本不等式的性质得. 所以，当且仅当， 即时等号成立. 此时取最大值为. 17．【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知，，又，所以， 连接，如图所示：    由，可知，是正三角形， 又点为棱的中点，所以， 平面，平面，， 所以平面，平面， 所以. （2）因为，，所以， 又，，平面，所以平面， 则直线与平面所成角为. 在正中，，所以， 在中，， 当与重合时，取最大值1；当与重合时，取最小值， 所以，的取值范围是. 题型5 已知线面角求其他（高频） 18．【答案】B 【分析】详解】取的中点的中点，连接，过作于， 因为四面体为正四面体，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以（或其补角）为与平面所成角， 所以，则， 设正四面体的棱长为2，则, 所以， 所以为锐角，所以， 所以 ， 在中，，则 ， 在中，，则 所以，解得， 所以, 所以 . 故选：B 19．【答案】C 【分析】详解】过C作于H，连结，则，.    在和中，，. 又在中有，即，得. 即C到平面的距离为1. 故选：C. 20．【答案】 【分析】详解】因为平面，所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为， 所以是直角三角形，， 又，所以， 因为平面，所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为， 所以是直角三角形，， 又，所以， 又，所以在中， ，所以． 故答案为：． 21．【答案】 【分析】详解】设四面体的所有棱长的棱长为1， 因为，所以． 在上取点，使得，则， 故． 如图，过点A作平面于点，连接CO． 过点作于点，则平面， 所以为与平面所成的角，即， 所以为等腰直角三角形．    又正三棱锥性质可知，为正三角形的中心， 所以，所以， 所以； 在中，由余弦定理得． 在中，，即， 解得． 题型6 有关线面角的探索性问题 22．【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角.   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形 . 设，则，，， ， ， ，即，解得，（舍）  ， 所以，当时，与平面所成的角的正弦值为. 23．【答案】(1) 平面，，， ，，平面，平面， 平面． (2)直线在平面内，理由如下： 以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，. 点在上，且， 面的一个法向量为， 则，取，得， 平面的一个法向量为， ， 故直线在平面内． (3)存在，理由如下： 点在上，设，， 面的一个法向量为， 则，取，得， 要使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，则，解得，满足条件. 所以，存在点G，为线段BP的靠近点P的三分点. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 24．【答案】(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面， 所以面，又平面，平面平面， 所以. (2)证明：因为且，所以四边形ADGE为平行四边形， 又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以CD⊥面， 又面，所以，又， 平面，所以面，又面， 所以. (3)线段BE上存在点P，且时使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为 【详解】（1）略 （2）略 （3）由于，，，平面，， 则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图， 于是，，设平面ABE的法向量为， 则，，令，得， 假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 设，， ， 解得：. 所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 25．【答案】(1)证明如下： 如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系. . . 设平面的法向量为， 则由，取得. 因为，所以 解得. 所以，且平面，所以平面 (2)存在，理由如下： 设平面的法向量为 则由，解得. 所以， 解得. 【详解】（1）略 （2）略 考点三 二面角 题型7 求二面角 26．【答案】/ 【分析】详解】如图，设点P在平面上的射影为O， 因为平面ABC，且平面平面ABC，所以平面PEF． 设直线PO与平面PBC所成的角为，由最小角定理知． 取BC的中点D，连接OD，PD，则， 因为平面，平面，所以， ，且平面，所以平面PDO． 又平面PBC，所以平面平面PBC，是PO与平面PBC所成的角． 因为正四面体的棱长为2，点P在平面上的射影为O， 所以，， 所以， 所以．． 设平面平面，当且仅当时取等号． 因为平面，平面，所以， 若l与BC相交，则平面，矛盾，故． 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面， 所以，故， 所以E，F分别是AB，AC上靠近B，C的三等分点．故的最大值为． 故答案为： 27．【答案】(1) (2) 连结，交于，连结， 因为，且，所以， 所以，即，所以，， 又平面，所以平面，平面，所以. (3)，. 【详解】（1）因为， 所以即为异面直线与所成角， 在中，由余弦定理，. （2）略 （3）由（2）知，即为二面角的平面角，即，，当时，二面角的平面角的大小为0； 当时，作，垂足为，作，垂足为，连结， 由（2）知，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面， 平面，所以，又因为，平面，所以平面， 平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在矩形中，，，所以， 又， 所以， 综上，当且仅当，即时，最大为. 28．【答案】(1)因为底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 因为平面，平面，平面平面，所以. 所以平面，因为平面，所以. (2)（ⅰ）证明：如图1，过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. （ⅱ） 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面，平面，所以，因为，所以平面， 因为平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（ⅰ）知，所以，设（）， 则，所以. ，，， 则. 又，所以随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 所以二面角的正弦值的取值范围为. 29．【答案】(1)因为，，则，故， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以，则， 设点到平面的距离为， 则由，平面可得，， 则， 则点到平面的距离为 （3）过点作，垂足分别为，连接，    因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，则是二面角的平面角， 设，在中，， 因为，所以， 则， 因为，所以，则， 故二面角的正切值的取值范围为. 题型8 求二面角的取值范围 30．【答案】/ 【分析】详解】因为，为中点，所以； 又因为，为中点，所以， 因为，平面，因此平面， 因为平面，所以， 又，且，平面，因此平面， 因为平面，且平面，而平面是平面的一部分， 因此平面平面，故二面角为直二面角，大小为. 31．【答案】(1)设底面圆心为，则为中点，连接，，所以平面， 在底面中，，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. (2). 【详解】（1）略． （2）由直径，得底面半径，且, 又，所以， 圆锥侧面积，得母线长：， 所以， 取的中点，连接，所以，， 因为为底面直径，所以，所以， 所以是二面角的平面角. 在直角中，， 因为,所以， 所以，即二面角的大小为. 32．【答案】(1) 如图，设与交于点，连接， 在菱形中，，为中点， 因为为公共边，，， 所以，所以， 所以为等腰三角形，则， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)连接，易知， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意知，则， 设，连接， 由（1）可知，平面，所以， 因为，所以， 在中，，，故，则， 所以为等腰直角三角形，且， 取中点，连接，则 过作交于，连接， 所以就是二面角的平面角， 在等腰中，， ，同理， 所以，即， 所以，即为的中点， 在中，， 即，即， 解得， 所以在中，， 因两平面夹角的余弦值为非负数，取绝对值可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 33．【答案】(1)∵平面平面，， 平面， ∴平面平面． 在平面内，由M作于点H． 平面． ， ，从而． 为的中点． (2)连结交于O，，，，由相似三角形易得， 不是的中点．又为的中点， ∴在平面中，直线与相交． 又平面，平面，∴直线与平面不平行． (3) 【详解】（1）略 （2）解法一：略 解法二：以A为原点，直线、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、， 则，． 设平面的法向量为， 则，即， 这时取， ， 而，与不垂直， ∴直线与平面不平行． （3）解法一：过点H作于点N，连结， 则是二面角的平面角． ，，又， 在中，， ∴二面角的正切值为 解法二：由（2）知平面的法向量为， 又平面的法向量， 则， ∴二面角的正切值为． 题型9 已知二面角求其他 34．【答案】C 【分析】详解】如图， 翻折前，，， 翻折后，，，则为二面角的平面角，即. 因为平面，且，所以平面， 又，所以平面. 因为平面，所以. 因为，， 所以由余弦定理得， 则，所以， 又平面，，所以平面， 故翻折后点到平面的距离为. 35．【答案】/ 【分析】详解】 设点在平面内的投影为，则平面，设，则为直线与平面的所成角，即， 又因为平面，平面，故，因此为等腰直角三角形，故. 过点作线段的垂线，垂足为，即，又因为平面，平面，故， 又因为平面，故平面，因此. 因为平面平面，平面，平面，，，， 因此为平面和平面α所成的二面角的平面角，即， 易知，故，故. 在中，，由等面积法可得：， 且，代入， 得，两边约去，再两边平方化简得：. 因为平面，故为与平面所成角，且易知， 因此，在中，， 因为线面角范围为，所以. 36．【答案】(1) 证明：因为为线段的中点，所以， 又因为底面，底面， 所以，又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 即无论取何值，均有平面平面； (2) 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以即二面角的平面角就是， 若平面与平面夹角的余弦值为，则， 因为平面，又因为平面，所以， 即，因为， 所以，根据勾股定理可得：， 又因为，，所以. 37．【答案】(1)在长方体中，有平面， 又平面，， 又， 四边形为正方形，， 又，，平面， 平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为， 在中，，， 故， 而， 又， ， ，即点到平面的距离为. （3）过作于，连， 由平面，得，且， 可得平面，则， 为二面角的平面角， 设，，则， 由，得， ，解得， 此时，得， 即当二面角的正切值为时，. 题型10 有关二面角的探索性问题 38．【答案】(1)连交于，连， 为中点，为中点， ∴，而平面，平面， ∴平面. (2)①， ②存在，点在上靠近的三等分点， 由图知，二面角的平面角与二面角的平面角互补， 问题转化为是否存在点，使得二面角的余弦值为， 由为中点，为等边三角形，则， 由平面，平面，则， 由，平面，则平面， 又面，面，则，， 为二面角的平面角， 设，则，从而， ，即，即点在上靠近的三等分点.    【详解】（1）略 （2）①取中点，连，， 为正三角形，且为中点， ， 正三棱锥中平面，平面，则， 由，平面， 平面，则为直线与面所成的角， 又面，则，且，， ， . ②略 39．【答案】(1)证明：取的中点，连接，， ，分别为，的中点，所以，，   因为，，所以，， 所以，四边形为平行四边形，，   又平面，平面，平面．   (2)存在， 【详解】（1）略 （2）已知平面平面，交线为；为正三角形，为中点，故，得平面，即为四棱锥的高， 设的高 ；底面矩形面积 , 因为四棱锥的体积为，所以，解得即 , 所以，，，，， 平面与平面的交线为，由底面为矩形，得； 又平面平面，交线为，平面，得 平面， 在平面内，过点作，垂足为，连接： 因为平面，平面，故； 又，且，平面，得 平面； 因为平面，故， 因为平面，平面，且，， 所以就是平面与平面所成二面角的平面角，记为，由题知， 所以， 由平面，平面，得，即为直角三角形，。 在中，，又因为，所以 再由勾股定理得 设， 所以 ， ， 联立两式，得,又，所以是等边三角形， 所以1， 因为，故， 因此，棱上存在满足条件的点，且 40．【答案】(1)因为为等边三角形，为边中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面. (2)（i）；（ii）存在，. 【详解】（1）略 （2）（i）连接如图所示，由（1）可知平面，则， 所以即为直线与平面所成角， 因为为等边三角形，，为的中点， 所以， 在中，，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. （ii）取中点，连接如图所示， 在中，，在中，， 所以， 所以，所以，； 又因为为中点，所以，同理， 所以为二面角的平面角. 设，则在中，； 在中，； 在中，， 由余弦定理可得，，即， 化简得，解得或（舍去）， 即线段上是存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为，此时. 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】C 【分析】详解】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 2．【答案】A 【分析】详解】取中点，连接，，则，， 二面角的平面角为，， 由， 得，， 在三角形中，由余弦定理知， ，所以.    3．【答案】B 【分析】详解】在A选项中，连接、，交点为， 连接、，交点为，连接、、， 因为正方体中，、，， ，所以平面平面， 因为平面，所以平面，A正确， 在B选项中，当为线段的中点时，取中点，连接、， 因为，所以就是直线与直线所成角， 设正方体棱长为，则，，， ，在中，，B错误， 在C选项中，因为平面， 所以就是直线与平面所成角， 设正方体棱长为，随着的长度变长，长度先变小后变大， 先变大后变小，直线与平面所成角先变大再变小， C正确， 在D选项中，连接，因为正方体中，平面， 平面，所以，D正确. 4．【答案】(1) 如上图，令与的交点为，连接，连接， 四边形是平行四边形，为的中点， 又为的中点，且， 又且，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. (2) 【详解】（1）略 （2）    连接， 设为三棱锥的高， 记三棱柱的体积为， 则三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 所以， 平面平面，，平面，平面平面， 平面， ， ， ，解得， 设直线与平面所成角为， 则. 5．【答案】(1)证明：因为底面是平行四边形，所以且， 又为的中点，为的中点， 在中，由三角形中位线性质可得：，且， 结合、，可推出，且， 因此与共面，即四边形是平面四边形， 故点在平面内. (2)点到平面的距离为； (3)线面角的正弦值为. 【详解】（1）略 （2）因为平面，且是平行四边形，所以， 因此平面, 即点到平面的距离为的长度，也就是， 又是的中点，根据中点的性质：点到平面的距离是点到平面距离的一半， 因此点到平面的距离为. （3）由平面，得，， 所以就是二面角的平面角，由题知， 因为，由余弦定理， 即，解得，所以, 过作于，因为平面，所以，结合， 得平面， ，因为是的中点， 所以到平面的距离是到平面距离的一半，即， 由（1）知，，且平面，故， 在等腰中，，又， 因此在直角梯形中：， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 6．【答案】(1)因为底面，底面，故； 又底面是正方形，故. 由，，，平面，所以平面. 又平面，所以. 因为，是中点，所以； 因为，，，平面，故平面. 又因为平面，所以平面平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）因为，平面，平面，故平面. 又平面，平面平面，由线面平行性质得. 由（1）知平面，且，所以平面， 又因为，得平面，故且，因此就是二面角的平面角. 在中，，，故. 因此二面角的平面角大小为. （3）设. 因为是中点，底面，故到底面的距离为. 又因为是中点，，. 三棱锥的体积. 由（1）知平面，且平面，所以. 在直角三角形中，，所以，，.​ 在直角三角形中，，，所以. 在直角三角形中，. 设点到平面的距离为，由，代入得. 因为在平面上，设直线与平面所成角为，则. ​​​因此直线与平面所成角的正弦值为. 7．【答案】(1)因为点，分别为，的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 在矩形中，为中心，则为的中点， 因为为的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面． (2) 【详解】（1）略 （2）如图，连接，过点作于点． 因为底面，点在线段上，所以底面． 在底面内过点作于点，连接． 因为，，， 所以平面，由平面可得， 故为二面角的平面角，即． 设，，则， 因为，则， 在矩形中，，，则，， 点到的距离， 因为，， 当时，点在线段上， 由相似三角形可得， 在中，， 由得，解得； 若，则点落在线段上，二面角为钝角，与矛盾； 故，即的值为． 8．【答案】(1)因为底面是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面，且平面， 所以平面平面； (2)因为，所以四边形是平面四边形， 连接，因为平面，平面，平面平面， 所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为在四棱台中，，所以， 因为四边形为菱形，所以， 所以，所以E是棱的中点. 【详解】（1）略 （2）略 9．【答案】(1)证明：因为底面为菱形，交于点， 所以为,的中点． 因为为等边三角形，所以，所以． 又，所以，， 又平面，所以平面； (2)2 (3) 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，又平面，所以． 如图，过作于点，连接， 又，则平面． 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 因为底面为菱形，所以，且． 又，所以为等边三角形， 所以， 又为等边三角形，为的中点， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的正切值为2． （3）法一：取中点，连接，又为的中点， 所以，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角. 由（2）知平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 在平面内，过作，所以平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 在中，，则， 在中，，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 法二：设点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 因为平面，，， 所以； 因为，，， ， 由得 ，解得， 因为 所以 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为． 10．【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面. (2) 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，如图。 由（1）平面，平面， 所以，又为等边三角形， 所以,平面， 所以平面，平面， 所以， 即二面角的平面角为， 因为，所以， ， 由可知，， 又， 由余弦定理可得， 令，则， 所以， 令， 则， 因为的对称轴方程为， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，. 故二面角余弦值的取值范围为. 11．【答案】(1)不存在，理由如下： 因为平面，平面，所以. 矩形中，. 因为平面，，所以平面. 若平面平面，过作两平面交线的垂线，则平面. 又平面，所以过点存在两条直线与同一个平面垂直，显然矛盾． 所以平面与平面不垂直， 即不存在使平面平面. (2) (3)取中点，连接，，，，则. 由，得，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角. 因为平面，则即为直线与平面所成角， 所以，平面. 又，所以直线与所成角即为直线与所成角，即. 在中，. 因为平面，，所以平面. 因为平面，所以. 在中，. 所以. 因为平面，平面，所以. 矩形中，. 因为平面，，所以平面， 所以即为二面角的平面角，所以. 又，，则， 则，则. 所以，即. 【详解】（1）略 （2）由已知，，故，，，四点共面， 以为对称轴，将旋转到平面内，且，在直线异侧， 则，当且仅当，，三点共线时取等号， 已知四边形为矩形，，，则，， 此时， 即． （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间直线与平面的夹角问题 常考题型·精准突破 考点一 异面直线夹角 题型1 求异面直线的夹角 题型2 已知异面直线夹角求其他 考点二 线面角 题型3 求线面角的值（重） 题型4 求线面角的取值范围（难） 题型5 已知线面角求其他（高频） 题型6 有关线面角的探索性问题（难） 考点三 二面角 题型7 求二面角（重） 题型8 求二面角的取值范围（难） 题型9 已知二面角求其他（高频） 题型10 有关二面角的探索性问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 异面直线夹角 题型1 求异面直线的夹角 1．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则和所成角的余弦值等于（     ） A． B． C． D． 2．已知是正四面体（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形），M为AB中点，则SM与BC所成角为____________. 3．如图，四边形是矩形，且，，M，N分别为，的中点，将四边形沿着折起，使得平面平面，则折起后直线和所成角的大小为__________. 4．如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________ 题型2 已知异面直线夹角求其他 5．如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 6．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 7．已知四面体中，，、分别为、的中点，且异面直线与所成角为，则__________. 考点二 线面角 题型3 求线面角的值 8．如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 9．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则以下不正确的是（     ） A． B．与所成角为 C．与平面所成角为 D．与平面所成角的正切值为 10．如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是________. 11．如图，已知为菱形所在平面外一点，，对角线，为中点，菱形边长． (1)求证：平面； (2)当平面．时，求直线和平面所成角的正弦值． 12．如图，在三棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型4 求线面角的取值范围 13．如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面上的动点P，观测点O到墙面的距离，墙角处点B到点A的距离，墙面上，当动点P沿射线在墙面上移动时，仰角θ(直线与水平面所成的角)正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形. (1)已知平面平面，证明：； (2)若平面平面，证明：； (3)若，，，记与平面所成角为，求的最大值. 16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，，记PA与平面所成角为，求的最大值. 17．如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，.    (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围. 题型5 已知线面角求其他（高频） 18．设点在正四面体的棱上，与平面所成角为，则（    ） A．4 B．10 C．14 D．20 19．已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 20．在三棱锥P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB=________.（用角度表示） 21．如图，已知四面体的所有棱长都相等，分别是棱上的点，满足．若与平面所成的角为，求的值．    题型6 有关线面角的探索性问题 22．如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 23．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)判断直线是否在平面，说明理由； (3)是线段上的动点，是否存在点G使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，请说明理由. 24．如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 25．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足. (1)证明：直线平面； (2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由. 考点三 二面角 题型7 求二面角 26．已知正四面体的棱长为2，动平面交线段AB，AC（含端点）于点E，F，且平面平面．若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 27．（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥. (1)若，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：； (3)在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值. 28．如图，在四棱锥中，底面，，，且. (1)若平面，证明：. (2)设平面平面. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围. 29．如图，在四棱锥中，平面，，，．    (1)证明：平面平面； (2)若，求点到平面的距离； (3)若，求二面角的正切值的取值范围． 题型8 求二面角的取值范围 30．如图，三棱锥中，，，为的中点，于点，连接，则二面角的大小为______． 31．、、为圆锥的三条母线，为底面直径，. (1)证明：； (2)若圆锥的侧面积为，求二面角的大小. 32．已知平行六面体所有棱长均为2，． (1)求证：平面平面； (2)设平面与平面交于直线，求证：直线平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 33．在等腰梯形中（如图甲），，，，于点A，将沿折起，使平面平面（如图乙），点M在棱上，平面把几何体分成的两部分体积比． (1)确定点M在上的位置； (2)判断直线是否平行于平面，并说明理由； (3)求二面角的正切值． 题型9 已知二面角求其他 34．如图，四边形与均为矩形，，，将矩形沿边翻折，使得二面角为60°，则翻折后点到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 35．的斜边在平面α内，且平面和平面α所成的二面角为，若直角边和平面α成，则和平面α所成角为______． 36．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，. (1)证明：无论取何值，均有平面平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 37．如图，在长方体中，，，点E在棱上移动. (1)证明：平面； (2)当为的中点时，求点到平面的距离； (3)当二面角的正切值为时，求的值. 题型10 有关二面角的探索性问题 38．如图，正三棱柱中，为中点．    (1)求证：平面； (2)若； ①求直线与平面所成角的正切值； ②在上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出的位置，若不存在，说明理由． 39．如图，四棱锥的体积为，底面为矩形，为正三角形，平面平面，，为的中点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由． 40．如图，在四棱锥中，为等边三角形，为边中点，连接，平面平面． (1)求证：平面； (2)若． （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A． B．2 C． D． 3．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则以下不正确的是（   ） A．平面 B．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 C．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 D． 4．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，.，，分别是棱，的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 注：本题仅限纯几何法作答，建立空间直角坐标系解题不予计分. 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面SAB，，，，N为BS的中点，M为SC的中点． (1)证明：点M在平面ADN内． (2)求点M到平面SAB的距离． (3)若二面角的余弦值为，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值． 6．我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，，分别为线段，的中点． (1)证明：平面平面； (2)记面与面的交线为，求二面角的平面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 7．如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 8．如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，点E在棱上. (1)求证：平面平面； (2)若平面，求证：E是棱的中点. 9．如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 10．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为等边三角形，，平面平面． (1)求证：平面； (2)若是线段上任一点且，求二面角余弦值的取值范围． 11．如图，平面，四边形为矩形，，，． (1)是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由； (2)当取最小值时，求的值； (3)若，直线与平面所成角为，直线与所成角为，二面角的平面角为．证明： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间直线与平面的夹角问题 常考题型·精准突破 考点一 异面直线夹角 题型1 求异面直线的夹角 题型2 已知异面直线夹角求其他 考点二 线面角 题型3 求线面角的值（重） 题型4 求线面角的取值范围（难） 题型5 已知线面角求其他（高频） 题型6 有关线面角的探索性问题（难） 考点三 二面角 题型7 求二面角（重） 题型8 求二面角的取值范围（难） 题型9 已知二面角求其他（高频） 题型10 有关二面角的探索性问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 异面直线夹角 题型1 求异面直线的夹角 1．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则和所成角的余弦值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 所以（或其补角）为和所成的角， 因为三棱柱为正三棱柱，且， 所以，， ， 在中，由余弦定理可得. 2．已知是正四面体（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形），M为AB中点，则SM与BC所成角为____________. 【答案】 【分析】详解】设正四面体棱长为2，取AC中点N，连接MN、NS， 因为M为AB中点，则且， 可知SM与BC所成角为（或其补角）， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以SM与BC所成角为. 3．如图，四边形是矩形，且，，M，N分别为，的中点，将四边形沿着折起，使得平面平面，则折起后直线和所成角的大小为__________. 【答案】（或） 【分析】详解】根据题意，折起后， 且平面平面，所有条件都符合棱长为1的正方体的局部结构， 我们可以直接将折起后的几何体补形为棱长为1的正方体， 所有边长、面面垂直关系都和正方体性质一致， 连接，则由正方体的性质可知， 因此与所成的角等于与的夹角， 在中：， 因此是等边三角形，， 结合异面直线所成角的范围，可得直线和所成角为（即）. 故答案为：. 4．如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________ 【答案】/ 【详解】连接，两者交于点，连接， 在正三棱柱中，可得，因点为的中点，则， 故异面直线与所成角即为直线与所成角，即或其补角. 不妨设，易得，，， 在中，由余弦定理，， 故异面直线与所成角的余弦值为． 题型2 已知异面直线夹角求其他 5．如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【分析】详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 6．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 【答案】2 【分析】详解】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 7．已知四面体中，，、分别为、的中点，且异面直线与所成角为，则__________. 【答案】或 【分析】详解】取线段的中点，连接、， 在四面体中，，、分别为、的中点，为的中点， 所以，，，且，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为异面直线与所成角为，则或. 当时，则是边长为的等边三角形，此时，； 当时，由余弦定理可得 . 综上所述，或. 故答案为：或. 考点二 线面角 题型3 求线面角的值 8．如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】取的中点H，连接，则． 因为平面，平面，所以． 又平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，，， 则． 9．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则以下不正确的是（     ） A． B．与所成角为 C．与平面所成角为 D．与平面所成角的正切值为 【答案】B 【分析】详解】因为平面，平面，所以． 因为四边形是正方形，所以，又，，平面SBD， 所以平面SBD，又平面，所以，故选项A正确，选项B错误； 因为平面，平面，所以． 因为四边形是正方形，所以，又，，平面，所以平面，所以与平面所成角为，因为四边形是正方形，所以，选项C正确； 如图，取中点，连接，，因为平面，平面，所以． 因为四边形是正方形，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以． 因为，所以，又，，平面，所以平面，所以与平面所成角为． 不妨设，所以，，在中，得，则，故选项D正确． 10．如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是________. 【答案】/ 【分析】详解】连接， 因为是正方体，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 设正方体边长为2，因为E，F分别为棱，的中点， 所以，，所以，， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值是. 11．如图，已知为菱形所在平面外一点，，对角线，为中点，菱形边长． (1)求证：平面； (2)当平面．时，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)如图所示，连接， 因为菱形对角线，所以为中点， 因为为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2) 【详解】（1）略. （2）连接，因为平面，，所以为直角三角形，， 因为，，所以，， 因为为中点，所以， 因为，所以平面， 则直线和平面所成角为， 因为平面，所以，则， 则直线和平面所成角的正弦值为. 12．如图，在三棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理可得，解得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. (2) 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 因为，，由勾股定理可得， 连接，如下图所示： 因为，为的中点，所以， 由（1）可知， 因为，、平面，所以平面， 所以与平面所成角为， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理可得，故， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为. 题型4 求线面角的取值范围 13．如图，某人在水平地面上的点O处观测垂直水平面的墙面上的动点P，观测点O到墙面的距离，墙角处点B到点A的距离，墙面上，当动点P沿射线在墙面上移动时，仰角θ(直线与水平面所成的角)正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】如图所示，过点作， 因为平面平面，平面， 所以平面， 所以直线与水平面所成的角为， 设，因为，，所以，， 又因为点到平面的距离为， 所以 设，则， 所以当时，有最小值，此时有最大值， 且最大值为. 故选：A. 14．如图，在矩形中，，，分别为的中点，将沿直线翻折成，与不重合，连结，则在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】连接、，设其交点为，连接，由矩形中，，， 故四边形为正方形，且，， 又由点关于折叠而来，故，且， 又、平面，且， 故平面，过点作于点， 由、，故，又平面， 故平面，连接，则为与平面所成角， 由平面，故， 故与平面所成角的正切值即为， 由，，， 故与全等，故， ， 过点作于点，则有， 设，则， 当点在线段上（可在点，不可在点）时，则， 有， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 故， 当点在线段上（不在两端）时，， 则， 则， 则， 易得在上时随的增大而增大， 此时， 综上所述，， 即在翻折过程中，与平面所成角的正切值的取值范围为. 故选：D. 【点睛】本题难点在于在翻折过程中如何找到与平面所成角，可以发现翻折过程中平面始终是固定的平面，即虽然在动，但实际上平面并不会动，只需找到点在平面上投影即可得到该角. 15．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形. (1)已知平面平面，证明：； (2)若平面平面，证明：； (3)若，，，记与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，因此平面， 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理得：，得证； (2)由平面，平面，得， 过作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，得， 因为，平面， 所以平面，又平面， 因此，得证； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3） 因为底面是菱形，设边长为，设点到平面的距离为， 因为，所以. 因为平面，平面， 所以， 根据勾股定理， ，而. 所以为等腰三角形，其高为. 所以棱锥的体积为. 又的面积为， 所以棱锥的体积为. 所以根据等体积法，解得. 所以. 根据基本不等式的性质得. 所以，当且仅当， 即时等号成立. 此时取最大值为. 16．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，，分别为线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，，记PA与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：取的中点，连接. 因为分别是的中点，所以. 因为底面为平行四边形，分别为线段的中点， 所以， 所以. 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，不在平面内，所以平面. （2）连接交于点，连接，则. 因为平面，平面， 所以. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以. 所以是的中垂线，所以. 在直角中，， 所以，即. （3）因为底面是菱形，设边长为，设点到平面的高为， 因为，所以，所以，所以. 根据勾股定理，而. 所以为等腰三角形，其高为. 所以棱锥的体积为. 又的面积为， 所以棱锥的体积为. 所以根据等体积法，解得. 所以. 根据基本不等式的性质得. 所以，当且仅当， 即时等号成立. 此时取最大值为. 17．如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，.    (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知，，又，所以， 连接，如图所示：    由，可知，是正三角形， 又点为棱的中点，所以， 平面，平面，， 所以平面，平面， 所以. （2）因为，，所以， 又，，平面，所以平面， 则直线与平面所成角为. 在正中，，所以， 在中，， 当与重合时，取最大值1；当与重合时，取最小值， 所以，的取值范围是. 题型5 已知线面角求其他（高频） 18．设点在正四面体的棱上，与平面所成角为，则（    ） A．4 B．10 C．14 D．20 【答案】B 【分析】详解】取的中点的中点，连接，过作于， 因为四面体为正四面体，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以（或其补角）为与平面所成角， 所以，则， 设正四面体的棱长为2，则, 所以， 所以为锐角，所以， 所以 ， 在中，，则 ， 在中，，则 所以，解得， 所以, 所以 . 故选：B 19．已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】详解】过C作于H，连结，则，.    在和中，，. 又在中有，即，得. 即C到平面的距离为1. 故选：C. 20．在三棱锥P-OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB=________.（用角度表示） 【答案】 【分析】详解】因为平面，所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为， 所以是直角三角形，， 又，所以， 因为平面，所以在平面上的投影为， 所以与平面所成的角的平面角为， 所以是直角三角形，， 又，所以， 又，所以在中， ，所以． 故答案为：． 21．如图，已知四面体的所有棱长都相等，分别是棱上的点，满足．若与平面所成的角为，求的值．    【答案】 【分析】详解】设四面体的所有棱长的棱长为1， 因为，所以． 在上取点，使得，则， 故． 如图，过点A作平面于点，连接CO． 过点作于点，则平面， 所以为与平面所成的角，即， 所以为等腰直角三角形．    又正三棱锥性质可知，为正三角形的中心， 所以，所以， 所以； 在中，由余弦定理得． 在中，，即， 解得． 题型6 有关线面角的探索性问题 22．如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角.   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形 . 设，则，，， ， ， ，即，解得，（舍）  ， 所以，当时，与平面所成的角的正弦值为. 23．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)判断直线是否在平面，说明理由； (3)是线段上的动点，是否存在点G使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，请说明理由. 【答案】(1) 平面，，， ，，平面，平面， 平面． (2)直线在平面内，理由如下： 以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，. 点在上，且， 面的一个法向量为， 则，取，得， 平面的一个法向量为， ， 故直线在平面内． (3)存在，理由如下： 点在上，设，， 面的一个法向量为， 则，取，得， 要使得AE与平面AFG所成夹角的正弦值为，则，解得，满足条件. 所以，存在点G，为线段BP的靠近点P的三分点. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 24．如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面， 所以面，又平面，平面平面， 所以. (2)证明：因为且，所以四边形ADGE为平行四边形， 又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以CD⊥面， 又面，所以，又， 平面，所以面，又面， 所以. (3)线段BE上存在点P，且时使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为 【详解】（1）略 （2）略 （3）由于，，，平面，， 则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图， 于是，，设平面ABE的法向量为， 则，，令，得， 假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 设，， ， 解得：. 所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 25．如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足. (1)证明：直线平面； (2)是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由. 【答案】(1)证明如下： 如图，以为原点，分别以方向为轴建立坐标系. . . 设平面的法向量为， 则由，取得. 因为，所以 解得. 所以，且平面，所以平面 (2)存在，理由如下： 设平面的法向量为 则由，解得. 所以， 解得. 【详解】（1）略 （2）略 考点三 二面角 题型7 求二面角 26．已知正四面体的棱长为2，动平面交线段AB，AC（含端点）于点E，F，且平面平面．若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】详解】如图，设点P在平面上的射影为O， 因为平面ABC，且平面平面ABC，所以平面PEF． 设直线PO与平面PBC所成的角为，由最小角定理知． 取BC的中点D，连接OD，PD，则， 因为平面，平面，所以， ，且平面，所以平面PDO． 又平面PBC，所以平面平面PBC，是PO与平面PBC所成的角． 因为正四面体的棱长为2，点P在平面上的射影为O， 所以，， 所以， 所以．． 设平面平面，当且仅当时取等号． 因为平面，平面，所以， 若l与BC相交，则平面，矛盾，故． 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面， 所以，故， 所以E，F分别是AB，AC上靠近B，C的三等分点．故的最大值为． 故答案为： 27．（用坐标法不给分）如图，在矩形中，已知，，为的中点，将沿向上翻折，得到四棱锥. (1)若，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：； (3)在翻折过程中，记二面角的大小为，求二面角的最大值及此时的值. 【答案】(1) (2) 连结，交于，连结， 因为，且，所以， 所以，即，所以，， 又平面，所以平面，平面，所以. (3)，. 【详解】（1）因为， 所以即为异面直线与所成角， 在中，由余弦定理，. （2）略 （3）由（2）知，即为二面角的平面角，即，，当时，二面角的平面角的大小为0； 当时，作，垂足为，作，垂足为，连结， 由（2）知，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面， 平面，所以，又因为，平面，所以平面， 平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在矩形中，，，所以， 又， 所以， 综上，当且仅当，即时，最大为. 28．如图，在四棱锥中，底面，，，且. (1)若平面，证明：. (2)设平面平面. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)因为底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 因为平面，平面，平面平面，所以. 所以平面，因为平面，所以. (2)（ⅰ）证明：如图1，过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. （ⅱ） 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面，平面，所以，因为，所以平面， 因为平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（ⅰ）知，所以，设（）， 则，所以. ，，， 则. 又，所以随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 所以二面角的正弦值的取值范围为. 29．如图，在四棱锥中，平面，，，．    (1)证明：平面平面； (2)若，求点到平面的距离； (3)若，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)因为，，则，故， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以，则， 设点到平面的距离为， 则由，平面可得，， 则， 则点到平面的距离为 （3）过点作，垂足分别为，连接，    因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，则是二面角的平面角， 设，在中，， 因为，所以， 则， 因为，所以，则， 故二面角的正切值的取值范围为. 题型8 求二面角的取值范围 30．如图，三棱锥中，，，为的中点，于点，连接，则二面角的大小为______． 【答案】/ 【分析】详解】因为，为中点，所以； 又因为，为中点，所以， 因为，平面，因此平面， 因为平面，所以， 又，且，平面，因此平面， 因为平面，且平面，而平面是平面的一部分， 因此平面平面，故二面角为直二面角，大小为. 31．、、为圆锥的三条母线，为底面直径，. (1)证明：； (2)若圆锥的侧面积为，求二面角的大小. 【答案】(1)设底面圆心为，则为中点，连接，，所以平面， 在底面中，，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. (2). 【详解】（1）略． （2）由直径，得底面半径，且, 又，所以， 圆锥侧面积，得母线长：， 所以， 取的中点，连接，所以，， 因为为底面直径，所以，所以， 所以是二面角的平面角. 在直角中，， 因为,所以， 所以，即二面角的大小为. 32．已知平行六面体所有棱长均为2，． (1)求证：平面平面； (2)设平面与平面交于直线，求证：直线平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 如图，设与交于点，连接， 在菱形中，，为中点， 因为为公共边，，， 所以，所以， 所以为等腰三角形，则， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)连接，易知， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意知，则， 设，连接， 由（1）可知，平面，所以， 因为，所以， 在中，，，故，则， 所以为等腰直角三角形，且， 取中点，连接，则 过作交于，连接， 所以就是二面角的平面角， 在等腰中，， ，同理， 所以，即， 所以，即为的中点， 在中，， 即，即， 解得， 所以在中，， 因两平面夹角的余弦值为非负数，取绝对值可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 33．在等腰梯形中（如图甲），，，，于点A，将沿折起，使平面平面（如图乙），点M在棱上，平面把几何体分成的两部分体积比． (1)确定点M在上的位置； (2)判断直线是否平行于平面，并说明理由； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)∵平面平面，， 平面， ∴平面平面． 在平面内，由M作于点H． 平面． ， ，从而． 为的中点． (2)连结交于O，，，，由相似三角形易得， 不是的中点．又为的中点， ∴在平面中，直线与相交． 又平面，平面，∴直线与平面不平行． (3) 【详解】（1）略 （2）解法一：略 解法二：以A为原点，直线、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、， 则，． 设平面的法向量为， 则，即， 这时取， ， 而，与不垂直， ∴直线与平面不平行． （3）解法一：过点H作于点N，连结， 则是二面角的平面角． ，，又， 在中，， ∴二面角的正切值为 解法二：由（2）知平面的法向量为， 又平面的法向量， 则， ∴二面角的正切值为． 题型9 已知二面角求其他 34．如图，四边形与均为矩形，，，将矩形沿边翻折，使得二面角为60°，则翻折后点到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】详解】如图， 翻折前，，， 翻折后，，，则为二面角的平面角，即. 因为平面，且，所以平面， 又，所以平面. 因为平面，所以. 因为，， 所以由余弦定理得， 则，所以， 又平面，，所以平面， 故翻折后点到平面的距离为. 35．的斜边在平面α内，且平面和平面α所成的二面角为，若直角边和平面α成，则和平面α所成角为______． 【答案】/ 【分析】详解】 设点在平面内的投影为，则平面，设，则为直线与平面的所成角，即， 又因为平面，平面，故，因此为等腰直角三角形，故. 过点作线段的垂线，垂足为，即，又因为平面，平面，故， 又因为平面，故平面，因此. 因为平面平面，平面，平面，，，， 因此为平面和平面α所成的二面角的平面角，即， 易知，故，故. 在中，，由等面积法可得：， 且，代入， 得，两边约去，再两边平方化简得：. 因为平面，故为与平面所成角，且易知， 因此，在中，， 因为线面角范围为，所以. 36．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面为线段的中点，. (1)证明：无论取何值，均有平面平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1) 证明：因为为线段的中点，所以， 又因为底面，底面， 所以，又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 即无论取何值，均有平面平面； (2) 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以即二面角的平面角就是， 若平面与平面夹角的余弦值为，则， 因为平面，又因为平面，所以， 即，因为， 所以，根据勾股定理可得：， 又因为，，所以. 37．如图，在长方体中，，，点E在棱上移动. (1)证明：平面； (2)当为的中点时，求点到平面的距离； (3)当二面角的正切值为时，求的值. 【答案】(1)在长方体中，有平面， 又平面，， 又， 四边形为正方形，， 又，，平面， 平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为， 在中，，， 故， 而， 又， ， ，即点到平面的距离为. （3）过作于，连， 由平面，得，且， 可得平面，则， 为二面角的平面角， 设，，则， 由，得， ，解得， 此时，得， 即当二面角的正切值为时，. 题型10 有关二面角的探索性问题 38．如图，正三棱柱中，为中点．    (1)求证：平面； (2)若； ①求直线与平面所成角的正切值； ②在上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出的位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1)连交于，连， 为中点，为中点， ∴，而平面，平面， ∴平面. (2)①， ②存在，点在上靠近的三等分点， 由图知，二面角的平面角与二面角的平面角互补， 问题转化为是否存在点，使得二面角的余弦值为， 由为中点，为等边三角形，则， 由平面，平面，则， 由，平面，则平面， 又面，面，则，， 为二面角的平面角， 设，则，从而， ，即，即点在上靠近的三等分点.    【详解】（1）略 （2）①取中点，连，， 为正三角形，且为中点， ， 正三棱锥中平面，平面，则， 由，平面， 平面，则为直线与面所成的角， 又面，则，且，， ， . ②略 39．如图，四棱锥的体积为，底面为矩形，为正三角形，平面平面，，为的中点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，， ，分别为，的中点，所以，，   因为，，所以，， 所以，四边形为平行四边形，，   又平面，平面，平面．   (2)存在， 【详解】（1）略 （2）已知平面平面，交线为；为正三角形，为中点，故，得平面，即为四棱锥的高， 设的高 ；底面矩形面积 , 因为四棱锥的体积为，所以，解得即 , 所以，，，，， 平面与平面的交线为，由底面为矩形，得； 又平面平面，交线为，平面，得 平面， 在平面内，过点作，垂足为，连接： 因为平面，平面，故； 又，且，平面，得 平面； 因为平面，故， 因为平面，平面，且，， 所以就是平面与平面所成二面角的平面角，记为，由题知， 所以， 由平面，平面，得，即为直角三角形，。 在中，，又因为，所以 再由勾股定理得 设， 所以 ， ， 联立两式，得,又，所以是等边三角形， 所以1， 因为，故， 因此，棱上存在满足条件的点，且 40．如图，在四棱锥中，为等边三角形，为边中点，连接，平面平面． (1)求证：平面； (2)若． （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为为等边三角形，为边中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面. (2)（i）；（ii）存在，. 【详解】（1）略 （2）（i）连接如图所示，由（1）可知平面，则， 所以即为直线与平面所成角， 因为为等边三角形，，为的中点， 所以， 在中，，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. （ii）取中点，连接如图所示， 在中，，在中，， 所以， 所以，所以，； 又因为为中点，所以，同理， 所以为二面角的平面角. 设，则在中，； 在中，； 在中，， 由余弦定理可得，，即， 化简得，解得或（舍去）， 即线段上是存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为，此时. 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，为三棱柱的顶点，为所在棱的中点，设与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】如下图：连接，由为所在棱的中点，则， 故与所成的角的大小也为，即有, 设该正三棱柱棱长为，则， 则，故. 故选：C. 2．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】详解】取中点，连接，，则，， 二面角的平面角为，， 由， 得，， 在三角形中，由余弦定理知， ，所以.    3．如图，在正方体中，点是线段上一动点，则以下不正确的是（   ） A．平面 B．当为线段的中点时，直线与直线所成角的正切值为 C．随着的长度变长，直线与平面所成角先变大再变小 D． 【答案】B 【分析】详解】在A选项中，连接、，交点为， 连接、，交点为，连接、、， 因为正方体中，、，， ，所以平面平面， 因为平面，所以平面，A正确， 在B选项中，当为线段的中点时，取中点，连接、， 因为，所以就是直线与直线所成角， 设正方体棱长为，则，，， ，在中，，B错误， 在C选项中，因为平面， 所以就是直线与平面所成角， 设正方体棱长为，随着的长度变长，长度先变小后变大， 先变大后变小，直线与平面所成角先变大再变小， C正确， 在D选项中，连接，因为正方体中，平面， 平面，所以，D正确. 4．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，.，，分别是棱，的中点.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 注：本题仅限纯几何法作答，建立空间直角坐标系解题不予计分. 【答案】(1) 如上图，令与的交点为，连接，连接， 四边形是平行四边形，为的中点， 又为的中点，且， 又且，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. (2) 【详解】（1）略 （2）    连接， 设为三棱锥的高， 记三棱柱的体积为， 则三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 所以， 平面平面，，平面，平面平面， 平面， ， ， ，解得， 设直线与平面所成角为， 则. 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面SAB，，，，N为BS的中点，M为SC的中点． (1)证明：点M在平面ADN内． (2)求点M到平面SAB的距离． (3)若二面角的余弦值为，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为底面是平行四边形，所以且， 又为的中点，为的中点， 在中，由三角形中位线性质可得：，且， 结合、，可推出，且， 因此与共面，即四边形是平面四边形， 故点在平面内. (2)点到平面的距离为； (3)线面角的正弦值为. 【详解】（1）略 （2）因为平面，且是平行四边形，所以， 因此平面, 即点到平面的距离为的长度，也就是， 又是的中点，根据中点的性质：点到平面的距离是点到平面距离的一半， 因此点到平面的距离为. （3）由平面，得，， 所以就是二面角的平面角，由题知， 因为，由余弦定理， 即，解得，所以, 过作于，因为平面，所以，结合， 得平面， ，因为是的中点， 所以到平面的距离是到平面距离的一半，即， 由（1）知，，且平面，故， 在等腰中，，又， 因此在直角梯形中：， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 6．我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，，分别为线段，的中点． (1)证明：平面平面； (2)记面与面的交线为，求二面角的平面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为底面，底面，故； 又底面是正方形，故. 由，，，平面，所以平面. 又平面，所以. 因为，是中点，所以； 因为，，，平面，故平面. 又因为平面，所以平面平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）因为，平面，平面，故平面. 又平面，平面平面，由线面平行性质得. 由（1）知平面，且，所以平面， 又因为，得平面，故且，因此就是二面角的平面角. 在中，，，故. 因此二面角的平面角大小为. （3）设. 因为是中点，底面，故到底面的距离为. 又因为是中点，，. 三棱锥的体积. 由（1）知平面，且平面，所以. 在直角三角形中，，所以，，.​ 在直角三角形中，，，所以. 在直角三角形中，. 设点到平面的距离为，由，代入得. 因为在平面上，设直线与平面所成角为，则. ​​​因此直线与平面所成角的正弦值为. 7．如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 【答案】(1)因为点，分别为，的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 在矩形中，为中心，则为的中点， 因为为的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面． (2) 【详解】（1）略 （2）如图，连接，过点作于点． 因为底面，点在线段上，所以底面． 在底面内过点作于点，连接． 因为，，， 所以平面，由平面可得， 故为二面角的平面角，即． 设，，则， 因为，则， 在矩形中，，，则，， 点到的距离， 因为，， 当时，点在线段上， 由相似三角形可得， 在中，， 由得，解得； 若，则点落在线段上，二面角为钝角，与矛盾； 故，即的值为． 8．如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，点E在棱上. (1)求证：平面平面； (2)若平面，求证：E是棱的中点. 【答案】(1)因为底面是菱形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面，且平面， 所以平面平面； (2)因为，所以四边形是平面四边形， 连接，因为平面，平面，平面平面， 所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为在四棱台中，，所以， 因为四边形为菱形，所以， 所以，所以E是棱的中点. 【详解】（1）略 （2）略 9．（请用几何法作答此题）如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为底面为菱形，交于点， 所以为,的中点． 因为为等边三角形，所以，所以． 又，所以，， 又平面，所以平面； (2)2 (3) 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，又平面，所以． 如图，过作于点，连接， 又，则平面． 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角, 因为底面为菱形，所以，且． 又，所以为等边三角形， 所以， 又为等边三角形，为的中点， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的正切值为2． （3）法一：取中点，连接，又为的中点， 所以，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角. 由（2）知平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 在平面内，过作，所以平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 在中，，则， 在中，，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 法二：设点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 因为平面，，， 所以； 因为，，， ， 由得 ，解得， 因为 所以 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为． 10．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为等边三角形，，平面平面． (1)求证：平面； (2)若是线段上任一点且，求二面角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面. (2) 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，如图。 由（1）平面，平面， 所以，又为等边三角形， 所以,平面， 所以平面，平面， 所以， 即二面角的平面角为， 因为，所以， ， 由可知，， 又， 由余弦定理可得， 令，则， 所以， 令， 则， 因为的对称轴方程为， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，. 故二面角余弦值的取值范围为. 11．如图，平面，四边形为矩形，，，． (1)是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值，若不存在，说明理由； (2)当取最小值时，求的值； (3)若，直线与平面所成角为，直线与所成角为，二面角的平面角为．证明： 【答案】(1)不存在，理由如下： 因为平面，平面，所以. 矩形中，. 因为平面，，所以平面. 若平面平面，过作两平面交线的垂线，则平面. 又平面，所以过点存在两条直线与同一个平面垂直，显然矛盾． 所以平面与平面不垂直， 即不存在使平面平面. (2) (3)取中点，连接，，，，则. 由，得，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角. 因为平面，则即为直线与平面所成角， 所以，平面. 又，所以直线与所成角即为直线与所成角，即. 在中，. 因为平面，，所以平面. 因为平面，所以. 在中，. 所以. 因为平面，平面，所以. 矩形中，. 因为平面，，所以平面， 所以即为二面角的平面角，所以. 又，，则， 则，则. 所以，即. 【详解】（1）略 （2）由已知，，故，，，四点共面， 以为对称轴，将旋转到平面内，且，在直线异侧， 则，当且仅当，，三点共线时取等号， 已知四边形为矩形，，，则，， 此时， 即． （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $