专题01 空间直线与平面的平行和垂直问题（10大题型专项训练）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 该专项聚焦空间线面平行与垂直，以“考点-题型-方法”构建体系，通过分层题型与典例实现从基础证明到复杂探索的逻辑进阶，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行问题|5题型（中位线/平行四边形/相似证明等）|提炼“中位线构造”“平行四边形判定”等核心证法|从线线平行到线面/面面平行，再到探索性问题，形成“基础证明-性质应用-动态探究”递进链| |垂直问题|5题型（线面/线线/面面垂直证明等）|总结“线面垂直判定”“面面垂直性质”等关键方法|以线线垂直为基础，通过线面垂直过渡到面面垂直，结合探索性问题提升综合论证能力|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01空间直线与平面的平行和垂直问题 内容概览 目常考题型精准突破 考点一平行问题 题型1利用中位线证明平行（重) 题型2利用平行四边形证明平行（重） 题型3利用相似证明平行 题型4线面、面面平行的性质定理（难） 题型5平行的探索性问题（难） 考点二垂直问题 题型6证明线面垂直（高频） 题型7证明线线垂直 题型8证明面面垂直 题型9面面垂直的性质定理（重） 题型10垂直的探索性问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ·考点一平行问题。 题型1利用中位线证明平行 1如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB1AC,AB=AC=A4,点E,F分别为棱BC,AB的中点. A E (I)求证：直线EF∥平面A4CC: 1/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，F为DC的中点求证：BD,II平面CDE: D ⊙ 对 D E B 3.如图，正三棱柱ABC-ABG中，AB=2,A4=3,M为AB的中点. A B (1)求证：CB1I平面4CM: 4.如图，直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,A4=AB=BC=2,D为线段AB的中点： 2/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A : C B B ()求证：ACM平面BDC: 题型2利用平行四边形证明平行 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，BC⊥平面PAB,PA⊥AB, AD=AB=2PA,M,N分别是PD,AB的中点. (1)证明：MW/I平面PBC, 6.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，E,F,G,H分别是AB,AC,AB,AC的中点. C G B F B (1)B,C,H,G四点共面吗？（判断即可，无需证明） 3127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：BG11平面AEF, 7.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=A4=2,M是棱CG上一点（不包含端 点)，N是AB的中点若M是CC的中点，求证：MNI/平面AB,C. B &.如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD,AB⊥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2AD,E为 SC的中点求证：DE∥平面SAB., B 题型3利用相似证明平行 义已知正四棱往D-48CA的底面边长为1，点Er分别在边DCD上，且4c-号，(F 3 4127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：AC1I平面B,EF D A B D B 10.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形.AD⊥CD, AB/ICD,AB=AD=PD=2,CD=4,点E是棱PC上靠近P端的三等分点，点F是棱PA上点， --- B (1)证明：PA/I平面BDE: 11.如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥平面ABC,点E是PB的中 点，点F在线段CE上且CF:EF=2:l,G为三角形ABC的重心求证：GF∥平面PAB B 5127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.如图所示，一平面四边形EFGH与空间四边形对角线AC,BD都平行，且交空间四边形边 AB,BC,CD,DA分别于E,F,G,H B (1)求证： ACIIGH: 题型4线面、面面平行的性质定理 14.三棱柱ABC-ABC中，E是棱CG上靠近C的三等分点，D是棱BC上一点，BC=DC,若AB∥ 平面ADE,则实数九的值为(y A.1 B.2 C.3 D.4 15.如图，在四棱锥P-ABCE中，四边形ABCE是梯形，AB/1CE,且AB=3CE,点F在棱PA上，且EF PF ∥平面PBC,则FA() B } B. e 16.如图，四棱柱ABCD-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，E,F分别在线段DB,DD上，且 6127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE DF 1 CG EBFD3,G在C,上且平面ABF平面BD,G,则CC() D C A B c D.4 17.在正方体ABCD-AB,CD中，M为AB的中点，I为平面AMC与平面ABCD的交线，则() A.1//AC B.I⊥AC C.1//BD D.I⊥BD 题型5平行的探索性问题 18.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AD=A4=L,AB=2,点E是AB的中点.在棱DD上是否存在 DP 一点p'使得APW平面DEC,若存在，求DD,若不存在，说明理由 D B E 19.如图，四棱锥A-BCDE中，N是BC的中点，四边形BCDE为平行四边形，且DC⊥平面ABC.试 探究在线段AE上是否存在点M,使得MN∥平面ACD？若存在，请确定M点的位置，并给予证明；若不 存在，请说明理由： 7/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B 20.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=4,D是AC的中点，E是AB上一点，且DE⊥AB.将 △ADE沿着DE折起，形成四棱锥P-BCDE,其中A点对应的点为P.在线段PB上是否存在一点F,使 PE 得CF1平面PDB?若存在，指出PB的值，并证明：若不存在，说明理由. D D D B E 21.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为正三角形，PB=PC=3,点 E在PB上 B (I)若E为中点，求证：PDI平面AEC: 8127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求异面直线PB与AC所成角的余弦值： (3)若PE:EB=2:1,在棱PC上是否存在一点F,使DFII平面AEC?并证明你的结论 22.如图，平面四边形ABCD是边长为3的正方形，PA⊥平面ABCD,PA/QC,且PA=3C2=3 D B (1)证明：平面PAB/1平面QCD； (2)证明：BC⊥平面PAB； (3)线段PA上是否存在点M,使得平面MOB∩平面ABCD=I,且满足1IW平面PAC,若存在，试确定点M 的位置；若不存在，请说明理由， 23.如图，正四棱锥P-ABCD中，卫为侧棱PD的中点，M为线段D的中点. B (1)证明：BQ/1平面MAC: (2)若平面PAB∩平面PCD=I,证明：CDIl: 9127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PE (3)侧棱PA上是否存在一点E,使得平面BQE1/平面MAC？若存在，求出PA的值：若不存在，说明理由。 ●考点二垂直问题● 题型6证明线面垂直 24.在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点，则() A.DE⊥平面ABC B.DE⊥平面A4F C.DE⊥平面ACF D.DE⊥平面ADF 25.如图，正四棱锥P-ABCD的底面为ABCD,O为PA的中点，O为AC与BD的交点，下列说法不正确的 是() A.ABII平面PCD B.PCII平面BDQ C.AQ⊥平面BDQ D.AP⊥BD 26.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD, BC/IAD,CD=1,AD=2N2,∠BAD=∠CDA=45° ()求异面直线CE与AF所成角的余弦值： (2)证明：CD⊥平面ABF. 10/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=∠ADP=9O°，且 AB=PB=2,PA=2N2,BC=CD=1,E为PA中点. B:.. (I)证明：DE∥平面PBC: (2)证明：PB⊥平面ABCD 28.在三棱锥P-ABC中，AB1AC,AB=2,AC=CP=22,E为BC中点，M为BP中点，设平面 AEM与平面ACP交于直线L. (1)证明：ME∥1： (②)若AP=AC,AM=V2,取AE中点N,证明：MN⊥平面ABC. 11/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.如图，在平行六面体ABCD-AB'CD中，AB=AD,点E,F分别是AD',BD的中点. B 二三 (I)求证：EFII平面AABB: (②)若∠AAB=∠AAD,求证：BD⊥平面AA'CC. 题型7证明线线垂直 30.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点，M,N 分别在AB,PC上，且MN⊥AB,MN⊥PC.则AE与MN的位置关系为 E M 31.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,M为AC的中点，AB=BC=2, AP=BP=3. B 求证：AB⊥PM 12/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD,点E 是棱PB的中点.求证：AB⊥CE. E A D 3.如图，梯形BCDP中，BCPD:BA⊥PD于点APH=2,且4B=BC=1=号4D.沿AB把 △PAB折起到△P'AB的位置，使P'D=V6.若E为PC的中点，F为PD上一点，证明CF⊥AE. p D A: 34.如图，己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的 中点 13/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A B (I)证明：PAI∥平面BDE; (2)证明：CD⊥PA. 题型8证明面面垂直 35.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，△SAD为正三角形. 侧面SAD⊥底面ABCD,AC∩BD=O,E、F分别为棱AD、BS的中点. B--- (I)求证：AF∥平面SEC: (2)求证：平面ASB⊥平面CSB: 36.(用几何法证明)如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=A4=2,D为棱BC的中点. 14/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D B (L)证明：AB∥平面ADC: (2)(i)证明：平面ADC⊥平面BCCB, 37.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形.△PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面PCD P D A B (I)求证：平面PAD⊥平面ABCD:, 38.如图，在直三棱柱ABC-ABG中，AA=AC=BC=V5,AB=2,P,M,N分别是AB,BC, CC的中点. 15/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)证明：平面4PC1平面ABB,4: (2)探究直线MN与平面APC的位置关系，并说明理由； 39.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，N,M分别为AB,CC的中点，且AB=2. B ()证明：CN1AB. (2)证明：平面AMB1平面ABB4. 40.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD/IBC,AB⊥BC,AB=BC=1, AD=2,CD=V2,PA=2,PA⊥平面ABCD 16/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p B (I)求证：AB⊥平面PAD: (2)求证：平面PCD⊥平面PAC: 题型9面面垂直的性质定理 41.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=PA,PA⊥底面ABC,平面PAC⊥平面PBC. M (I)求证：BC⊥平面PAC: 42.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，平面AACC⊥平面ABC,四边形A4CC是菱形，AC⊥BC,D,E分 别是棱BB,AC的中点. 17/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)证明：AC1平面ABC (2)证明：DE/1平面ABC, 43.如图，已知五面体ABCDEF的底面ABCD是正方形，平面BCF⊥平面ABCD,FB=FC=BC=2, E B (I)求证：EF⊥平面BCF: 4.如图，在多面体P2-ABCD中，平面PADO L平面ABCD,在平行四边形PADO和四边形ABCD中， AD=AB=2CD=4,点M,N分别是AD,QC的中点，CDAB,BC⊥AB,OA=OD. B (1)判断直线PB与直线QC的位置关系，并说明理由； (2)证明：OM⊥BD. 18/27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45.在三棱柱ABC-ABG中，四边形ACC4是菱形，A4=AC=2,M是AC的中点，平面ACCA1 平面ABC」 A C (①)证明：AM⊥BC: 46.如图，在三棱柱ABC-ABC中，平面A4CC1平面ABC,四边形A4CC是边长为4的菱形， ∠AAC=60°，AC⊥BC,D,E分别是棱BB,AG的中点. E A B C B (1)证明：AC⊥平面ABC (2)证明：DE∥平面ABC. 题型10垂直的探索性问题 19/27 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 47.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=2,AA=4,点M为AB的中点 B (I)求点A到平面MBC的距离： Bo (②在棱BB上是否存在点Q,使得AQ1平面BCM？若存在，求出QB的值：若不存在，请说明理由 48.如图，在直三棱柱ABC-ABG中，D是棱AC的中点，且AC=4,A4=2V2, B 、O B D ()求证：B,C1I平面ABD; (2)若AB=BC, (i)求证：AC⊥平面ABD； BN (i)在棱BB上是否存在点V,使得平面ACN1平面ACC4?如果存在，求出BB的值：如果不存在， 请说明理由 20/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 49.如图①，在口ABCD中，AD=2N2,AB=4,∠BAD=45°，DE⊥AB,垂足为E,将AADE沿DE 折起到△ADE的位置，使4D1BE,如图②. D B B ① ② (I)求证：AE⊥平面BCDE: BP (②在线段BD上是否存在点P,使得平面AEP1平面ABD·若存在，求BD的值：若不存在，说明理由. 50.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=A4=2,AD=V2,E为线段AB的中点. D B E B (1)证明：AC⊥DE (2)求二面角D-AC-B的余弦值. DP (③)在线段D,E上是否存在点p,使得D,E⊥平面APC？若存在，求出PE的值：若不存在，请说明理由. 21/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当PAI1平面 CF EBF时，PC=() E 3 1 A. 3 c.3 D.2 2.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，在阳马 P-ABCD中，若PD⊥平面ABCD,且PD=AD=2CD=2,则异面直线PC与BD所成角的余弦值为 () B A.5 B.0 5 c.vis 5 D.36 5 3.如图，在正方体ABCD-ABCD中，M是CC的中点.若点P满足：平面D,MP与平面ABCD交于直线 L,且1⊥平面CDD,C,则点P可以位于() D A B M 的 A A B.B C.4 D.B 22127 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在正方体ABCD-ABCD中，点E,F分别为棱AB,BC的中点，平面DEC交棱BB于点G, 则下列结论中正确的是（) D C B A 4 E A.直线AF与直线CE异面 B.平面AB,DII平面DEC C.截面DEGC是梯形 D.直线CFL平面DEC 5.已知正方体ABCD-ABCD边长为2，E,F分别是棱BC,CC的中点，动点P在正方形BCCB(包 括边界)内运动，则P4∥平面AEF的一个充分非必要条件是（) D B D B A.P为G B.P为BC的中点 C.P的轨迹长度为V2 D.P为BB的中点 二、填空题 6.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PAL底面ABCD,则这个五面体的五个面中两两互 相垂直的共有 对 D B 7.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动， 若BPI平面ABM,则P的轨迹长为 23/27 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B Di M B 8.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC SC,SA交于D,E,F,H,D,E分别是AB,BC的中点，如果直线SBII平面DEFH,那么四边形 DEFH的面积为一 三、解答题 9.如图，四边形ABCD中，ABI‖CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，E在AB上，EF∥AD, AB=3AD,CD=2AD,将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A,使得平面EFD'A⊥平面EFCB.证明： CD'II平面ABE. D E A F D 1O.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，BCIIAD,PA⊥平面ABCD,且AB=4,BC=3, AD=5'∠ABC=90,E为CD的中点，F为PD上一点，FD E (I)求证：平面PCD⊥平面PAE: (2)是否存在一个九值，使CF∥平面PAB,若存在，求出九值，若不存在，请说明理由： 24127 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=A4=2,M是AB的中点，N是BC的 中点，P是BC与BC的交点. C B M B ()证明：AC⊥BC: (②)在线段AN上是否存在点2，使得POW平面ACM？若存在，求出A的长；若不存在，请说明理由. 12.如图，正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为AB,BC中点. D (I)当点P在棱DD上运动时，是否都有MN/平面ACP,证明你的结论： (2②)若P是DD的中点，若O是BB的四等分点，且B=3OB,求证：平面MN01I平面ACP. 25/27 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.如图1，在△ABC中，AB=V5，,AC=22,BC=3,AD为BC边上的高如图2，将△ADB绕AD旋 转至△ADP,使CP=V3】 图1 图2 (I)求证：平面ADP⊥平面ACP: (2)在(I)的条件下，过点D作DH⊥平面ACP,试确定点H的位置，并求DH的长 14.在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称 为立体几何中的“小王子”如图，在鳖膈P-ABC中，PA⊥平面ABC,若PA=AB=BC=2,E为PB的 中点，M,N分别为AE,AC的中点 B (1)证明：MNII平面PBC； (2)若F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明 理由 26127 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形， AD1IBC,∠BAD=60,BC=1,E是PD的中点： B (1)求证：CE/平面PAB: (2)若AB⊥PB,求证：平面PBD⊥平面ABCD: 16.如图，在三棱柱ABC-ABG中，AM=AB=AC=2,BC=2W2,平面ABB,A1平面ABC,平面 ACC,A⊥平面ABC. A C B (I)求证：AA1平面ABC: (2)求证：AB⊥BC. 27127 专题01 空间直线与平面的平行和垂直问题 常考题型·精准突破 考点一 平行问题 题型1 利用中位线证明平行（重） 题型2 利用平行四边形证明平行（重） 题型3 利用相似证明平行 题型4 线面、面面平行的性质定理（难） 题型5 平行的探索性问题（难） 考点二 垂直问题 题型6 证明线面垂直（高频） 题型7 证明线线垂直 题型8 证明面面垂直 题型9 面面垂直的性质定理（重） 题型10 垂直的探索性问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 平行问题 题型1 利用中位线证明平行 1．如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小． 【答案】(1)连接， 由已知条件，点，分别为棱，的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； (2)． 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 根据直三棱柱性质可知，，， 因为，， 所以， 所以，所以， 即异面直线与所成的角的大小为． 2．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.求证:平面； 【答案】在正方体中，四边形为正方形，且为的中点， 故连接与交于点，连接，因为为的中点， 为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【详解】略 3．如图，正三棱柱中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以是异面直线与所成的角或其补角． 由题知，， 在中由余弦定理，得. 4．如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) 连接交于点O，连接. 因为四边形是正方形，则O为中点， 又因为点D为中点， 所以. 结合图形可知：平面，平面， 故平面 (2) 已知三棱柱为直棱柱，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. 又因为，所以. 由题知，D为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 故平面平面. (3). 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点F，连接，，则. 已知三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴. 又因为，，平面，平面， ∴平面. 又因为，∴平面， ∴为直线与平面所成的角. ∵，∴，中，. 在中，. ∵平面，平面，∴. 在中，， ∴直线与平面所成角的正切值为. 题型2 利用平行四边形证明平行 5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，，分别是，的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，． 因为底面是平行四边形，所以，． 因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以，． 所以，． 因为是的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面. ，平面，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）得，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 因为平面，所以． 因为是的中点，所以，则． 设，则，， 所以异面直线与所成角的正切值为． 6．如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点． (1)B，C，H，G四点共面吗？（判断即可，无需证明） (2)求证：平面． 【答案】(1)共面 (2)在三棱柱中，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 【分析】 【详解】（1）G，H分别是，的中点， 是的中位线， ， 又在三棱柱中，， ， B，C，H，G四点共面． （2）略 7．如图，在直三棱柱中，，，是棱上一点（不包含端点），是的中点.若是的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】 取的中点，连接， 因为是的中点，所以且， 直三棱柱中且， 又是的中点，所以且， 故且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. 8．如图，在四棱锥中，，，平面，，为的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】 取中点，连接，， ，分别为，的中点. 且. 又，， 又，， 且，是平行四边形， 又平面，平面， 平面 题型3 利用相似证明平行 9．已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为，，则，可得， 且平面，平面， 所以平面. 10．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形. ，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】(1) 证明：在四棱锥中，连接，连接， 在梯形中，由，得， 由点是棱上靠近端的三等分点，得，则， 而平面，平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）在上取点，使，连接，则，即， 因此是异面直线与所成的角或其补角，， 由平面，平面，得， ，，在中，， 由余弦定理得， 在等腰中，， 所以异面直线与夹角的余弦值是. 11．如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【答案】证明：连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面， 所以平面． 【详解】略 12．如图所示，一平面四边形与空间四边形对角线都平行，且交空间四边形边分别于． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)若，求平行四边形的周长． 【答案】(1) 证明：依题意，平面，平面平面，面， 所以. (2) 证明：由（1）知，同理，则，同理， 所以四边形为平行四边形. (3)2. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）由为上一点，令，由，得， 则，同理， 所以的周长为. 13．（第80天拼下解答题第一问综合练5（逆袭90分）--考前百日冲刺）如图，直三棱柱中，且平面平面.求实数的值. 【答案】 【详解】连接交于点，则为的中点，连接， 因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 所以 所以为的中点，所以， 因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 故. 题型4 线面、面面平行的性质定理 14．三棱柱中，是棱上靠近的三等分点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接交于点，连接， 在三棱柱中，，所以，， 所以，所以，故， 因为平面，平面，平面平面， 所以，故，故. 15．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过作交于，连接，如图所示. 因为，平面，不在平面上， 根据线面平行的判定定理可得平面. 又因为平面，，平面， 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 根据相似三角形性质可得：. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又，所以，所以. 故选：B. 16．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 17．在正方体中，为的中点，为平面与平面的交线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为的中点，连接， ∵为的中点，为的中点，∴， 又∵，∴， ∴四点共面， ∴平面与平面的交线为，则即为所在直线， ∵与是异面直线，即与是异面直线，故A错误； ∵，而在直角中，，则与不垂直， 故与不垂直，即与不垂直，故B错误； ∵平面，平面，∴， 又，，平面， ∴平面，又， ∴平面，即平面， ∵平面，∴，故C错误，D正确， 故选：D. 题型5 平行的探索性问题 18．如图，在长方体中，，点是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由. 【答案】存在一点满足时，使得平面 【详解】棱上存在一点满足时，使得平面，证明如下， 当点满足，即为的中点，取的中点，连接， 在中，有且, ∵在长方体中，是的中点， ∴且， ∴ 且，∴四边形 为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面． 所以棱上存在一点，使得平面，此时. 19．如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；    【答案】 在线段上存在点，且为的中点，使得平面. 证明如下：    取得中点，连接，，. 因为为的中点， 所以，且. 因为为的中点，且四边形为平行四边形， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【详解】略 20．如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 【详解】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.    21．如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1) 连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； (2) (3) 当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 【分析】 【详解】（1）略 （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）略 22．如图，平面四边形是边长为3的正方形，平面，，且．    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点M，使得平面平面，且满足平面，若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：因为四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面. (2)证明：因为四边形是正方形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面. (3)存在，点是上靠近点的三等分点，即. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：存在，点是上靠近点的三等分点，即, 理由如下：假设线段上存在点满足题意， 因为平面平面，平面，平面，所以， 又因为平面平面，平面，平面，所以， 所以，即点是上靠近点的三等分点，即. 23．如图，正四棱锥中，为侧棱的中点，为线段的中点． (1)证明：平面； (2)若平面平面，证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)在正四棱锥中，连接，连接， 则是线段的中点，而为线段的中点，因此， 又平面，平面，所以平面. (2)在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面平面，平面，所以. (3)在侧棱上存在一点，使得平面平面，满足. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）在侧棱上存在一点，使得平面平面，满足. 理由如下：在正四棱锥中，为侧棱的中点，为线段的中点， 则，过作交于，连接， 又平面，平面，因此平面， 由（1）知平面，又平面 则平面平面，且， 所以在侧棱上存在一点，使得平面平面，满足. 考点二 垂直问题 题型6 证明线面垂直 24．在正方体中，分别为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【详解】 对于A，若平面，平面，则， 在正方形中，，与过有且仅有一条直线与垂直矛盾，故A错误； 对于B，取中点，连接，易知， 在正方形中，， 与全等， ，则，即. 又平面，平面，， 平面，且， 平面，故B正确； 对于C，若平面，平面，则， 由A分析，此处有矛盾，不可能成立，故C错误； 对于D，若平面，平面，则， 取中点，连接，易知， ，这显然不成立，故D错误. 故选：B. 25．如图，正四棱锥的底面为为的中点，为与的交点，下列说法不正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】C 【详解】由四边形为正方形，所以，平面，平面，故平面，A选项正确； 因为为正方形对角线的交点，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，B选项正确； 由四边形为正方形，所以，在正四棱锥中平面， 平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，故，故D正确； 在中，，为的中点，不一定垂直于，故C错误. 故选：C. 26．如图，在五面体中，四边形是正方形，平面， ，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)证明:平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以． 故为异面直线与所成的角． 因为平面，平面，所以．故． 在中， ， ，故． 所以异面直线与所成角的余弦值为． （2）证明：过点作，交于点， 则．由，可得， 从而，又，所以平面. 27．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1) 取中点记为，连接，， 则，且，又，且， 所以平行且等于， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； (2) 记中点为，连接，， 则，又， 故四边形为正方形，则， 则， 所以， 则，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，所以， 又平面， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 28．在三棱锥中，，，，E为中点，为中点，设平面与平面交于直线. (1)证明：； (2)若，，取中点，证明：平面. 【答案】(1)证明:因为为，中点， 所以，且. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面， 平面平面， 所以 (2)证明:因为，N是中点， 所以. 在中，， 故. 又，，， 可得：. 在中，， 解得，所以. 在中，， 所以， ，所以. 在中，. 因为，且， 所以，得. 在中，， 所以. 因为，平面， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 29．如图，在平行六面体中，，点E，F分别是，BD的中点．    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面． 【答案】(1) 连接，， 因为为平行四边形，且点E是的中点， 则点E是的中点， 又因为点F是BD的中点，则， 且平面，平面，所以平面. (2) 因为，可知四边形为菱形，则， 又因为，，， 可知，则， 且点F是BD的中点，则， 且，平面，所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型7 证明线线垂直 30．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【答案】 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 31．如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，， 求证： 【答案】 取AB中点N，连接PN，MN，如图所示， 则，而，故， 因为，所以， 又，MN，平面PMN， 所以平面， 因为平面PMN，所以. 【详解】略 32．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接， 在中，因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 33．如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【答案】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 【详解】略 34．如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. (1)证明：平面； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接，交于点，连接， 四边形是正方形，为中点， 又为中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 四边形为正方形，， ，平面，平面， 平面，. 题型8 证明面面垂直 35．如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，为正三角形．侧面底面，，、分别为棱、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)取中点，连接、， 因为为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又底面为菱形，为棱的中点，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面； (2)因为为正三角形，为棱的中点，所以， 又四边形是菱形，，所以为正三角形， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又由（1）得平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又四边形是菱形，，所以， 又为正三角形，四边形是菱形，所以， 又为的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略； （2）略. 36．（用几何法证明）如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)（i）证明：平面平面． （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接,交于点，连接， 在正三棱柱中，四边形为平行四边形， 则点为的中点，又为棱的中点，则, 因平面, 平面,则平面； (2)（i）证明：因为正三角形，则, 因平面，平面,则， 因平面，则平面, 又因平面，故平面平面； （ii） 【分析】 【详解】（1）略 （2）（i）略； （ii）作于点，连接,由（i）得平面平面， 且平面平面,平面，则平面， 则即直线与平面所成角. 在中，, 由面积相等，得, 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为.    37．如图，在四棱锥中，底面为正方形．是正三角形，且平面平面． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)取的中点，连接 是正三角形， 又平面平面，且平面平面，平面， 平面． 平面， 又四边形是正方形，， ，平面，且， 平面．又平面． 平面平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面平面，可建立如图所示的空间直角坐标系， ，． ，，，． 则，，，．     设平面的法向量为．平面的法向量为， 则，即，取，则，．     又由，即， 取，则，．             ，             所以平面与平面所成角的正弦值为． 38．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点． (1)证明：平面平面； (2)探究直线与平面的位置关系，并说明理由； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面平面； (2)平面，理由如下： 取的中点，连接， 因为，，分别是，，的中点． 所以，，且，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面； (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3），故， 由勾股定理得，， ， 由可知，， 过点作⊥于点，则， 由勾股定理得， 过点作，则⊥， 连接，因为，所以⊥，， 故即为二面角的平面角， 因为，所以，所以， ， 在中，，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，，二面角的正弦值为. 39．如图，在正三棱柱中，，分别为 ，的中点，且． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 【答案】(1)方法一：在正三棱柱中，平面，平面， 所以． 因为为正三角形，为的中点，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 方法二：在正三棱柱中，平面平面． 因为是正三角形，为的中点，所以． 因为平面平面，平面， 所以 平面． 因为平面，所以． (2)如图，连接 ，交于点，连接 ，． 因为，分别为，的中点，所以且． 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则． 由（1）知 平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 40．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明：∵，，∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面． (2)证明：因为，所以. ∵，∴在中，.∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【分析】 【详解】（1）略. （2）略. 题型9 面面垂直的性质定理 41．如图，在三棱锥中，，底面，平面平面.    (1)求证：平面； (2)点是的中点，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)过作于，因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，又平面，所以， 因为底面，又平面，所以， 又平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角， 设，因为，则为的中点，又是的中点， 所以，又易知， 在中，. 42．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点．    (1)证明：平面． (2)证明：平面. 【答案】(1) ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面. ∵平面，∴平面平面. ∵四边形是菱形，∴. 又平面，平面平面， ∴平面． (2) 取棱的中点，连接. ∵分别是棱的中点， ∴∥，∥. ∵∥，∴∥. ∵平面，平面， ∴∥平面； 同理由∥，得∥平面. ∵平面， ∴平面∥平面； 又平面，∴∥平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 43．如图，已知五面体的底面是正方形，平面平面，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明：由正方形的性质知，， ，平面，平面， 平面, 平面，平面，平面平面， 平面平面，平面， 平面平面,且， 平面， 又， 平面． (2) 【详解】（1）略 （2）如图，取的中点，连接，则在等边三角形中，由三线合一知， 平面平面，，平面，平面平面， 平面， 连接，易知是与平面所成的角， 又，，又， ， 直线与平面所成角的正切值为． 44．如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)证明：； 【答案】(1)异面，理由为： 如图所示，取中点，连接，，则， 因为四边形为平行四边形，所以，， 又因为，且， 所以，且， 则四边形为平行四边形，且，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，且， 又，且平面， 所以与异面. (2)因为，是的中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 45．在三棱柱中，四边形是菱形，，是的中点，平面平面．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)由题目可知，四边形是菱形，，故为等腰三角形， 是的中点，根据等腰三角形三线合一性质，有， 又平面平面，交线为，且平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面， 又因为平面，则. (2) 【详解】（1）略 （2）由菱形性质及 ，得，故 . 在中，， ，由勾股定理得：， 在 中， ， ，由勾股定理得：. 根据线面垂直的判定定理：若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则称该直线与平面垂直. 因 平面，在平面上，故 ， 且，交于点，故 平面. 因此， 即为直线与平面所成的角， 在直角三角形 中：， 即直线与平面所成角的正切值为. 46．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为4的菱形，，，分别是棱，的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：因为平面平面ABC，平面平面，且，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 因为平面，且，所以平面． (2)证明：取棱的中点F，连接， 因为E，F分别为棱的中点，所以， 由三棱柱的定义可知，则， 因为平面平面，所以平面． 因为D，F分别为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，且，所以平面平面， 因为平面，所以平面． (3) 【分析】 【详解】（1）略． （2）略． （3）过点E作，交于点H， 因为四边形是边长为4的菱形，且，所以， 因为E是棱的中点，所以， 由（1）可知平面，则平面，即点E到平面的距离为． 由（2）可知平面，则点D到平面的距离为． 题型10 垂直的探索性问题 47．如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】 【详解】（1）如图所示，过点作交于点，交于点， 因为与互余，与互余， 所以， 又因为， 所以，所以， 因为在正三棱柱中，，，点M为的中点， 所以即为，解得， 所以， 由等面积法有，即，解得， 所以， 由正棱柱性质可知，平面，而平面， 从而， 因为三角形是正三角形且点为的中点， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以点A到平面的距离为； （2）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面， 平面，则有， 而平面，于是平面， 平面，则平面平面，在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点， 显然，因此，即有，于是，， 所以. 48．如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且． (1)求证:平面; (2)若， （i）求证:平面； （ii）在棱上是否存在点N，使得平面平面?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)连接与，两线交于点，连接， 在中，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. (2)（i）因为底面，平面，所以. 又为棱的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为，所以.又， 在和中，， 所以，故， 所以，又，平面， 所以平面. （ii）存在点， 【分析】 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为，连接，， 因为M，分别为，的中点， 所以且，又为的中点， 又， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 由（2）知：平面，所以平面，又平面， 所以平面平面. 49．如图①，在中，，，，，垂足为，将沿折起到的位置，使，如图②． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为在①中, 折叠后，在②中仍成立， 因为，平面,, 所以平面, 又因为平面,所以, 因为平面,, 所以平面； (2)存在，当为中点时，平面平面，证明如下： 由（1）可知平面， 又平面,所以, 因为，，，， 所以， 所以, 所以为等腰直角三角形， 又因为为中点，所以, 因为平面，, 所以平面， 又因为平面．可得平面平面. 因为为中点，所以. 【分析】 【详解】（1）略； （2）略. 50．如图，在长方体中，，，为线段的中点． (1)证明：． (2)求二面角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)连接，交于， 因为是线段的中点，所以，所以 因为与均为直角三角形， 所以，即， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以． (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接，，连接， 因为平面，平面，所以， 由（1）知，因为平面，平面， 故即为二面角的平面角， 因为，所以， 因为，，， 所以，即，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以，，所以，， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）由（1）知，，因为平面，平面，所以， 故在中作斜边上的高，交线段于点，即有， 又因为，，平面，所以平面， 此时的点即为所求， 因为，故，即，故， 所以线段上存在点，此时 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD的中点，F为PC上一点，当平面时，=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A 2．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，在阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面，，平面，所以，. 长方形中，， 在中，，同理可得. 取，，，中点，，，连接，，，，. 则，；；，； ，. 所以与所成的角即为异面直线与所成角. 因为平面，所以底面. 又底面，所以，所以. 在中，. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3．如图，在正方体中，M是的中点．若点P满足：平面与平面交于直线l，且平面，则点可以位于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，延长交延长线于点， 因为平面与平面交于直线l，且平面， 则直线l为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点P可以位于，而点、和都不在平面上，故C正确. 4．如图，在正方体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，平面 交棱于点G，则下列结论中正确的是（     ） A．直线与直线异面 B．平面平面 C．截面是梯形 D．直线平面 【答案】C 【详解】对于选项A：因为点E，F分别为棱AB，BC的中点，则， 又因为，且，可知四边形为平行四边形，则， 可得，可知四点共面， 所以直线与直线不是异面直线，故A错误； 对于选项B：因为，且，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 同理可得：，， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，可得平面平面， 又因为平面平面，所以平面与平面不平行，故B错误； 对于选项C：因为平面平面，平面平面，平面平面， 则，且，则， 又因为为的中点，则为的中点，可得， 且，可得，所以截面是梯形，故C正确； 对于选项D：由选项C可知平面即为平面， 显然直线与不垂直，所以直线与平面不垂直，故D错误. 5．已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件.    二、填空题 6．如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有____________对. 【答案】5 【详解】在四棱锥中，由平面，平面， 得，由矩形，得， 而，平面，平面， 则平面，平面，又平面， 因此平面平面，平面平面； 又平面，平面，因此平面平面，平面平面； 而，则平面，又平面，因此平面平面； 由平面，可得平面与平面都不垂直于平面； 假定平面平面，在平面内过点作，而平面平面， 则平面，，而，平面， 于是平面，，与为锐角矛盾，因此平面与平面不垂直， 所以五面体的五个面中两两互相垂直的共有5对. 故答案为：5 7．如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________． 【答案】 【详解】若分别为的中点，连接，点M是AD的中点， 所以且，则为平行四边形，故， 由平行且相等，则为平行四边形， 所以，则，故共面， 由平行且相等，则为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面， 由平面，平面，则平面， 又且都在平面内，故平面平面， 由平面，则在四边形上，而， 所以P的轨迹长为. 故答案为： 8．在三棱锥中，是边长为6的正三角形，，平面分别与，，，交于，，，，，分别是，的中点，如果直线平面，那么四边形的面积为______. 【答案】/ 【详解】 直线平面， 平面分别与，，，交于，，， ，， ，分别是、的中点，，分别是、的中点，， 四边形为平行四边形且，， 取的中点，连接、， ，，，， 由可得平面，又平面，， ，四边形的面积为. 三、解答题 9．如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.证明：平面. 【答案】 取的中点，连接，， 由题意得，. 所以四边形为平行四边形，所以，. 又因为，将四边形沿翻折至四边形，故， ，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为在平面外，平面， 所以平面. 【详解】略 10．如图所示，四棱锥的底面是梯形，，平面，且，，，，E为的中点，F为上一点，. (1)求证：平面平面； (2)是否存在一个值，使平面，若存在，求出值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)略 (2) 【分析】 【详解】（1）平面，平面， . 梯形中，，， ， 过作于,， ，， ，即为等腰三角形， 又为中点， ，平面，平面 又平面，平面平面 （2）过作，交于点，连接. ，平面，平面 若平面，， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面， 因为平面，所以. ，即，又， 四边形是平行四边形， ，， 。 在中，， 存在​，使得平面 11．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点，是与的交点． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)连结，在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 中，，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在四边形中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)存在；. 【分析】 【详解】（1）略 （2）当时，有平面． 证明如下：因为，，故， 故，故，故为的重心. 延长交于H，连结BH、、，则为的中点. 在正方形中，M为AB的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 在正方形中，为的中点，为中点，所以． 因为且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面 所以平面平面，而平面，所以平面， 所以存在点且时，有平面． 12．如图，正方体中，M，N分别为AB，BC中点． (1)当点P在棱上运动时，是否都有平面，证明你的结论． (2)若P是的中点，若Q是的四等分点，且，求证：平面平面. 【答案】(1)当点P在棱上运动时，都有平面，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明： （1）当点P在棱上运动时，都有平面. 证明如下：连接AC，在正方形ABCD中，MN为的中位线， 可得， 由正方体的截面性质可得四边形为矩形，则，可得， 平面，平面，则平面. （2）证明：取的中点F，连接PF，，取的中点E，连接AE， 由，，可得， 即四边形为平行四边形，可得， 由E为的中点，且，可得Q为BE的中点，且， 四边形为平行四边形，可得，即有， 平面，平面，则平面， 又平面，，则平面平面. 13．如图1，在中，，，，为边上的高.如图2，将绕旋转至，使. (1)求证：平面平面； (2)在（1）的条件下，过点作平面，试确定点H的位置，并求的长. 【答案】(1)在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 在中，因为，，， 所以，则， 因为，所以，， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，， 所以，即， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 即平面平面. (2) 点在棱上，. 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）得平面平面，且平面平面， 在平面内，过点作平面，则，且点在棱上， 如下图所示 ， 在中，. 14．在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】 【详解】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 15．如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若，求证：平面平面ABCD； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，取PA中点，连接EF、BF， 由是PD的中点，得， 又因为，所以， 所以四边形EFBC是平行四边形，所以，又平面平面PAB， 所以平面PAB. （2）在等腰梯形ABCD中，，过点作交AD于点， 由，得， 在中，由余弦定理得， 则，所以， 又，平面PBD， 因此平面，而平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 16．如图，在三棱柱中，，平面平面，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明：因为，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面． 又平面，所以， 同理可得平面，又平面，所以， 又平面，所以平面； (2)证明：取为的中点，连接，      由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，则， 所以，所以． 又，所以，所以， 因为，所以， 又平面，又平面，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间直线与平面的平行和垂直问题 常考题型·精准突破 考点一 平行问题 题型1 利用中位线证明平行 1．【答案】(1)连接， 由已知条件，点，分别为棱，的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； (2)． 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 根据直三棱柱性质可知，，， 因为，， 所以， 所以，所以， 即异面直线与所成的角的大小为． 2．【答案】在正方体中，四边形为正方形，且为的中点， 故连接与交于点，连接，因为为的中点， 为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【详解】略 3．【答案】(1)证明：连接，交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以是异面直线与所成的角或其补角． 由题知，， 在中由余弦定理，得. 4．【答案】(1) 连接交于点O，连接. 因为四边形是正方形，则O为中点， 又因为点D为中点， 所以. 结合图形可知：平面，平面， 故平面 (2) 已知三棱柱为直棱柱，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. 又因为，所以. 由题知，D为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 故平面平面. (3). 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点F，连接，，则. 已知三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴. 又因为，，平面，平面， ∴平面. 又因为，∴平面， ∴为直线与平面所成的角. ∵，∴，中，. 在中，. ∵平面，平面，∴. 在中，， ∴直线与平面所成角的正切值为. 题型2 利用平行四边形证明平行 5．【答案】(1)证明：取的中点，连接，． 因为底面是平行四边形，所以，． 因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以，． 所以，． 因为是的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面. ，平面，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）得，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 因为平面，所以． 因为是的中点，所以，则． 设，则，， 所以异面直线与所成角的正切值为． 6．【答案】(1)共面 (2)在三棱柱中，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 【分析】 【详解】（1）G，H分别是，的中点， 是的中位线， ， 又在三棱柱中，， ， B，C，H，G四点共面． （2）略 7．【答案】证明见解析 【详解】 取的中点，连接， 因为是的中点，所以且， 直三棱柱中且， 又是的中点，所以且， 故且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. 8．【答案】证明见解析 【详解】 取中点，连接，， ，分别为，的中点. 且. 又，， 又，， 且，是平行四边形， 又平面，平面， 平面 题型3 利用相似证明平行 9．【答案】证明见解析 【详解】因为，，则，可得， 且平面，平面， 所以平面. 10．【答案】(1) 证明：在四棱锥中，连接，连接， 在梯形中，由，得， 由点是棱上靠近端的三等分点，得，则， 而平面，平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）在上取点，使，连接，则，即， 因此是异面直线与所成的角或其补角，， 由平面，平面，得， ，，在中，， 由余弦定理得， 在等腰中，， 所以异面直线与夹角的余弦值是. 11．【答案】证明：连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面， 所以平面． 【详解】略 12．【答案】(1) 证明：依题意，平面，平面平面，面， 所以. (2) 证明：由（1）知，同理，则，同理， 所以四边形为平行四边形. (3)2. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）由为上一点，令，由，得， 则，同理， 所以的周长为. 13．（第80天拼下解答题第一问综合练5（逆袭90分）--考前百日冲刺）如图，直三棱柱中，且平面平面.求实数的值. 【答案】 【详解】连接交于点，则为的中点，连接， 因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 所以 所以为的中点，所以， 因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 故. 题型4 线面、面面平行的性质定理 14．【答案】D 【详解】连接交于点，连接， 在三棱柱中，，所以，， 所以，所以，故， 因为平面，平面，平面平面， 所以，故，故. 15．【答案】B 【详解】过作交于，连接，如图所示. 因为，平面，不在平面上， 根据线面平行的判定定理可得平面. 又因为平面，，平面， 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 根据相似三角形性质可得：. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又，所以，所以. 故选：B. 16．【答案】A 【详解】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 17．【答案】D 【详解】设为的中点，连接， ∵为的中点，为的中点，∴， 又∵，∴， ∴四点共面， ∴平面与平面的交线为，则即为所在直线， ∵与是异面直线，即与是异面直线，故A错误； ∵，而在直角中，，则与不垂直， 故与不垂直，即与不垂直，故B错误； ∵平面，平面，∴， 又，，平面， ∴平面，又， ∴平面，即平面， ∵平面，∴，故C错误，D正确， 故选：D. 题型5 平行的探索性问题 18．【答案】存在一点满足时，使得平面 【详解】棱上存在一点满足时，使得平面，证明如下， 当点满足，即为的中点，取的中点，连接， 在中，有且, ∵在长方体中，是的中点， ∴且， ∴ 且，∴四边形 为平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面． 所以棱上存在一点，使得平面，此时. 19．【答案】 在线段上存在点，且为的中点，使得平面. 证明如下：    取得中点，连接，，. 因为为的中点， 所以，且. 因为为的中点，且四边形为平行四边形， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【详解】略 20．【答案】存在， 【详解】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.    21．【答案】(1) 连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； (2) (3) 当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 【分析】 【详解】（1）略 （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）略 22．【答案】(1)证明：因为四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面. (2)证明：因为四边形是正方形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面. (3)存在，点是上靠近点的三等分点，即. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：存在，点是上靠近点的三等分点，即, 理由如下：假设线段上存在点满足题意， 因为平面平面，平面，平面，所以， 又因为平面平面，平面，平面，所以， 所以，即点是上靠近点的三等分点，即. 23．【答案】(1)在正四棱锥中，连接，连接， 则是线段的中点，而为线段的中点，因此， 又平面，平面，所以平面. (2)在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面平面，平面，所以. (3)在侧棱上存在一点，使得平面平面，满足. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）在侧棱上存在一点，使得平面平面，满足. 理由如下：在正四棱锥中，为侧棱的中点，为线段的中点， 则，过作交于，连接， 又平面，平面，因此平面， 由（1）知平面，又平面 则平面平面，且， 所以在侧棱上存在一点，使得平面平面，满足. 考点二 垂直问题 题型6 证明线面垂直 24．【答案】B 【详解】 对于A，若平面，平面，则， 在正方形中，，与过有且仅有一条直线与垂直矛盾，故A错误； 对于B，取中点，连接，易知， 在正方形中，， 与全等， ，则，即. 又平面，平面，， 平面，且， 平面，故B正确； 对于C，若平面，平面，则， 由A分析，此处有矛盾，不可能成立，故C错误； 对于D，若平面，平面，则， 取中点，连接，易知， ，这显然不成立，故D错误. 故选：B. 25．【答案】C 【详解】由四边形为正方形，所以，平面，平面，故平面，A选项正确； 因为为正方形对角线的交点，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，B选项正确； 由四边形为正方形，所以，在正四棱锥中平面， 平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，故，故D正确； 在中，，为的中点，不一定垂直于，故C错误. 故选：C. 26．【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以． 故为异面直线与所成的角． 因为平面，平面，所以．故． 在中， ， ，故． 所以异面直线与所成角的余弦值为． （2）证明：过点作，交于点， 则．由，可得， 从而，又，所以平面. 27．【答案】(1) 取中点记为，连接，， 则，且，又，且， 所以平行且等于， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； (2) 记中点为，连接，， 则，又， 故四边形为正方形，则， 则， 所以， 则，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，所以， 又平面， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 28．【答案】(1)证明:因为为，中点， 所以，且. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面， 平面平面， 所以 (2)证明:因为，N是中点， 所以. 在中，， 故. 又，，， 可得：. 在中，， 解得，所以. 在中，， 所以， ，所以. 在中，. 因为，且， 所以，得. 在中，， 所以. 因为，平面， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 29．【答案】(1) 连接，， 因为为平行四边形，且点E是的中点， 则点E是的中点， 又因为点F是BD的中点，则， 且平面，平面，所以平面. (2) 因为，可知四边形为菱形，则， 又因为，，， 可知，则， 且点F是BD的中点，则， 且，平面，所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型7 证明线线垂直 30．【答案】 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 31．【答案】 取AB中点N，连接PN，MN，如图所示， 则，而，故， 因为，所以， 又，MN，平面PMN， 所以平面， 因为平面PMN，所以. 【详解】略 32．【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接， 在中，因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 33．【答案】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 【详解】略 34．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接，交于点，连接， 四边形是正方形，为中点， 又为中点，， 平面，平面，平面. （2）平面，平面，； 四边形为正方形，， ，平面，平面， 平面，. 题型8 证明面面垂直 35．【答案】(1)取中点，连接、， 因为为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又底面为菱形，为棱的中点，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面； (2)因为为正三角形，为棱的中点，所以， 又四边形是菱形，，所以为正三角形， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又由（1）得平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又四边形是菱形，，所以， 又为正三角形，四边形是菱形，所以， 又为的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略； （2）略. 36．【答案】(1)证明：连接,交于点，连接， 在正三棱柱中，四边形为平行四边形， 则点为的中点，又为棱的中点，则, 因平面, 平面,则平面； (2)（i）证明：因为正三角形，则, 因平面，平面,则， 因平面，则平面, 又因平面，故平面平面； （ii） 【分析】 【详解】（1）略 （2）（i）略； （ii）作于点，连接,由（i）得平面平面， 且平面平面,平面，则平面， 则即直线与平面所成角. 在中，, 由面积相等，得, 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为.    37．【答案】(1)取的中点，连接 是正三角形， 又平面平面，且平面平面，平面， 平面． 平面， 又四边形是正方形，， ，平面，且， 平面．又平面． 平面平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面平面，可建立如图所示的空间直角坐标系， ，． ，，，． 则，，，．     设平面的法向量为．平面的法向量为， 则，即，取，则，．     又由，即， 取，则，．             ，             所以平面与平面所成角的正弦值为． 38．【答案】(1)证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面平面； (2)平面，理由如下： 取的中点，连接， 因为，，分别是，，的中点． 所以，，且，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面； (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3），故， 由勾股定理得，， ， 由可知，， 过点作⊥于点，则， 由勾股定理得， 过点作，则⊥， 连接，因为，所以⊥，， 故即为二面角的平面角， 因为，所以，所以， ， 在中，，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，，二面角的正弦值为. 39．【答案】(1)方法一：在正三棱柱中，平面，平面， 所以． 因为为正三角形，为的中点，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 方法二：在正三棱柱中，平面平面． 因为是正三角形，为的中点，所以． 因为平面平面，平面， 所以 平面． 因为平面，所以． (2)如图，连接 ，交于点，连接 ，． 因为，分别为，的中点，所以且． 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则． 由（1）知 平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 40．【答案】(1)证明：∵，，∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面． (2)证明：因为，所以. ∵，∴在中，.∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【分析】 【详解】（1）略. （2）略. 题型9 面面垂直的性质定理 41．【答案】(1)过作于，因为平面平面，平面平面， 又平面，所以平面，又平面，所以， 因为底面，又平面，所以， 又平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角， 设，因为，则为的中点，又是的中点， 所以，又易知， 在中，. 42．【答案】(1) ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面. ∵平面，∴平面平面. ∵四边形是菱形，∴. 又平面，平面平面， ∴平面． (2) 取棱的中点，连接. ∵分别是棱的中点， ∴∥，∥. ∵∥，∴∥. ∵平面，平面， ∴∥平面； 同理由∥，得∥平面. ∵平面， ∴平面∥平面； 又平面，∴∥平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 43．【答案】(1)证明：由正方形的性质知，， ，平面，平面， 平面, 平面，平面，平面平面， 平面平面，平面， 平面平面,且， 平面， 又， 平面． (2) 【详解】（1）略 （2）如图，取的中点，连接，则在等边三角形中，由三线合一知， 平面平面，，平面，平面平面， 平面， 连接，易知是与平面所成的角， 又，，又， ， 直线与平面所成角的正切值为． 44．【答案】(1)异面，理由为： 如图所示，取中点，连接，，则， 因为四边形为平行四边形，所以，， 又因为，且， 所以，且， 则四边形为平行四边形，且，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，且， 又，且平面， 所以与异面. (2)因为，是的中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 45．【答案】(1)由题目可知，四边形是菱形，，故为等腰三角形， 是的中点，根据等腰三角形三线合一性质，有， 又平面平面，交线为，且平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面， 又因为平面，则. (2) 【详解】（1）略 （2）由菱形性质及 ，得，故 . 在中，， ，由勾股定理得：， 在 中， ， ，由勾股定理得：. 根据线面垂直的判定定理：若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则称该直线与平面垂直. 因 平面，在平面上，故 ， 且，交于点，故 平面. 因此， 即为直线与平面所成的角， 在直角三角形 中：， 即直线与平面所成角的正切值为. 46．【答案】(1)证明：因为平面平面ABC，平面平面，且，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 因为平面，且，所以平面． (2)证明：取棱的中点F，连接， 因为E，F分别为棱的中点，所以， 由三棱柱的定义可知，则， 因为平面平面，所以平面． 因为D，F分别为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，且，所以平面平面， 因为平面，所以平面． (3) 【分析】 【详解】（1）略． （2）略． （3）过点E作，交于点H， 因为四边形是边长为4的菱形，且，所以， 因为E是棱的中点，所以， 由（1）可知平面，则平面，即点E到平面的距离为． 由（2）可知平面，则点D到平面的距离为． 题型10 垂直的探索性问题 47．【答案】(1) (2)存在， 【分析】 【详解】（1）如图所示，过点作交于点，交于点， 因为与互余，与互余， 所以， 又因为， 所以，所以， 因为在正三棱柱中，，，点M为的中点， 所以即为，解得， 所以， 由等面积法有，即，解得， 所以， 由正棱柱性质可知，平面，而平面， 从而， 因为三角形是正三角形且点为的中点， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以点A到平面的距离为； （2）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面， 平面，则有， 而平面，于是平面， 平面，则平面平面，在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点， 显然，因此，即有，于是，， 所以. 48．【答案】(1)连接与，两线交于点，连接， 在中，分别为，的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. (2)（i）因为底面，平面，所以. 又为棱的中点，，所以. 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为，所以.又， 在和中，， 所以，故， 所以，又，平面， 所以平面. （ii）存在点， 【分析】 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）当点为的中点，即时，平面平面. 证明如下：设的中点为，连接，， 因为M，分别为，的中点， 所以且，又为的中点， 又， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 由（2）知：平面，所以平面，又平面， 所以平面平面. 49．【答案】(1)证明：因为在①中, 折叠后，在②中仍成立， 因为，平面,, 所以平面, 又因为平面,所以, 因为平面,, 所以平面； (2)存在，当为中点时，平面平面，证明如下： 由（1）可知平面， 又平面,所以, 因为，，，， 所以， 所以, 所以为等腰直角三角形， 又因为为中点，所以, 因为平面，, 所以平面， 又因为平面．可得平面平面. 因为为中点，所以. 【分析】 【详解】（1）略； （2）略. 50．【答案】(1)连接，交于， 因为是线段的中点，所以，所以 因为与均为直角三角形， 所以，即， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以． (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接，，连接， 因为平面，平面，所以， 由（1）知，因为平面，平面， 故即为二面角的平面角， 因为，所以， 因为，，， 所以，即，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以，，所以，， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）由（1）知，，因为平面，平面，所以， 故在中作斜边上的高，交线段于点，即有， 又因为，，平面，所以平面， 此时的点即为所求， 因为，故，即，故， 所以线段上存在点，此时 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．【答案】A 【详解】连接交于点，连接，显然平面平面， 又平面，平面，则，即， 由为平行四边形，且E为线段AD的中点，易知， 所以. 故选：A 2．【答案】A 【详解】因为平面，，平面，所以，. 长方形中，， 在中，，同理可得. 取，，，中点，，，连接，，，，. 则，；；，； ，. 所以与所成的角即为异面直线与所成角. 因为平面，所以底面. 又底面，所以，所以. 在中，. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3．【答案】C 【详解】根据题意，延长交延长线于点， 因为平面与平面交于直线l，且平面， 则直线l为过点平行于的直线， 又因为，则，所以与共面，即平面， 所以点P可以位于，而点、和都不在平面上，故C正确. 4．【答案】C 【详解】对于选项A：因为点E，F分别为棱AB，BC的中点，则， 又因为，且，可知四边形为平行四边形，则， 可得，可知四点共面， 所以直线与直线不是异面直线，故A错误； 对于选项B：因为，且，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 同理可得：，， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，可得平面平面， 又因为平面平面，所以平面与平面不平行，故B错误； 对于选项C：因为平面平面，平面平面，平面平面， 则，且，则， 又因为为的中点，则为的中点，可得， 且，可得，所以截面是梯形，故C正确； 对于选项D：由选项C可知平面即为平面， 显然直线与不垂直，所以直线与平面不垂直，故D错误. 5．【答案】D 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件.    二、填空题 6．【答案】5 【详解】在四棱锥中，由平面，平面， 得，由矩形，得， 而，平面，平面， 则平面，平面，又平面， 因此平面平面，平面平面； 又平面，平面，因此平面平面，平面平面； 而，则平面，又平面，因此平面平面； 由平面，可得平面与平面都不垂直于平面； 假定平面平面，在平面内过点作，而平面平面， 则平面，，而，平面， 于是平面，，与为锐角矛盾，因此平面与平面不垂直， 所以五面体的五个面中两两互相垂直的共有5对. 故答案为：5 7．【答案】 【详解】若分别为的中点，连接，点M是AD的中点， 所以且，则为平行四边形，故， 由平行且相等，则为平行四边形， 所以，则，故共面， 由平行且相等，则为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面， 由平面，平面，则平面， 又且都在平面内，故平面平面， 由平面，则在四边形上，而， 所以P的轨迹长为. 故答案为： 8．【答案】/ 【详解】 直线平面， 平面分别与，，，交于，，， ，， ，分别是、的中点，，分别是、的中点，， 四边形为平行四边形且，， 取的中点，连接、， ，，，， 由可得平面，又平面，， ，四边形的面积为. 三、解答题 9．【答案】 取的中点，连接，， 由题意得，. 所以四边形为平行四边形，所以，. 又因为，将四边形沿翻折至四边形，故， ，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为在平面外，平面， 所以平面. 【详解】略 10．【答案】(1)略 (2) 【分析】 【详解】（1）平面，平面， . 梯形中，，， ， 过作于,， ，， ，即为等腰三角形， 又为中点， ，平面，平面 又平面，平面平面 （2）过作，交于点，连接. ，平面，平面 若平面，， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面， 因为平面，所以. ，即，又， 四边形是平行四边形， ，， 。 在中，， 存在​，使得平面 11．【答案】(1)连结，在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 中，，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在四边形中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)存在；. 【分析】 【详解】（1）略 （2）当时，有平面． 证明如下：因为，，故， 故，故，故为的重心. 延长交于H，连结BH、、，则为的中点. 在正方形中，M为AB的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 在正方形中，为的中点，为中点，所以． 因为且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面 所以平面平面，而平面，所以平面， 所以存在点且时，有平面． 12．【答案】(1)当点P在棱上运动时，都有平面，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明： （1）当点P在棱上运动时，都有平面. 证明如下：连接AC，在正方形ABCD中，MN为的中位线， 可得， 由正方体的截面性质可得四边形为矩形，则，可得， 平面，平面，则平面. （2）证明：取的中点F，连接PF，，取的中点E，连接AE， 由，，可得， 即四边形为平行四边形，可得， 由E为的中点，且，可得Q为BE的中点，且， 四边形为平行四边形，可得，即有， 平面，平面，则平面， 又平面，，则平面平面. 13．【答案】(1)在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 在中，因为，，， 所以，则， 因为，所以，， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，， 所以，即， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 即平面平面. (2) 点在棱上，. 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）得平面平面，且平面平面， 在平面内，过点作平面，则，且点在棱上， 如下图所示 ， 在中，. 14．【答案】(1)证明见解析 (2)垂直，证明见解析 【分析】 【详解】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 15．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，取PA中点，连接EF、BF， 由是PD的中点，得， 又因为，所以， 所以四边形EFBC是平行四边形，所以，又平面平面PAB， 所以平面PAB. （2）在等腰梯形ABCD中，，过点作交AD于点， 由，得， 在中，由余弦定理得， 则，所以， 又，平面PBD， 因此平面，而平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 16．【答案】(1)证明：因为，所以，所以， 又平面平面，平面平面平面，所以平面． 又平面，所以， 同理可得平面，又平面，所以， 又平面，所以平面； (2)证明：取为的中点，连接，      由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以， 所以， 又，则， 所以，所以． 又，所以，所以， 因为，所以， 又平面，又平面，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $