专题02 常用逻辑用语（9大题型专项训练）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 以题型分类为框架，系统覆盖命题、充分条件必要条件、反证法三大考点，通过分层训练构建逻辑用语应用体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题|2题型（9题）|真假判断、参数求解|从命题概念到真假应用，构建“判断-求参”递进逻辑| |充分条件必要条件|5题型（19题）|结构辨析（“是”“的”）、数学文化、参数、证明|以命题为基础，通过不同结构与实际情境深化条件关系理解| |反证法|2题型（8题）|概念辨析、证明应用|从否定假设到逻辑推理，培养批判性思维与论证能力|

专题02 常用逻辑用语 常考题型·精准突破 考点一 命题 题型01 命题的真假判断 题型02 已知命题的真假求参数 考点二 充分条件、必要条件 题型03 充分条件、必要条件的判断（“是”结构）（重） 题型04 充分条件、必要条件的判断（“的”结构） 题型05 数学文化中的充分性和必要性 题型06 根据充分性，必要性求参数（重） 题型07 充要条件的证明（难） 考点三 反证法 题型08 反证法的概念辨析 题型09 反证法的证明（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 命题 ◆题型01 命题的真假判断 1．下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【答案】A 【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误． 2．下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【答案】D 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 3．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 4．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若，则，是真命题． (3)已知、为正整数，若，则且，是假命题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ◆题型02 已知命题的真假求参数 5．给出能够说明“若，则”是假命题的一组的值：__________；__________. 【答案】 （答案不唯一，满足且即可） 【详解】由，得到，即， 若，则是假命题，则有，即， 所以符合题意的一组的值为， 故答案为：；（答案不唯一，满足且即可） 6．为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为__________. 【答案】 【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为. 故答案为： 7．已知命题p：函数与x轴有两个交点；命题q：对于任意的恒成立．若p为真命题，而命题q为假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与x轴有两个交点，所以，得到或，故或， 又恒成立，所以，整理得到，得到， 而命题q为假命题，故或， 故或，得到或. 故选：C 8．已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知. （2）当为真命题时，即对于任意恒成立. 当，不等式即为，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，当为真命题时， ，则当为假命题时或； 由第（1）可知，当为真命题时， ，则当为假命题时； 若、有且只有一个真命题，则真假或假真. 当真假时，的范围是或； 当假真时，的范围是. 所以若、有且只有一个真命题，的范围是. 9．已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程无实根. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若假真，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若方程有两个不等的负根， 则 ， 解得：， 故的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得：， 当假真时， ，解得：， 故的取值范围为. 考点二 充分条件、必要条件 ◆题型03 充分条件、必要条件的判断（“是”结构） 10．“是钝角三角形”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若是钝角三角形，可得角中有一个是钝角，不能推出， 所以“是钝角三角形”是“”的不充分条件； 若，则是钝角三角形， 所以“是钝角三角形”是“”的必要条件； 所以“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件. 11．已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当，时，满足，但，故推不出， 当，时，满足，但，故不能推出， 所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 12．已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为 且且是等边三角形， 所以“是等边三角形”是“”的充要条件. 13．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，解得， 当时，成立，故“”是“”的充分条件； 当时，，不能推出，故必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件． 14．命题“”是命题“”的____________条件． 【答案】必要不充分 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. ◆题型04 充分条件、必要条件的判断（“的”结构） 15．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 16．使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解出，下列选项可以推出的有C、D选项， 而C选项为充要条件，且推不出D选项， 故选：D. 17．已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是成立的一个必要不充分条件，是的真子集； 当，即时，，满足题意； 当时，需满足，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 18．关于的二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】有实数解，则，解得， 故二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是， 故选：D 19．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B ◆题型05 数学文化中的充分性和必要性 20．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 21．子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 22．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件. 故选:A. 23．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件. 故选：B. ◆题型06 根据充分性，必要性求参数 24．若是的充分条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于是的充分条件，故在恒成立， 由可得， 当时，可得，当时，，时，无解， 要使在，恒成立， 故或，解得， 故选：B 25．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 26．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若且“”是“”的充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：当时，可得， 因为集合，可得， 所以或. （2）解：由是的充分条件，可得， 因为，则满足 ，解得， 所以实数的取值范围为. 27．已知集合，集合 . (1)若，全集，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）时，，故或， ， 故或； （2）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 28．已知集合， (1)若集合为空集，求的取值范围； (2)对于非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， ，解得：， 的取值范围为：； （2），，解得：， 由题意“”是“”的必要不充分条件得是的真子集， ， 解得：，符合，且不相等， 又， 的取值范围为： ◆题型07 充要条件的证明 29．已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以， 得证. 30．已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【详解】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 31．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】 必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【详解】略 32．已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 考点三 反证法 ◆题型08 反证法的概念辨析 33．用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（    ） A．中至多有两个能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【详解】“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”， 故选：D. 34．用反证法证明命题“任何中最多只有一个内角是钝角”时，第一步是假设存在一个，该三角形的三个内角（    ） A．至少有一个内角是钝角 B．至少有两个内角是钝角 C．至少有一个内角不是钝角 D．至少有两个内角不是钝角 【答案】B 【详解】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角． 故选：B． 35．用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 【答案】不都为零 【详解】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”. 故答案为：不都为零. 36．用反证法证明命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是______． 【答案】在一个三角形中至少有两个内角是钝角 【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角” 的否定 为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角” 故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角 ◆题型09 反证法的证明 37．求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 【答案】(1) 反证法：假设不能被3整除，则， 故，则不能被3整除， 与“能被3整除”矛盾， 故假设不成立，原命题成立，即整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2) 反证：假设为有理数，即，（互质）， 则，即能被3整除， 故由（1）得，代回到得， 同理有，即均能被3整除，与“互质”矛盾， 故假设不成立，则是无理数； (3) 反证：假设为有理数，则， 而，故， 又有理数集关于四则运算封闭，故，与“为无理数”矛盾， 故假设不成立，则为无理数. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 38．（1）已知，试比较与的大小． （2）已知，．试用反证法证明至少有一个不小于． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：由题意，知 因为，所以，，， 所以，即． （2）假设都小于，即 则有① 而② ①与②矛盾，故至少有一个不小于． 39．在中，角的对边分别是，且，求证：角为锐角． 【答案】 假设为直角或钝角，此时为锐角， 必有，即， 所以，所以，与矛盾， 故假设不成立， 所以角为锐角. 【详解】略 40．设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 【答案】 用反证法证明，理由如下： 若n不是偶数，且是偶数， 结合前提可设，此时有， 因为是偶数， 所以是奇数，这与是偶数矛盾， 故假设不成立，命题得证. 【详解】略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．设，则 是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 ， 所以，是的充要条件. 故选：C 2．“无体艺，不福一”，我校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛．甲，乙，丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三.”乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军.”丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军．”赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（    ） A．（1）班 B．（2）班 C．（3）班 D．（4）班 【答案】B 【详解】若（1）班得冠军，由甲的预测可知（4）班得第三，由乙的预测可知（3）班得亚军， 则（2）班得第四，此时丙的预测全错，不满足题意； 若（2）班得冠军，由甲的预测可知（4）班得第三，由乙的预测可知（3）班得亚军， 由丙的预测可知（1）班得第四，满足题意； 若（3）班得冠军，由甲的预测可知（4）不是第三，由丙的预测可知（1）班得第四， 则（2）班得第三，（4）班得亚军，此时乙的预测全错，不满足题意； 若（4）班得冠军，此时甲的预测全错，不满足题意. 故选：B 3．已知下列四组陈述句： ①：集合：集合； ②：集合：集合； ③， ④ 其中是的必要非充分条件的有（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【详解】①若，则，故，反之，取，则对任意有， 但与不一定相等，所以，因此是的必要非充分条件，符合题意. ②若，则且，可得，所以，若， 则，所以，故与互为充要条件，不符合题意. ③的元素为奇数，所以，取，若，得， 所以，故，因此是的必要非充分条件，符合题意. ④若，则，所以，但若，可能，推不出， 所以，故是的充分不必要条件，不符合题意. 故选：D 4．已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由方程有实根，所以，即，又命题为假命题， 所以，又为假命题的充分不必要条件为， 所以， 所以， 故选：C. 5．已知，则是的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】令，此时满足，但不满足， 说明是的不充分条件； 若，假设，则：， 这与矛盾， 故假设不成立，成立，说明， 所以是的必要条件， 是的必要不充分条件. 故选：B. 6．若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 二、填空题 7．若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】记的解集为集合，， 则为的解集，； 是的必要非充分条件，，得，即对任意，都有恒成立. ，， ，化简得； 令，，，且； ， 当时，取得最大值，即， ，，且， 当时，取得最小值，即； 对任意，恒成立， ，即; 实数的取值范围是. 8．已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】∵表示不超过的最大整数， ∴，，即， 又是的充分不必要条件，， ∴AB，故，即的取值范围是. 故答案为：. 9．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】解不等式，然后对与的大小关系进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】解不等式，解得， 解方程，解得或. ①当时，即当时，不等式即为， 该不等式的解集为，不合乎题意； ②当时，即当时，解不等式可得. 由于是的充分不必要条件，则， 可得，此时； ③当时，即当时，解不等式可得. 由于是的充分不必要条件，则, 可得，解得. 检验：当时，则有，合乎题意； 当时，则有，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含． 10．在整数集中，被整数除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，，如，则下列结论正确的为________. ①；②；③整数、满足且的充要条件是；④. 【答案】①④ 【详解】，①正确； ，故不成立，②错误； 取，满足，不满足且，③错误； ，④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，特殊值排除是解题的关键. 三、解答题 11．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么 (勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知, 为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件. 【答案】为锐角三角形的充要条件是；为钝角三角形的充要条件是. 【详解】设分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是. 理由如下：必要性:在中，是锐角，作，D为垂足，如图(1)， 则 ，即； 充分性:在中，，则不是直角， 假设为钝角，如图(2)，作，交BC延长线于点D， 则 ，即与“”矛盾， 因此为锐角，即为锐角三角形. 设分别是的三条边，且，为钝角三角形的充要条件是. 理由如下：必要性:在中，为钝角，如图(2)， 则 ，即； 充分性:在中，，则不是直角，假设为锐角，如图(1)， 则 ，即与“”矛盾， 因此必为钝角，即为钝角三角形. 12．已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若命题“”是假命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2)． 【分析】 【详解】（1），，又， 所以，； （2）若命题“”是假命题，则命题“”是真命题， 又或， 若，即，则，满足题意； 若，则，此时，解得，所以， 综上的取值范围是． 13．（1）判断：对于三个实数a、b、c，“”是“或”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”），并证明． （2）证明：是无理数． 【答案】（1）充分不必要条件，证明见解析； （2）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）充分不必要条件； 证明如下： 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则， 显然正确，故原命题正确，即或； 命题：若或，则的逆否命题为：若，则且，显然命题错误，故原命题错误，即或不能推出， 故“”是“或”的充分不必要条件. （2）假设是有理数， ， 不是整数，故存在两个互质的正整数， 使得，于是，两边平方，得. ∵是3的倍数，是3的倍数. 又∵是正整数，是3的倍数. 设 (为正整数)，代入上式，得，，同理也是3的倍数， 这与前面的假设互质矛盾. 因此假设是有理数不成立，故是无理数. 14．已知全集， 命题甲：已知集合； 命题乙：已知集合，且． (1)求； (2)若命题乙是真命题，求实数a的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由得或； （2）当命题乙是真命题时，方程无正数解， 当方程无解时，即，得，解得； 当方程有唯一解时，即，得，解得或， 当时，此时方程为，解得，不符合条件； 当时，此时方程为，解得，符合条件； 当方程有两个解时，即，得，解得或， 当两个解为负时，则满足，解得, 所以 综上所述，实数a的取值范围是. （3）当命题甲是真命题时，由题意得，解得，可知当命题甲是假命题时，或； 由（2）可知命题乙是真命题时，，可知当命题乙是假命题时，； 当甲为真且乙为假时，，当甲为假且乙为真时，， 综上所述，命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数a的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 常考题型·精准突破 考点一 命题 ◆题型01 命题的真假判断 1．【答案】A 【详解】A正确；B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误；C，D显然错误． 2．【答案】D 【详解】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形；B是真命题，或能得到；C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差；D是假命题，不满足． 3．【答案】D 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 4．【答案】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若，则，是真命题． (3)已知、为正整数，若，则且，是假命题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ◆题型02 已知命题的真假求参数 5．【答案】 （答案不唯一，满足且即可） 【详解】由，得到，即， 若，则是假命题，则有，即， 所以符合题意的一组的值为， 故答案为：；（答案不唯一，满足且即可） 6．【答案】 【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为. 故答案为： 7．【答案】C 【详解】因为与x轴有两个交点，所以，得到或，故或， 又恒成立，所以，整理得到，得到， 而命题q为假命题，故或， 故或，得到或. 故选：C 8．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知. （2）当为真命题时，即对于任意恒成立. 当，不等式即为，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，当为真命题时， ，则当为假命题时或； 由第（1）可知，当为真命题时， ，则当为假命题时； 若、有且只有一个真命题，则真假或假真. 当真假时，的范围是或； 当假真时，的范围是. 所以若、有且只有一个真命题，的范围是. 9．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若方程有两个不等的负根， 则 ， 解得：， 故的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得：， 当假真时， ，解得：， 故的取值范围为. 考点二 充分条件、必要条件 ◆题型03 充分条件、必要条件的判断（“是”结构） 10．【答案】B 【详解】若是钝角三角形，可得角中有一个是钝角，不能推出， 所以“是钝角三角形”是“”的不充分条件； 若，则是钝角三角形， 所以“是钝角三角形”是“”的必要条件； 所以“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件. 11．【答案】D 【详解】当，时，满足，但，故推不出， 当，时，满足，但，故不能推出， 所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 12．【答案】C 【详解】因为 且且是等边三角形， 所以“是等边三角形”是“”的充要条件. 13．【答案】A 【详解】，解得， 当时，成立，故“”是“”的充分条件； 当时，，不能推出，故必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件． 14．【答案】必要不充分 【详解】设命题，命题， 由推不出，如时，满足，但， 所以充分性不满足； 由能推出， 因为，即， 所以且， 所以是的必要不充分条件. 即命题“”是命题“”的必要不充分条件. ◆题型04 充分条件、必要条件的判断（“的”结构） 15．【答案】C 【详解】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 16．【答案】D 【详解】解出，下列选项可以推出的有C、D选项， 而C选项为充要条件，且推不出D选项， 故选：D. 17．【答案】A 【详解】是成立的一个必要不充分条件，是的真子集； 当，即时，，满足题意； 当时，需满足，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 18．【答案】D 【详解】有实数解，则，解得， 故二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是， 故选：D 19．【答案】B 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B ◆题型05 数学文化中的充分性和必要性 20．【答案】B 【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然”， 知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件， 故“小故”是逻辑中的必要不充分条件， 所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件. 故选：B. 21．【答案】B 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 22．【答案】A 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件. 故选:A. 23．【答案】B 【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件. 故选：B. ◆题型06 根据充分性，必要性求参数 24．【答案】B 【详解】由于是的充分条件，故在恒成立， 由可得， 当时，可得，当时，，时，无解， 要使在，恒成立， 故或，解得， 故选：B 25．【答案】 【详解】由，，且， 因为是的充分不必要条件，可得且等号不能同时成立，解得， 经验证和时，满足题意， 所以实数的取值范围是. 26．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：当时，可得， 因为集合，可得， 所以或. （2）解：由是的充分条件，可得， 因为，则满足 ，解得， 所以实数的取值范围为. 27．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）时，，故或， ， 故或； （2）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 28．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， ，解得：， 的取值范围为：； （2），，解得：， 由题意“”是“”的必要不充分条件得是的真子集， ， 解得：，符合，且不相等， 又， 的取值范围为： ◆题型07 充要条件的证明 29．【答案】证明见解析 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以， 得证. 30．【答案】答案见解析 【详解】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 31．【答案】 必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【详解】略 32．【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 考点三 反证法 ◆题型08 反证法的概念辨析 33．【答案】D 【详解】“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”， 故选：D. 34．【答案】B 【详解】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角． 故选：B． 35．【答案】不都为零 【详解】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”. 故答案为：不都为零. 36．【答案】在一个三角形中至少有两个内角是钝角 【详解】命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角” 的否定 为“在一个三角形中至少有两个内角是钝角” 故答案为：在一个三角形中至少有两个内角是钝角 ◆题型09 反证法的证明 37．【答案】(1) 反证法：假设不能被3整除，则， 故，则不能被3整除， 与“能被3整除”矛盾， 故假设不成立，原命题成立，即整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2) 反证：假设为有理数，即，（互质）， 则，即能被3整除， 故由（1）得，代回到得， 同理有，即均能被3整除，与“互质”矛盾， 故假设不成立，则是无理数； (3) 反证：假设为有理数，则， 而，故， 又有理数集关于四则运算封闭，故，与“为无理数”矛盾， 故假设不成立，则为无理数. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 38．【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：由题意，知 因为，所以，，， 所以，即． （2）假设都小于，即 则有① 而② ①与②矛盾，故至少有一个不小于． 39．【答案】 假设为直角或钝角，此时为锐角， 必有，即， 所以，所以，与矛盾， 故假设不成立， 所以角为锐角. 【详解】略 40．【答案】 用反证法证明，理由如下： 若n不是偶数，且是偶数， 结合前提可设，此时有， 因为是偶数， 所以是奇数，这与是偶数矛盾， 故假设不成立，命题得证. 【详解】略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．【答案】C 【详解】 ， 所以，是的充要条件. 故选：C 2．【答案】B 【详解】若（1）班得冠军，由甲的预测可知（4）班得第三，由乙的预测可知（3）班得亚军， 则（2）班得第四，此时丙的预测全错，不满足题意； 若（2）班得冠军，由甲的预测可知（4）班得第三，由乙的预测可知（3）班得亚军， 由丙的预测可知（1）班得第四，满足题意； 若（3）班得冠军，由甲的预测可知（4）不是第三，由丙的预测可知（1）班得第四， 则（2）班得第三，（4）班得亚军，此时乙的预测全错，不满足题意； 若（4）班得冠军，此时甲的预测全错，不满足题意. 故选：B 3．【答案】D 【详解】①若，则，故，反之，取，则对任意有， 但与不一定相等，所以，因此是的必要非充分条件，符合题意. ②若，则且，可得，所以，若， 则，所以，故与互为充要条件，不符合题意. ③的元素为奇数，所以，取，若，得， 所以，故，因此是的必要非充分条件，符合题意. ④若，则，所以，但若，可能，推不出， 所以，故是的充分不必要条件，不符合题意. 故选：D 4．【答案】C 【详解】由方程有实根，所以，即，又命题为假命题， 所以，又为假命题的充分不必要条件为， 所以， 所以， 故选：C. 5．【答案】B 【详解】令，此时满足，但不满足， 说明是的不充分条件； 若，假设，则：， 这与矛盾， 故假设不成立，成立，说明， 所以是的必要条件， 是的必要不充分条件. 故选：B. 6．【答案】A 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 二、填空题 7．【答案】 【详解】记的解集为集合，， 则为的解集，； 是的必要非充分条件，，得，即对任意，都有恒成立. ，， ，化简得； 令，，，且； ， 当时，取得最大值，即， ，，且， 当时，取得最小值，即； 对任意，恒成立， ，即; 实数的取值范围是. 8．【答案】 【详解】∵表示不超过的最大整数， ∴，，即， 又是的充分不必要条件，， ∴AB，故，即的取值范围是. 故答案为：. 9．【答案】 【解析】解不等式，然后对与的大小关系进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】解不等式，解得， 解方程，解得或. ①当时，即当时，不等式即为， 该不等式的解集为，不合乎题意； ②当时，即当时，解不等式可得. 由于是的充分不必要条件，则， 可得，此时； ③当时，即当时，解不等式可得. 由于是的充分不必要条件，则, 可得，解得. 检验：当时，则有，合乎题意； 当时，则有，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含． 10．【答案】①④ 【详解】，①正确； ，故不成立，②错误； 取，满足，不满足且，③错误； ，④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，特殊值排除是解题的关键. 三、解答题 11．【答案】为锐角三角形的充要条件是；为钝角三角形的充要条件是. 【详解】设分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是. 理由如下：必要性:在中，是锐角，作，D为垂足，如图(1)， 则 ，即； 充分性:在中，，则不是直角， 假设为钝角，如图(2)，作，交BC延长线于点D， 则 ，即与“”矛盾， 因此为锐角，即为锐角三角形. 设分别是的三条边，且，为钝角三角形的充要条件是. 理由如下：必要性:在中，为钝角，如图(2)， 则 ，即； 充分性:在中，，则不是直角，假设为锐角，如图(1)， 则 ，即与“”矛盾， 因此必为钝角，即为钝角三角形. 12．【答案】(1)，； (2)． 【分析】 【详解】（1），，又， 所以，； （2）若命题“”是假命题，则命题“”是真命题， 又或， 若，即，则，满足题意； 若，则，此时，解得，所以， 综上的取值范围是． 13．【答案】（1）充分不必要条件，证明见解析； （2）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）充分不必要条件； 证明如下： 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则， 显然正确，故原命题正确，即或； 命题：若或，则的逆否命题为：若，则且，显然命题错误，故原命题错误，即或不能推出， 故“”是“或”的充分不必要条件. （2）假设是有理数， ， 不是整数，故存在两个互质的正整数， 使得，于是，两边平方，得. ∵是3的倍数，是3的倍数. 又∵是正整数，是3的倍数. 设 (为正整数)，代入上式，得，，同理也是3的倍数， 这与前面的假设互质矛盾. 因此假设是有理数不成立，故是无理数. 14．【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由得或； （2）当命题乙是真命题时，方程无正数解， 当方程无解时，即，得，解得； 当方程有唯一解时，即，得，解得或， 当时，此时方程为，解得，不符合条件； 当时，此时方程为，解得，符合条件； 当方程有两个解时，即，得，解得或， 当两个解为负时，则满足，解得, 所以 综上所述，实数a的取值范围是. （3）当命题甲是真命题时，由题意得，解得，可知当命题甲是假命题时，或； 由（2）可知命题乙是真命题时，，可知当命题乙是假命题时，； 当甲为真且乙为假时，，当甲为假且乙为真时，， 综上所述，命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数a的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 常考题型·精准突破 考点一 命题 题型01 命题的真假判断 题型02 已知命题的真假求参数 考点二 充分条件、必要条件 题型03 充分条件、必要条件的判断（“是”结构）（重） 题型04 充分条件、必要条件的判断（“的”结构） 题型05 数学文化中的充分性和必要性 题型06 根据充分性，必要性求参数（重） 题型07 充要条件的证明（难） 考点三 反证法 题型08 反证法的概念辨析 题型09 反证法的证明（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 命题 ◆题型01 命题的真假判断 1．下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 2．下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 3．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 4．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． ◆题型02 已知命题的真假求参数 5．给出能够说明“若，则”是假命题的一组的值：__________；__________. 6．为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为__________. 7．已知命题p：函数与x轴有两个交点；命题q：对于任意的恒成立．若p为真命题，而命题q为假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，命题方程无实根；命题对任意，不等式恒成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 9．已知命题：方程有两个不等的负根；命题：方程无实根. (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若假真，求的取值范围； 考点二 充分条件、必要条件 ◆题型03 充分条件、必要条件的判断（“是”结构） 10．“是钝角三角形”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．命题“”是命题“”的____________条件． ◆题型04 充分条件、必要条件的判断（“的”结构） 15．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 16．使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 17．已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．关于的二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 19．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． ◆题型05 数学文化中的充分性和必要性 20．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ◆题型06 根据充分性，必要性求参数 24．若是的充分条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．设，，且，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________ 26．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若且“”是“”的充分条件，求的取值范围． 27．已知集合，集合 . (1)若，全集，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 28．已知集合， (1)若集合为空集，求的取值范围； (2)对于非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； ◆题型07 充要条件的证明 29．已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 30．已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 31．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 32．已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 考点三 反证法 ◆题型08 反证法的概念辨析 33．用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（    ） A．中至多有两个能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．都不能被5整除 34．用反证法证明命题“任何中最多只有一个内角是钝角”时，第一步是假设存在一个，该三角形的三个内角（    ） A．至少有一个内角是钝角 B．至少有两个内角是钝角 C．至少有一个内角不是钝角 D．至少有两个内角不是钝角 35．用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 36．用反证法证明命题“一个三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是______． ◆题型09 反证法的证明 37．求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 38．（1）已知，试比较与的大小． （2）已知，．试用反证法证明至少有一个不小于． 39．在中，角的对边分别是，且，求证：角为锐角． 40．设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．设，则 是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“无体艺，不福一”，我校高二（1）班到高二（4）班各篮球代表队准备举行友谊赛．甲，乙，丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“（3）班得冠军，（4）班得第三.”乙说：“（1）班得第三，（3）班得亚军.”丙说：“（1）班得第四，（4）班得冠军．”赛后得知，三人的预测都只有一半正确，则得冠军的是（    ） A．（1）班 B．（2）班 C．（3）班 D．（4）班 3．已知下列四组陈述句： ①：集合：集合； ②：集合：集合； ③， ④ 其中是的必要非充分条件的有（    ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 4．已知命题：“关于的方程有实根”.若为假命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则是的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若“”的必要非充分条件是“或”，则实数m的取值范围是________． 8．已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 9．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________. 10．在整数集中，被整数除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，，如，则下列结论正确的为________. ①；②；③整数、满足且的充要条件是；④. 三、解答题 11．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么 (勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知, 为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件. 12．已知集合，集合. (1)若，求和； (2)若命题“”是假命题，求实数a的取值范围. 13．（1）判断：对于三个实数a、b、c，“”是“或”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分也非必要”），并证明． （2）证明：是无理数． 14．已知全集， 命题甲：已知集合； 命题乙：已知集合，且． (1)求； (2)若命题乙是真命题，求实数a的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $