专题01 集合的参数问题和新定义问题（七大压轴题专项训练）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 以“四大核心+两条底线”构建集合参数与新定义问题方法体系，通过题型模版实现知识逻辑与解题能力的系统迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|/|聚焦元素互异性等四大核心，强调互异性检验与空集讨论两条底线|以集合基本概念为起点，构建问题解决的通用原则| |题型归纳|7题型（7例+21变式）|元素关系用代入检验法，包含关系用空集优先+数轴分析，新定义问题用规则转化法|从元素到运算再到新定义，形成“概念-运算-创新”递进链条| |压轴挑战|15题|综合运用分类讨论与参数验证，提升复杂情境下的推理与应用能力|衔接高考创新题型，强化知识迁移与批判性思维|

专题01 集合的参数问题和新定义问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据元素与集合的关系求参数 题型二、根据集合中的元素个数求参数 题型三、根据集合的包含关系求参数 题型四、根据集合的交、并、补集求参数 题型五、根据交并补混合运算求参数。 题型六、集合新定义问题——定义新运算 题型七、集合新定义问题——定义新性质 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合含参数与新定义问题是高中数学入门重难点，所有题型均围绕元素互异性、集合从属关系、集合包含关系、集合运算规则四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是集合元素必须满足互异性，求出参数后代回原式检验，二是涉及空集分类讨论，子集、交集问题优先考虑空集情况，所有参数取值最终均需代入原集合验证合规。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据元素与集合的关系求参数 题型模版 1.特征：已知某个数值属于或不属于给定集合，集合表达式含有未知参数，求解参数取值。 2.方法：将该元素代入集合对应的等式或不等式，解出参数；求出参数后必须回代集合，检验元素互异性，剔除使集合出现重复元素的参数。 【例1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【例2】已知全集，集合，若，则________. 【答案】2 【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数. 当时，得. 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 故答案为：2 【变式1-1】已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】已知，，， 因此，解得. 【变式1-2】已知集合，若，，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【详解】当时，需满足，即，解得， 当时，需满足，即， 且 ，因此实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-3】设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 题型二、根据集合中的元素个数求参数 题型模版 1.特征：明确集合元素数量（1个、2个、无数个、无元素），集合由含参方程/不等式构成，求参数范围。 2.方法：若对应一元方程，分一次、二次分类讨论；二次方程看判别式Δ判断根的个数；若为不等式，结合解集边界分析；最后检验元素互异性、空集特殊情况。 【例3】已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 【例4】若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 【答案】/ 【详解】当时，，符合题意； 当时，要使该集合只有一个元素， 必须且只需方程有两个相等的实根， 即，符合题意， 所以满足条件的实数构成的集合为， 故答案为： 【变式2-1】已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 【变式2-2】（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 【变式2-3】若集合中至少有2个整数元素，则实数a的取值范围为________ 【答案】 【详解】依题意，，解得，又，即集合的两个端点值关于1对称， 则，而集合中至少有2个整数元素，于是，因此，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 题型三、根据集合的包含关系求参数 题型模版 1.特征：给出这类包含条件，两个集合均含参数，求解参数取值范围。 2.方法：优先讨论子集为空集的情况，再讨论集合非空；借助数轴标出两个集合解集，列不等式组锁定参数；最终验证边界取值能否取等。 【例5】集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 【例6】（多选）已知集合满足，且，则的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．-1 D．1 【答案】AC 【详解】由题意可知，，. 当时，解得或； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足题意； 当时，解得或， 当时，，满足题意； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去. 综上，或. 故选：AC. 【变式3-1】设集合，，若，则（   ） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或2或 【答案】B 【详解】由，得，即，而集合， 由，得或，所以或. 故选：B 【变式3-2】（多选）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（   ） A．2 B． C．2.5 D．4 【答案】BCD 【详解】因为是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 则或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 【变式3-3】（多选）已知集合，，若，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】BCD 【详解】集合，， 当时，，符合题意； 当时，，即，符合题意； 当时，，即，符合题意； 综上，实数的值可以是0，1，. 故选：BCD 题型四、根据集合的交、并、补集求参数 题型模版 1.特征：给出单一运算结果，集合含参，求解参数。 2.方法：翻译交、并、补的几何含义转化为元素约束条件；利用数轴画出集合范围，列出参数不等式；算出范围后代入原题验证运算结果是否匹配。 【例7】若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. 【例8】已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式4-1】全集，，，则a的值为（    ） A．2 B．8 C．3或5 D．2或8 【答案】D 【详解】∵全集，，， ∴，得或． 故选：D． 【变式4-2】（多选）已知集合，，且，则的值可能为（   ） A．-1 B．0 C． D．2 【答案】ABC 【详解】由，得， 当时，，符合题意， 当时，，由， 可得：或， 解得：或， 综上或或. 故选：ABC 【变式4-3】已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）由已知得， 所以，又，所以. （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，，解得， 综上，故实数的取值范围为. 题型五、根据交并补混合运算求参数. 题型模版 1.特征：题干同时出现交集、并集、补集两种及以上混合运算，结合含参集合求解参数。 2.方法：分步拆解混合运算，先算补集，再算交/并；借助数轴分层标注每层集合范围，联立不等式组；多边界条件取公共解集，最后回代检验。 【例9】已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 即的取值范围是. 【例10】设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-1】设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】{或} 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 【变式5-2】已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 【变式5-3】已知集合，且，则实数的值为_______. 【答案】或或 【详解】，解得或，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有或，即或； 综上所述：的值为或或. 故答案为：或或. 题型六、集合新定义问题——定义新运算 题型模版 1.特征：题目给出教材未出现的全新集合运算规则，结合含参集合求值或求参数。 2.方法：严格套用题干给出的新运算公式，不凭固有集合知识主观推断；先化简运算式，再结合集合常规性质求解参数；结果必须满足集合互异性、空集规则。 【例11】我们定义一种新运算“”：对于两个集合A和B，规定，其中和分别表示集合A和B在全集下的补集，已知全集，集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可得， 所以， 则. 故选：A. 【例12】（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 【变式6-1】定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故， 故选：D. 【变式6-2】定义集合，间的一种运算如下：.已知，，则根据定义，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知：. 故选：C. 【变式6-3】设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则______. 【答案】 【详解】由题意可得，所以 所以，故， 所以. 故答案为：. 题型七、集合新定义问题——定义新性质 题型模版 1.特征：定义一类具备特殊属性的集合，要求判断或求出满足该性质的参数。 2.方法：逐条拆解题目给出的全新性质，转化为等式、不等式约束；结合元素、子集、运算规则联立求解参数；全部取值代入验证，确保完全符合题干新定义。 【例13】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. 【例14】设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】集合的总和为： 每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一：     组合二： 组合三： 共种不同的分法. 故选：D. 【变式7-1】（多选）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【答案】ABD 【详解】对于A，设，，其中，，，， 则，，，； ，，，； ， ，，．综上，为封闭集，故A正确； 对于B，若为封闭集，则对任意，，，取，得，即，故B正确； 对于C，取封闭集，当时，满足条件，但，不是封闭集，故C错误． 对于D，取，，不为封闭集，故D正确； 故选：ABD. 【变式7-2】（多选）若平面点集满足：对任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶关联点集”，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则是“3阶关联点集” B．若是“阶关联点集”，则为任意正实数 C．若，则不是“阶关联点集” D．若是“阶关联点集”，则 【答案】ABC 【详解】对于A，由可得，故是“3阶关联集”，即A正确； 对于B，点集是直线，对于任意,点仍在直线上，故为任意正实数，故B正确； 对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确； 对于D，点集是抛物线区域.当时，取点，缩放后为，需满足，即，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 【变式7-3】（多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 2．已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由集合， 因为，则满足，所以实数的最小值为. 故选：C. 3．设，是两个非空集合，规定且，根据这一规定，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，且， 用图表示集合的关系如下图： 阴影部分表示， 所以． 故选：D． 4．（多选）已知集合，且，则的值可以为（ ） A．1 B．3 C． D． 【答案】AB 【详解】由集合，且， 可得或，解得或或， 当时，可得集合，此时满足题意； 当时，可得集合，此时满足题意； 当时，可得，此时不满足集合元素的互异性，舍去， 综上可得：或. 故选：AB. 5．（多选）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（    ） A．数域中均含的元素0，1. B．有理数集. C．是一个数域 D．整数集. 【答案】ABD 【详解】对于A选项，根据定义，由，则， 则0，1是任何数域中的元素，故A正确； 对于B选项，当时，，故B正确； 对于C选项，取， 则，则不是一个数域，故C错误； 对于D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推， 整数集是任何数域的子集，若数集E，F都是数域，则， 则整数集，故D正确. 故选：ABD. 6．已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围_______. 【答案】或且 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 7．设全集，集合，则实数__________. 【答案】 【详解】由且，则， 当，则，不满足集合元素的互异性； 当，此时，满足题设； 综上，. 故答案为： 8．设，若集合中的最大元素为3，则______． 【答案】1 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 9．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 【答案】2 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 10．已知或，，若，则m的取值范围是______. 【答案】 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 11．已知集合，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】， 所以或，又 所以， 故答案为： 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】因为化简得，由于， 又因为且，即，得， 综上所述，实数的取值范围为. 13．设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知物理，化学，生物、物理，化学，地理、政治，历史，地理．若，写出一个符合条件的________． 【答案】化学，地理，历史； 【详解】由，可知元素越多，越少，故越大， 由，可得则与中的相同元素要一样多， 且与的相同元素少于与中的相同元素即可满足题意. 如化学，地理，历史可满足题意. 故答案为：化学，地理，历史. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，重点在于理解定义，得到需满足的条件. 14．记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 15．已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，， ， 所以. （2）由，，可得，共种结果， 由，，可得，共种结果， 当或时，此时或， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同的元素； 当时，对于中的任意一个值， 都可以选择，此时取与对应的值，可取中的一个值， 所以可以为中的一个值，共可以构成个不同元素， 所以中一共有个元素. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合的参数问题和新定义问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据元素与集合的关系求参数 题型二、根据集合中的元素个数求参数 题型三、根据集合的包含关系求参数 题型四、根据集合的交、并、补集求参数 题型五、根据交并补混合运算求参数。 题型六、集合新定义问题——定义新运算 题型七、集合新定义问题——定义新性质 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 集合含参数与新定义问题是高中数学入门重难点，所有题型均围绕元素互异性、集合从属关系、集合包含关系、集合运算规则四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是集合元素必须满足互异性，求出参数后代回原式检验，二是涉及空集分类讨论，子集、交集问题优先考虑空集情况，所有参数取值最终均需代入原集合验证合规。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据元素与集合的关系求参数 题型模版 1.特征：已知某个数值属于或不属于给定集合，集合表达式含有未知参数，求解参数取值。 2.方法：将该元素代入集合对应的等式或不等式，解出参数；求出参数后必须回代集合，检验元素互异性，剔除使集合出现重复元素的参数。 【例1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【例2】已知全集，集合，若，则________. 【变式1-1】已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【变式1-2】已知集合，若，，则实数的取值范围为_________. 【变式1-3】设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 题型二、根据集合中的元素个数求参数 题型模版 1.特征：明确集合元素数量（1个、2个、无数个、无元素），集合由含参方程/不等式构成，求参数范围。 2.方法：若对应一元方程，分一次、二次分类讨论；二次方程看判别式Δ判断根的个数；若为不等式，结合解集边界分析；最后检验元素互异性、空集特殊情况。 【例3】已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4】若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 【变式2-1】已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-2】（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【变式2-3】若集合中至少有2个整数元素，则实数a的取值范围为________ 题型三、根据集合的包含关系求参数 题型模版 1.特征：给出这类包含条件，两个集合均含参数，求解参数取值范围。 2.方法：优先讨论子集为空集的情况，再讨论集合非空；借助数轴标出两个集合解集，列不等式组锁定参数；最终验证边界取值能否取等。 【例5】集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【例6】（多选）已知集合满足，且，则的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．-1 D．1 【变式3-1】设集合，，若，则（   ） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或2或 【变式3-2】（多选）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（   ） A．2 B． C．2.5 D．4 【变式3-3】（多选）已知集合，，若，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．1 C． D．0 题型四、根据集合的交、并、补集求参数 题型模版 1.特征：给出单一运算结果，集合含参，求解参数。 2.方法：翻译交、并、补的几何含义转化为元素约束条件；利用数轴画出集合范围，列出参数不等式；算出范围后代入原题验证运算结果是否匹配。 【例7】若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【例8】已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式4-1】全集，，，则a的值为（    ） A．2 B．8 C．3或5 D．2或8 【变式4-2】（多选）已知集合，，且，则的值可能为（   ） A．-1 B．0 C． D．2 【变式4-3】已知集合. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 题型五、根据交并补混合运算求参数. 题型模版 1.特征：题干同时出现交集、并集、补集两种及以上混合运算，结合含参集合求解参数。 2.方法：分步拆解混合运算，先算补集，再算交/并；借助数轴分层标注每层集合范围，联立不等式组；多边界条件取公共解集，最后回代检验。 【例9】已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是________. 【变式5-1】设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【变式5-2】已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知集合，且，则实数的值为_______. 题型六、集合新定义问题——定义新运算 题型模版 1.特征：题目给出教材未出现的全新集合运算规则，结合含参集合求值或求参数。 2.方法：严格套用题干给出的新运算公式，不凭固有集合知识主观推断；先化简运算式，再结合集合常规性质求解参数；结果必须满足集合互异性、空集规则。 【例11】我们定义一种新运算“”：对于两个集合A和B，规定，其中和分别表示集合A和B在全集下的补集，已知全集，集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 【例12】（多选）定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式6-1】定义集合运算：.若集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】定义集合，间的一种运算如下：.已知，，则根据定义，（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】设U为全集，对集合X、Y，定义运算“*”，.对于集合，，，，则______. 题型七、集合新定义问题——定义新性质 题型模版 1.特征：定义一类具备特殊属性的集合，要求判断或求出满足该性质的参数。 2.方法：逐条拆解题目给出的全新性质，转化为等式、不等式约束；结合元素、子集、运算规则联立求解参数；全部取值代入验证，确保完全符合题干新定义。 【例13】当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例14】设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-1】（多选）设集合为实数集的非空子集．若对任意，都有，，，则称为封闭集．以下结论正确的有（    ） A．为封闭集 B．若为封闭集，则一定有 C．若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 D．存在集合，不为封闭集 【变式7-2】（多选）若平面点集满足：对任意点，存在正实数，都有，则称该点集为“阶关联点集”，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则是“3阶关联点集” B．若是“阶关联点集”，则为任意正实数 C．若，则不是“阶关联点集” D．若是“阶关联点集”，则 【变式7-3】（多选）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，且，则实数的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设，是两个非空集合，规定且，根据这一规定，等于（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知集合，且，则的值可以为（ ） A．1 B．3 C． D． 5．（多选）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有（除数），则称是一个数域.例如有理数集是一个数域；现有两个数域与.下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（    ） A．数域中均含的元素0，1. B．有理数集. C．是一个数域 D．整数集. 6．已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围_______. 7．设全集，集合，则实数__________. 8．设，若集合中的最大元素为3，则______． 9．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 10．已知或，，若，则m的取值范围是______. 11．已知集合，若，则的取值范围是__________. 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是_________． 13．设为、为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门学科中自主选择3门作为高中学业水平等级性考试科目．设这四名同学的选考科目组成的集合分别为、、、，已知物理，化学，生物、物理，化学，地理、政治，历史，地理．若，写出一个符合条件的________． 14．记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 15．已知集合， (1)求； (2)若定义集合，求中元素的个数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $