4.4 一次函数的应用（第3课时 两个一次函数的应用）（教学课件）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数的应用（第3课时），核心知识点为两个一次函数的图象分析与实际问题解决。课堂导入通过《新龟兔赛跑》路程时间图像引出函数增减性和倾斜程度，新知探究结合销售收入与成本图像，衔接一次函数概念，搭建从图像观察到实际问题分析的学习支架。 其亮点是以生活实例和图像分析为载体，通过追赶问题、待定系数法求面积等题型探究，培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。变式训练融入跨学科情境，小结梳理知识联系，帮助学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

【新教材】北师版·八年级上册 第四章 一次函数 4.4 一次函数的应用 4.4.3 两个一次函数的应用（第3课时） 学 习 目 标 1 2 3 会用一次函数解决复杂的实际问题。 会根据两个一次函数图象去分析解决问题。 能够将实际问题转化为一次函数的问题，培养举一反三的发散性思维，锻炼抽象能力和应用能力。 情景引入 情景引入 如图： 与 分别是《新龟兔赛跑》中路程与时间的函数图像，你能从图中得到什么信息呢？ 1.上升线表示函数值随自变量的增大而增大；下降线表示函数值随自变量的增大而减小；水平线表示函数值不随自变量的变化而变化. 2.直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢. 新知探究 如图，l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2 反应了该公司产品的销售成本与销售量的关系. 根据图象填空： 销售量 销售收入 销售成本 (2)当销售量为 6 t 时， 销售收入= 元，销售成本= 元； (1) 当销售量为 2 t 时， 销售收入= 元，销售成本= 元； 2000 3000 6000 5000 新知探究 (3) 当销售量等于 时， 销售收入等于销售成本； 4 t (4) 当销售量 时， 该公司盈利(收入大于成本)； ＞4t ＜4 t 销售量 销售收入 销售成本 当销售量 时， 该公司亏损(收入小于成本)； 直线l1与直线l2 的交点 直线l1在直线l2上方的部分 直线l1在直线l2下方的部分 从图象上看 新知探究 l1对应的函数表达式是 ， l2对应的函数表达式是 . y＝1000x y＝500x＋2000 销售收入 销售成本 l1 的图过原点 关系式设为 y1 = kx 只需要一个点的坐标 l2 的图不过原点 关系式设为 y2 = kx + b 只需要两个点的坐标 新知探究 x＝6时， 销售收入＝_______， 销售成本= _______; 盈利（收入－成本）＝_______. 销售收入 销售成本 观察图象，回答下列问题: y＝1000x y＝500x＋2000 6000元 5000元 1000元 分析：利润=销售收入-销售成本 由于赢利 1000 元，则 1000x - (500x＋2000) = 1000 解得 x = 6. 新知探究 l1 对应的一次函数 y＝k1x ＋b1中，k1 和 b1的实际意义各是什么？ k1表示每销售1吨产品，可收入1000元； b1表示未销售时，销售收入为0元； k2表示每销售1吨产品的成本为500元； b2表示未销售时，为销售所花的成本为2000元； y＝1000x l2对应的一次函数 y＝k2x＋b2 中，k2 和 b2 的实际意义各是什么？ y＝500x＋2000 思考交流 题型一 题型探究 应用一次函数性质求值 例1.下图是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙. 右图中l1，l2分别表示甲、乙两人到观景台 1 的路程 s（单位：m）与追赶时间 t（单位：min）之间的关系. 甲 乙 题型一 题型探究 应用一次函数性质求值 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (1) 哪条线表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系？ 解：(1) 当 t = 0 时， 甲到观景台1 的路程为 0 m， 即 s = 0， 故 l1 表示甲到观景台1 的路程 与追赶时间之间的关系. 甲 乙 题型一 题型探究 应用一次函数性质求值 （2）甲和乙哪个人的速度快？ 解：t 从 0 增加到 20 时，l1 上点的纵坐标增加了1000， l2 上点的纵坐标增加了 600，即 20 min内，甲行走了1000m，乙行走了600m，所以甲的速度快. 甲 乙 （3）30 min 内甲能否追上乙？ P 解：延长 l1，l2，可以看出，当t＝30时，l1 上的对应点在 l2上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙. 题型一 题型探究 应用一次函数性质求值 (4) 到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ (4) 在图中，l1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于(800+1300=)2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙。 索道 步行道 观景台1 观景台2 观景台3 观景台4 观景台5 800m 1300m 1000m 400m P 甲 乙 2000 题型一 题型探究 应用一次函数性质求值 (5) 设 l1 与 l2 对应的两个一次函数分别为 s=k1t+b1 与 s=k2t+b2，k1，k2 的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少? k1 表示甲的速度， k2 表示乙的速度. 甲的速度是 50 m/min， 乙的速度是 30 m/min. 甲 乙 题型一 题型探究 应用一次函数性质求值 思考：你能用其他方法解决例3（1）~（4）吗？ 方法一：依据“速度＝路程÷时间”，求出甲的速度是 50 m/min， 乙的速度是 30 m/min. 问题即可依据行程问题解决. 方法二：求出l1和l2对应的函数表达式，s＝50t，s＝30t＋800，再依据实际意义解决. 题型二 题型探究 方法技巧 先求得顶点的坐标，即两个一次函数的交点和它们分别与x轴、y轴交点的坐标。 待定系数法的应用 例2.已知一次函数y＝ x＋a和y＝ x＋b的图象都经过点A(－4，0)，且与y轴分别交于B、C两点，求△ABC的面积． 解：∵y＝ x＋a与y＝ x＋b的图象都过点A(－4，0)， ∴ ×(－4)＋a＝0， ×(－4)＋b＝0. ∴a＝6，b＝－2. ∴两个一次函数分别是y＝ x＋6和y＝ x－2. y＝ x＋6与y轴交于点B，则y＝ ×0＋6＝6， ∴B(0，6)； y＝ x－2与y轴交于点C，则y＝－2，∴C(0，－2)． S△ABC＝ BC·AO＝ ×4×(6＋2)＝16. 课堂小结 两个一次函数的应用 两个变量的对应值、图象上点的坐标 与一元一次方程 之间的关系 求函数表达式 两个图象的交点 与一元一次方程之间的关系 变式训练 1．(跨学科) 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 20 m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升 10 s． 甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y (m) 与无人机上升的时间 x (s) 之间的关系如图所示．下列说法正确的是(　　) A. 5 s时，两架无人机都上升了40 m B. 10 s 时，两架无人机的高度差为 20 m C. 乙无人机上升的速度为 8 m/s D. 10 s 时，甲无人机距离地面的高度是 60 m B 变式训练 解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意得 1600+100a=1400+100b, 1600+300a=1400+200b, 解得a=2,b=4. 故这次越野跑的全程为1600+300×2=220米． 2.一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米． 2200 变式训练 3. 如图，l1，l2分别表示某工厂甲、乙两车间的产量y(t)与所用时间x(天)之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)乙车间生产200t时，甲车间生产了 t； 400　 (2)甲车间每天生产 t，乙车间每天生产 t； 10　 20　 (3)乙车间从开始生产到第几天结束时，两车间的总产量相同？. 解：乙车间从开始生产到第20天结束时， 两车间的总产量相同。 【新教材】北师版·八年级上册 感谢聆听! Lavf57.41.100 $