2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷（重庆市适用）

**基本信息** 高三数学开学考模拟卷立足重庆考情，以纯电汽车续航、哪吒电影调查等真实情境为载体，融合函数、概率统计、导数等核心知识，注重数学眼光观察、思维推理与语言表达能力的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|命题真假判断、函数奇偶性、正态分布等|7题引入拉格朗日中值定理，考查数学抽象与定理应用| |多项选择|3/18|相关系数、不等式性质、函数最值|9题结合相关系数与充要条件，强化逻辑推理| |填空|3/15|函数求值、概率计算、函数性质|13题以制衣机器故障概率为背景，体现数据应用| |解答|5/77|函数单调性与极值、独立性检验、概率与方差等|16题用哪吒电影调查考独立性检验，18题乒乓球比赛情境融合概率与方差计算，突出真实问题解决能力|

2026-2027学年高三上学期数学开学考模拟卷（重庆市适用） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.若命题p：，；命题q：，，则 A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 2.下列函数中奇偶性与其它三个不同的是(     ) A. B. C. D. 3.某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程单位：公里情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有     A. 75辆 B. 85辆 C. 100辆 D. 120辆 4.从甲乙丙丁戊五人中挑选四人参加接力赛，乙若参加必须是甲的下一棒，则一共有多少种不同的安排方式(     ) A. 42 B. 45 C. 48 D. 51 5.设，随机变量X的分布列如表所示，则随着a的增大，(     ) X 0 a 2 P A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 6.已知变量x，y线性相关，其一组样本数据…，，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据相对于修正后的回归直线的残差为(     ) A. B. C. D. 7.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为(     ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8.已知函数对于任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式不成立的是(     ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.下列说法正确的是(     ) A. 的值越大，两个事件的相关性就越大 B. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强 C. 已知，则， D. 设a，，则“”是“且”的必要不充分条件 10.若，则(     ) A. B. C. D. 11.函数，，若存在，，使成立，则下列结论正确的是(     ) A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，若，则实数           . 13.某企业有9台制衣机器，这些机器中有4台是不会出现故障的，且在剩下的5台机器中，有3台机器不会出现故障的概率为，其余2台机器不会出现故障的概率为，则从这9台机器中任抽1台，不会出现故障的概率为           . 14.已知定义在R上的函数的图象经过坐标原点，，，且函数为偶函数，则       . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.（13分）已知函数 求函数的单调区间和极值； 求函数在上的最值. 16.（15分）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，目前暂居全球票房第五.其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.某同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班40人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 8 男生 4 总计 40 已知从全班40人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为 请将上面的列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关； 从全班学生中随机选取2人，已知选出的两学生中一人喜欢哪吒角色一人不喜欢哪吒角色，求选出的两学生性别不相同的概率. 附：， 17.（15分）已知 判断函数的奇偶性. 求函数的值域. 求证：在区间上是严格增函数. 18.（17分）2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦4：1战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. 假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； 若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； 如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 19.（17分）已知函数 若，求的图象在处的切线方程； 若在定义域上是单调函数，求a的取值范围； 若存在两个极值点，，试比较与的大小. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （解析版） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1.若命题p：，；命题q：，，则 A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C  【解析】解：对于命题p：，，可取，则有，故命题p为真命题； 对于命题q：，，因时，， 当且仅当时，等号成立，故命题q为假命题，则是真命题. 故选： 2.下列函数中奇偶性与其它三个不同的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：A，，，即为奇函数； B，，，，即为奇函数； C，，，即为偶函数； D，，，即为奇函数． 故选： 先求出各函数的定义域，然后检验与的关系即可判断． 本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题． 3.某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程单位：公里情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有     A. 75辆 B. 85辆 C. 100辆 D. 120辆 【答案】A  【解析】解：因为，， 所以， 故该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有5辆. 故选： 4.从甲乙丙丁戊五人中挑选四人参加接力赛，乙若参加必须是甲的下一棒，则一共有多少种不同的安排方式(     ) A. 42 B. 45 C. 48 D. 51 【答案】A  【解析】解：根据题意，乙参加必须是甲的下一棒，则甲乙都入选且位置固定， 只需从剩余3人中选2人，再与甲乙排列， 则一共有种方式； 乙若不参加，则有种方式， 则一共有种不同方式． 故选： 根据题意可分乙参加与乙不参加两类即可． 本题考查排列组合相关知识，属于中档题． 5.设，随机变量X的分布列如表所示，则随着a的增大，(     ) X 0 a 2 P A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】D  【解析】解：由题意可知，， 所以， 又因为， 所以当时，随着a的增大而减小；当时，随着a的增大而增大． 故选： 利用方差的定义，结合二次函数的性质求解． 本题主要考查了离散型随机变量的分布列和方差，属于基础题． 6.已知变量x，y线性相关，其一组样本数据…，，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据相对于修正后的回归直线的残差为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为，所以， 因为经验回归方程过点， 所以， 所以增加一个数据后的，， 设修正后的回归直线为，而修正后的回归直线过点，即， 所以， 解得， 所以修正后的回归直线为， 所以数据相对于修正后的回归直线的残差为 故选： 利用经验回归方程过点，求出，进而求出增加一个数据后的，，再利用修正后的回归直线过点求出修正后的回归直线方程，结合残差的定义求解即可． 本题主要考查了经验回归方程的性质，考查了残差的定义，属于基础题． 7.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为(     ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C  【解析】解：设c为函数在区间上的“拉格朗日中值点”， 由，得， 则， 令，显然在上单调递增，又，， 由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得 故选： 设c为函数在区间上的“拉格朗日中值点”，则，再令，求导分析，结合零点存在定理可得答案． 本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 8.已知函数对于任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式不成立的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意可知，则， 所以在上单调递增，则， 即，可得，故C错， 利用，，，可得出选项A，B，D，正确． 故选： 根据题目设出，将题目化简与对应即可求解． 本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于中档题． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9.下列说法正确的是(     ) A. 的值越大，两个事件的相关性就越大 B. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强 C. 已知，则， D. 设a，，则“”是“且”的必要不充分条件 【答案】ACD  【解析】解：对于A，越大，“X与Y有关系”可信程度越大，相关性就越大，故A正确； 对于B，因为，则甲组数据的线性相关性更强，故B错误； 对于C，已知，则，，故C正确； 对于D，由且可得成立，反之不成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件，故D正确. 故选： 10.若，则(     ) A. B. C. D. 【答案】ABD  【解析】解：A：令，则，故A正确； B：二项式的展开式中含项为，所以，故B正确； C：令，则，所以，故C错误； D：令，则，结合选项C可得：，故D正确． 故选： A：令即可判断；B：求出二项式的展开式中含项，进而可以判断；C：令结合选项A即可判断；D：令结合选项C即可判断． 本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题． 11.函数，，若存在，，使成立，则下列结论正确的是(     ) A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD  【解析】解：由，得，，，则，A错误； 则， 两边同时取对数可得：， 又函数在单调递增，，即， 即，故B正确；，故， 设，则， 由，，可得，故在单调递增， 由，，可得，故在单调递减， 故，因此的最大值为，故C正确； ，设，则， 由，，可得，故在单调递增， 由，，可得，故在单调递减， 故，因此的最小值为，故D正确． 故选： 由，得，的范围即可判断A，再结合函数的单调性可得即可判断B，进而可得，即可构造函数，，应用导数求其最值即可判断C， 本题考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数，若，则实数           . 【答案】1  【解析】解：若，则有，解得，符合题意； 若，则有，无解；综上，实数 故答案为： 13.某企业有9台制衣机器，这些机器中有4台是不会出现故障的，且在剩下的5台机器中，有3台机器不会出现故障的概率为，其余2台机器不会出现故障的概率为，则从这9台机器中任抽1台，不会出现故障的概率为           . 【答案】  【解析】解：记从这9台机器中任抽1台，不会出现故障为事件A， 则由全概率公式可得： 故答案为： 14.已知定义在R上的函数的图象经过坐标原点，，，且函数为偶函数，则       . 【答案】  【解析】解：由，可得， 由，可得，又是偶函数，所以有， 将与联立，可得，所以， 由函数图像过原点，所以，由，可得，即， 所以有，所以，，， 所以， 所以有 故答案为： 根据与的数量关系，将求和转化为对的求和即可． 本题主要考查抽象函数的性质，利用对称性和函数的数量关系进行求解，属中档题． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 15.已知函数 求函数的单调区间和极值； 求函数在上的最值. 【答案】函数的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值．   函数在上的最小值为，最大值为  【解析】对函数求导，可得 令，即，移项可得，根据对数的性质，解得 当时，，那么，所以函数在上单调递减． 当时，，则，所以函数在上单调递增． 由单调性可知，当时，函数取得极小值，将代入函数可得：，函数无极大值． 由可知函数在上单调递减，在上单调递增． ，， 比较，，的大小，可得 所以函数在上的最小值为，最大值为 求导，结合导函数判断即可． 结合函数的单调性判断最值即可． 本题考查导数的综合应用，属于中档题． 16.在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，目前暂居全球票房第五.其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.某同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班40人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 8 男生 4 总计 40 已知从全班40人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为 请将上面的列联表补充完整，根据小概率值的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关； 从全班学生中随机选取2人，已知选出的两学生中一人喜欢哪吒角色一人不喜欢哪吒角色，求选出的两学生性别不相同的概率. 附：， 【答案】列联表见解析，没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关；   【解析】因为从全班40人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生有8人，则男生20人， 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生4人，则女生8人， 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 8 8 16 男生 20 4 24 总计 28 12 40 零假设：学生喜欢哪吒角色与性别无关， 根据列联表中的数据，计算可得，故根据小概率值的独立性检验，我们认为成立，即认为喜欢哪吒角色与性别无关． 由题意，从全班学生中随机选取2人，选出的两学生中一人喜欢哪吒角色一人不喜欢哪吒角色，有种情况， 其中选出的两学生性别不相同，有种情况， 所以选出的两学生性别不相同的概率为 根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算公式计算并作出判断； 利用古典概型概率公式列式计算即可． 本题考查独立性检验、古典概型求概率公式等，属于中档题． 17.已知 判断函数的奇偶性. 求函数的值域. 求证：在区间上是严格增函数. 【答案】定义域为R，关于原点对称，， 是奇函数. ，， ， ，，， ，， ，即在R上是严格增函数. 【解析】略 18.2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦4：1战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. 假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； 若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； 如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 【答案】；  ；   五局三胜对甲有利，理由见解析．  【解析】设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”，则； 的所有可能取值为0，1，2，， ， ， 所以期望为， 方差为； 采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率， 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率：， 令， 因为时，，所以，选择五局三胜对甲有利． 三局两胜制甲胜有两种情况：前两局甲连胜、前两局甲胜一局且第三局甲胜； 三局两胜入的所有可能取值为0、1、2，分析每种取值所包含的事件并求出概率，代入期望公式求出期望，最后代入方差公式求方差； 首先分别求出两种赛制甲获胜的概率，然后作差比较大小，最后得出结论． 本题考查概率的应用及方差和期望，属于中档题． 19.已知函数 若，求的图象在处的切线方程； 若在定义域上是单调函数，求a的取值范围； 若存在两个极值点，，试比较与的大小. 【答案】；   ；    【解析】，，即，即切点坐标为， ，， 故切线方程为； ， 在定义域上是单调函数且易知在上不可能恒成立， 故恒成立，即在上恒成立， 当时，取得最大值，故； 已知，且存在两个极值点，， 令，即在上有两个正根， 需满足，解得， ， ， 令，，在上单调递减， 所以， 代入求切点坐标，求导得切线斜率，用点斜式写方程； 求导后分析恒成立因不可能，转化为二次不等式恒成立问题，分离参数求最值； 由极值点对应方程得根的关系判别式、韦达定理，代入函数式化简为关于a的表达式，构造函数用导数证单调性求范围，即可求解． 本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间及函数恒成立问题，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $