精品解析：重庆市巴南中学校2027届高三8月开学考试数学试题

巴南中学2027届高三8月开学调研考试 数学 试卷共5页，共19题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，，则. 2. 某科研数据库包含5000个海水样本，其中一半来自中层海域，若按分层抽样抽取200个样本进行分析，则应抽取中层海域的样本数为（ ） A. 50 B. 100 C. 200 D. 250 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，样本中应抽取中层海域的样本数为个. 3. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，且经过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设椭圆方程为（），且， 点在椭圆上，代入得，将代入， 得， 即 即 即 得或， 由于， 故，， 离心率. 4. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充要条件的判定方法，结合直线与平面平行的定义即可判断. 【详解】由直线平面，易知直线与平面没有公共点，故直线与平面内的任意直线都没有公共点，故充分性成立； 又由直线与平面内的任意直线都没有公共点，即直线与平面没有任何公共点，则直线平面，故必要性成立. 故“直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的充要条件. 故选：C. 5. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，求出圆锥的高，从而求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的高为，因为底面半径，由体积，解得， 圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积为. 故选：B 6. 在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，它们的终边分别与单位圆交于点，设线段的中点的纵坐标为，若，则点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，得用中点坐标公式可求得，结合已知可得，利用利用，可求结论. 【详解】由题意可得，， 则， 由可得， . 故选：B. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知可得对任意的恒成立， 设 则 当时在上恒成立，在上单调递增， 又 在上 不合题意； 当时，可知在单调递减，在单调递增，要使 ， 在上恒成立，只要， 令 可知在上单调递增，在上单调递减， 又 ，故选A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设P为菱形所在平面外一点，与交于，为上（异于，）的一点，则（ ） A. B. 与异面 C. 若为的中点，则平面 D. 若，则平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线线，线面的位置关系判断AB，根据线面平行的判断定理判断C，根据线线垂直，证明线面垂直，判断D. 【详解】A.平面，平面，且，所以与是异面直线，故A错误； B. 平面，平面，且，所以与是异面直线，故B正确； C.点分别是的中点，所以，平面，平面，所以平面，故C正确； D. 因为，为的中点，所以，且，， 且平面，所以平面，故D正确. 10. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABD选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项. 【详解】因为，，满足， 对于A选项，由基本不等式可得，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对. 故选：CD. 11. 在无穷数列中，，则下列选项正确的是（ ） A. 若 ，，则对任意，都存在，使得 B. 若 （ ），，且对任意，都有 ，则 的最大值是 C. 若，，使得集合中有有限个元素 D. 若，当时，为递减数列，且存在常数，使得 恒成立 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，需要分析函数 的单调性，结合 的范围判断数列的变化趋势；对于选项 B ，根据递推关系和 的条件，通过不等式求解 的取值范围；对于选项 C D，结合反例可判断它们的正误. 【详解】对于选项A，已知 ，对其求导得 ，所以 在 上单调递增； 因为 ，则 ，由于 ，所以 ，那么 . 同理 ， 下证：当时， . 证明：当时，，故成立； 设当时，，则， 而 ， 故， 由数学归纳法可得， 因为时，，故， 故对任意 ，都存在 ，使得 ，故A正确. 对于选项B，已知 ． 因为对任意 ，都有 ，所以 ，解得 ， 又 ，即 ， 当 时， ，不满足对任意 ， 所以 的最大值不可能为 ，故选项B错误. 对于选项C，当 时， ， ， 以此类推，对任意 ，都存在 ，使得 ， 此时集合 有有限个元素，故选项C正确； 对于选项D，因为 ， 由于 ，故，所以 ， 这与为递减数列矛盾, 故选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理，先求出 展开式中的常数项和的系数，即得解. 【详解】由，根据二项式定理，其展开式的通项为， 所以当时，展开式的常数项为；当时，展开式的系数为； 所以原式中展开式的常数项为. 故答案为：. 13. 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线交于A，B两点（A在x轴上方），则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，进而得到直线的方程，联立抛物线的方程，可求得A，B两点（A在x轴上方）的横坐标，根据抛物线定义求得，即可得. 【详解】易知抛物线的焦点F，准线. 所以直线的方程为，即， 代入得，即， 所以或. 所以. 所以. 14. 函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇偶性和周期性，从而把问题转化到一个周期内研究，然后针对绝对值分段讨论去绝对值，就得到简单的正弦或余弦函数求最小值. 【详解】由于，且定义域为，所以是偶函数， 所以只需要研究部分，即 由于 ， 所以当时，是一个周期为的函数， 则只需要研究一个周期的最小值，以下分类讨论： 则当时，， 此时最小值为， 当时，， 此时最小值为， 则当时，， 此时最小值为， 当时，， 此时最小值为， 当时，， 此时最小值为， 综上最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设函数，若在上有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，通过和求解即可； （2）将问题转换成函数的图象与直线在上有三个不同的交点，结合函数单调性，即可求解. 【小问1详解】 . 令，解得或，令，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 令，在上有三个零点， 等价于方程在上有三个不同的实数根， 即函数的图象与直线在上有三个不同的交点. 由（1）知在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处有极大值，在处有极小值-8. 计算可得. 要使函数的图象与直线在上有三个不同的交点， 则，即实数的取值范围为. 16. 某服装品牌公司计划在周边W城市开设加盟分店，为了确定在W城市开设分店的个数，该公司对已有5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示每个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和． （个） 2 3 4 5 6 （十万元） 2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；并预测如果开设10家分店，这10家分店的年收入之和是多少？ （2）若该公司最终决定在W城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌服装，第二分店每天的顾客平均为70人，其中20人会购买该品牌服装．完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异？ 不下单 下单 合计 分店一 分店二 合计 参考公式：，， ， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）线性回归方程为，预测10家分店年收入之和为91万元 （2） 不下单 下单 合计 分店一 25 5 30 分店二 50 20 70 合计 75 25 100 在犯错误的概率不超过的前提下，没有充分证据认为两个分店的顾客下单率有差异. 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法公式求解回归系数，进而写出回归方程并预测； （2）完善列联表，求出的观测值，与临界值比较并得出结论. 【小问1详解】 ，， ，， ，， 所以， 当时，， 预测10家分店年收入之和为万元. 【小问2详解】 完善列联表如下 不下单 下单 合计 分店一 25 5 30 分店二 50 20 70 合计 75 25 100 零假设为：两个分店的顾客下单率无差异. , 在犯错误的概率不超过的前提下，没有充分证据推断不成立， 所以没有充分证据认为两个分店的顾客下单率有差异. 17. 如图1是由矩形和等腰直角组成的一个平面图形，其中，，将沿着折起使得，如图2．若E是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）由题意知，，， 又，、平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，所以， 而，、平面， 所以平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的判定定理及性质定理推导即可得； （2）过点E作于点F，结合线面垂直的判定定理及性质定理可得就是直线与平面所成角，再求出各边长后，利用余弦定理计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，平面，又， 所以平面，又因为平面， 所以，而，、平面， 所以平面，又因为平面，所以， 则， 因为E是的中点，则， 因为平面，平面，所以， 所以， 过点E作于点F，因为平面，所以， 又因为，、平面， 所以平面，所以就是直线与平面所成角， 又因为，，， 所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 18. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）设过点且斜率不为的直线的方程为，设， 由椭圆方程可知，联立， 整理得， 由根与系数的关系得， 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得， 同时将根与系数关系式代入上式，化简整理得， 因为直线的斜率不为，不能同时为，且若假设， 代入到，得； 代入到，得， 将代入到中，整理得，即矛盾，故假设不成立， 即， 故只能，即， 因此点在定直线上. （ii） 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的定义和离心率求方程； (2)（i）设直线的方程，并与椭圆方程联立整理得到根与系数的关系，同时表示出直线和的方程，利用两个方程得到交点的横坐标，得以证明点在定直线上； （ii）先表示出两个三角形的面积比的形式，结合求得的根与系数的关系进行化简整理得到 的关系，代入分析最终得到的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆的定义得，解得，又因为离心率， 所以，则， 因此椭圆标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题可知， 且，， 所以. 由（i）可知，且， 设，则，代入到根与系数关系中， 即， 将上式化简整理得， 再结合消去， 得， 可得，解得， 所以，则， 则， 故的取值范围为. 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰…依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列． （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围． 【答案】（1） （2）建立如图平面直角坐标系， 可知，，，，，. 因为外接圆半径，圆心，所以外接圆方程为， 易得在该外接圆上，又，在线段上，所以在外接圆内. 因为与都为正三角形且求解过程与方向无关，相似比都为，因此求解过程与上述一致， 易得在外接圆上，又，在线段上，所以在外接圆内. 同理，易得在外接圆上，又，在线段上，所以在外接圆内. 由此可知，各顶点都在的外接圆上或其内部，因此也就在外接圆上或其内部. 也就说明各顶点均在外接圆上或其内部成立. （3） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理求解外接圆半径. （2）通过建立平面直角坐标系，通过坐标判断各顶点是否都在的外接圆上或其内部，从而反推回判断. （3）判断出是距离外心最远的点并用坐标表示出距离，通过不等式求解. 【小问1详解】 因为，设外接圆半径为，由正弦定理，，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 所有顶点中，是距离圆心最远的外部顶点（后续顶点逐步向内收缩），因此只需保证在圆内或圆上，即可满足所有顶点的条件. 可知，，，，. 因为半径，由， 可得外接圆圆心，又，所以，， 又，所以， 因为，化简， 所以， 设，得， 化简得，解得，又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴南中学2027届高三8月开学调研考试 数学 试卷共5页，共19题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某科研数据库包含5000个海水样本，其中一半来自中层海域，若按分层抽样抽取200个样本进行分析，则应抽取中层海域的样本数为（ ） A. 50 B. 100 C. 200 D. 250 3. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，且经过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. “直线平面”是“直线与平面内的任意直线都没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，它们的终边分别与单位圆交于点，设线段的中点的纵坐标为，若，则点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设P为菱形所在平面外一点，与交于，为上（异于，）的一点，则（ ） A. B. 与异面 C. 若为的中点，则平面 D. 若，则平面 10. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在无穷数列中，，则下列选项正确的是（ ） A. 若 ，，则对任意，都存在，使得 B. 若 （ ），，且对任意，都有 ，则 的最大值是 C. 若，，使得集合中有有限个元素 D. 若，当时，为递减数列，且存在常数，使得 恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 13. 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线交于A，B两点（A在x轴上方），则_______． 14. 函数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）设函数，若在上有三个零点，求实数的取值范围. 16. 某服装品牌公司计划在周边W城市开设加盟分店，为了确定在W城市开设分店的个数，该公司对已有5个区域开店数据作了初步处理后得到下列表格，记表示每个区域开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和． （个） 2 3 4 5 6 （十万元） 2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；并预测如果开设10家分店，这10家分店的年收入之和是多少？ （2）若该公司最终决定在W城市选择两个合适的地段各开设了一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，第一分店每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌服装，第二分店每天的顾客平均为70人，其中20人会购买该品牌服装．完成下列表格，并依据小概率值的独立性检验，试问两个分店的顾客下单率有无差异？ 不下单 下单 合计 分店一 分店二 合计 参考公式：，， ， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 如图1是由矩形和等腰直角组成的一个平面图形，其中，，将沿着折起使得，如图2．若E是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰…依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列． （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $