精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年七年级上学期开学暨培优班选拔考试数学试题

2025年初2028届初一上期开学定时作业 数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间150分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括做辅助线）请一律用黑色2B铅笔； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、填空题I：（本大题8个小题，每小题5分，共40分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 1. 的倒数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】按运算顺序先算乘方，再算绝对值内的加法，进而求绝对值，最后计算结果的倒数即可． 【详解】解： ， ∴的倒数是． 2. 一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，从三视图中2开始，结合主视图可得到下层正面为6的正方体左右两面的数字为3与4，进而可确定此正方体上下两面是2与5，再底面是5与2两种情况考虑，从下往上即可得出★所代表的数． 【详解】解：由题意可以还原这个立体图形的形状， 左视图中2的对面是5；紧临的是3，其对面是4；再接下来是4，其对面是3； 主视图中小正方体正面是6，后面是1；左面是4，右面是3；上下两面就是2、5相对； 当底面是5，上面为2，紧临的是6，其对面是1；接触的两个面上的数字之和为8，则★应为7，不可能； 故底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4；接下来紧临的还是4，★为其对面， 所以是3； 故答案为：3． 3. 从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则这3个数两两互质的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算从7个数中取3个不同数的总情况数，再分类计算三个数两两互质的符合条件的情况数，最后根据古典概型计算概率． 【详解】解：2至8的7个整数为2,3,4,5,6,7,8，从中随机取3个不同的数，总情况数为种． 三个数两两互质，说明最多只能有1个偶数（任意两个偶数都有公因数2，不互质），分两类计算： 1. 三个数都是奇数：奇数共3个（3,5,7），取法共种，三个数两两互质，全部符合条件． 2. 三个数中有1个偶数、2个奇数： 选1个偶数共4种选择，选2个奇数共种，逐个验证得： 偶数为2：2和所有奇数互质，共3种符合； 偶数为4：4和所有奇数互质，共3种符合； 偶数为6：6和3不互质，仅选5和7这1种符合； 偶数为8：8和所有奇数互质，共3种符合； 本类符合条件的取法共种． 符合两两互质的总取法为种，因此所求概率为． 4. 如图，点为线段上一点，，点为线段的中点．若点为直线上一点，且，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先计算，再根据点为线段的中点，得，分点M在上和其延长线上，两种情况求解即可． 【详解】解：点为线段上一点，， ， ， 由点为线段的中点， ， 当点M在上时，如图， ， ； 当点M在的延长线上时，如图， ， ； 5. 重庆一中初一4名同学小渝、小重、小一、中中分入1、2、3、4班，各班一人．已知：①1班学生两句话全为真话；②4班学生两句话全为假话；③2班、3班学生均为一句真话、一句假话．小渝：我在3班，中中在2班．小重：中中在4班，我在1班．小一：小重在1班，我在3班．中中：我在2班，小一是1班的．则小一所在的班级是___________． 【答案】班 【解析】 【分析】从出现次数最多的“小重在1班”切入，用假设法推理，排除矛盾情况得到结果． 【详解】解：已知1班全真话，4班全假话，2班3班一真一假，每班分1人， 假设“小重在1班”为真， ∵1班学生两句话全为真话， ∴小重说的“中中在4班”也为真，得到：小重在1班，中中在4班， ∵4班学生两句话全为假话， ∴中中说的“我在2班”“小一是1班”都为假，符合条件，无矛盾，剩余小渝和小一分到2班和3班， ∵小渝说“中中在2班”，是假话，且小渝只能是2班或3班，必须满足一真一假， ∴小渝说“我在3班”是真话，得到小渝在3班， ∴剩余小一只能在2班，验证所有条件：小渝（3班）：一真一假，符合要求； 小重（1班）：两句话全对，符合要求；小一（2班）：“小重在1班”真，“我在3班”假，一真一假，符合要求；中中（4班）：两句话全假，符合要求，无矛盾． 若假设“小重在1班”为假，推导可得该情况矛盾，不成立． 因此小一所在的班级是2班． 6. 已知正整数数列，规定首项，对任意正整数，满足，记，若，则正整数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可通过累加法求出，再利用列举法求正整数． 【详解】解： 已知，对任意正整数，． 当时，列出递推差： ， ， ， 将以上等式左右分别相加，得： ， 代入，得，验证时也满足该式． 对前项和，有： ， ， ， ． 正整数的值为． 7. 为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球若干个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金40元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为1740元，第三时段返现金额比第一时段多280元，则第二时段返现金额为___________元． 【答案】 940 【解析】 【分析】设第一时段摸到红、黄、绿球的次数分别为，，，根据题意得到关于的方程组，利用均为正整数求解即可． 【详解】解：设第一时段摸到红，黄，绿球的次数分别为，，， 则第二时段摸到红，黄，绿球的次数分别为，，， 第三时段摸到红，黄，绿球的次数分别为，，， ∵第三时段返现金额比第一时段多280元， ∴， 化简得，即①， ∵三个时段返现总金额为1740元， ∴， 化简得②， 将①代入②得：，整理得， ∵均为正整数， ∴，得，即可取1，2，3， 当时，，，是正整数， 此时； 当时，，，不是正整数，舍去； 当时，，，不是正整数，舍去； 因此第二时段返现金额为元． 8. 一个的长方体是由一些单位正立方体所拼成的，其中．若从其中一个顶点看过去，可看到三个相交于这个顶点的完整的面，且恰可以看见369个单位正立方体．则总共有___________个单位正立方体没有被看见． 【答案】 所有可能的答案为975，1071，1152． 【解析】 【分析】通过建立从顶点方向观察时可见立方体数量的计算公式，整理变形后结合的条件枚举验证，得到所有符合条件的，再计算未被看见的立方体个数． 【详解】设可见单位正立方体的个数为，由题意可得：． 整理等式得：， 等式两边同时加，对左边因式分解得：， 由，可得，从向下枚举验证： 当，右边，，无符合条件的解； 当，右边，，无符合条件的解； 当，右边，满足，符合条件， 计算得，，即， 所以未被看见的个数为； 当，右边，是质数，无符合条件的解； 当，右边，满足，符合条件， 计算得，，即， 所以未被看见的个数为； 当，右边，，无符合条件的解； 当，右边，，无符合条件的解； 当，右边，满足，符合条件， 计算得，，即， 所以未被看见的个数为； 当时，均无符合条件的解． 综上，所有可能的未被看见的单位正立方体个数为975，1071，1152． 二、填空题II：（本大题5个小题，每小题6分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 9. “闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，当行人以的速度刚匀速走完长的人行横道时，东西方向的交通信号灯变为绿灯，甲车向西运动且车头恰好到达停止线处；此时南北方向的交通信号灯变为红灯，乙车向北运动且车尾恰好到达停止线处．若两车始终紧靠道路中心线保持匀速行驶，且，两辆轿车的尺寸均为：长度，宽度．停止线到前方道路中心线的距离均为．黄灯刚亮时，乙车车头到停止线的距离为___________；甲车车速为___________（填范围）时，甲乙两车不相撞． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】①乙车黄灯亮后车尾到达停止线，由此求得乙车行驶的距离，再用行驶距离减去乙车车身长即可求得乙车车头到停止线的距离； ②分两种情况考虑，情况（1）当甲车的车头刚好撞上乙车的车尾，情况（2）当乙车的车头刚好撞上甲车的车尾，两种情况下分别求出两车的行驶距离，再根据已知条件求出行驶时间，最后根据分别求出两种情况下甲车的平均速度． 【详解】①解：乙车黄灯亮后车尾到达停止线， 所以黄灯亮时，乙车行驶的距离为． 黄灯刚亮时，乙车车头到停止线的距离 ． ②解：由题意知，取两种极端的情况： （1）当甲车的车头刚好撞上乙车的车尾， 甲车行驶的路程为， 乙车行驶的路程为， 已知，则此时甲乙两车行驶的时间为， 此时甲车的速度为， 即甲车的平均速度小于不会撞上乙车； （2）当乙车的车头刚好撞上甲车的车尾， 甲车行驶的路程为， 乙车行驶的路程为， 此时甲乙两车行驶的时间为， 此时甲车的速度为， 即甲车的平均速度大于不会撞上乙车． 综上，当或时，甲乙两车不相撞． 10. 某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下表： … A 36 54 B 28 51 69 82 90 93 C 18 36 54 63 72 81 … D 12 32 52 72 92 112 … 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】5台分给四家且每家至少1台，仅一家分2台，比较各经销商第二台的利润增量即可得到结果；7台按分配经销商数量分类，计算各情况最大总利润后比较得到最终最大值； 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台. 计算各经销商第二台的利润增量： A的增量：万元 B的增量：万元 C的增量：万元 D的增量：万元 应向经销商分配2台设备； 按分配经销商的数量分类计算最大总利润： 当分配给1家经销商时：最大利润为D分配7台，总利润为万元； 当分配给2家经销商时：最大利润为A分配1台加D分配6台，总利润为万元； 当分配给3家经销商时：最大利润为A分配1台，B分配2台，D分配4台，总台数和为，总利润为万元； 当分配给4家经销商时：四家各分1台，剩余3台选增量最大的3个，总利润为万元； 比较得，因此总利润最大值为万元； 11. 如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据旋转性质表示出和，利用角平分线和四等分线定义表示和，根据与的位置关系分和两种情况，结合绝对值方程求解． 【详解】解：由题意得，， 射线为的四等分线， ， 当旋转到的延长线上时，如图，此时，则， ①当时，如图， 则， ∵射线为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即， 则有，即， 解得或， 由，可得； 当旋转到与重合时，则， ②当时，如图， 则， ∵射线为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即， 则有，即， 解得或， 由，可得； 综上所述，的值为或28． 12. 在式子（其中）中，任选两个字母，在这两个字母及它们之间的部分两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择，进行第二轮“绝对操作”，得到，…，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有___________种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有___________种不同的结果． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】根据新定义“绝对操作”的规则，结合绝对值的化简，按顺序枚举所有操作后的不同结果，统计数量即可． 【详解】解：先计算第一轮“绝对操作”的结果数量： 原式子为，，从个字母中任选个加绝对值，共种选法，分别化简： ①选：； ②选：，当时结果为，与上述结果重复，当时结果为，得到新结果； ③选：，与第一个结果重复； ④选：，当时结果为（新结果），当时结果为（新结果）； ⑤选：，得到新结果； ⑥选：，与第一个结果重复； 综上，第一轮共得到种不同结果； 接下来计算四轮每轮绝对值含两个字母的不同结果： 第一轮操作：； 或； ； ∴第一轮操作后，得到种不同结果：，，； 第二轮操作：对于仍然有3种结果：，，； 对于：， ， ； 对于：， 或， ， ∴第二轮操作后，共得到种不同结果：，，，； 第三轮操作：对于，，，最终结果仍为4种， 对于：， ， ， ∴第三轮操作后，共得到种不同结果：，，，，； 第四轮操作：对于，，，，最终结果仍为5种， 对于：， 或， ， ∴第四轮操作后，共得到6种不同结果：，，，，，． 13. 一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，它的十位数字等于个位数字与千位数字之差，则称这个四位数为“明礼崇德数”．将“明礼崇德数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“明礼崇德数”的千位数字的2倍求和，记作．若，（，，，，，且，，，，均为整数）都是“明礼崇德数”，其中能被11整除，则___________．在此条件下，能被7整除，则满足条件的值的平均数为___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据“明礼崇德数”的定义得到各数位的关系，求出，利用整除性质确定，再推导的数位关系，计算，找出所有符合条件的，最后计算平均数． 【详解】解：∵， ∴的千位为，百位为，十位为，个位为，满足且均为整数，所有数位不为零， ∵是“明礼崇德数”，定义要求十位数字等于个位数字与千位数字之差， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵为正整数， ∴可取， 根据定义，为去掉千位后的三位数加上千位数字的2倍，因此：， 代入得： ， ∵能被整除， ∴能被整除， 仅满足条件， 因此； 当时，， ∵是“明礼崇德数”， ∴， ∵所有数位不为零， ∴， 即， 又∵， ∴， ∵，均为整数， 计算，去掉千位后的三位数为，加上得：， 代入得：， ∵， ∴， 变形得：， ∵能被整除， ∴能被整除， 对逐一验证： 时，得，符合条件，； 时，得，不满足，舍去； 时，得，符合条件，； 时，得，符合条件，； 符合条件的共个，总和为：， 因此平均数为． 三、解答题：（本大题5个小题，第14题、第15题各14分，第16题16分，第17题、第18题各18分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 14. 春风和煦，鸟语花香，小李和小王从学校出发前往与学校相距米的开心农场．小李骑自行车匀速向农场驶去，小李出发分钟后，小王沿着相同的路线匀速步行至农场．当小李到达农场休息了分钟后，发现相机掉落在学校，就从原路以另一速度匀速返回学校拿相机，返回学校所用的时间是去农场所用时间的，拿到相机后（拿相机的时间忽略不计）立马以变速后的速度再次匀速向农场驶去，结果和小王同时到达农场．若两人与学校的距离（单位：米）与小李出发的时间（单位：分钟）的关系如图所示．请根据图中信息解决下列问题： （1）求小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离； （2）小李出发多少分钟时，两人的距离为米？ 【答案】（1）米 （2）小李出发分钟或分钟或分钟或分钟时，两人的距离为米 【解析】 【分析】（1）先求出小李开始及变速后的速度，再求出小王的速度，进而求出两人第一次相遇的时间，最后计算与农场的距离即可； （2）分情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设小李第一次到达农场所用的时间为分钟． ∵返回学校所用的时间是去农场所用时间的，小李到达农场休息了分钟，共用分钟， ∴， 解得：（分钟）， ∴（分钟）， ∴小李开始的速度为（米/分钟）， 变速后的速度为（米/分钟）， ∵小李出发分钟后，小王沿着相同的路线匀速步行至农场， ∴小王的速度为（米/分钟）， 设第一次相遇时，小王走了分钟，则小李行驶分钟， ∴， 解得：（分钟）， ∴小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离为（米）． 【小问2详解】 解：设小李出发分钟，两人的距离为米， 当时，， 解得：（分钟）； 当时，， 解得：（分钟）（不符合题意，舍去）， 当时，， 解得：（分钟）（不符合题意，舍去）， 当时，或， 解得：（分钟）或（分钟）， 当时，， 解得：（分钟）； 综上所述：小李出发分钟或分钟或分钟或分钟时，两人的距离为米． 15. 11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多元． （1）12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ （2）1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在万元以内，只有基本工资元；当该销售人员本月成交总销售额超过万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示．1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过 所购礼盒全部按九折优惠 超过 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 万元以上的部分 奖励工资比例 【答案】（1）每盒糖果的进价为元． （2）商场可获利元或元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，先计算出月份1盒饼干的售价，继而得出月份1盒饼干的售价和1盒糖果的售价，根据饼干销售量为盒，糖果的销售量为盒，据总销售额总成本，建立一元一次方程，求解即可． （2）由于销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元，可计算出月成交销售额，设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额建立一元一次方程，求解出的值，即可计算商场可获利多少元． 【小问1详解】 解：设1盒饼干售价为元，则1盒糖果的售价为元， 由题意得： 解得：， 所以月1盒饼干的售价为元， 由此得出月份1盒饼干的售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干的销售量为盒，糖果的销售量为： （盒）， 设每盒饼干的进价为元，则每盒糖果的进价为元，由题意得： ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为元． 【小问2详解】 解：由题意得： = =76000（元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， 当饼干的数量大于盒，糖果的数量小于盒时， 此时饼干的总进价为： （元）， 糖果的总进价为： （元） 解得：， （盒） 当饼干的数量大于盒小于盒，糖果的数量大于盒小于盒时， 此时饼干的总进价为： （元）， 糖果的总进价为： ， 解得：． （盒）， 综上，购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒； 或购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒； 当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时， 商场可获利： （元） 当购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒时， 商场可获利： （元） 答：当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时，商场可获利元， 当购进饼干的数量为盒，购进糖果的数量为盒时，商场可获利元． 16. 已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． （1）直接依次写出a，b的值：__________，__________； （2）如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； （3）如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查两点间距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握线段上两点间距离的求法，能够准确表示数轴上的点是解题的关键． （1）由已知可得即可求； （2）分点Q在到达点B前或到达点B后，两种情况分别求解即可； （3）分四种情况：①当点P与点M第一次相遇后，点Q在点M右侧1个单位长度处；②当点P与点M第一次相遇后，点P在点N左侧1个单位长度处；③当点P追上点N后，点P在点N左侧1个单位长度处；④当点P追上点N后，点Q在点M右侧1个单位长度处，四种情况分别建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：关于x的多项式是二次多项式， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：点Q在到达点B前： ①当点Q为中点时，， 点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边，，， 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ， ，即， 解得：； ②当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（不合题意，舍去）； 点Q在到达点B时：， 点Q在到达点B后： 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ①当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（舍去，不符合题意）； ②当点Q为中点时，， ， ，即， 解得：； 当点P运动到点C时，线段同时停止运动， 此时：， 综上，t的值为或； 【小问3详解】 解：当点Q与点M第一次重合时，则， 解得， ∴此时点Q表示的数为，点M表示的数为5， ∴点P表示的数为，点N表示的数为 当时，Q表示的数为，P表示的数为， 当时（两条线段有交点），Q表示的数是，P表示的数是， N表示的数是，M表示的数是， 当点P与点N第一次重合时，则， 解得， ∴此时点Q表示的数为，点N表示的数为； ①Q未到达B，若Q在M右边1个单位时，， 解得， ②Q未到达B，N在P右侧1个单位时，， 解得； 当点Q到达点B时，则， 解得， ∴此时点N表示的数为，点P表示的数为， 当点P追上点N时，则， 解得， ∴此时点P表示的数为； ∴当（两条线段有交点），点P表示的数为，点Q表示的数为，点N表示的数为，点M表示的数为； ③当点P在点N左侧1个单位长度时，则， 解得； ④当点Q在点M右侧1个单位长度时，则 解得； 综上所述，t的值是或或或． 17. 请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为______，（用含有，，，的式子表示）请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． （1）任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； （2）任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若，则） （3）任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理； （4）任务4：请运用现象1的结论证明：若，，是三边的长，则． 【答案】（1）① ，；② ，． （2） 证明：∵， ∵，，则，， ∴，即， ∴． （3） ； 说明：∵， ∴，， ∴， 即混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． （4） 证明：由三角形三边关系得，，， 由现象1的①，假设 原来的糖水总质量是克，其中含有克糖， 加入克水，同①可得不等式， 加入克糖，同②可得不等式， 则， 同理可得 ， ， 则得， 即． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）利用作差法即可证明； （3）根据题意写出新的分式，再由，得，，代入混合后的浓度化简即可； （4）由现象1得，，，利用不等式的性质进行证明即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，加入克水，则糖水为克， ∴糖水的浓度为， ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． ②由题意得，加入克糖，则糖为克，糖水为克， ∴糖水的浓度变为， ∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大， ∴． 故答案为：① ，；② ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为克，糖水为克， ∴浓度可以表示为； 故答案为：； 【小问4详解】 略 18. 先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式： 若，，则 若，，，则 不等式、反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下： 若，试证明不等式：． 证明： 即． 现请你利用上述不等式、证明下列不等式： （1）当时，试证明：． （2）当、为任意实数时，试证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知将原式变形为例题形式，即可证明； （2）分当时与当时两种情况，将原式变形为例题形式，即可证明． 【小问1详解】 解：， ， 即； 【小问2详解】 解：当时， ， 当时， ， 综上，当、为任意实数时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初2028届初一上期开学定时作业 数学试题卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间150分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括做辅助线）请一律用黑色2B铅笔； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、填空题I：（本大题8个小题，每小题5分，共40分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 1. 的倒数是___________． 2. 一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是______． 3. 从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则这3个数两两互质的概率是___________． 4. 如图，点为线段上一点，，点为线段的中点．若点为直线上一点，且，则的长为___________． 5. 重庆一中初一4名同学小渝、小重、小一、中中分入1、2、3、4班，各班一人．已知：①1班学生两句话全为真话；②4班学生两句话全为假话；③2班、3班学生均为一句真话、一句假话．小渝：我在3班，中中在2班．小重：中中在4班，我在1班．小一：小重在1班，我在3班．中中：我在2班，小一是1班的．则小一所在的班级是___________． 6. 已知正整数数列，规定首项，对任意正整数，满足，记，若，则正整数的值为___________． 7. 为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动．活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球若干个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金40元、30元、10元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为1740元，第三时段返现金额比第一时段多280元，则第二时段返现金额为___________元． 8. 一个的长方体是由一些单位正立方体所拼成的，其中．若从其中一个顶点看过去，可看到三个相交于这个顶点的完整的面，且恰可以看见369个单位正立方体．则总共有___________个单位正立方体没有被看见． 二、填空题II：（本大题5个小题，每小题6分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 9. “闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，当行人以的速度刚匀速走完长的人行横道时，东西方向的交通信号灯变为绿灯，甲车向西运动且车头恰好到达停止线处；此时南北方向的交通信号灯变为红灯，乙车向北运动且车尾恰好到达停止线处．若两车始终紧靠道路中心线保持匀速行驶，且，两辆轿车的尺寸均为：长度，宽度．停止线到前方道路中心线的距离均为．黄灯刚亮时，乙车车头到停止线的距离为___________；甲车车速为___________（填范围）时，甲乙两车不相撞． 10. 某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与的对应关系如下表： … A 36 54 B 28 51 69 82 90 93 C 18 36 54 63 72 81 … D 12 32 52 72 92 112 … 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 11. 如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________． 12. 在式子（其中）中，任选两个字母，在这两个字母及它们之间的部分两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择，进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择，进行第二轮“绝对操作”，得到，…，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有___________种不同的结果；若对原式子进行四轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有___________种不同的结果． 13. 一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，它的十位数字等于个位数字与千位数字之差，则称这个四位数为“明礼崇德数”．将“明礼崇德数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“明礼崇德数”的千位数字的2倍求和，记作．若，（，，，，，且，，，，均为整数）都是“明礼崇德数”，其中能被11整除，则___________．在此条件下，能被7整除，则满足条件的值的平均数为___________． 三、解答题：（本大题5个小题，第14题、第15题各14分，第16题16分，第17题、第18题各18分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 14. 春风和煦，鸟语花香，小李和小王从学校出发前往与学校相距米的开心农场．小李骑自行车匀速向农场驶去，小李出发分钟后，小王沿着相同的路线匀速步行至农场．当小李到达农场休息了分钟后，发现相机掉落在学校，就从原路以另一速度匀速返回学校拿相机，返回学校所用的时间是去农场所用时间的，拿到相机后（拿相机的时间忽略不计）立马以变速后的速度再次匀速向农场驶去，结果和小王同时到达农场．若两人与学校的距离（单位：米）与小李出发的时间（单位：分钟）的关系如图所示．请根据图中信息解决下列问题： （1）求小李和小王第一次相遇时，两人与农场的距离； （2）小李出发多少分钟时，两人的距离为米？ 15. 11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多元． （1）12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ （2）1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在万元以内，只有基本工资元；当该销售人员本月成交总销售额超过万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示．1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过 所购礼盒全部按九折优惠 超过 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 超过万元但不超过万元的部分 万元以上的部分 奖励工资比例 16. 已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． （1）直接依次写出a，b的值：__________，__________； （2）如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； （3）如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 17. 请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为______，（用含有，，，的式子表示）请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． （1）任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； （2）任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若，则） （3）任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理； （4）任务4：请运用现象1的结论证明：若，，是三边的长，则． 18. 先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式： 若，，则 若，，，则 不等式、反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下： 若，试证明不等式：． 证明： 即． 现请你利用上述不等式、证明下列不等式： （1）当时，试证明：． （2）当、为任意实数时，试证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $