第2章 图形的相似（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册第2章“图形的相似”，通过基础巩固与情境应用结合的试题设计，覆盖相似判定、性质、位似等核心知识点，适配单元复习，体现几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|相似图形判定（第1题）、位似（第2、5题）、比例线段（第6题）|结合春晚图标（第2题）考查位似，体现时代性| |填空题|6题/18分|相似条件添加（第11题）、位似面积（第13题）、动点相似（第14题）|第14题动点问题培养推理意识| |解答题|7题/72分|相似性质应用（第17题）、位似作图（第18题）、实际应用（第22题晒衣架）|第22题以晒衣架为情境，发展应用意识；第23题综合证明提升思维能力|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 2．（本题3分）2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 3．（本题3分）如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（本题3分）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 6．（本题3分）已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿翻折后，点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（     ） A．1 B．6 C．4 D．2 9．（本题3分）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 10．（本题3分）如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是______．（写一个即可） 12．（本题3分）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 13．（本题3分）如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 14．（本题3分）如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止．动点从点出发到点止．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时．运动的时间是___． 15．（本题3分）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 16．（本题3分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）如图，四边形四边形，求的长及的度数． 18．（本题8分）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 19．（本题10分）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 20．（本题10分）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 21．（本题10分）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 22．（本题12分）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 23．（本题14分）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3) 的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 2．（本题3分）2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 3．（本题3分）如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（本题3分）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 6．（本题3分）已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿翻折后，点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（     ） A．1 B．6 C．4 D．2 9．（本题3分）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 10．（本题3分）如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是______．（写一个即可） 12．（本题3分）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 13．（本题3分）如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 14．（本题3分）如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止．动点从点出发到点止．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时．运动的时间是___． 15．（本题3分）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 16．（本题3分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）如图，四边形四边形，求的长及的度数． 18．（本题8分）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 19．（本题10分）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 20．（本题10分）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 21．（本题10分）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 22．（本题12分）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 23．（本题14分）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3) 的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章图形的相似·基础通关（参考答案) 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.) y 2 4 5 6 个 8 9 10 6 D C 0 0 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11.∠B=∠E或∠C=∠D(答案不唯一) 12.△ACD和ACBD 13.18 612 14.5秒或7秒 15.10 16.4:5:3 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本题8分) 【详解】解：四边形ABCD∽四边形A'B'CD', AB CD ·ABCD ∠A=∠A=107°.(2分) AB=6CD'=12CD=18, AB183 6=122,(4分) 解得AB=9.(6分) ∴.∠D=360°-107°-90°-120°=43°.(8分) 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 18 A01 12 120 6 B'h C 18.(本题8分) 【答案】() - (2分) 图1 A2)2 (2) (5分) 图2 B D (3) (8分) 图3 19.(本题10分) 【答案】() 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，即为所求作： A E B (5分) (2) 证明：：DE是∠ADB的平分线， .∠ADB=2∠BDE, ∠ADB=2∠A, ∴.∠BDE=∠A, 又：∠DBE=∠ABD, ∴△DBEAABD.(10分) 20.(本题10分) 9=名=6=k,则a=3张b=2k,c=6k 【详解】(1)解：设326 ,a+2b+c=26 .3k+2×2k+6k=26. 解得k=2, .a=6,b=4,c=12:(3分) (2)解：：线段x是线段a、b的比例中项， ..x2=ab. 把a=6,b=4代入可得： x2=6×4=24 x=26 ,线段长度不能为负， 26 ；(7分) (3)解：，四条线段a、b、c、d为成比例线段， a c :bd' 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把a=6,b=4,c=12代入可得： 612 4d, 解得d=8.(10分) 21.(本题10分) 【答案】(I)证明：，ABIICD, ∴.∠BAC=∠ACD ..AB=27m,AC=18m,CD=12m, AB273AC183 AC=182,CD122? AB AC ÷AcCD, ,△ABCOACAD.(5分) (2)解：由(1)知△ABCACAD, SABC S4c-9 -4,即804 S.4Bc=180 解得， 答：水果园△ABC的面积为180m2,(10分) 22.(本题12分) 【答案】(1)证明：：OA=0C=51cm,OE=OF=34cm, OA OC ·OEOF' ,∠AOC=∠EOF .△AOC△EOF, ∴.∠A=∠OEF, AC‖EF.(5分) (2)解：如图，过点O作ON⊥EF于N,过点A作AM⊥BD于M, 4/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B MD .OE=OF =34cm,ON L EF,EF =32cm, :EN-FN=IEF-16em :0N=vOE-EN2=V34-16=30em AB=CD=136cm,OA=OC=51cm, .AB-OA CD-OC,OB=OD=136-51=85cm, OE OF :.OB OD' :∠EOF=∠BOD ∴.AOEFAOBD, ,∠OEF=∠OBD .∠ONE=∠AMB=90°. .△OEN△ABM OE ON 34-30 AB=AM,即136AM, 解得：AM=120cm, ,连衣裙总长度小于120Cm时，连衣裙才不会拖在地面上.(12分) 23. (本题14分) 【答案】()证明：：DE垂直平分BC, .BE=CE, ∴.∠C=∠EBD AB=AD ∴.∠FDB=∠ABD ABFD△CAB:(5分) (2)证明：DE垂直平分BC, 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD 1 BC2· .△BFD∽△CAB FD BD 1 AB BC2 DF-B .AB=AD, .DF=1AD 2 .AF=DF;(11分) (3)解：如图，过点C作CH∥AD,交BE的延长线于点H, 垂直平分 .DE BC BD 1 BC2· :CH∥AD ∴.∠BDF=∠BCH,∠BFD=∠BHC .△BDF∽ABCH BFDF_BD1 BH CH BC2· AF=DF. .AF 1 CH=2 :CH∥AD ∴.∠FAE=∠HCE,∠AFE=∠CHE ∴AAFE∽ACHE, 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FE AF 1 EH-HC-2. FE 1 FH 3, BF 1 BH 2 ∴.FH=FB, EF1 “FB3(14分) 7/7 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】此题考查了相似图形的定义．根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形），对各选项逐一分析，利用排除法确定正确选项． 【详解】解：相似图形的定义是对应角相等、对应边成比例的图形， A选项：两个等腰三角形的顶角与底角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； B选项：两个直角三角形只有直角相等，另外两个锐角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； C选项：两个正方形的所有内角均为，各角都相等，且各边均相等，对应边的比值一定相等， ∴一定相似； D选项：两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； 故选：C． 2．（本题3分）2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 【答案】A 【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，即可得到结果．翻折、旋转可以改变方向，位似可以改变大小． 【详解】解：可以看作由如下的基本图形经过平移得到． 3．（本题3分）如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理判定且，从而证得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ． 4．（本题3分）如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．（本题3分）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 6．（本题3分）已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 7．（本题3分）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（本题3分）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿翻折后，点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（     ） A．1 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据翻折的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，即可解答． 【详解】解：将沿翻折后，点A落在点处， ，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 9．（本题3分）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 10．（本题3分）如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是______．（写一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】根据图形，结合相似三角形的判定，即可得出答案． 【详解】解：根据图形，可得：， ∴添加或， ∴． 故答案为：或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解本题的关键在熟练掌握相似三角形的判定定理． 12．（本题3分）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 13．（本题3分）如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 14．（本题3分）如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止．动点从点出发到点止．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时．运动的时间是___． 【答案】秒或秒 【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，列出比例式，进而可求运动的时间． 【详解】解：根据题意得：设当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒， ， ①当时，则， 即， 解得：； ②当时，则， 即， 解得：； 综上所述：当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒或秒， 故答案为：秒或秒． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 15．（本题3分）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 16．（本题3分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得，分别证明和，可求出，，，从而可求出结论． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为1，则，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 同理可得，则， 得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）如图，四边形四边形，求的长及的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了相似四边形的性质，四边形内角和性质． 根据相似四边形的性质可得，代入求的值，然后根据四边形内角和定理得出度数． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 18．（本题8分）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 19．（本题10分）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规，作的平分线交于点．（要求不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1) 如图，即为所求作； (2) 证明：是的平分线， ， ， ， 又， ． 【分析】本题考查了复杂作图——作角平分线，相似三角形的判定，掌握角平分线的作法以及相似三角形的判定定理是解题关键． （1）根据角平分线的作法正确作图即可； （2）结合角平分线的定义得出，再根据两组角对应相等证明相似即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．（本题10分）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 21．（本题10分）如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由，可得，由，，即，可证． （2）由（1）知，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴，即， 解得，， 答：水果园的面积为． 22．（本题12分）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 23．（本题14分）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3) 的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程） 【答案】(1)证明：垂直平分， ， ， ， ， ； (2)证明：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由垂直平分线的性质得出，进而得出，由等腰三角形的性质得出即可证明； （2）由DE垂直平分BC，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出，由，即可得出； （3）过点作，交的延长线于点，证明，由，即可得出，由平行再证明，根据对应线段成比例得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作，交的延长线于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $