第22章 相似形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 九年级上册第22章“相似形”单元自测卷，以能力提升为导向，融合文化传承与实际应用，覆盖相似三角形判定与性质、位似变换等核心知识点，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题40分|相似三角形判定（第1题）、位似中心（第3题）|基础概念辨析，考查空间观念| |填空题|4题20分|比例线段（第11题）、位似坐标变换（第13题）|抽象能力与符号意识的应用| |解答题|9题90分|文化情境测量（第19题飞云楼高度）、动态几何（第18题矩形动点）、综合证明（第21题菱形相似）|结合古建筑测量考查模型意识，通过动点问题发展推理能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章相似形 (考试时间：120分钟满分：150分) 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求。 题号 1 2 3 4 5 6 7 10 答案 D A D A A A D A C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 5 1.17 12.4 13.(4,8)或4,8) 14.1:8 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：1518每题8分，1920题每题10分，21-22 题每题12分，23题14分) 15.(I)解：△ABC的中线BD如图①所示： 图① (2)解：点E如图②所示： 答案第1页，共2页 B E N 图② (3)点F如图③所示： B 图③ 16.【详解】(1)(1)证明：~∠B=∠C,∠BAP=∠CPD, ,△BAP∽△CPD ∠APB=∠CDP, :点P、D分别在边BC、AC上， ∴，∠APC+∠APB=180°，∠ADP+∠CDP=180° ∴.∠APC=∠ADP 又'∠DAP=∠PAC, ,∴△APDP△ACP @35 (2)解：△APD∽△ACP, .AP AD ”ACAP· .AP2=AC.AD ∠B=∠C .AB=AC=6」 AD=2, .AP2=6×2=12 答案第2页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP=23AP=-2/3 或 (不符合题意，舍去)， ·AP的长是 5 17.【详解】(1)解：BE平分∠CBD, .∠CBE=∠DBE, .AE AB, ∠ABE=∠AEB, ∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠C, :∠DBE=∠CBE. ∠ABD=∠C, ∠A=∠A, △ABD∽△ACB. AD AB AB AC' AD=9,AB=12, 912 12AC' AC=16: :DF∥BC (2) ∠ADF=∠C, ∠A=∠A, △ADFAACB. AD AF AC AB' :AD=9,AC=16,AB=12, 9AF 1612, AF=27 4, BF=AB-Af=12-27_21 44 答案第3页，共2页 18.【详解】(1)解：由题意得：PA=tcm,B0=2cm,点P从点A运动到点B所需时 间为B56,点0从点6运动到点C川需时间为8竖号60， ,当点P,Q其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， .0≤t≤5， ,在矩形ABCD中，AB=5cm, :∠B=90°，PB=AB-PA=(5-t)cm :△PBQ的面积为4cm2, ÷0pm=方×26-=4， 解得t=1或t=4,均符合题意， 即t的值为1或4. (2)解：由题意得：PA=tcm,BQ=2tcm, AB =5cm,BC=12cm, PB=AB-PA=(5-t)cm CO=BC-BO=(12-2t)cm ,四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=90°，CD=AB=5cm. .∠BOP+∠BPQ=90 PQ⊥DQ .∠PQD=90°， ∴.∠BQP+∠CQD=90° .∠BPQ=∠CQD 在△BPO和△CQD中， 答案第4页，共2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠C ∠BPQ=LCQD, .△BPOACOD. PB BO 5-t_2t c0cD,即12-2=5， 解得1=1或t 25>5(不符合恩意，合去)， 2 经检验，1=1是所列分式方程的解， 即t的值为1， 19.【详解】(1)解：选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； (2)略 (3)解：AB⊥BC,∠ACB=45」 :∴△ABC为等腰直角三角形， :AB=BC. ∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠DEC ∴.△ABE∽△DCE. ABBE EnAB=AB+b Dc=cE,即a b AB=ab b-a' ab 答：飞云楼的高度4B为b-a·(答案不唯一) 20.【详解】(1)（①）证明：，AB=AC, .∠B=∠C, DF⊥BC. .∠DFC=∠DFB=90°」 ∠D+∠C=90°，∠B+∠BEF=90°， .∠D=∠BEF, 又∠BEF=∠AED, ∴.∠D=∠AED, .AD=AE 答案第5页，共2页 (②解：D4C,B=1C .AB=AC=4AD,CD=AC+AD=5AD. 由(1)得AD=AE, .BE=AB-AE=3AD :LB=∠C,∠DFC=∠DFB=90°， .△BFE∽ACFD BF BE 3AD 3 ∴.CFCD5AD5' .BF+CF=BC=8, .BF=-3 ×8=3: 3+5 (3)解：如图，在EF上截取BF=FH, D B FG :LDFB=90°， .∠HBF=45°， 设BF=1,则FH=1, BH=BF2+FH= AB=AC,∠BAC=45°， :∠ABC=180°-∠B1C=6750 2 .∠EBH=∠ABC-∠HBF=22.5°，∠BEF=90°-∠ABC=22.5° ∴.∠EBH=∠BEF, EH=BH= EF-EH+FH=+1 答案第6页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点A作AG⊥BC于点G, 又：AB=AC」 :8G=CG=)BC=2+1 2, FG=BG-BF=-1 , DF⊥BC,AG⊥BC, .DFIlAG. 2-1 AD FG 2 2-5-=3-25 ∴.AC CG2+1√2+1 21.【详解】(1)证明：四边形ABCD为菱形， .∠DAC=∠DCA=∠CAB=LBCA,AB=DC, ·∠FBC=∠CAB .∠FBC=∠BCA, :.FB=FC, AF =2BF, .AF =2CF, ·AB∥DC .∠CEF=∠ABF, :∠EFC=∠AFB、 .△AFB∽aCFE. AFAB AB=2」 CFCE,即CE AB=DC, 8S-2.甲pc-K 故CE=DE. (2)证明：据(1)可知∠FBC=∠BCA, 答案第7页，共2页 :.∠BFA=∠FBC+∠BCA=2∠FBC, ·∠FBC=∠CAB ∴∠BFA=2∠CAB :∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA,∠BAH=∠DAC+∠CAB, ∴.∠BAH=2∠CAB .∠BFA=∠BAH. BH平分∠ABE, .∠ABH=∠GBF、 ∴.△BFGn△BAH, BF BG ..BA BH ..BA=CD, BF BG .CD BH' .CD·BG=BH·BF 1 22.【详解】(1)解：：点4m,2)在正比例函数y=2的图象上， 1 2m=2, 解得m=4, 点A4,2) :反比例函数y=元的图象过点4(4,2)： 2 4” 解得k=8, 小反比例函数关系式为y=8 (2)解：过点A作AE⊥x轴，于点E,过点B作BD⊥x轴，于点D, .AE∥BD, OB OD .0A0E 答案第8页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点B的横坐标为a,根据题意，得则OD=a,OE=4, OB 3 a .0A24 解得a=6, 当x=6时，y=2×6=3, 2 ∴点B(6,3): D (3)解：：点B(6,3),BC1y轴， ∴点C0,3), 作点C关于x轴对称的 C(0,-3》,连接4C交x轴于点P, .PA+PC=PA+PC', 根据两点之间线段最短可得PA+PC≥AC', .PA+PC的最小值为AC 设直线AC'的关系式为y=mx+n,根据题意，得 4m+n=2 n=-3 5 m= 4 解得n=-3’ 直线4C的关系式为y= 4t3 当y=0时，x=2 5 答案第9页，共2页 B 23.【详解】(1)解：如图：过A作AF⊥BC于F, A B DF AB=AC=5,BC=8, BF-FC-BC-4F-B3 设AD=BD=x,则DF=4-x, 在RtADF中，AD2=DF2+AF2 r=-+,解得：点. BD=25 8· (2)解：①当CD=AC时， ,AC=5, .CD=5: A B D ②当AD=CD时，由(1)可知：AC=5,AG=3,CG=4, 设AD=DC=y,则GD=4-y, 答案第10页，共2页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B GD 在Rt△ADG中，AD2=DG+AG2, 六产=(4-ヅ+3，解得：y=2 8 :CD=25 Γ89 ③当AC=AD时，点D和点B重合，即CD=BC=8. 25 综上，CD的长5,8,8 (3)解：如图：过A作AH⊥BC于H,由(1)可得：AC=5,AH=3,CH=4, A D 设DH=z,则CD=4+z, AD=DHP+AH=CD:-AC: 六+3=(4+}-5，解得：2 4,即DH=9 AD=AH+DH ,线段AD绕点A逆时针旋转至线段AE, .AD=AE ÷∠ADE=080-∠D4E), 同理：∠ABC=2180°-∠B1C）, .∠ABC=∠ADE, 答案第11页，共2页 .△ABCAADE, AB BC ·ADDE 58 I5-DE 4 解得：DE=6 答案第12页，共2页 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 相似形 能力提升卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 2．（本题4分）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 3．（本题4分）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 4．（本题4分）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 5．（本题4分）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（本题4分）如图，在中，点，分别在边，的延长线上，且，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行截线求相关线段的长或比值． 由，可得，即可得的值． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 7．（本题4分）在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． 8．（本题4分）如图，在中，分别是上的点，且．若，则的长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了平行线截线段成比例定理的应用，解决本题的关键是正确代值求解． 由．可得线段成比例，即，代值求解即可． 【详解】解：∵． ∴在中，即， ∵， 代入得：，即， 解得． 故选：A ． 9．（本题4分）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，证明，推出．求出，，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ． ， ， ∴， ， ， ， ，． ， ， ． ， ， ． 设，则， ∴， 解得， 即的长为． 10．（本题4分）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设，则，利用相似三角形得出线段比例关系，结合勾股定理和面积公式逐一判断结论. 【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即，故②错误； ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ，解得， ， ， 在中，， ，故③正确； 在中，， ， ，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 12．（本题5分）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 13．（本题5分）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 【答案】或 【分析】以原点为位似中心，相似比为时，位似图形对应点的坐标为原对应点坐标乘以或． 【详解】解：以原点为位似中心，把按相似比为放大得到，点的坐标为， 的坐标为或， 即或． 14．（本题5分）如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知，进而可知，根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，进而可转化出答案． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，不要求写作法，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出的中线； (2)在图②中，在的边上找到一点，使； (3)在图③中，在的边上找到一点，使． 【答案】(1)解：的中线如图①所示： (2)解：点如图②所示： (3)点如图③所示： 【分析】（1）利用网格的特点找到的中点即可； （2）利用网格的特点得到且，，利用相似三角形的性质即可得到； （3）利用网格的特点找到点，，得，再利用网格的特点找到平行四边形，交于点，得，得，推出是等腰三角形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．（本题8分）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， 点、分别在边、上， ，， ， 又， (2) 【分析】（1）先证明，再根据等角的补角相等，得到，即可证明相似； （2）利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 的长是． 17．（本题8分）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． 【详解】（1）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 18．（本题8分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 【答案】(1)1或4 (2)1 【分析】（1）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）证出，利用相似三角形的性质建立方程，解方程，并结合的取值范围即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． （2）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即的值为1． 19．（本题10分）飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 【答案】(1)①③ (2)测量示意图如解图所示． 测量数据：标杆，标杆影长； (3) 【分析】（1）选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）根据题意，测量数据：标杆，标杆影长； （3）证明，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）略 （3）解：，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ，即， ． 答：飞云楼的高度为．（答案不唯一） 20．（本题10分）如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ． (1)求证：； (2)若， ，求线段 的长； (3)若，，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ (2) (3) 【分析】（1）由得，结合，利用等角的余角相等得出，再通过对顶角相等代换得，根据等角对等边即可证明； （2）先由，结合和（1）中的结论，用表示与；再通过两角对应相等证明，得到，最后结合长，按比例分配求出即可； （3）在上截取构造等腰直角，设求出的长度；再由等腰三角形底角度数推出，证得，进而求出即的长度；过作，由三线合一得到、的长度，算出的长，最后根据，利用平行线分线段成比例得出，化简计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，在上截取， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（本题12分）如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． (1)如果，求证：； (2)如果的角平分线交、于点、，求证：． 【答案】(1)证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即 故． (2)证明：据（1）可知， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得，由得到，再由证，推出，结合菱形边长相等证出； （2）先通过与推导，结合角平分线得，证得，写出相似比例式，用代换，变形得到乘积等式． 【详解】（1）略 （2）略 22．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数关系式可得答案； （2）作轴，作轴，再根据平行线分线段成比例得，然后代入求出点B的横坐标，最后代入关系式求出纵坐标可得答案； （3）先求出点，作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后求出直线的关系式为，最后令求出答案即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为； （2）解：过点A作轴，于点E，过点B作轴，于点D， ∵， ∴ 设点B的横坐标为a，根据题意，得则， ∴， 解得， 当时，， ∴点； （3）解：∵点，轴， ∴点， 作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P， ∴， 根据两点之间线段最短可得， ∴的最小值为． 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点． 23．（本题14分）如图，在中，，点D是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接． (1)当时，求的长； (2)当是等腰三角形时，求的长； (3)当时，求的长（用图2）． 【答案】(1) (2)5，，8． (3)6 【分析】（1）如图：过A作于F，易得，；设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可； （2）分、、三种情况求解即可； （3）如图：过A作于G，由（1）可得：，设，则，利用勾股定理列方程可求得，进而得到再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图：过A作于F， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴． （2）解：①当时， ∵， ∴； ②当时，由（1）可知：， 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴； ③当时，点D和点B重合，即． 综上，的长5，，8． （3）解：如图：过A作于H，由（1）可得：， 设，则， ∵ ∴，解得：，即， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转至线段， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 相似形 能力提升 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（本题4分）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（本题4分）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，在中，点，分别在边，的延长线上，且，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（本题4分）如图，在中，分别是上的点，且．若，则的长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 9．（本题4分）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 10．（本题4分）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）已知，则的值是____________． 12．（本题5分）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 13．（本题5分）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 14．（本题5分）如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，不要求写作法，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出的中线； (2)在图②中，在的边上找到一点，使； (3)在图③中，在的边上找到一点，使． 16．（本题8分）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．（本题8分）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 18．（本题8分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 19．（本题10分）飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 20．（本题10分）如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ． (1)求证：； (2)若， ，求线段 的长； (3)若，，请直接写出的值． 21．（本题12分）如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． (1)如果，求证：； (2)如果的角平分线交、于点、，求证：． 22．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 23．（本题14分）如图，在中，，点D是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接． (1)当时，求的长； (2)当是等腰三角形时，求的长； (3)当时，求的长（用图2）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第22章 相似形 能力提升 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．（本题4分）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题4分）如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（本题4分）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（本题4分）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，在中，点，分别在边，的延长线上，且，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（本题4分）如图，在中，分别是上的点，且．若，则的长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 9．（本题4分）如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 10．（本题4分）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（本题5分）已知，则的值是____________． 12．（本题5分）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 13．（本题5分）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 14．（本题5分）如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 三、解答题（本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分） 15．（本题8分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，不要求写作法，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出的中线； (2)在图②中，在的边上找到一点，使； (3)在图③中，在的边上找到一点，使． 16．（本题8分）如图，在中，，点、分别在边、上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．（本题8分）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 18．（本题8分）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 19．（本题10分）飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 20．（本题10分）如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ． (1)求证：； (2)若， ，求线段 的长； (3)若，，请直接写出的值． 21．（本题12分）如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． (1)如果，求证：； (2)如果的角平分线交、于点、，求证：． 22．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 23．（本题14分）如图，在中，，点D是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接． (1)当时，求的长； (2)当是等腰三角形时，求的长； (3)当时，求的长（用图2）． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $