第2章 全等三角形（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材青岛版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册全等三角形单元培优冲刺卷，通过手工制作、古建筑等真实情境与层次化问题设计，考查全等判定、尺规作图等核心知识，培养几何直观与推理能力，适配单元复习提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形稳定性、全等判定条件等|以古建筑屋架（第1题）、手工制作（第2题）情境考查应用，注重基础概念辨析| |填空题|6/18|尺规作图步骤、全等条件添加等|结合操作流程（第12题）、阴影面积计算（第14题），考查细节与转化能力| |解答题|7/72|经典作图、动态几何、规律探究等|含“已知直角边与斜边作直角三角形”（第17题）、动态全等（第23题）及图1-3全等对数规律（第8题），综合考查推理与创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第2章全等三角形培优冲刺（参考答案） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.) y 2 3 5 6 8 9 10 0 D 0 6 A B 0 D 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 1.V433 12.④②①③ 13.①③ 14.12.5 5号 16.1或3 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共2分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本题8分) 【答案】 B M 18.(本题8分) 【答案】(1) 选择①②，理由如下： ·∠ABC=∠DEF=90°， 在Rt△ABC和Rt△DEF中，， 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=DE AC=DF, ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) 选择①③，理由如下： :AC∥DF, LACB=∠F, 在△ABC和△DEF中，， ∠ACB=∠F ∠ABC=∠DEF AC=DF .∴AABC≌ADEF(AAS) 故答案为：①②或①③；(4分) (2) 如图，连接AF与CD的交点即为所求作点P, D B E 解：△ABC≌aDEF, ∴.∠ACB=∠DFC,AC=DF, .ACl DF ∴.∠PAC=∠PFD,∠PCA=∠PDF ∴AAPC2△FPD(ASA ..DP=PC 即点P是CD的中点.(8分) 19.(本题10分)如图. 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：△ABC≌△DEB. .BC=EB=2」 AE=AB-EB=6-2=4:(4分) (2)解：△ABC≌△DEB, .∠ACB=∠DBE=65°， 又：∠A=20°， ∴.∠ABC=180°-∠ACB-∠A=95°， .∠DBC=∠ABC-∠DBE=95°-65°=30°.(10分) 20.(本题10分) 【答案】()BD=CE,理由如下： :△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， .AB=AC,AD=AE, .AB-AD=AC-AE, .BD=CE;(4分) (2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下： 延长BD,分别交AC、CE于RG, ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠DAC=LDAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE. △ABD≌AACE(SAS) ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE, ,·∠AFB=∠GFC, .180°-∠GFC-∠ACE=180°-∠AFB-∠ABD .∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE.(I0分) 21.(本题10分) 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】() 证明：在△ABE和△CBF中， BE=BF AB=CB AE=CF' :AABE2CBF(SSS),(3分) (2)解：△ABE≌aCBF, ∴.BE=BF FB=2, .BE=2 又CE=5, ∴.BC=BE+CE=2+5=7 AB=CB AB=7. AF=AB+FB=7+2=9,(6分) (3)解：∠ABC=90°，∠CAE=30°，∠CAB=∠CAE+∠EAB,∠BCA=45°， ∠BAC=45°， ∠EAB=15°， :△ABE≌△CBF, ∴.∠EAB=∠FCB. ∴.∠FCB=15°， ∴∠ACF=∠FCB+∠BCA=15°+45°=60°.(10分) 22.(本题12分) 【答案】(I):AF⊥AE,FG⊥AC,∠ACB=90°， ∴.∠AGF=∠ACE=∠FAE=90°， ∴.∠AFG+∠FAG=90°，∠CAE+∠FAG=90, .∠AFG=∠CAE 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I∠AGF=∠ECA ∠AFG=∠CAE 在 和 中， AGF △ECA AF=AE ∴.△AGF≌△ECA(AAS) (4分) (2)过F作FG⊥AC交AC于G,则∠AGD=90°， ∴.∠AGD=∠C=90°， B 由(1)知，△AFG≌aEAC, .FG=BC :'∠FDG=∠BDC. ∴.△FDG≌△BDC(AAS) ∴.GD=CD AD=3CD .AD=3DG, ∴.AG=2DG, ∴CG=2DG, 4G=Gc=54c, 又AG=CE,AC=BC, .CE-I8C 2 即E为BC中点.(9分) (3)解：过F作FG⊥AD交AD延长线于G, 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G C E 由(I)(2)知，△AGF≌aECA,△FDG≌aBDC, ∴AG=CE,CD=DG, ..BC=AC, ∴.BE=CG. BC 5 :BE3’ AC 5 CG3' ACAC 10 3, AD_AC+CD_13 CD CD 3.(12分) 23.(本题14分) 【详解】(1)解：，∠BDA=∠AEC=∠BAC. ∠BAD+∠CAE+∠BAC=18O°=∠BAD+∠BDA+∠ABD, .∠CAE=∠ABD. 又，AB=AC, △ABD≌ACAE(AAS) ,BD=AE:(3分) (2)(2)DE=BD+CE,理由：：点D、A、E在直线m上， ∴，∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°， 由三角形内角和定理知，∠DAB+∠BDA+∠ABD=180°， 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BDA=∠AEC=∠BAC, ∴.∠CAE=∠ABD .AB=AC, △ABD≌ACAE(AAS) .'.AD=CE,BD=AE ,DE=BD+CE:(8分) (3)解：如图所示，过点A作AF⊥BC于F, Q B->PF .∠AFB=∠AFC=90°， 又：AB=AC,AF=AF, RtAAFB≌Rt△AFC(HL) ,∠B=∠C; E是AB中点， BE-4B=6em, 2 当△BPE≌aCPO时，则C2=BE=6cm,BP=CP=)BC=4cm, %=3(cm/s), 6 △BPE≌△CQP BE=CP=6cm,BP=CO 时，则 ∴.BP=BC-CP=2cm, 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 21s, 2 .%=2=2(cm/s): 1 综上所述，点Q的运动速度为3cm/s或2cm/s,(14分) 8/8 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第2章 全等三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解答关键是分析能否在同一平面内构成三角形． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个例子逐一分析，再作判断． 【详解】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合； 校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合； 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合； 自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合． 故选：C． 2．（本题3分）手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边的夹角，所以不能判定其全等； 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等； 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙． 3．（本题3分）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形判定对三角形形状唯一性的影响，符合全等判定条件的三角形可唯一确定形状，不符合则不能唯一确定，只需判断各选项对应的判定类型即可． 【详解】解：∵全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，逐一分析各选项： A、已知三边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； B、已知两角和夹边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； C、已知两边及其夹角作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； D、已知两边及其中一边的对角作三角形，属于，不能判定三角形全等，可作出多个形状不同的三角形，形状不能唯一确定． 4．（本题3分）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则，由题意可得，证明，得出，再由三角形三边关系得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设边上的中线为，点为边的中点，延长至点，使得，连接，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴边上的中线长可能是， 故选：C． 5．（本题3分）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 6．（本题3分）活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据得到，证明，得到，，即，证明，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．（本题3分）在和中，, ,若添加一个条件可使，则添加的这个条件不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知两边相等, 添加条件使两三角形全等, 需判断各选项是否符合全等定理． 本题考查三角形全等的判定条件,掌握判定条件是解题关键． 【详解】∵, ,   选项A: 添加, 则三边相等, 符合全等条件.； 选项B: 添加, 则两边及其夹角相等, 符合全等条件； 选项C: 添加, 则两三角形为直角三角形, 且斜边, 直角边, 符合全等条件； 选项D: 添加, 但不是已知两边的夹角, 属于条件, 不能保证三角形全等.  ∴ 添加的条件不能是． 故选：D． 8．（本题3分）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 9．（本题3分）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 10．（本题3分）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 【答案】C 【分析】根据题意可分两种情况：和，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或3． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）如图，在四边形中，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点．作，可推出是等腰直角三角形，即可证，利用即可求解． 【详解】解：作的延长线，垂足为M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 12．（本题3分）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 13．（本题3分）如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 【答案】①③ 【分析】由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：， ． 即． ①加上条件可利用定理证明； ②加上不能证明； ③加上可利用证明； 综上，可以选择的是①③． 14．（本题3分）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 15．（本题3分）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点的运动速度为，则有， ，分两种情况和，分别计算出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为， 则， ∴， ∵，当时，，， ∴，， ∴，， ∴点的运动速度为， 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）在古希腊，尺规作图（仅使用无刻度的直尺和圆规）被视为几何学的至高准则，它源于柏拉图学派对“纯粹”与“精确”的追求．欧几里得在《几何原本》中系统总结并严格规定了这一方法，使所有作图步骤都必须基于基本事实与已证定理．其中，“已知直角边与斜边作直角三角形”便是一道经典的基础作图题，迄今已沿用两千余年． 题目：已知一直角边和斜边，求作直角三角形． 已知：线段，，如图． 求作：，使，． 【答案】 【分析】作射线，在射线上取，过作，以为圆心，为半径画弧交于，连接，即为所求． 【详解】略 18．（本题8分）如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) 选择①②，理由如下： ， 在和中，， ， ； 选择①③，理由如下： ， ， 在和中，， ， ； 故答案为：①②或①③； (2) 如图，连接与的交点即为所求作点P， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形判定的条件是解题的关键． （1）选择合适的条件，证明即可； （2）连接交的交点即为所求作点P． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ， ， ， 即点P是的中点． 19．（本题10分）如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（）根据全等三角形对应边相等求解即可； （）根据全等三角形对应角相等得，则可求，进而根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 又， ， ． 20．（本题10分）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2)，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 21．（本题10分）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ； (2) (3) 【分析】（1）利用证明与全等； （2）先根据全等三角形性质得出，进而求出，的长度，再计算； （3）先求出，再根据全等三角形性质得到，最后求出． 【详解】（1）略． （2）解：， ． ∵， ∴． 又， ． ， ， ； （3）解：，，，， ， ， ， ， ， ． 22．（本题12分）如图，等腰中，，E点为射线上一动点，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，点E为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，则＝ ． 【答案】(1)∵，，， ∴， ∴，， ∴． 在和中，​， ． (2)过作交于，则， ∴， 由（1）知，， ∴． ∵， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ， 即为中点． (3) 【分析】（1）由垂直定义可得，由余角性质得．结合 可得． （2）过作交于，由（1）中三角形全等得．结合，得，得．，结合，，得，即得为中点． （3）过作交延长线于G，由（1）（2）中的三角形全等得，可得，由，得，得，即得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过作交延长线于G， 由（1）（2）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（本题14分）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第2章 全等三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 2．（本题3分）手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 3．（本题3分）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 4．（本题3分）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 5．（本题3分）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 6．（本题3分）活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在和中，, ,若添加一个条件可使，则添加的这个条件不能是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 9．（本题3分）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 10．（本题3分）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）如图，在四边形中，，则的长为______． 12．（本题3分）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    13．（本题3分）如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 14．（本题3分）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 15．（本题3分）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 16．（本题3分）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）在古希腊，尺规作图（仅使用无刻度的直尺和圆规）被视为几何学的至高准则，它源于柏拉图学派对“纯粹”与“精确”的追求．欧几里得在《几何原本》中系统总结并严格规定了这一方法，使所有作图步骤都必须基于基本事实与已证定理．其中，“已知直角边与斜边作直角三角形”便是一道经典的基础作图题，迄今已沿用两千余年． 题目：已知一直角边和斜边，求作直角三角形． 已知：线段，，如图． 求作：，使，． 18．（本题8分）如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 19．（本题10分）如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 20．（本题10分）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 21．（本题10分）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 22．（本题12分）如图，等腰中，，E点为射线上一动点，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，点E为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，则＝ ． 23．（本题14分）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第2章 全等三角形·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 2．（本题3分）手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 3．（本题3分）根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 4．（本题3分）小武老师在某数学读物上看到了如下问题：“在中，，，，求边上的中线长．”聪明的小武老师想：同学们虽然不会求出具体的数值，但是可以推断出该中线的取值范围．根据小武老师的想法，边上的中线长可能是（   ） A． B．2 C． D．4 5．（本题3分）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 6．（本题3分）活动课上，小颖和小组同学用角尺和半圆形量角器制作了如图1所示的工具，其中是半圆形量角器的直径，C是的中点，．将这个工具按图2所示放置在内部，使点A落在的一条边上，的顶点M落在角尺边缘上，量角器上一点F落在的另一条边上，且于点F，连接，作射线．若用量角器测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在和中，, ,若添加一个条件可使，则添加的这个条件不能是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 9．（本题3分）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 10．（本题3分）如图，，， ，如果点P在线段上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（     ） A．2 B．4 C．2或3 D．2或4 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）如图，在四边形中，，则的长为______． 12．（本题3分）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    13．（本题3分）如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 14．（本题3分）如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 15．（本题3分）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 16．（本题3分）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）在古希腊，尺规作图（仅使用无刻度的直尺和圆规）被视为几何学的至高准则，它源于柏拉图学派对“纯粹”与“精确”的追求．欧几里得在《几何原本》中系统总结并严格规定了这一方法，使所有作图步骤都必须基于基本事实与已证定理．其中，“已知直角边与斜边作直角三角形”便是一道经典的基础作图题，迄今已沿用两千余年． 题目：已知一直角边和斜边，求作直角三角形． 已知：线段，，如图． 求作：，使，． 18．（本题8分）如图，在和中，，点B、E、C、F在同一直线上． (1)从以下三个选项中：①，②，③．选择两个选项作为条件，使得结论成立，并写出证明过程． 你选择的条件是 （填序号）． (2)连接，在（1）的条件下，请仅用无刻度的直尺作出的中点P（不写作法，保留作图痕迹）． 19．（本题10分）如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 20．（本题10分）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 21．（本题10分）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 22．（本题12分）如图，等腰中，，E点为射线上一动点，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，点E为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，则＝ ． 23．（本题14分）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $