第2章 全等三角形 单元卷 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学全等三角形单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合非遗文化（沙燕风筝）与实际测量（池塘距离）情境，全面考查全等三角形性质、判定及应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|全等形识别、性质（第2题）、判定（第4题SAS）|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|6题/18分|性质应用（第11题对应关系）、实际测量（第13题高楼高度）|生活情境转化，考查几何直观| |解答题|8题/72分|尺规作图（第17题）、证明（第19题AAS）、综合实践（第20题池塘测量方案）|分层设计，创新应用（兄弟三角形定义），体现推理能力与应用意识|

第2章 全等三角形（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．列四个图形中，有两个是全等形，它们是（    ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 2．下列说法中正确的个数有（   ） ①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④周长相等的两个三角形全等；⑤全等三角形的面积相等；⑥面积相等的两个三角形全等． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中△AOB与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 5．小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 6．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　） A． B． C． D． 7．在课堂上，马老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 8．如图，，，，，则为 A. B. C. D. 9．如图所示，，，，B，D，E三点在一条直线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10．如图，在△ABC中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．在延长线上取一点G，连接，使．下列结论中正确的个数为（　　） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，已知，下列结论中正确的是 ． ；；；；；． 12．如图，，，，则的度数是 ． 13．如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线与地面的夹角，测得楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与木棍高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是 ． 14．如图，在△ABC和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 15．如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 16．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知：，线段． 求作：△ABC，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 18．已知：如图，，，点E、F在线段上，且． 请说明的理由． 19．已知 △ABC中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：≌△CFB．    20．综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 21．如图，在四边形中，，点，分别在，上，连接，，，，， (1)试说明：； (2)试说明：． 22．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    23．如图，点B，C分别在射线，上，点E，F都在内部的射线上．已知，且． （1）求证：△ABE≌△CAF； （2）试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 24．我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，在和中，． (1)和________兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，试说明，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，试判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $第2章全等三角形（解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.列四个图形中，有两个是全等形，它们是() ① ② ③ ④ A.①和（② B.①和③ C.②和④ D.③和④ 【答案】D 【详解】解：图③和④是全等形. 2.下列说法中正确的个数有() ①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④周长相等的 两个三角形全等；⑤全等三角形的面积相等；⑥面积相等的两个三角形全等， A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】B 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，正确； ②全等三角形的对应角相等，正确； ③全等三角形的周长相等，正确； ④周长相等的两个三角形不一定全等，错误； ⑤全等三角形的面积相等，正确； ⑥面积相等的两个三角形不一定全等，错误· 综上所述，正确的有4个. 3.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（) A.∠C=90°，AB=6 B.AB=4,BC=3,∠A=30° C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D.AB=3,BC=4,CA=8 【答案】C 【详解】解：A、仅知直角和斜边长度，缺少另一条边或角的信息，由直角三角形全等的判定定理可 知，无法判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则不能唯一确定三角形△ABC，,不符合题 意； B、已知三角形两边AB、BC及∠A,∠A不是AB、BC的夹角，由三角形全等的判定定理可知，无法 判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则不能唯一确定△ABC,不符合题意； C、已知三角形两边∠A∠B及边AB,边AB是∠A∠B的夹边，由三角形全等的判定定理ASA,能 判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则能唯一确定△ABC,符合题意； D、由3+4=7<8可知，AB=3,BC=4,CA=8三条线段无法构成三角形，无法唯一确定△ABC,不符 合题意； 4.如图，小谊将两根长度不等的木条AC,BD的中，点连在一起，记中，点为O,即AO=CO,B0=D0 —2 ,测得C,D两，点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A,B两，点之间的距离.图 中△AOB与△COD全等的依据是() D A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 【答案】B 【详解】在△AOB与△COD, AO=CO ∠AOB=∠COD BO=DO .△AOB≌aCOD(SAS), ∴.△AOB与△COD全等的依据是SAS, 5.小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了 能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（）去玻璃商店. 2 A.第1块 B,第2块 C.第3块 D.第4块 【答案】B —3— 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们 去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA,满足题目要求的条件，是符合题意的， 6,沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录，在如图所示的 “风筝”骨架图案中，若AB=AD,AC=AE，则添加如下的一个条件仍不能证明△ABC≌△ADE的是 A.∠BAC=∠DAE B.∠BAF=∠DAC c.∠C=∠E D.BC=DE 【答案】c 【详解】解：A、添加∠BAC=∠DAE,可利用SAS证明△ABC≌△ADE,故此选项不符合题意； B、添加∠BAF=∠DAC可得∠BAC=∠DAE，可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故此选项不符合题 意； C、添加∠C=∠E，它们不是对应边的夹角相等，不能证明△ABC≌△ADE,故此选项符合题意； D、添加BC=DE,由SSS可得△ABC≌△ADE，故此选项不符合题意； 7.在课堂上，马老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图1)的卡片，然后要求同学们画一个 -4 Ra1BC,役 Rt△ABC≌Rt△MBC.小赵和小刘同学先画出了 ∠MB'N=90 之后，后续画图的主要 过程分别如图所示. NI N12 B'第步M B C'M B M 第二步 第一步 B第二步M 图1 小赵同学 小刘同学 对这两种画法的描述中正确的是（) A.小赵同学作图判定Rt△AB'C'≌Rt△ABC的依据是HL B,小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段BC的长 C.小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是ASA D.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 【答案】A 【详解】解：由图示知，小赵第一步为截取线段BC'=BC,第二步为作线段C'A=CA,判定方法为 HL 小刘第一步为截取线段B'A=BA,第二步为作线段B'C'=BC,判定方法为SAS. 8.如图，AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=110°，∠BAE=60°，则∠CAE为( -5 B D E C A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】A 【详解】解：如图，.·∠1=∠2=110°， ∴.∠ADE=∠AED=70°， ∴.∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=40°. ,∠BAE=60°， ∴.∠BAD=∠BAE-∠DAE=20°. .BE=CD, ∴.BD=CE. 在△ABD和△ACE中， BD=CE {∠1=∠2， AD=AE .∴.△ABD≌△ACE(SAS .∴.∠BAD=∠CAE=20°. 9.如图所示，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,B,D,E三点在一条直线上，若∠I=26°， ∠3=56° ∠2 ,则“的度数为() —6 E 3 D B A.30° 8.56o C.260 08o 【答案】A 【详解】·∠BAC=∠DAE .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠I=∠CAE, △ABD△MCE中， 和 AB=AC ∠1=∠EAC AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS) .∠ABD=∠2， .·∠3=∠1+∠ABD ∴.∠3=∠1+∠3 ·∠1=26°，∠3=56° .∠2=56°-26°=30°， 1O.如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD于，点E,过，点C作CF上AD于，点F.在DA 7 延长线上取一点G,连接GC,使∠G=∠BAD.下列结论中正确的个数为() ①BE=CF;②AG=2DE;③SABD+S.cpF=S.GCP;④SHGc=2S.BDE B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】AD为中线， .BD=CD BE⊥AD,CF⊥AD, .∠E=∠CFD=90°」 .·∠BDE=∠CDF △BDE≌ACDF(AAS) .BE=CF,DE=DF,故①正确； .·∠G=∠BAD :.△ABE≌aGCF(AAS) ..AE=GF, —8 ..AG=EF, .AG=2DE,故②正确； .BE=CF .SAGc=2S,BDE,故④正确； S.ABD=SACD, +.CD=C+8.CF =S.4CF+S.CDF+S.CDF SACF +2S.CDF SMACF +S.AGC =SGcF,故⑧正确. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，已知△ACE≌△DBF,下列结论中正确的是 ①AC=DB.②AB=DC.③∠I=∠2，④AE∥DF,⑤SACE=SFB,⑥BC=AE 【答案】①②③④⑤ 【详解】解：△ACE≌△DBF, —9 AC=DB① ,故正确； .AC-BC=DB-BC AB=DC② ,即 ,故正确； ,△ACE≌ADBF ∴.∠ACE=∠DBF 180-∠4CE=180-2D8f,即4=∠2，故园正； ,△ACE≌ADBF ∴∠A=∠D AE∥DF④ 故正确； :△ACE≌ADBF S4cm-5.哪，故⊙正确 ⑤ BC与1E不一定相等，故错误； ⑥ 12.如图，△AED≌△ACB,∠CAB=65°，∠CAD=20,则∠EAB的度数是 A B 【答案】110° 【详解】解：，△AED≌△ACB, .∠EAD=∠CAB=65° -10 又.∠CAD=20°， .∠CAE=∠DAE-∠DAC=65°-20°=45° .∠EAB=∠EAC+∠CAB=45°+65°=110°， 故答案为：110°」 13.如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍CD与高楼AB之间选定一点P,在，点P处测得木棍 顶端C的视线PC与地面的夹角∠DPC=18°，测得楼项A的视线PA与地面的夹角∠BPA=72°，量得，点 P到楼底的距离PB与木棍高度都是4.5m,量得木棍与高楼之间的距离DB=22.5m,则高楼的高度是 田 田 B 【答案】18 【详解】解：∠CDP=90°，∠DPC=18°， ∴.∠DCP=90°-∠DPC=72° :∠BPA=72° ∴.∠DCP=∠BPA 在△CDP和△PBA中 11 I∠DCP=∠BPA CD=PB ∠CDP=∠PBA=90°， ∴.ACDP≌△PBA(ASA) ∴PD=AB :DB=22.5m .AB=PD=DB-PB=22.5-4.5=18m 故答案为：18， 14.如图，在△ABC和△DFE中，∠A=∠D=90°，AC=DE,若要用“斜边、直角边(HL)”直接证 明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充哪一对边相等： D 【答案】BC=EF 【详解】解：补充BC=EF, AC=DE 在Rt△ABC和Rt△DFE中， BC=EF :.RtAABC≌RtADFE(HL) 故答案为：BC=EF」 15,如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3= —12 【答案】135° 【详解】解：如图， 0 E B 根据题意得DE=BC,EC=AB,GF=GC，∠DEC=∠ABC=∠FGC=90°， .△CGF为等腰直角三角形， .∠2=45°， AB=CE ∠ABC=∠CED 在△ABC和 △CED BC=DE .△ABC≌aCED(SAS), ∴.∠I=∠DCE, ·.·∠DCE+∠3=90° .∠1+∠3=90°， ∴.∠1+∠2+∠3=90°+45°-135° 故答案为：135°. —13 16.在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AC上，DE⊥BC于，点E,且DE=DA,连接DB,若∠C=20° ,则∠DBE的度数为°. D E 【答案】35 【详解】解：∠A=90°，∠C=20°， ∴.∠ABC=∠A-∠C=70° :DE⊥BC 于点E, .∴.∠BED=90° 在Rt△EBD和Rt△ABD中， DE=DA DB=DB, .∴.RtEBD≌RtAABD(HL) ∴∠DBE=∠DBA ·∠DBE=∠ABC= 2 ×70°=35° 2 故答案为：35， 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分，22-24，每题11分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 —14 17.尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形. 已知：∠，∠B,线段c. 求作：△ABC,使得LA=La,∠B=∠B，AB=2C.(保留作图痕迹，不要求写作法.) C 【答案】见详解 【详解】解：如图所示，即为所求； I8.已知：如图，AB∥CD,AB=CD,点E、F在线段BC上，且BF=EC. 请说明△ABE≌△DCF的理由， 【答案】见详解 【详解】解：AB∥CD .∠B=∠C, —15— ·,BF=EC, .'BF-EF=EC-EF,Rp BE=CF, 在△ABE和△DCF中 「AB=DC ∠B=∠C BE=CF .△ABE≌△DCF(SAS) 19.已知△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，一直线过顶，点C,过A,B分别作其垂线，垂足分别为 E,F,求证：△ACE≌△CFB. C E 【答案】见详解 【详解】证明：∠ACB=90° .∠ECA+∠FCB=90°， 又AE⊥EF,BF⊥EF, ∴.∠AEF=∠CFB=90° .∠ECA+∠EAC=90° ∴.∠FCB=∠EAC, —16— 在△ACE和△CFB中， 「∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCB AC=BC :.△AEC≌△CFB(AAS) 20.综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两，点间的距离（AB无法直接测量)，如1图.现提 供皮尺（量程30m)、测角仪等工具，要求设计几何测量方案. D E 1图 2图 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在B,点附近选取观测，点C，使A、B、C三，点共线； 2、调整帽子帽檐D,使视线通过帽檐上沿恰好对准A,点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转180°，此时视线通过帽檐上沿落在，点E处； 4、用皮尺测得CE=am,BC=bm. —17 【问题解决】 A 3图 (1)根据方案一，求A、B两，点间的距离AB; (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度∠1、∠2 ,线段长度等)，并推导AB的表达式. 【答案】(1)a-b(m) (2)方案与图见详解，AB=DE=d(m) 【详解】(1)解：如图，连接EC. D 2图 ,180°∠ADC=∠EDC 由原地旋转可得 又'DC=DC,∠ACD=∠ECD=90° ∴.△ACD≌△EDC(ASA) ∴.AC=EC=a 因为BC=b(已知)； ..AB=AC-BC=a-b(m) 18- 故：A、B两，点间的距离AB为a-b(m) (2)解：（方法不唯一)方案： B 1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C； 2、连接AC并延长到D,使CD=CA；连接BC并延长到E,使CE=CB; 3、连接DE并测量出它的长度d,DE的长度就是A,B间的距离. 证明：：CD=CA,CE=CB,∠ACB=∠DCE(对顶角相等)， .△ABC≌△DEC(SAS) ∴AB=DE=d(m) 21.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，，点E,F分别在AB,AD上，连接CE,CF,AC, AE=AF CE=CF D (1)试说明：∠EAC=∠FAC: (2)试说明：BE=DF —19 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)【详解】(I)证明：在△ACE和△ACF中， 「AE=AF CE=CF AC=AC :.△ACE≌△ACF(SSS) ∴.∠EAC=∠FAC; (2)证明：，由(1)得△ACE2△ACF, ∴.∠AEC=∠AFC .180°-∠ACE=180°-∠ACF,即∠BEC=∠DFC, 在△BEC和△DFC中， ∠B=∠D=90° ∠BEC=∠DFC CE=CF △BEC≌△DFC(AAS) .BE=DF. 22.如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD,的平分线，点E在AD上，求证： BC=AB+CD -20 【答案】见详解 【详解】在BC上取，点F,使BF=AB D E :BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线 .∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE .·AB∥CD .∠A+∠D=180° 在△ABE和△FBE中 AB=FB ∠ABE=∠FBE BE=BE .△ABE≌△FBE(SAS) .∴.∠A=∠BFE ∴.∠BFE+∠D=180° .'∠BFE+∠EFC=180° 21 ·.∠EFC=∠D 在△EFC和△EDC中， ∠EFC=∠D ∠BCE=∠DCE CE=CE ∴.△EFC≌△EDC(AAS) ∴.CF=CD .·BC=BF+CF .BC=AB+CD 23.如图，，点B,C分别在射线AM,AN上，点E,F都在∠MAN内部的射线AD上.已知 AB=AC∠BED=∠CFD=∠BAC ,且 M B E C (1)求证：△ABE≌△CAF; (2)试判断EF,BE,CF之间的数量关系，并说明理由， 【答案】(1)见详解； (2)EF+CF=BE,理由见详解. -22 【小问1详解】 证明：∠BED=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF, ·.∠ABE=∠CAF 同理：∠BAE=∠ACF 在△ABE和△CAF中， ∠ABE=∠CAF, AB=CA, ∠BAE=∠ACF, .△ABE≌△CAF(ASA) 【小问2详解】 解：EF+CF=BE,理由如下： ,△ABE≌△CAF, .AE=CF,BE=AF, ..AE+EF=AF, ·.CF+EF=BE, 24.我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形.如图，在△OAC和△OBD中， OA=OB,OC=OD,∠AOC=60°，∠BOD=120° 23— B (1)△OAC和△OBD 一兄弟三角形；（填“是”或“不是”) (2)取BD的中，点P,连接OP，试说明AC=2OP，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的 “中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题. ①请在图中通过作铺助线构造△BPE，试判断BE与OD的数量关系，并说明理由； ②求证：AC=2OP」 【答案】(1)是 (2)①BE=OD；②见详解 【详解】(1)解：∠A0C=60,∠B0D=120°， .∠AOC+∠BOD=180° 又A0=OB,OC=OD .△OAC和AOBD是兄弟三角形； (2)证明：①BE=OD. 延长OP至E,使PE=OP, 24— E B P O D ,P为BD的中点， ∴BP=PD 在△BPE和△DPO中， PE=OP ∠BPE=∠DPO BP=PD ∴.△BPE≌△DPO(SAS) ∴.BE=OD ②·△BPE≌△DPO, ∴.∠E=∠DOP .∴BE∥OD ∴.∠EBO+∠BOD=180° 又：∠BOD+∠AOC=180° ∴.∠EBO=∠AOC .·BE=OD,OD=OC, —25 ∴BE=OC 在△EBO和△COA中， EB=OC ∠EBO=∠AOC OB=OA ∴.△EBO≌△COA(SAS) .∴.OE=AC 又.OE=2OP ∴.AC=2OP —26