第十四章 全等三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦八年级上册全等三角形，以生活情境与分层设计为特色，覆盖全等判定、性质及应用，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|SSS、SAS等判定（如第3题模具碎片用ASA）|手工制作、模具修复等情境，考查几何直观| |填空题|6/18|实际测量（如第13题池塘距离用SAS）|动态几何（第16题动点全等），培养空间观念| |解答题|9/72|综合探究（如第24题截长补短证线段关系）|游乐场滑梯（第18题）等模型应用，发展推理意识与模型观念|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三 角形中，和老师的三角形全等的是() 33 76 b甲 33 丙 33> 一3°者师 71 A.甲 B.乙 C.丙 D.乙和丙 2.如图所示，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点B,D,C在同一条直线上，且 AC=BE,AC⊥BE于点F,若AB=6,DE=9,则CD=() E A.3 B.6 C.7 D.9 3.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一 块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是() ③ ② A.SSS B.AAS C.ASA D.SAS 4.如图，已知∠AOB,以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA,OB于点C,D;以点O为圆 心，大于OC长为半径画弧，分别交边OA,OB于点E,F;连接CF,DE,交点为G,作射线OG.则 下列结论一定正确的是() 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A,EC=EG B.CF⊥OA C.OG=EG D.∠AOG=∠BOG 5.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD,垂足为F若∠ABC=30°，∠C=50°，则∠CDE的度数 为() A.45° B.40 C.55° D.50° 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,点E,G分别在边AB,AC上，连接DE,DG,过 D作DF⊥AB于R.已知 DE=DG S.4DG=24 S.AED=16 6,则△DEF的面积为() G B A.4 B.6 C.8 D.10 7.如图，在四边形ABCD中，BD是∠ADC的角平分线，F为AD上一点，连接CF,E为CF上一点， BE=BA,且AD=CD+CE,若∠CBD=O,则∠AFC一定等于() D A.180°-2a B.2 +60° C.2 D.45°+0 219 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.在数学活动课上，小明先以△ABC的顶点C为圆心任意长为半径作弧与AC,BC分别相交于点E,F,再 分别以B,F为圆心，以大于2EF的长度为半径作弧，两弧在∠ACB内相交于点D,作射线CD, BP⊥CD于点P,连接AP,如图所示.小明探究发现：当AB的长，且BC与AC(BC>AC)的差都确 定时，△MBP的面积存在最大值，则当4B=12,BC-4C=4时，S的最大值为《) A.6 B.10 C.12 D.24 9.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在线段AD上，且DE=2AE,F是AD延长线上一点， ED=DF,连接BE、CF、CE,G是BC的中点，连接BG.则下列结论错误的是() G D A.CF=BE B.S.ABC =2S.BEC SECF =SBEC D.∠BEC+∠ECF=180° 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，过点 A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列结论：① 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 aiBD24CF:②DE=Ef:©若5ue-=15,5ag=6,则Sac=36,e 36,④BD+CE=DE,其中正确的 是() D E A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD,即可证明△ACB≌△BDA,全等的依据是 (用字母表示) C D B 12.如图，RtAABCS≌RtEBD,点E在线段BC上，AB=4,BD=6,则CE= C E B D 13.如图，要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走 20米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走20米到D处，在D处沿着与BF垂直的方向再向南 走27米，到达E处，使E与A,C在同一直线上，则可得A,B的距离为米， C E 14,如图，△ABC 为16cm,BP平分∠4BC,过点作P1BP于点P,连接PC,则△PBC的 的面积为 419 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面积为 cm2. 15.如图，有两个同样大小的正方形纸片ABCD,EFGH,将正方形纸片EFGH沿着CB方向滑动，CB 和HE始终在同一直线上.连接DH并延长交GF于点M,连接AM,AH.若正方形的边长为4，则 △AHM的面积为 16.如图，在△ABC中∠A=90°，AB=12cm,AC=5cm,过点B作BM⊥AB.动点E从A点出发以 3cm/S的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着E点的运动而运动，始终保持ED=CB.若点E 的运动时间为t秒(t>0),则当以B,E,D为顶点的三角形与△ABC全等时，t的值为秒. M E B > 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) I7.如图，CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D,且BC=CD 519 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D C (I)求证：△ABC≌△ADC: (2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积. 18.如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯EF的长度，工作人员说滑梯EF的长度没有测 量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，AC⊥BF,ED⊥BF,AC=HD=EH=DF,AB=2DH, 滑梯BC的长度为l3m ■ B A D (1)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯EF的长度： (2)两个滑梯BC和EF互相垂直吗，为什么？ 19.【综合与探究】 R 图1 图2 在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,连接AC,BD. (I)【模型呈现】如图1，A,O,D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由： (2)【模型应用】如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点O,若∠AOB=50°，求∠APD的度 数 20.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=12cm,BC=20cm,点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向 点C运动（到点C停止运动），设点P的运动时间为秒： 619 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)BP=_cm:PC=_cm.(用含有t的代数式表示) (2)当t为何值时，△ABP≌aDCP? (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发（到点D停止运动），以xcm/s的速度沿CD向点D运 动，是否存在这样x的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由. 21.综合与实践： E B ① ② ③ (1)【基础巩固】如图①，已知AB与EF相交于点G,∠A=∠B.G是AB的中点，求证： △AEG≌△BFG (2)【深入探究】如图②，在(I)的条件下，过点E,F分别作ED⊥AG于点D,FC⊥BG于点C,若 AD=DE ED=5 cm,CG=2 cm AB 当 时，求的长 (3)【拓展探究】如图③，要测量河流AH的长，因为无法测河流附近的点A,可以在AH外任取一点G, 在AH的延长线上任取一点E,连结EG,HG,并且延长HG到点C,使GC=HG；延长EG到点F,使 GF=EG,连结FC并延长到点B,使B,G.A三点在同一条直线上.若测量出BC=50m,则河流 AH=50m,请说明理由， 22.如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E,点F在边BA的延 长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D,过点E作EH⊥BD于点H. 719 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D (I)求证：AE平分∠CAF: (2)若∠BAC=30°，求∠BEC的度数： 6)若B=6,4C=5,CD=8,且5=12， 求AACD 的面积. 23.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC.D是直线AB上任意一点，连接CD,过点C作 CE⊥CD,且CE=CD,过点E作EF⊥AC,垂足为F,连接BE,分别交AC,CD于点M,N D A M D B 图1 图2 (1)如图1，当点D在线段AB上时，AD与CF相等吗？为什么？ (2)在(1)的条件下，若AB=6,AD=2. ①AM的长度为. ②设△BN 的面积为，四边形1DNM S2S-S2 的面积为，则的值为 (3)如图2，当点D在线段BA的延长线上时，点M是线段BE的中点吗？说明理由. 24.综合探究 【初步探索】 D B 图1 图2 图3 (I)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=9O°，E,F分别是BC,CD上的点，且 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF=BE+FD,探究图1中∠BAE,∠FAD,∠EAP之间的数量关系.小颖同学探究此问题的方法是：延 长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌△AGF,可得出结论， 他的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由. 【拓展延伸】 3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=62°，求∠EAF的度数. 25.阅读以下材料，完成以下两个问题， 【阅读材料】已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA交AE 于点F,DF=AC.求证：AE平分∠BAC, 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示；②考虑倍长AE，如图(2)所示 E G G O 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明。 (2)根据上述材料，完成下列问题： 己知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF; (3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由. 9/9可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章全等三角形能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案■ D A D A A C ⊙ C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.HL 12.2 13.27 14.8 15.8 717 16.3、3、8 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分，第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.(I)证明：CB⊥AB,CD⊥AD, .∠B=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， AC=AC BC=DC, Rt△ABC≌Ri△ADC(HL)3分 (②解：：R△ABC≌Rt△ADC(HL) ..BC=DC=3. ∠B=90°， 1 :SmImC=AB-BC=X4x3=6 2 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SRIADC =SRLABC =6 S四边形ABcD=S,ABC+SADC=6+6=12 ..6分 18 【详解】(I):EH=DF,AB=2DH,则DE=EH+DF=2DH .AB=DE 在△ABC和△DEF中， AB=DE ∠CAB=∠FDE=90° AC=DF ,△ABC≌△DEF(SAS) EF=BC=13m,3分 (2)解：BC⊥EF 理由：延长BC交EF于点M, E M A .·∠EDF=90° .∠DFE+∠DEF=90°， ·△MBC≌aDEF(SAS) .∠B=∠DEF, .∠B+∠DFE=90°， .∠BMF=90°， .EF⊥BM.6分 19. 【详解】(I)AC=BD,理由如下： 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠AOB=∠COD, ∴.∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ,.∠AOC=∠BOD. OA=OB ∠AOC=∠BOD 在 和 中， AOC△BOD OC=OD 、△AOC≌△BOD(SAS) .AC=BD.3分 (②)解：由(1)可得，△10C≌aB0D(SAS) ∴.∠OAC=∠OBD. 在△AOQ和△BPO中，∠BQP=∠AQO,∠OAQ=∠QBP, ∠BPQ=∠AOQ=50° .∠APD=180°-∠BP0=180°-50°=130°.6分 20. 【详解】(1)解：由题意得运动t秒，点P运动2tcm, .BP=2tcm PC=BC-BP=(20-2t)cm ;2分 (2)解：四边形ABCD是长方形， ∠ABP=∠DCP=90°，AB=DC, 要使△ABP≌aDCP,则有BP=CP,即2t=20-2t,解得t=5, 在△ABP和△DCP中， AB=DC ∠ABP=∠DCP BP=CP 9 “当=5时， △ABP≌△DCP(SAS) …4分 (3)解：分以下两种情况： 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当AB=PC=12时，20-2t=12,解得t=4, .BP=8,PC=12. 要使△ABP与△PQC全等，则有BP=CQ=8, x=2=2 t 在△ABP和△PCQ中， AB=PC ∠ABP=∠PCQ BP=CO “当x=2时， △ABP≌△PCQ(SAS) ②当BP=PC时，2t=20-2t,解得t=5, ∴.BP=PC=10 要使△ABP与△POC全等，则有AB=CQ=12, x=c-2.4 t 在△ABP和△QCP中， AB=OC ∠ABP=∠QCP BP=CP “当x=2.4时， △ABP≌△QCP(SAS) 6分 21. 【详解】(1)证明：，G是AB的中点， ∴.AG=BG 在△AEG和△BFG中， ∠A=∠B AG=BG ∠AGE=∠BGF' 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AEG≌△BFG(ASA) :2分 (②)解：在(1)的条件下，AG=BG,△AEG≌△BFG(ASA) SAEG =SABFG ,ED⊥AG,FC⊥BG, aw-号EDAG=5wcr8G， .'DE=CF, ,∠AGE=∠BGF,∠EDG=∠FCG=90°， △EDG≌AFCG(AAS) ..DG=CG, .AD=DE,ED=5 cm,CG=2cm. .'AD=DE=5 cm,DG=CG=2cm, 、AB=2AG=2(AD+DG)=2×(5+2)=14cm 5分 (3)若测量出BC=50m,则河流AH=50m,理由如下： .GC=HG,GF=EG,∠HGE=∠CGF, 、△HGE≌△CGF(SAS) .∠E=∠F,HE=CF, ∠E=∠F,GF=EG,∠AGE=∠BGF, ,△AGE≌△BGF(ASA) .AE=BF, ∴.AE-HE=BF-CF, .BC=AH」 .若测量出BC=50m,则河流AH=50m.8分 22. 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1) 证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M,作EN⊥AC于点N, F M E 平分 D'.BE ∠ABC EM⊥BFEH⊥BD .EM=EH, :CE平分∠ACD,EN⊥AC,EH⊥BD, :EN =EH, :EM=EN, 又：点E在∠CAF的内部， .AE平分∠CAF:3分 (2)解：'∠ACD是△ABC的一个外角，BE为∠ABC的角平分线，CE为∠ACD的角平分线， 2Ec=ABc,∠EcD-4cD, :∠ECD=∠EBC+∠BEC,∠ACD=∠ABC+∠BAC, ∠BEC=∠ECD-∠EBC=∠ACD-∠ABO,∠BAC=∠ACD-∠ABC, 2 ·∠BEC= 2B4C-1 30°=15°.5分 2 (3)解：由(1)已得：EM=EH=EN, 设EM=EH=EN=x, S△HBE=12 1 :2×6r=12, .x=4, .EM EH =EN=4, .S。ACD=SACE+SECD= 4cBv+C0H-5x4+×8x4=-26,…8分 2 23. 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：AD=CF,理由如下： .∠A=90°， .∠ADC+∠ACD=90°： .CE⊥CD, .∠DCE=90°， .∠ACD+∠FCE=90°， .∠ADC=∠FCE: EF⊥AC, .∠EFC=90°=∠A, 又，CE=CD, △ADC≌△FCE(AAS) AD=CF;2分 (2)解：①由(1)得△ADC≌aFCE,CF=AD=2, ..FE=AC: ..AC=AB=6, .'AF=AC-CF=4,FE=AB, EF⊥AC, .∠EFM=∠A=90°， 又，∠AMB=∠FME, ,△AMB≌△FME(AAS) AMFM)Af三2,4分 ②由(2)①得AM=2=AD, 又∠A=∠A,AB=AC, .△ABM≌△ACD(SAS) .SAABM=S△MeD SMABM-S四边形ADNW=S△ACD-S四边形ADNM 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S△BDN=SACMN :93 =(S:+S.cM)-(S2+S.DDN) =SARCM-S△ABM 号*6x46-2)x6x2 =6;6分 (3)解：点M是线段BE的中点，理由如下： ,∠BAC=90°， .∠CAD=180°-∠BAC=90°， ∴.∠ADC+∠ACD=90° ,CE⊥CD, .∠DCE=90°， ∴.∠ACD+∠FCE=90°， .∠ADC=∠FCE, EF⊥AC, .∠EFC=90°=∠A, 又，CE=CD △ADC≌△FCE(AAS) .EF=AC, 又AC=AB .AB=EF, 又：∠BAM=∠EFM=90,∠AMB=∠FME, ,△AMB≌△FME(AAS) .BM=EM, 点M是线段BE的中点.8分 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24. 【详解】(I)解：延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,如图1， :∠B=∠ADC=90°， .∠ADG=90°=∠B, .AB=AD, :△4BE2△ADG(SAS) .∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF BE FD=DG+FD=GF,AF=AF, ,△AEF≌△AGF(SSS) ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF;4分 (2)仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使得DH=BE,如图所示： H D ∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， .∠B=∠ADH, AB=AD, △ABE≌AADH(SAS) ∠BAE=∠DAH,AE=AH. .EF=BE+FD=DH+FD=HF,AF=AF, :.△MEF≌AMHF(SS) ∴.∠EAF=∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF;.8分 (3)解：在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,如图所示： 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴.∠ADC=∠ABE, AB=AD, 、△ADG≌△ABE(SAS) ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, :△MEF≌aAGF(S) .∠FAE=∠FAG. .'∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ,2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° 、2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360° 即2∠FAE+∠DAB=360° ∠FA6=180-<D1B, ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC+∠DAB+∠BCD=360°，∠C=62°， .∠DAB=180°-∠C=118°， 2FE=18wx18=12.-一2分 25」 【详解】(I)方法①：证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E Q 在△DFE和△CGE中， DE=CE ∠DEF=∠CEG EF=EG .∴ADFE≌ACGE(SAS) .DF=CG,∠DFE=∠G, .DF=AC, :.CG=AC, .∠CAG=∠G, :DF∥AB, ∠BAE=∠DFE, .∠BAE=∠CAG, AE平分∠BAC: 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, D E G 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴△ACE≌AGDE(SAS) ∴.AC=DG,∠CAE=∠G, .DF=AC, :.DG=DF, ∠DFG=LG, DF∥AB, .∠DFG=∠BAE, .∠BAE=∠CAE, AE平分∠BAC:4分 (2)如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, 是 边上的中线， D G .AD BC .BD=CD, 在△ACD和△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD ∴△ACD≌AGBD(SAS) .BG=AC,∠ACD=LGBD, .BG∥AC, .∠ABG+∠BAC=180°， AC=AF, .BG=AF, :∠BAE=∠CAF=90°， 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC, :∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=18O°-∠BAC, ∴·∠EAF=∠ABG. 在△AEF和△BAG中， AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG ∴.△AEF≌△BAG(SAS) .∠AEF=∠BAG、 设AD与EF交于点H, .∠BAE=90°， .∠BAG+∠EAH=90°， 又，∠AEF=∠BAG, .∠AEF+∠EAH=90°， .∠AHE=90°， 即AD⊥EF.8分 (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下； 由(2)可知△ACD≌△GBD, S.ACD=S.GBD .0+=+.c0 SAABC=S△MBG 由(2)可知△AEF≌aBAG, S.AEF=S.ABG SAEF=SABC .12分 13/13命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三 角形中，和老师的三角形全等的是() 33 769 b甲33 丙339> 一3°老师 71 A.甲 B.乙 C.丙 D.乙和丙 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答 【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边 的夹角，所以不能判定其全等： 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等： 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙. 2.如图所示，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点B,D,C在同一条直线上，且 AC=BE,AC⊥BE于点F,若AB=6,DE=9,则CD=() A.3 B.6 C.7 D.9 【答案】A 【分析】根据同角的余角相等得出∠A=∠EBD,利用AAS证明△ABC≌aBDE,得出BD=AB,BC=DE 进而求出CD的长 1/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，AC⊥BE, .∠AFB=90°， ∴.∠A+∠ABF=90°， ∠ABC=90°，即∠EBD+∠ABF=90°， ∴∠A=∠EBD, 在△ABC和△BDE中， ∠A=∠EBD ∠ABC=∠BDE=90° AC=BE △ABC≌△BDE(AAS) .'BD=AB=6,BC=DE=9, ∴.CD=BC-BD=9-6=3 3.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一 块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是() ③ ② A.SSS B.AAS C.ASA D.SAS 【答案】C 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角 形的判定依据是ASA, 4.如图，已知∠AOB,以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA,OB于点C,D;以点O为圆 心，大于OC长为半径画弧，分别交边OA,OB于点E,F;连接CF,DE,交点为G,作射线OG.则 下列结论一定正确的是() 2/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F B A,EC=EG B.CF⊥OA C.OG=EG D.∠AOG=∠BOG 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段(OC=OD, OE=OF),进而证明aCOF≌aDOE和△ECG≌aFDG,最终利用SSS证明△OCG≌△ODG,从而得出OG 平分∠AOB的结论 【详解】，由作图可知OC=OD,OE=OF, .CE=DF, 在△COF和△DOE中， OC=OD ∠COF=∠DOE OF=OE ∴aCOF≌aD0E(SAS), ∴.∠OFC=∠OED: 在△ECG和△FDG中， ∠EGC=∠FGD ∠CEG=∠DFG CE=DF ∴aECG≌△FDG(AAS) ..CG=DG: 在△OCG和aODG中， OG=OG OC=OD CG=DG ∴.aOCG≌aODG(SSS) ∴.∠COG=∠D0G. 3136 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AOG=∠BOG, 选项D正确 5.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=30°，∠C=50°，则∠CDE的度数 为() B A.45° B.40° C.55° D.50° 【答案】D 【分析】由题意易得∠BAC=180°-∠ABC-∠C=100°， ∠ABD=∠EBD=∠ABC=15,∠AFB=∠EFB=90°，然后可得△ABF≌AEBF(ASA), △ABD≌△EBD(SAS) 进而根据全等三角形的性质进行求解即可， 【详解】解：，∠ABC=30°，∠C=50°， ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=100°， ,BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD, ZABD=∠EBD=)∠ABC=15,LAFB=∠EFB=909 .∠ADB=180°-∠BAC-∠ABD=65°， BF=BF, △ABF≌AEBF(ASA) .AB=EB, BD=BD, ,△ABD≌△EBD(SAS) .∠EDB=∠ADB=65°， ∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=50° 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,点E,G分别在边AB,AC上，连接DE,DG,过 4/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D作DFL4B于R已知DE=DG,S=24,8m=16,则DEF的面积为() B A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【分析】过点D作DH⊥AC,利用角平分线的性质，证得△ADF≌△ADH和RtDEF≌RtADGH,根据等 量代换进行求解， 【详解】解：如图所示，过点D作DH⊥AC交AC于点H, B ,AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, 、∠FAD=∠HAD,∠AFD=∠AHD=90°， 「∠AFD=∠AHD ∠FAD=∠HAD 在 和 中， △ADF△ADH AD=AD △ADF≌△ADH(AAS) S.ADF =S.ADH AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, ∴DF=DH, DE=DG 在Rt△DEF和RtADHG中，DF=DH, 5/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Rt△DEF≌Rt△DGH(HL) SDEF =S.DHG S.AED=S.ADF-S.DEF =16,S.4DG=S.4DH +S.DGH =24 ÷9am-5.m=16,Sc=5w+Sn=24 解得了gr4 7.如图，在四边形ABCD中，BD是∠ADC的角平分线，F为AD上一点，连接CF,E为CF上一点， BE=BA,且AD=CD+CE,若∠CBD=&,则∠AFC一定等于() A.180°-2a B.20 C.o D.45°+ 【答案】A 【分析】在AD上截取DK=CD,连接BK,证明 CDB≌△KDB(SAS)△ABK≌△EBC(SSS) 从而得出 ∠ABE=∠CBK=2a,利用导角结合三角形外角的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质和多边形内角 和定理即可得出结果。 【详解】解：如图，在AD上截取DK=CD,连接BK, :BD是∠ADC的角平分线， ∴.∠CDB=∠KDB, 6136 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△CDB和△KDB中， CD-KD ∠CDB=∠KDB BD=BD △CDB≌AKDB(SAS) ∴.BC=BK,∠CBD=∠KBD=a, .AD=CD+CE. .CD+CE=DK+CE=DK+AK=AD, .CE=AK. 在△ABK和△EBC中， AB=BE BK=BC AK=CE' :△1BK≌aEBC(SS) ∴.∠ABK=∠EBC, ∠ABE=∠CBK=2a, 设∠CDB=∠KDB=B. .∠AKB=LECB=a+B. 在△BKD中，∠BKD=180°-∠KBD-∠KDB=180°-Q-B, ∴.∠AFC=360°-∠BKD-∠BCE-∠KBC =360°-(180°-a-B)-(au+B)-2a=180°-2a 8.在数学活动课上，小明先以△ABC的顶点C为圆心任意长为半径作弧与AC,BC分别相交于点E,F,再 分别以卫，F为圆心，以大于2EF的长度为半径作弧，两弧在∠ACB内相交于点D,作射线CD, BP⊥CD于点P,连接AP,如图所示.小明探究发现：当AB的长，且BC与AC(BC>AC)的差都确 定时，△ABP 的面积存在最大值，则当AB=12BC-AC=4n 时， Sr的最大值为〈） 7/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B.10 C.12 D.24 【答案】C 【分析】根据尺规作图痕迹可知CD平分∠ACB,延长BP交CA的延长线于点M,证明 △BPC≌aMPC(A,S,A ,可得CB=CM,P为BM中点，进而求出AM的长；根据三角形中线性质可知 San-2Sv,当AB⊥AM时aABM面积最大，从而求解， 【详解】解：由作图可知CD平分∠ACB,延长BP交CA的延长线于点M, B M :CD平分∠ACB,BP⊥CD .∠BCP=∠MCP,∠BPC=∠MPC=90° .CP=CP △BPC≌AMPC(A,S,A) .CB=CM,P为BM的中点， .BC-AC=4, .CM-AC=4,即AM=4, :P为BM的中点， 8136 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.S。AP=)SABM, 2 在△ABM中，AM=4,AB=12, 1 当AB⊥AM时，△4BM的面积最大，最大值为2×4×12=24， ∴S4Bm的最大值为2×24=12 9.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在线段AD上，且DE=2AE,F是AD延长线上一点， BD=DF,连接BE、CF、CE,G是EC的中点，连接BG.则下列结论错误的是() A.CF=BE B.S.ABC=2S.BEC C. SECF =S.BEC D ∠BEC+∠ECF=180° 【答案】B 【分析】根据三角形中线可得BD=DC,再根据全等三角形判定定理及性质可判断A:根据全等三角形性 质可得∠EBC=∠FCB,根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断D:根据三角形面积之间的关 系及全等三角形性质可判断C;根据三角形中线求三角形面积，结合三角形面积公式，即可判断B 【详解】解：：AD是△ABC的中线， .BD=DC, 在△BED和△CFD中， BD=CD ∠BDE=∠CDF ED=DF 9136 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △BED≌△CFD(SAS) .CF=BE,故A正确，不符合题意， ,△BED≌△CFD, ∴.∠EBC=∠FCB」 ∴.∠BEC+∠ECF =∠BEC+∠ECB+∠FCB =∠BEC+∠ECB+∠EBC =180°，故D正确，不符合题意： S.ECF=S.CFD+SEDCS.BEC=S.BED+S.EDC ,△BED≌△CFD, SABED-SACFD S.c=S,c,故C正确，不符合题意： ,AD是△ABC的中线， .S.4BD=S4CD=S.40C, DE =2AE, 2 .DE S.BDE 3 -2s 21。 1 S.BEC=S.BDE+S.CDE= 3 3 S.= ac,故B错误，符合题意」 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，过点 A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列结论：① 10/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 aiBD24CF:②DE=Ef:©若5ue-=15,5ag=6,则Sac=36,e 36:④BD+CE=DF,其中正确的 是() D A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 【答案】C 【分析】由ASA证明△ABD≌△ACF可判断①正确：证明△ADE≌△AFE可判断②正确：由①②结论得到 S.ADE=S.AFE SABD=S.4CF S.ABC=S.ABD+SADE+SEC=SADE+S.4EF+S.CEF ,由 求解可判断③正确；根据 三角形的三边关系可判断④错误， 【详解】解：，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°， ∴.∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠DAC=90°， AF⊥AD, :∠CAF+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAF, CF⊥BC, .∠ACF=∠ACB=∠ABC=45°， 在△ABD和△ACF中， BAD=∠CAF AB=AC ∠ABD=∠ACF' △ABD≌△ACF(ASA) 故①正确： :AD=AF, ∠DAE=45°， .∠BAD+∠EAC=45° 11/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴、∠FAE=∠CAF+∠EAC=∠BAD+∠EAC=45°， .∠DAE=∠FAE, 在△ADE和△AFE中， AD=AF ∠DAE=∠FAE AE=AE △ADE≌△AFE(SAS) ∴DE=EF,故②正确： ,△ABD≌△ACF,△ADE≌△AFE, S.ADE=S.AFE S.ABD =S.ACF BD=CF DE=EF SABC=SABD +SADE +SAEC=SADE +SAFE+SCEF=2SADE+S.CEF S.ADE=15 SACEr=6 S△M4Bc=36 故③正确： ,在△CEF中，CF+CE>EF, ∴BD+CE>DE,故④错误， 综上，正确的是①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，己知∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD,即可证明△ACB≌△BDA,全等的依据是 (用字母表示) D 【答案】HL 【分析】利用HL即可证明△ACB≌△BDA. 【详解】解：∠ACB=∠BDA=90°. 12/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·△ACB和△BDA为直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△BDA中， AC=BD AB=BA △ACB≌ABDA(HL) 则全等的依据是HL. I2.如图，Rt△ABC≌Rt△EBD,点E在线段BC上，AB=4,BD=6,则CE= C E B D 【答案】2 【分析】根据全等三角形的性质得出BC=BD=6,BE=AB=4,即可求出CE=2. 【详解】解：，RtAABC≌RtAEBD,AB=4,BD=6, 、BC=BD=6,BE=AB=4, CE=BC-BE=6-4=2. 13.如图，要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与AB垂直的方向向东走 20米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走20米到D处，在D处沿着与BF垂直的方向再向南 走27米，到达E处，使E与A,C在同一直线上，则可得A,B的距离为米. A 【答案】27 【详解】解：由题意知：BC=DC=20m,∠ACB=∠ECD,∠B=∠CDE=90° 13/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.Rt△ABC≌RtAEDC(ASA) AB=ED=27米. 14.如图， △ABC 的面积 为16cm,P平分∠ABC,过点4作P1BP于点P,连接PC,则△PBC的 面积为 cm2. D B 【答案】 P 【分析】延长AP交BC于点D,根据角平分线的定义和垂直的定义，利用ASA证明△ABP≌aDBP,从而 得到AP=DP,即P为AD的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得△PBC的 面积等于△ABC面积的一半： 【详解】解：延长AP交BC于点D, :BP平分∠ABC, ∴∠ABP=∠DBP, ,AP⊥BP, ∴.∠APB=∠DPB=90 [∠ABP=∠DBP BP=BP 在 和 中， △ABP△DBP ∠APB=∠DPB1 △ABP≌ADBP(ASA) 14/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP=DP, .S.PBD S.AOD S.POD= 1 1 SsPBC=S.PBD+S.PCD 2+ +S.c) 1 S。ABC S.unc =16cm2 .S.PBC 2×16=8cm2 I5.如图，有两个同样大小的正方形纸片ABCD,EFGH,将正方形纸片EFGH沿着CB方向滑动，CB 和HE始终在同一直线上.连接DH并延长交GF于点M,连接AM,AH.若正方形的边长为4，则 △AHM的面积为 M B E 【答案】8 【分析】根据正方形的性质证 △CDH≌aGHM(ASA),得到DH=HM,最后根据等底等高可得 SAAM=S△MD=8 【详解】解：：两个同样大小的正方形纸片ABCD,EFGH,正方形的边长为4， .AD=CD=HG=4,∠C=∠G=∠EHG=∠CHG=90°， :.S-1CD:4D=1x4x4=8 2 2 CD∥GH, .∠CDH=∠GHM, △CDH≌△GHM(ASA) .DH=HM, .∴根据等底等高可得 △MHw=SAAHD=8 16.如图，在△ABC中∠A=90°，AB=12cm,AC=5cm,过点B作BM⊥AB.动点E从A点出发以 15/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3Cm/s的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着E点的运动而运动，始终保持ED=CB.若点E 的运动时间为t秒(t>0),则当以B,E,D为顶点的三角形与△ABC全等时，t的值为 秒 M B 717 【答案】33、8 【分析】分当E在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL证明这两个三角形全等，再结合对应边 相等进行列式计算即可！ 【详解】解：CA⊥AB,BM⊥AB, .∠CAB=∠DBE=90°， ①当E在线段AB上时， 如图：若BE=AC=5, M D N .ED=CB RteDEB≌RtABCA(HL) .AE =3tcm, BE=AB-AE-(12-3)cm 7 ÷12-31=5,解得：1=3： 若BE=AB=12,此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段AB延长线上时， 如图：若BE=AC=5, 16/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B E Rt△DEB≌Rt△BCA(HL） ,AE=3t=AB+BE=12+5=17cm, 人2 38 如图：若BE=AB=12, M D B E .ED=CB. Rt△DEB≌RtACBA(HL) :AE=3t=AB+BE=12+12=24cm, t=8 717 ∴当I=3或3或8秒时，ADEB与ABCA全等。 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) I7.如图，CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D,且BC=CD. 17136 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (I)求证：△ABC≌△ADC: (2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积. 【答案】(I)证明：：CB⊥AB,CD⊥AD, .∠B=∠D=90°， ,在Rt△ABC和Rt△ADC中， (AC=AC BC=DC. Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) (2)12 【分析】(I)根据“HL”证明△ABC≌△ADC即可； (2)根据全等三角形的性质求出BC,求出△ABC和△ADC的面积，即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：Rt△ABC≌Ri△ADC(HL) .'BC=DC=3. ∠B=90°， =14B-BC=x4x3=6 、SaAc=21 21 SRL4DC=SRL4BC=6 S四边形HBCD=SABC+S,ADc=6+6=12 18.如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯EF的长度，工作人员说滑梯EF的长度没有测 18/36 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，AC⊥BF,ED⊥BF,AC=HD=EH=DF,AB=2DH, 滑梯BC的长度为13m H A (I)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯EF的长度： (2)两个滑梯BC和EF互相垂直吗，为什么？ 【答案】(1)13m (2)解：BC⊥EF 理由：延长BC交EF于点M, B D :∠EDF=90°. .∠DFE+∠DEF=90° :△MBC≌aDEF(SAS) ∴.∠B=∠DEF. ∠B+∠DFE=90°， ∠BMF=90°， .EF⊥BM 【分析】(1)证明 △4C≌△DEF(SAS),由全等三角形的性质得出BC=EF: (2)延长BC交EF于点M,由全等三角形的性质得出∠BMF=9O°，则可得出结论. 【详解】(I):EH=DF,AB=2DH,则DE=EH+DF=2DH .'AB=DE 在△ABC和△DEF中， 19/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=DE ∠CAB=∠FDE=90° AC=DF △ABC≌ADEF(SAS) .'EF=BC=13m, (2)略 19.【综合与探究】 图1 图2 在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,连接AC,BD. (I)【模型呈现】如图1，A,O,D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由： (2)【模型应用】如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点O,若∠AOB=50°，求∠APD的度 数 【答案】I)AC=BD,理由如下： :∠AOB=∠COD .∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ,.∠AOC=∠BOD. OA=OB ∠AOC=∠BOD 在 和 中， △AOC△BOD OC=OD △AOC≌ABOD(SAS) ∴AC=BD (2)130° 【分析】(1)利用SAS证明三角形全等，即可得到AC与BD的数量关系： (2)由全等三角形的性质，可得∠OAC=∠OBD,根据三角形的内角和，求出∠BP卫=∠AO0=50°，根 20/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 据平角的定义，即可求出∠APD 【详解】(1)略 △AOC≌△BOD(SAS) (2)解：由(1)可得， ∴.∠OAC=∠OBD. 在△AOQ和△BPQ中，∠BQP=∠AQO,∠OAQ=∠QBP, ∠BPQ=∠AOQ=50° .∠APD=180°-∠BP9=180°-50°=130° 20.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=12cm,BC=20cm,点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向 点C运动（到点C停止运动），设点P的运动时间为秒： D (I)BP=_cm;PC=cm.(用含有t的代数式表示) (2)当t为何值时，△ABP≌aDCP? (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发（到点D停止运动），以xcm/s的速度沿CD向点D运 动，是否存在这样x的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由： 【答案】a)2t.(20-2) (2)t=5 (3)存在，x=2或x=2.4 【分析】(1)利用路程=速度×时间得到BP,再用等量关系求出PC: (2)长方形中∠ABP=∠DCP=90°、AB=DC,依据SAS全等条件令BP=PC列式求出： (3)因为∠ABP=∠DCP=90°，分AB=PC和BP=PC两种全等对应情况分别列方程算出t,再由 CO=xt 求出x 21/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意得运动t秒，点P运动2tcm, ∴.BP=2tcm PC=BC-BP=(20-2t)cm (2)解：四边形ABCD是长方形， .∠ABP=∠DCP=90°，AB=DC, 要使△ABP≌aDCP,则有BP=CP,即2t=20-2t,解得t=5, 在△ABP和△DCP中， AB=DC ∠ABP=∠DCP BP=CP 当f=5时， △ABP≌ADCP(SAS) (3)解：分以下两种情况： ①当AB=PC=12时，20-2t=12,解得t=4, .BP=8,PC=12, 要使△ABP与△POC全等，则有BP=CQ=8, t 在△ABP和△PCQ中， AB=PC ∠ABP=∠PCQ BP=CO “当x=2时， △ABP≌aPCQ(SAS) ②当BP=PC时，2t=20-2t,解得t=5, ∴.BP=PC=10」 要使△ABP与△POC全等，则有AB=CO=12, .x=C2=2.4 t 22/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABP和△QCP中， AB=OC ∠ABP=∠QCP BP=CP 当x=2.4时， △ABP≌△QCP(SAS) 21.综合与实践： H (② ③ (I)【基础巩固】如图①，已知AB与EF相交于点G,∠A=∠B.G是AB的中点，求证： △AEG≌△BFG (2)【深入探究】如图②，在(I)的条件下，过点E,F分别作ED⊥AG于点D,FC⊥BG于点C,若 AD=DE ED=5cm,CG=2cm AB 当 时，求的长 (3)【拓展探究】如图③，要测量河流AH的长，因为无法测河流附近的点A,可以在AH外任取一点G, 在AH的延长线上任取一点E,连结EG,HG,并且延长HG到点C,使GC=HG;延长EG到点F,使 GF=EG,连结FC并延长到点B,使B,G.A三点在同一条直线上.若测量出BC=5Om,则河流 AH=50m,请说明理由， 【答案】(1)证明：：G是AB的中点， .AG=BG 在△AEG和△BFG中， 「LA=∠B AG=BG ∠AGE-∠BGF' 23/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AEG≌△BFG(ASA) 4cm (2) (3)若测量出BC=50m,则河流AH=50m,理由如下： ,GC=HG,GF=EG,∠HGE=∠CGF, △HGE≌△CGF(SAS) ∴.∠E=∠F,HE=CF, ,∠E=∠F,GF=EG,∠AGE=∠BGF, △AGE≌△BGF(ASA) ∴AE=BF, ∴AE-HE=BF-CF, ∴.BC=AH, ∴.若测量出BC=50m,则河流AH=50m. 【分析】(I)利用ASA证明△AEG≌△BFG即可： (2)在(I)的条件下，AG=BG,△AEG≌△BFG(ASA) 得到Sm=S,利用面积相等得到高相 等，即DE=CF,再证明 EDG≌AFCG(AAS) 得到1D=DE=5cmDG=CG=2cm,最后根据 AB=2AG=2(AD+DG) 计算即可 (3)先证明 cEa&05)得E=,E-G,E6aGEe6crs.得到 AE=BF,则AE-HE=BF-CF,即可得到BC=AH. 【详解】(1)略 (2)解：在(1)的条件下，AG=BG.△4EG≌△BFG(ASA) SAEG=SABFG :ED⊥AG,FC⊥BG, 24/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 、.SABG=)ED·AG=SrG=)CF·BG, 2 .DE=CF. :∠AGE=∠BGF,∠EDG=∠FCG=90°， △EDG≌AFCG(AAS) ..DG=CG. AD=DE,ED=5 cm,CG=2cm. .AD=DE=5 cm,DG=CG=2cm AB=2AG=2(AD+DG)=2×(5+2)=14cm (3)略 22.如图，△ABC的外角∠ACD的角平分线CE与内角∠ABC的角平分线BE交于点E,点F在边BA的延 长线上，AE的延长线交边BC的延长线于点D,过点E作EH⊥BD于点H. A (1)求证：AE平分∠CAF: (2)若LBAC=30°，求∠BEC的度数： 6)若MB=6,4C=5,CD=8,且5=2 求4ACD 的面积。 【答案】(1) 证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M,作EN⊥AC于点N, F 平分 B D'.BE ∠ABC EM⊥BFEH⊥BD .EM=EH, 25/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CE平分∠ACD,EN⊥AC,EH⊥BD, .EN=EH :EM=EN, 又：点E在∠CAF的内部， :AE平分∠CAF; (2)15° (3)26 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键. (I)过点E作EM⊥BF于点M,作EN⊥AC于点N,先根据角平分线的性质可得EM=EH, EN=EH,从而可得EM=EV,再根据角平分线的判定即可得证： (②)由BE为∠ABC的角平分线，CE为∠ACD的角半分线，可得∠EBC-∠ABC,∠BCD=)∠ACD. 2 再由∠ECD=∠EBC+∠BEC,∠ACD=∠ABC+∠BAC,可得∠BEC=∠ECD-∠EBC=(∠ACD-∠ABC), 2 ∠BAC=∠ACD-∠ABC,再求解即可： SAABE =12 （3)设EM=EH=EN=x,再根据S 求得“=4，再利用三角形的面积公式可得答案。 【详解】(1)略 (2)解：：∠ACD是△ABC的一个外角，BE为∠ABC的角平分线，CE为∠ACD的角平分线， ∠BC-ABcC,∠EcD=ACD. :LECD=∠EBC+∠BEC,∠ACD=∠ABC+∠BAC, ∠BBC=∠BCD-∠EBC=(2ACD-∠ABC,∠BAC=∠ACD-∠ABC, ∠Bc-B4c-30=15 (3)解：由(1)已得：EM=EH=EN, 设EM=EH=EN=x, S△MBE=12 1 ×6x=12 .2 26/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x=4, .EM=EH =EN=4, Sn=5s+5m4CaN+cD8H-5x4+x8x4=26 2 23.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC.D是直线AB上任意一点，连接CD,过点C作 CE⊥CD,且CE=CD,过点E作EF⊥AC,垂足为F,连接BE,分别交AC,CD于点M,N A ●》 D 图1 图2 (1)如图1，当点D在线段AB上时，AD与CF相等吗？为什么？ (2)在(1)的条件下，若AB=6,AD=2. ①AM的长度为 ②设△BN 的面积为5，四边形4DM的面积为，则S-8的值为 (3)如图2，当点D在线段BA的延长线上时，点M是线段BE的中点吗？说明理由， 【答案】(I)解：AD=CF,理由如下： :∠A=90°， .∠ADC+∠ACD=90°： ,CE⊥CD, .∠DCE=90°， .∠ACD+∠FCE=90°， .∠ADC=∠FCE: .EF⊥AC, ∴∠EFC=90°=∠A, 又，CE=CD, △ADC≌△FCE(AAS) .AD=CF; 27/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①2；②6 (3)解：点M是线段BE的中点，理由如下： 片∠BAC=90°. ∴.∠CAD=180°-∠BAC=90°， ∴.∠ADC+∠ACD=90° ,CE⊥CD, .∠DCE=90°， ∴∠ACD+∠FCE=90°， ∴.∠ADC=∠FCE, EF⊥AC, ∴.∠EFC=90°=∠A, 又，CE=CD, △ADC≌△FCE(AAS) .EF =AC, 又：AC=AB, ∴AB=EF, 又：∠BAM=∠EFM=90°，∠AMB=∠FME. ,△AMB≌△FME(AAS) .BM=EM, ∴.点M是线段BE的中点， ADC≌△FCE(AAS 【分析】(1)证明 ,即可得到AD=CF」 (2)①由全等三角形的性质得到FE=AC,则可得到AF=AC-CF=4,FE=AB,证明△AMB≌△FME 即可得到AM=FM=)AF=2;②证明AABM≌ACD(SAS),得到Sw=SAo则可证明 SN=SacW,进而得 S-S=Sas0v一Sa侧，据此根据三角形的面积公式求解即可： (3)先证明△ADC≌aFCE,得到EF=AC,再证明△AMB≌△FME,即可得到BM=EM. 【详解】(1)略 28/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①由(I)得△ADC≌aFCE,CF=AD=2, ..FE=AC: .AC=AB=6. 、AF=AC-CF=4,FE=AB, ,EF⊥AC, .∠EFM=∠A=90°， 又，∠AMB=∠FME, △AMB≌△FME(AAS) M=M=54P=2, ②由(2)①得AM=2=AD, 又∠A=∠A,AB=AC, ÷△HBM≌ACD(SAS) S△MBM=S△ACD S△ABM-S四边形ADVM=S△ACD一S四边形HDNM SABDN SACMN 9- =(S+S.CMN)-(S2+S.BDN) =SABCM-S△ABM 1 =2×6x6-2)2x6x2 2 =6: (3)略 24.综合探究 【初步探索】 29/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (L)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,探究图1中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.小颖同学探究此问题的方法是：延 长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌aAGF,可得出结论， 他的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由. 【拓展延伸】 (3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=62°，求∠EAF的度数. 【答案】(I)∠EAF=∠BAE+∠FAD (2)仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使得DH=BE,如图所示： :∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∠B=∠ADH, AB=AD, △ABE≌△ADH(SAS) .∠BAE=∠DAH,AE=AH, 30/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..EF=BE+FD=DH+FD=HF,AF=AF, △AEF≌△AHF(SSS) ∴，∠EAF=∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF: (3)121° 【分析】(1)根据题意可进行求解： (2)延长FD到点H,使得DH=BE,由题意易得 1BE≌ADH(S4S）,则有∠BAE=∠DAH,4E=MH △AEF≌△AHF(SSS) 然后可 ,进而问题可求解： (3)在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接1G,由题意易 △ADG≌△ABE(SAS) 则有 4G=E:D4G=∠BE,然后可得aEF24GF(Sy),进而可得<RE=180-号<D4,最后向 题可求解。 【详解】)解：延长FD到点G,使DG=BE,再连接AG,如图1， .∠B=∠ADC=90°， :.∠ADG=90°=∠B」 AB=AD, △ABE≌AADG(SAS) .∠BAE=∠DAG,AE=AG .EF=BE FD=DG+FD=GF,AF=AF, :△AEF≌a4GF(SS) ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+LDAF: (2)略 (3)解：在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,如图所示： 31/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ·∠ADC=∠ABE, AB=AD, :△HDG2 ABE(SAS) AG=AE,∠DAG=∠BAE, ..EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, :△1EF≌aAGF(SS) .∠FAE=∠FAG, .∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ,2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° 2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360° 即2∠FAE+∠DAB=360° FAE=180∠DAB :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC+∠DAB+∠BCD=360°，∠C=62°， .∠DAB=180°-∠C=118°， 4.2F4E=180°3×118°=1210 25.阅读以下材料，完成以下两个问题 【阅读材料】已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA交AE 于点F,DF=AC.求证：AE平分∠BAC. 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示；②考虑倍长AE,如图(2)所示 32/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E G G D 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明. (2)根据上述材料，完成下列问题： 己知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF; (3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由， 【答案】(I)方法①：证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG B D G 在△DFE和aCGE中， DE=CE ∠DEF=∠CEG EF=EG ∴.△DFE≌aCGE(SAS) .DF=CG,∠DFE=∠G, .DF=AC :.CG=AC, .∠CAG=∠G. DF∥AB .∠BAE=∠DFE, ∴.∠BAE=∠CAG 33/36 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AE平分∠BAC: 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, B D G 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE ∴.△ACE≌AGDE(SAS) AC=DG,∠CAE=∠G, ..DF=AC, :DG=DF, .∠DFG=∠G, DF∥AB, ∠DFG=∠BAE, .∠BAE=∠CAE ·.AE平分∠BAC: (②)如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, E 是 边上的中线， B D .AD BC :BD=CD, 34/36 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ACD和△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD ∴.△ACD≌△GBD(SAS) .BG=AC,∠ACD=∠GBD, .BG∥AC, ∠ABG+∠BAC=180°， .AC=AF, :BG=AF, :∠BAE=∠CAF=90°. ∴.∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC, :∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=180°-∠BAC, .∠EAF=∠ABG, 在△AEF和△BAG中， AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG .△AEF≌△BAG(SAS) .∠AEF=∠BAG, 设AD与EF交于点H, ∠BAE=90°， ∴∠BAG+∠EAH=90°， 又∠AEF=∠BAG, ∴.∠AEF+∠EAH=90°， ∴.∠AHE=90°， 即AD⊥EF. (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下； 35/36 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)可知△ACD≌△GBD, S.ACD=S.GBD S.4c=.+.c S.ABG =S.ABD+S.GBD S△MBC=S△ABG 由(2)可知△AEF≌△BAG, SAEF=SABG SABF=S。ABC 【分析】(1)方法O:延长FE至点G,使GE=FE,连接CG,证明 △DFE≌aCGE(SAS ,得到 DF=CG,∠DFE=∠G,再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出∠BAE=∠CAG,即可证明： 方法②：延长E至点G,使GE=AE,连接DG,证明△1CB≌aGDE(SAS), 得到AC-DG ∠CAE=∠G,再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出∠BAE=∠CAG,即可证明： (2)延长4D至点G,使GD=AD,连接BG,证明1CDa,GBD(SAS),得到BG=AC. ∠ACD=∠GBD,进而推出BG=AF,∠EAF=∠ABG,再证明 AEF≌△BAG(SAS) 即可得出 ∠AEF=∠BAG,设AD与EF交于点H,由∠BAE=90°，即可得出∠BAG+∠EAH=90°，等量代换可得 出∠AEF+∠EAH=90°，由三角形内角和定理即可得出∠AHE=90°. 【详解】(1)证明：略： (2)证明：略： (3)解：略： 36/36………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 2．如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，在四边形中，是的角平分线，F为上一点，连接，E为上一点，，且，若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 8．在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．24 9．如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 12．如图，，点在线段上，，，则________． 13．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，则可得A，B的距离为________米． 14．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 15．如图，有两个同样大小的正方形纸片，，将正方形纸片沿着方向滑动，和始终在同一直线上．连接并延长交于点，连接，．若正方形的边长为4，则的面积为______． 16．如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，，，垂足分别为B，D，且． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 18．如图，乐童游乐场有一个两层型滑梯，小辰想知道滑梯的长度，工作人员说滑梯的长度没有测量过，但告诉了小辰以下信息：在该滑梯中，，，，，滑梯的长度为． (1)请你根据工作人员给出的信息，帮小辰求出滑梯的长度； (2)两个滑梯和互相垂直吗，为什么？ 19．【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 20．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），设点的运动时间为秒： (1) ； ．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21．综合与实践： (1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 22．如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，，，且，求的面积． 23．如图，在中，，．D是直线上任意一点，连接，过点C作，且，过点E作，垂足为F，连接，分别交，于点M，N． (1)如图1，当点D在线段上时，与相等吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，若，． ①的长度为________； ②设的面积为，四边形的面积为，则的值为________； (3)如图2，当点D在线段的延长线上时，点M是线段的中点吗？说明理由． 24．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 25．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $