26.4(第3课时)抛物线形问题与二次函数（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦抛物线形问题，分层设计从基础应用到综合拓展，强化二次函数建模与实际问题解决，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A.夯实基础|单一抛物线模型应用（拱桥、隧道基本计算）|选择填空为主，直接应用解析式求宽度、高度，培养几何直观与运算能力| |B.提升能力|综合情境问题（大棚、彩虹桥多条件应用）|解答题为主，需建立坐标系求解参数，发展推理意识与模型观念| |C.拓展培优|复杂实际问题（多抛物线结合、动态问题）|含探究题，如多拱结构设计、最值问题，强化创新意识与应用能力|

26.4(第3课时)抛物线形问题与二次函数（原卷版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 9 C.拓展培优 20 1．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 3．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 4．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 5．如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A．11 B．13 C．22 D．26 7．中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程．如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 9．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）    A． B． C． D． 10．如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为，当水面宽度为时，此时水面与桥拱顶的高度是（    ） A．4m B．2m C．9m D．10m 11．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 12．如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 13．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 14．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 15．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是______米． 16．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是8米，跨度是16米，在线段上距离处6米的地方，桥的高度是___________米． 17．如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 18．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为______． 19．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是米，跨度是米，在线段上离中心处米的地方，桥的高度是______米 20．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，根据以上信息可知主桥拱最高点与其在水中的倒影点之间的距离为__________米． 21．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 22．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      23．如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 24．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 25．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 26．金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏．如图，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A，B，且的水平距离为6米，A，B两点到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米． (1)请求出抛物线的解析式． (2)跳绳者小明的身高为米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方？ 27．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1是某高铁站的一个检票口，其大致示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线（点O与点Q关于抛物线的对称轴对称），，四边形区域为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高，均与垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线上，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式（a为常数，且）． (1)求a的值和抛物线的对称轴； (2)已知闸机与之间的区域为应急通道，闸机与之间的区域为人工检票通道，闸机与之间的区域为自动检票通道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为（即，求自动检票通道的总宽度．（闸机宽度忽略不计） 28．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 29．如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 30．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 31．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 32．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 33．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为，当水面宽时，拱顶离水面．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为（    ）． A． B． C． D． 34．某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：），某学习小组探究之后得出如下结论， AI ①水面宽度为 ②抛物线的解析式为 ③最大水深为 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为16m，当水位上升3m时，水面宽为（   ） A． B． C． D． 36．已知某抛物线形拱桥下的拱顶离水面时，水面宽，那么下列说法中正确的是（    ） A．若以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系，则这条抛物线的解析式是 B．若以水面所在直线为轴，以水面的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则过条批物线的解析式是 C．水面上升后，水面宽为 D．水面下降后，水面宽为 37．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 38．校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆、垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为______． 39．中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立的平面直角坐标系中，抛物线的解析式为且过拱顶（长度单位：），现因举行庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为的地毯，地毯的价格为20元，则购买地毯需___________元． 40．某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为7米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 41．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线、为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确的是______． ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；②直线的解析式为；③点P到杯口的距离为；③点P到点D的距离为． 42．蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为______． 43．鄂尔多斯动物园，是一个集动物观赏、互动体验、科研科普教育于一体的综合性生态旅游度假景区．景区计划修建一座抛物线形拱桥（如图1），按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为_________． 44．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为轴建立平面直角坐标系，池塘的宽，池底最深处距离水平地面，原来的水面宽，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为________． 45．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 46．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 47．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 48．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 49．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 50．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 51．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 52．综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．      素材 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离．    素材 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．    问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． (1)确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； (2)确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； (3)拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标． 53．如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 54．某蔬菜种植基地建造了一批塑料大棚（如图1），其截面（如图2）由矩形和抛物线的一部分构成（点为最高点），，在水平地面上，曲线为大棚外沿，为大棚的加固钢架．以所在的直线为轴、的中点为原点建立平面直角坐标系．已知，大棚最高点到水平地面的距离为． (1)求曲线所在抛物线的表达式． (2)雨季到来，为加固大棚，准备安装三条钢架，，，其中点，在曲线上（点在点右侧且不与点重合），点，在上，且四边形为矩形，求三条钢架的长度之和最多是多少米． (3)在冬季，光照时长不足，为增加光照时间，促进蔬菜光合作用，准备安装一排补光灯用于夜间补光，要求：补光灯安装在距离地面且与地面平行的一条直线上，每相邻个补光灯之间的水平距离相等且不超过，最外侧的2个补光灯安装在曲线C上．则至少需要安装__________个补光灯（参考数据：）． 55．某校在百日誓师仪式上设计了走红毯过拱门（拱门为抛物线形）环节，在升国旗时，身高都为米的仪仗队员也需要走红毯过拱门．负责人在设计队形时利用了数学中的抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后将一根长为米的木棒竖直接触地面并紧贴拱门的内壁，并测得此时米，然后在纸上画出图形，如图，以中点O为原点，所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系． (1)请求出拱门最高点距地面的高度． (2)若仪仗队员平均肩宽为米，头和肩的宽差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排4人，每两人间的距离为米，则按四路纵队行进可以安全通过拱门吗?请说明理由． (3)若在（2）的基础上，将队形设计成每排6人，则每两人间的距离d的范围为多少时，队伍才能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）? 56．【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 57．校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等．如图是某数学兴趣小组设计的一款抛物线形状的校门正面示意图，该校门由抛物线和左右对称的矩形门房、及中间的电动推拉门（完全拉开时，为图中阴影部分，即矩形）构成，点与点都在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称．已知，抛物线的最高点到地面的距离为．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点在轴上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知电动推拉门的高度为（即），求点到抛物线的竖直距离． 58．如图1是一张乒乓球桌，侧面简化结构如图2所示，其下方支架可近似看成一条抛物线的一部分，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离）．以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．抛物线的最高点位于原点处，关于轴对称，且两点之间的距离为． (1)求支架所在抛物线的函数表达式； (2)直线型支架的上端均在台面上，下端均在抛物线上，且两条支架关于轴对称，，已知两点间的距离为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为点，求支架与的总长度（即求）． 59．综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥． 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线． 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转，得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡． 【模型建立】 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为，副拱所在抛物线为，以它们的对称中心为原点建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为轴，即和关于原点中心对称．通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点、间距离为米，则的顶点的坐标为（____），左交点的坐标为（____），抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________； 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于轴对称的副拱和，如图2，和所在抛物线关于点对称，且恰好经过的顶点，请求出左副拱所在抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索，所在直线为，如图3，要求斜拉索和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线至少要与，和各有一个交点，求出的取值范围． 60．某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 61．如图，某户外乒乓球台的下方支撑结构为抛物线型，已知乒乓球台台面为线段，点C是线段的中点，且点C为抛物线的最高点；台面离地高度为米，支撑结构两端A、B间的宽度为米，点O是线段的中点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该乒乓球台下方支撑结构的抛物线函数表达式； (2)为了改善乒乓球台的稳固性，现将以前的支撑连接进行调整，即在抛物线上确定P，Q两点（点P与点Q关于y轴对称），分别过P，Q作垂直于台面的直线，交台面于M，N两点（即为垂直向上的支撑连接杆），延长交x轴于点D，连接，当时，支撑杆的加固效果最佳，求此时乒乓球台台面下两个焊接点M、N之间的距离．（台面的厚度和支撑结构的粗细不计） 62．某城市建设调研小组发现，部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求：公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内．垂直安全间隙要求：车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点B到地面距离为4米，棚顶与立柱交点A到地面距离为2米，A、B两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为x轴，过点A的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，为了让遮阳棚更加稳固，计划在遮阳棚内侧安装两段钢架．其中一段为，然后在棚顶某处取点C，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．直接写出第二段钢架长度的最大值． 63．综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 64．游乐园的卡通拱门是一种兼具美观与实用的装饰结构，它的下方是矩形门框，上方是抛物线造型的装饰顶．如图1，某拱门的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中门框高度，门框宽度，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点（拱门顶部最高点），以点为原点，所在直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点，如图2， (1)求抛物线的解析式； (2)如图3，为了装饰拱门，要安装两个正方形的卡通装饰块，，若，求两个正方形装饰块的间距的长； (3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时拱门截面的阴影为，求的长． 设直线的解析式为， ， 65．实践与探究 为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题． 【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式． 【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点，交抛物线对称轴于点，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图3，为直线上方抛物线上一动点，过作垂直于轴，交轴于，交直线于，过点作垂直于直线，交直线于，求的最大值； ②如图4，为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点在坐标平面内．问：是否存在以、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.4(第3课时)抛物线形问题与二次函数（解析版） 目录 A.夯实基础 B提升能力. C拓展培优. ·5 夯基础 1.如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m,当水面宽4m时，拱顶离水面 2m.有下列结论： ①该抛物线的解析式为：y=-2.45x2: ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m: ③当水面下降2m时，水面宽度增加了(4W2-4)m. 其中，正确结论的个数为() VA A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式：因此此题可根据题意得出二 次函数关系式，进而问题可求解 【详解】解：设抛物线的解析式为y=2, 由水面宽4m时，拱顶离水面2m,可知点(2，-2)在函数图象上， 将(2，-2)代入y=r2中，得-2=a22, 1 解得a=一2， 故抛物线的解析式为y=一 2 故①错误： 1178 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当水面宽度为5m时，即x= 2把x 2代入y=2得： 5 y=- 1.2525 2 24 8 -3.125 原来水面宽4m时y=-2,则水面下降的高度为l-3.125-(-2)H-1.1251.125m, 所以②正确 当水面下降2m时，甲y4把y=4代入y=弓利： 4=,则F:8:解得2万·此时水面宽度为2x2万=N2m 原来水面宽4m,水面宽度增加了(4V2-4)m, 所以③正确 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C. 2.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m,那么水位上涨lm时，水面的 宽度为()m 2m 4m A.2W2 B.√2 c.6-2 D.26-2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关 键 结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将-1代入解析式求 得相应的x的值，进而求得答案 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： 2m 4m 2178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、设抛物线解析式为：y=a2, ·观察图形可知抛物线经过点B(2,-2), .-2=a22, 1 a=2, ∴抛物线解析式为：y= . 2 六当水位上涨1m时，即当y=-2+1=-1时，有2=-1， x=2,x2=-2, ∴.水面的宽度为：2√2m. 故选：A 3.坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一，按如图所示建立平 面直角华标系，行物线的表达武为=G之，正布水位时木面变AB为16m:当水位上开3加时，术 面CD的宽为() VA C A.12m B.10m C.8m D.6m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽AB=16米，求出当x=8时求得y=4 再根据水位上升3米时y=,代入解析式求出x即可解答. 【详解】解：，AB=16米， 当g时，y=6 ×82=-4. 当水位上升3m时，y=-4+3=-1」 起)=代入=衣得：后子，解得：4 此时水面宽CD=8米. 故选：C 3178 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 4.如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线y=一 2+8(单位：米)，施工队计划在大棚正中 2 搭建一个矩形脚手架DEFG,已知DE:EF=3:2,则脚手架高DE为() A EO F B A.7米 B.6米 C.5米 D.4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键.设DE=3m,然 后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m,从而可得到DE的值. 【详解】解：·DE:EF=3:2,矩形脚手架DEFG在大棚正中， ∴设DE=3m,EF=2m,则EO=m, ∴.D点坐标为(-m,3m) 1 将(-m,3m)代入y=- x2+8. 得3m=-mj+8, 解得m=2或m=-8(舍)， ∴.DE=3×2=6, 故选：B。 5.如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽AB=30 米，当水位上升5米时，则水面宽CD=20米，则函数表达式为() 图1 图2 1 A.y=- 8.y=25 c.y D.y= 【答案】B 4178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为y=(a≠0) 然后得出B(15,P),D(0,p+5),再代入y=r(a≠0)进行列式计算，即可作答. 【详解】解：设函数表达式为y=a心(a≠0)， AB=30 设点B(15,p) 当水位上升5米时，则水面宽CD=20米 .D(10,p+5) 把B(15,P),D(10,p+5)分别代入y=a2(a≠0) p+5=100a 得出 p=225a 1 a=- 解得 25 p=-9 25, 1 ∴函数表达式为y= 故选：B 6.“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡， 一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水 面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为 y=- 品x一+则主将损最高点P与共在水中影p之间同的距离为《)米。 A 22x P A.11 B.13 C.22 D.26 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质.由OA=22知道抛物线经过点A(22,0),进而求出k的值，最 高点P与其在水中倒影P'之间的距离即为2k 【详解】解：由题意知0A=22,抛物线经过点A(22,0),代入解析式中： 5178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12(2-1+k, 得到：0= 13 解得k=13, .抛物线的顶点坐标为P(11,13). P'(1,-13), ∴.主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为2×13=26米， 故选：D 7.中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河， 也是全国单洞里程最长的隧道工程.如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图， 线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立 平面直角坐标系.经测量OA=12m,抛物线的顶点P到OA的距离为5m,则抛物线的函数表达式为 () y/m A x/m 图1 图2 A.y=+6B.y=6-6cy=x+6+50.y=x-6+5 【答案】D 【分析】根据题意得出A(12,0),P(6,5),设抛物线的表达式为y=(x-h)'+k,把P(6,5)代入得 y=a(x-6)+5,再把A(12,0)代入求出a的值，即可得出抛物线表达式.本题主要考查了求抛物线的表 达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式 【详解】解：：OA=12m,抛物线的顶点P到OA的距离为5m, .A12,0),P(6,5). 设抛物线的表达式为y=a(x-h)+k, 把P(6,5)代入得：y=a(x-6)+5, 把A(12,0)代入得：0=a(12-6)+5, 解得：a三6、 6178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 桃物线表达式为y=名-0+5， 故选：D 8.如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为 x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.若OA=10m,抛物线的顶点P到OA的距 离为9m,则抛物线对应的函数表达式为() Ay/m A.( ®y列+9 C.y=25(x+5y+9 。y8-或+9 【答案】D 【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，根据题意得出A(10,0),P(5,9),设抛物线的表达式为 y=a(x-h)+k,把P(5,9)代入得y=a(x-5+9,再把A(0,0)代入求出a的值，即可得出抛物线表达 式.解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式. 【详解】解：，OA=1Om,抛物线的顶点P到OA的距离为m, A(10,0),P(5,9). 设抛物线的表达式为y=a(x-h)+k, 把P(5,9)代入得：y=a(x-5+9, 把A(10,0)代入得：0=a(10-5)+9, 解得：a=一 25 :抛物线表达式为y=名x-矿+9， 故选：D 9.如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,当水面宽增加(2V7-4)m时，则水面应 下降的高度是() 7178 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2m 水面 4m A.Im B.1.5m C.7m p.(V万-2)m 【答案】B 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系 求解是解题的关键. 以拱形桥顶为坐标原点，建立直角坐标系，利用待定系数法可求抛物线解析式，代入解析式解方程即可。 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系， yA 2m 水面 4m 则点4(2，-2)， 设函数表达式为：y=am2, 把点A(2,-2)代入y=a2得：-2=ax22, 1 解得：a=一2 则抛物线的表达式为：y=一)， 2 设水位下降到B点时，水面宽增加(2√7-4)m, 则点B(7,y): 当x万=列=7= 则水面应下降的高度是：厂2 -2=1.5m 故选：B 8178 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为y=一5x 20m时，此时水面与桥拱顶的高度D0是() A.4m B 2m C.9m D.10m 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意，把x=10直接代入解析式即可解答.掌握二次函数 的对称性是解决问题的关键 【详解】解：根据题意B的横坐标为10， 将x=10代入y=一 5得y=-4 .B(10,-4). 即水面与桥拱顶的高度D0等于4m. 故选：A 11.如图，一辆宽为2m的货车要通过跨度为l0m,拱高为5m的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物 1 线满足表达式y=- +5,为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.8m的距离，则货车的限高应 是 m O 5 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键.根据题意，先将x=1代入，求 得y=4.8,然后结合车顶离隧道的顶部至少要有0.8m的距离，即可求得答案. 【译解1解：白题宽可知，当x-1时。y=1+5=48 ,为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.8m的距离， .货车的限高应是4.8-0.8=4(m) 9178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：4。 12.如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形.建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 y=- ,当水面B离桥拱顶点0的高度OD为4m时，水面的宽度AB 25 m 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键.根据题意可得 B的纵坐标为4，把y=一4代入解析式确定A、B的坐标，进而求得AB的长即可解答 【详解】解：根据题意B的纵坐标为4， 12 把y=一4代入y= 解得x=±10， .A(-10,-4),B(10,-4) .AB=20m, 即水面宽度AB为20m. 故答案为：20 13.如图，一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m、拱高为4m的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线 满足表达式y=-4x+4,为了保证安全，车顶离隧道的项部至少要有0.6m的距离，则货车的限高应是 4 【答案】3.15 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键.根据题意，先将x=1代入，求 得y=3.75,然后结合车顶离隧道的顶部至少要有0.6m的距离，即可求得答案】 【详解】解：由题意可知，当x=1时，y=4×1+4=3.75 10/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.6m的距离， ∴货车的限高应是3.75-0.6=3.15(m), 故答案为：3.15 14.某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为 1 y=- 6,正常水位时，水面宽AB为16m'此时拱顶O到水面4B的距离为 16 m /m4 x/m 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键 根把想意可得：把8代入和=。，进行计第，即可求解 【详解】解：水面宽一个B为l6m, B的横坐标为8， 把x8代入y=6, 得：y=1 ×82=-4, 16 B(8,4), ∴此时拱项或到水面一个B的距离为4m, 故答案为：4. 15.如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体， 最大程度地传承了中国的历史文化.“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度AB为80米， 离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为40米，则“门”的内侧的高度MW的大小是米， M 150m B Y ←-80mW 图1 图2 11/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】200 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合建立直角坐标系、熟练掌握待定系数法是解 题的关键.以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用 待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再求出x=0时的y值，从而可得MN的长， 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 如图： D 150m AK-80mW末 图2 .A(-40,0),B(40,0),C(-20,150),D(20,150) 设内侧抛物线的解析式为y=a(xr+40)(x-40), 将D(20,150)代入，得：150=(20+40)×(20-40)a, 解得：a三及 内侧抛物线的解析式为y=-。￥+200. 8 当x=0时，y=200, ∴.MW=200米， 故答案为：200 16.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度OC是8米，跨度AB是16米，在线段AB上距离B处6米的 地方，桥的高度是 米 5 【答案】2 12/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线 解析式.先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将x=0代入解析式求出相应的y 的值即可. 【详解】解：建立平面直角坐标系，如右图所示， 由题意可得，点C的坐标为(8,8)，点A的坐标为(0,0)， 设抛物线的解析式为y=a(x-8)+8, 点A(0,0)在该抛物线上， ∴.0=a(0-8)2+8. 1 解得：a=- 8 “抛物线的解析式为y= 86x-82+8 将x=16-6=10代入y=8-8+8.得：y=专00-8+8= 2 15 即线段4B上距离B处6米的地方，桥的高度是2米， 15 故答案为： 2 17.如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面AB宽为20m,拱桥的最高点O到水面AB的距离为4m。 如果此时水位上升3m就达到警戒水位CD,那么CD宽为一， 【答案】10m 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键。 以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作'轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析 武为卫=a2,由此可得4一10,4，B0,4)即可求函数解折武为y=5,再将y-代入解析式，苏 出C、D点的横坐标即可求CD的长 13/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作Y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y=a2, ,O点到水面AB的距离为4m, ∴A、B点的纵坐标为4， ,水面AB宽为20m, ∴.A(-10,-4),B10,-4) 将点A代入y=x2, -4=100a, 1 .a=25' ∴y=- :水位上升3m就达到警戒水位CD, ∴C点的纵坐标为-1， .-1= ∴.x=t5, ∴.CD=10m, 故答案为：10m. 18.如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为 x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.若OA=12m,抛物线的顶点P到OA的 距离为9m,则抛物线对应的函数表达式为 Ay/m A 【答案】y=-。x2+3x 4 14/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由题意得，抛物线顶点坐标为(6,9)，设抛物线对应的 函数表达式为y=a(x-6矿+9，且过(0,0)，然后代入求出a的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题 的关键。 【详解】解：由题意得，抛物线顶点坐标为(6，)， 设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-6)+9,且过(0,0)， 六36a+9=0解得：a=- 4 :抛物线对位的函数表达式为y=x-0+9=子 2+3x, 1 故答案为：y=-x2+3x 19.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度CM是4米，跨度AB是8米，在线段AB上离中心M处1米 的地方，桥的高度是 米 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的坐标系，求出相应的抛物线 解析式。先建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将x=5代入解析式求出相应的y的 值即可 【详解】解：建立平面直角坐标系，如右图所示， B M 由题意可得，点C的坐标为(44)，点A的坐标为(0,0)， 设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4, 点A(0,0)在该抛物线上， 0=a(0-4)2+4 15/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 解得：a= 4 抛物线的解析式为y=-4+4, 将x=5代入y=一4红-4+4，得：y=6-4+4= 4 15 即在线段4B上离中心M处，米的地方，桥的高度是4米， 15 故答案为：4： 20.某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA为20米，若按如图所示方式建立平面直角 坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y=一 。x+c,根据以上信息可知主桥拱最高点p与其在水中 的倒影点P'之间的距离为 米 P '20x 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度0A约为20米，则A(20,0),且主桥拱所在 龙物线可以表示为y=。+:,代入计算即可求解6的值，将解析式化简为顶点式。根据顶点坐标，对 称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为y=一 x+bx,桥拱在水面的跨度0A约为20米，则A(20,0): 10 1 :10 ×202+20b=0 解得，b=2, :y= 0+2x=x-10+10, :.P(10,10) ∴倒影点P的坐标为(10，-10)， 16/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “主桥拱最高点P与其在水中倒影点P之间的距离为10-(10)=20（米）， 故答案为：20 21.某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线， 其中OA是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，AB是保温墙，AB⊥OA,已知塑料顶 棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米，以OA所在直线为x轴，以过点O且垂直于 OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 6 图1 图2 (1)求该抛物线的函数解析式： 8 2)若保温墙的高度4B为3米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙AB到点O的水平距离 (即OA的长). 【答案】(1)y=- 2x-62+3 (2)保温墙AB到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键. (1)根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为y=(x-6)+3,代入求解即可： 8 (2)将y=3代入解析式，求出x的值即可. 【详解】(1)解：由题可得，顶点(6,3)， 设抛物线的函数解析式为y=a(x-6)+3, :点O(0,0)在抛物线上， .36a+3=0, 1 解得a=- 12 ∴该物线的函数解折式为y少=2x-6+3, 2)当8时，b-6+3 Γ3 解得=4，x2=8, 17/78 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， x=8 答：保温墙AB到点O的水平距离为8米 22.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,水面上升1.5m,求水面宽度。 4m 【答案】此时水面的宽度为2m 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键， 学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型，根据己知建立平面 直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=0.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答 案。 【详解】解：由题意，建立如图所示平面直角坐标系， 2m 4m 设抛物线的解析式为y=ax 由题意可知，点(2，-2)在此抛物线上， 则-2=a×22, 1 解得a=- 2 ∴y= 2 当水面上升15m时，y=-05:则：22=-05， 解得x=±1， 此时水面的宽度为1-（-1)=2m 答：此时水面的宽度为2m 18/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.如图是抛物线形的拱桥，水面AB=4米，拱顶C离水面2米. (1)求抛物线的解析式. (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 【答案】(1)y=- r*2 2)水面宽度为2√6米 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键熟练运用二次函数解 决实际问题 (1)先求出A,B,C三点坐标，然后利用待定系数法求解即可： (2)求出y=-1时，x的坐标，进而可求解 【详解】(1)解：AB=4米，OC=2米， ·A点的坐标为：（-2,0)，B点坐标为：(2,0)，C点坐标为：(0,2)， 设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-2(a≠0)，将C点坐标(0,2)代入得到2=a(0+2)(0-2), 1 解得：a=一2 故所求的抛物线的解析式为y=+2x-2).即y=+2。 (2)解：，水面下降1米， 当y=-1时，2+2=-1， 解得x=V6,x2=-V6】 “此时水面的宽度为：V6-(6)=26米。 24.如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m.若以通过拱顶点O的水平直线为x轴， 过点O的竖直直线为'轴建立平面直角坐标系. 19/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3m 4m (1)求出该抛物线的解析式。 (2)若水面下降1m,则此时水面宽度为多少m.(结果允许保留根号的形式) 【答案1y=-3x 4 &6 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键。 (1)设抛物线的解析式为y=x,将x=2,y=-3代入解析式，求出a的值，得到抛物线解析式即可： (②)当水面下降m·即y=4时，列方程为=-4，求出x的值从而求出花时木面宽度即可。 【详解】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系， 3m 4m 设抛物线的解析式为y=ax2, 将x=2,y=-3代入，y=a2, 得2a=-3, 3 解得a= 49 因此，该抛物线的解折式为y=一子， 4 2)解：由(1)知：y=-x, 当水面下降lm,即y=-4时， =4 20/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得5成5， 此时水面宽度为2× 43_83 3 3m, 8v3 答：此时水面宽度为3m. 25.如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型.工作人员利用无人机经过 多次测量，测得桥拱的最高点A到水面NC的距离为1Om,距离左、右侧桥墩(MN,BC)的水平距离均为 15m,已知桥墩露出水面的高度BC=MN=lm,以NC所在直线为x轴，垂直于NC且过最高点A的直线 为y轴建立平面直角坐标系。 E N (1)求该抛物线的函数表达式： (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带EF,ED,FG(灯带利用卡扣固定)，使得 灯带EF与水面平行， ED=FG,且DE,FG均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D,G距水面的距 离为1.5m,当灯带总长度(DE+EF+FG)最大时，求EF的长. 【答案】(1)y=-0.04x2+10 (2)25m 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键， (1)根据题意，设该抛物线的函数表达式为y=m2+10,再把把B(15,)代入y=a2+10,进行计算，即 可作答 (2)先设F(b,0.04b2+10),再分别表示DE,EF,FG,则灯带总长度=-0.08b2+2b+17,再结合二次函 数的性质进行分析，即可作答. 【详解】(1)解：依题意，A(0,10) 故设该抛物线的函数表达式为y=ax2+10 :距离左、右侧桥墩(MN,BC)的水平距离均为l5m,己知桥墩露出水面的高度BC=MN=lm, 即B(15,), 21/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把B(15,1)代入y=2+10,得1=ax152+10, 解得a=0.04, ∴该抛物线的函数表达式为y=0.04x2+10 (2)解：该抛物线的函数表达式为y=-0.04x2+10, ∴设F(b,0.0462+10） 则EF=2b :灯带EF与水面平行，ED=FG,且DE,FG均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D,G距水面的 距离为l.5m .ED=FG=-0.04b2+10-1.5=0.04b2+8.5, ∴灯带总长度=ED+FG+EF=2×(-0.0462+8.5)+2b=-0.08b2+2b+17, 0.08<0 当b= 2×(-0.08) =12.5时，灯带总长度有最大值， 即2b=2×12.5=25, 故EF的长为25m 26.金溪县实验中学开展“阳光体育”活动，学生们在操场玩跳长绳游戏.如图，在跳长绳的过程中，绳 甩到最高处时的形状是抛物线型，以O为原点建立平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴上的点D 处)，正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为点A,B,且AB的水平距离为6米，A,B两点到地面 的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米. D (1)请求出抛物线的解析式。 (2)跳绳者小明的身高为1.7米，当绳子甩到最高处时，小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上 方？ 【答案】(1)y=0.1(x-3)2+1.8 (2)2米或4米 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达 式是解答本题的关键。 22/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据题意，假设出来抛物线的顶点解析式，然后利用待定系数法即可求解： (2)利用函数值，求自变量的值即可. 【详解】(1)解：由题意设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+1.8, 将点A(0,0.9)代入y=a(x-3)2+1.8中，得a=0.1, ∴.该抛物线的解析式是y=-0.1(x-3)2+1.8. (2)解：将y=1.7代入y=-0.1(x-3)2+1.8, 解得x=2,2=4, ∴小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方 27.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图1是某高铁站的一个检票口，其大致 示意图如图2所示，检票口大门可看成是抛物线OP2(点O与点Q关于抛物线的对称轴对称)，O0=8m 四边形ACDB区战为检票区域，点A与点B在抛物线上，已知检票闸机高AC=EF=HN=BD=三m, 4 AC、EF、HN、BD均与OQ垂直，A、E、H、B在一条水平直线上，O、C、F、N、D、Q在一条水平直线 上，以OQ所在直线为x轴，过点O且垂直于OQ的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线OPQ满足关 系式y=r+3x(a为常数，且a≠0)： y/m A 6 自动检票 OC F N DO x/m 图1 图2 (1)求a的值和抛物线的对称轴： (2)已知闸机AC与EF之间的区域为应急通道，闸机EF与HN之间的区域为人工检票通道，闸机HN与 5 B0之何的区域为自动检票道，若应急通道和人工检票通道的宽度均为m(即4B=Hm,求自动 检票通道的总宽度BH,(闸机宽度忽略不计) 【答案】()a=-3,x=4 9 (2)2m 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键. (1)根据题意可得(8,0)，再利用待定系数法求出函数解析式即可求出α的值，再根据对称轴计算公式 23/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求出对称轴即可： (2)求出当y= 4时的函数值，即可得到A和B的坐标，进而求出AB的长即可得到答案. 【详解】(1)解：根据题意可得Q(8,0), 把e80)代入到y=a2+中得6a+×8=0,解得a=号 8 3 3 ∴抛物线的函数关系式为y=一 P ·抛物线的对称轴为直线x= 3 =4 ×2 3 (2)解：令y= 4得+8 1 3 4:解得5=2，与=5 2 :点4的坐标为引点8的标为引】 AB=151 22 7(m) 5 AE =EH=m. 4 BH=7-559 2=(m), 442 9 即自动检票通道的总宽度BH为2m。 28.乡村振兴关键在产业.近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等， 让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收.如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看 作抛物线AED,下半部分可看作矩形AOCD,以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角 坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面OC的距离为7米，A0=CD=3米，棚宽OC=12米. 图1 图2 (1)求抛物线AED的函数表达式： (2)为了加固棚顶，现需在AD上方的抛物线部分加装一根横梁P9(点P、Q均在抛物线上)，且P№∥AD 24/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19 若横梁Pg与地面OC的距离是4米，则横梁P四的长度是多少米？ 【答案】(1)y=- 3 (2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，己知函数值求自变量， 对于(1)，根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为y=(x-6+7, 再将点A0,3)代入函数表达式可得答案： 19 对于(2)，令y=4,求出x的值，即可得出答案。 【详解】(1)解：，四边形AOCD是矩形，AO=CD=3米， ÷点40,3)4D=0C=12(米). 根据题意得，顶点E的坐标为(6，) ∴.可设抛物线的函数表达式为：y=a(x-6)+7, 把点A(0,3)代入函数表达式可得36a+7=3, 1 解得：a=一 9 、抛物线的函数表达式为：y=一gx-6+7=)x2+4小 +3+3: 19 (2)解：由题意知，点P的纵坐标为4， 19.191 当y= 4时，4=g6x-62+7, 解得x=1.5,x2=10.5, ∴.10.5-1.5=9 ∴横梁PQ的长度是9米。 29.如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部AB宽为4m,顶部C距地面的高度为4.4m C 4.4m A 4m B 25/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式： (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65m，装货宽度为2.4m,那么这辆汽车能否顺利 通过大门？ 【答案】(1)y=-1.1x2+4.4 (2)这辆汽车能够通过大门 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象 的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键. (1)先过AB的中点作AB的垂直平分线建立直角坐标系，得出点A、B、C的坐标，用待定系数法即可 求出过此三点的抛物线解析式 (2)根据题意，判断点(-1.2,2.65)或点(1.2,2.65)与抛物线的关系即可. 【详解】(1)解：如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系.点A,B,C的坐标 分别为A(-2,0),B(2,0),C(0,4.4) 4.4m 4m>B 设抛物线的表达式为y=a(x-2)(x+2)」 将点C(0,4.4)代入得 a(0-2)(0+2)=4.4,解得a=-1.1, .y=-1.1(x-2(x+2）=-1.1x2+4.4 故此抛物线的表达式为y=-1.1x2+4.4: (2)货物顶点距地面2.8m,装货宽度为2.4m, :只要判断点(-1.2,2.8)或点(1.2,2.8)与抛物线的位置关系即可. 将x=1.2代入抛物线，得y=2.816>2.65, 点（-1.2,2.8)和点(1.2,2.8)都在抛物线内. 26/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴这辆汽车能够通过大门。 30.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线的一部分， 以点A为坐标原点建立平面直角坐标系. 4m 0(40-12m→B不衣 (1)求抛物线的解析式： (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面AB高出3m,当船的宽度小于多少米时，船能 安全穿过桥洞.（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与AB平行） 【答案】(1)y=-gx-6°+4 (2)6米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是： (1)根据待定系数法求解即可： (2)把y=3代入(1)中解析式，求出x的值即可求解. 【详解】(1)解：根据题意，得抛物线的顶点为(6,4)， 设抛物线的解析式为y=a(x-6)+4, 把(0,0)代入，得36a+4=0, 解得a=-1 9 二抛物线的解析式为y=,x-6+4 (2)解：当y=3时，-6+4=3， 解得x=3,x2=9 ∴当船的宽度小于9-3=6米时，船能安全穿过桥洞。 B 提能力 16 31.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y= 式，当水面离桥顶的高度为m时，水面 的宽度为()米 27/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.7 B.8 c.9 D.10 【答案】B 【分析】本题考查三次函数的应用，求出抛物线当y=一，时，的值即可得解， 【年1每报金当时得：5 1 3 解得：x=4或x=4】 ∴水面宽度为：4-（4)=8（米）. 故选：B 32.如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷.在抛物线上取四点A、B、C、D,且线段AB,CD都与 地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m,AB=2m,CD=4m,则点B到CD的距离为() A.Im B.1.2m c.1.8m D.2.4m 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线形的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键； 如图建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入D的横坐标即可. 【详解】解：如图建立坐标系： ,抛物线最高点P到AB的距离为0.6m,AB=2m,CD=4m, .P(0,0.6,B(1,0), 设y=ax2+0.6 将B(1,0)代入得， 0=a+0.6 28/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a=0.6 即：y=-0.6x2+0.6 当x-2D=2时 y=-0.6×22+0.6=-1.8 即点B到CD的距离为：1.8m 故选：C. 33.如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m,当水面宽4m时，拱顶离水面 2m.有下列结论： ①该抛物线的解析式为：y=-2.45x2: ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m: ③当水面下降2m时，水面宽度增加了(4W2-4)m 其中，正确结论的个数为（). A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件求出二次函数的表达式，并结合实际情况判断 各结论即可。 【详解】解：根据函数图象，设抛物线的表达式为y=2, 由水面宽4m时，拱顶离水面2m,可知点(2，-2)在函数图象上， 将(2，-2)代入y=a2中，得-2=a22, 1 解得a=- 2 29/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线的表达式为y= ,故①错误； ,拱桥的跨度为4.9m, 1 :抛物线y=-2x中x的取值范围为：-2.45≤x≤2.45： 2 当水面宽度为5m时，即x=+2.5,不在抛物线中x的取值范围内，且当水面宽度为5m时，大于拱桥的跨 度4.9m,已超出拱桥的实际范围，无实际意义，故②错误： 当水面下降2m时，即y=-4, 把)=4代入=号式得：4= 解得x=±2W2≈±2.828，此时水面宽度为2×2√2=4W2m≈5.656m, ,5.656m大于拱桥的跨度4.9m,且x≈+2.828不在抛物线中x的取值范围内， ∴.当水面下降2m时，已超出拱桥的实际范围，无实际意义，故③错误. 综上，正确结论共0个 34.某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数 据（单位：m),某学习小组探究之后得出如下结论， -15-12 1215 A B x ①水面宽度为30m ②抛物线的解析式为y= r5 ③最大水深为3.2m 1 ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的 其中正确结论的个数为（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以判断①：设出池底所在抛物线的解析式为y=心2-5 再把(15,0)代入解析式求出a即可判断②：把x=12代入解析式求出y=-1.8,再用5-1.8即可判断③：把 x=6代入解析式即可判断④ 【详解】解：①观察图形可知，CD=24m, 30/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即水面宽度为24m, 故①错误： ②设池底所在抛物线的解析式为y=心x2-5, 1 将(15,0)代入，可得a= 45 1 故抛物线的解析式为少=55， 故②错误： 1 ③，y= -5, 六当x=12时，y=-1.8 ∴.最大水深为5-1.8=3.2(m). 故③正确： ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12m时， 将g=6代入y名-5，得，4 可知此时最深处到水面的距离为5-4.2=0.8(m), 即为原来的4， 故④错误. 故选：A 35.坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一.按如图所示建立平 面直角坐标系，得到抛物线解折式为y=。×,正常水位时水属害B为16m,当水位上开3m时，水面 16 宽CD为() VA C D A.4m B.8m C.10m D.12m 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽AB=16米，求出当x=8时求得y=一4 31/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 再根据水位上升3米时y=」，代入解析式求出x即可解答。 【详解】解：：AB=16米， 当x=8时，y=2×82=4, 161 当水位上升3m时，y=-4+3=-1 把y=-代入y=16 此时水面宽CD=8米 故选B 36.已知某抛物线形拱桥下的拱顶离水面2m时，水面宽4m,那么下列说法中正确的是（) A.若以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为'轴建立直角坐标系，则这条抛物线的解析式是 B.若以水面所在直线为x轴，以水面的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则过条批物线的解析式是 y-2 C.水面上升1m后，水面宽为2W2m D.水面下降2m后，水面宽为4v3m 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，用等定系数法求出函数的解析式，然后分析即可求解解题的关键是 将实际问题转化为二次函数的问题求解. 【详解】解：如图，建立直角坐标系， y个 -2-y 设拱桥的抛物线解析式为y=a2(a≠0)， ,拱顶离水面2m时，水面宽4m, “图中点坐标为(-2,2)，代入得： 4a=-2. 解得a= 2 32/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线的解析式为y= 一2，故选项不符合愿意： B、,以水面所在直线为x轴，以水面的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，水面宽4m, 之物线过点(20叭：代入=写+2中， （2+2≠0，故选项不符合题意 C、水面上升1m后，即当y=时，弓=-山， 解得x=V2,x=-V2 “水面宽为x一为=2W2,故选项符合题意： 0、水面下降2m后，即当y=-4时，=4， 解得x=2V2,:=-22. “水面宽为x-为=4W2,故选项不符合题意： 故选：C 37.某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点O为原点，AB所在直线为x 轴，过点O且垂直于AB的直线为Y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M.己知AB=6m, 现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD,通风管CD的长度为3m,则拱架最高点M距 底部AB的高度为 m M B 图1 图2 【答案】4 【分析】由题意得D B6.0):求出抛物线解析式为y=号+4，得M0,4),从面求出拱架最高 9 点M距底部AB的高度， 【详解】解：由题意得， 3 D B3,0) 设抛物线解析式为y=ax2+c, 33/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 :4a+c=3 4 a= 解得： 9 9a+c=0 c=4 ·抛物线解析式为y= 4 9x+4, 当x=0时，y=4, .M(0,4) ∴.0M=4. ∴.拱架最高点M距底部AB的高度为4米. 38.校运会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状.数学小组想了解拱门的高 度，先测量拱门底端距离AB=8m,再用两根长度为2m的标杆CE、DF垂直于地面且让标杆端点C、D 在拱门上，再测量出两标杆间的距离E℉=6m,则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为， AE FB 32 【答案】行m 【分析】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系，求二次函数的解析式是解题的关键.以AB 的中点0为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(4,0) B(4,0),D(3,2),设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=(x+4)(x-4),把D(3,2)代入 y=ak+4:-4小，求出a=弓，再求出抛物线的项点纵坐标即可。 【详解】解：如图所示，以AB的中点O为原点，水平向右为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向建 立平面直角坐标系， AE FB 则A(-4,0),B(4,0),D(3,2) 设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=a(x+4)(x-4), 34/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把D(3,2)代入y=a(x+4(x-4),得a(3+4)3-4)=2, 2 解得a=-7 :抛物线解析式为少=号(+4x-4)。 令x=0,则y=- 0+40--号 32 ,.此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为气m. 39.中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC,其横截面如图所示，在图中建立的平面直角坐标系中， 抛物线的解析式为y=一 0+c且过拱顶C(0,5)(长度单位：m）,现因举行庆典活动，计划沿拱桥的台 20 阶表面铺设一条宽度为l.5m的地毯，地毯的价格为20元/m,则购买地毯需 元 台阶 A 【答案】900 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要能理解图像与实际情况的对应关系 先根据拱顶C(0,5)求得c的值，得到抛物线的解析式，再根据地毯的总长度即AB+20C的长度，求得抛 物线与x轴的两个交点，结合地毯价格即可解答. 【详解】解：，抛物线的解析式为y= +c且过拱顶C(0,5): 20 心c=5即抛物线的解析式为y= 12+5 20 令y=0,得-201 x2+5=0. 解得x=±10 .A(-10,0),B(10,0). .AB=20m, 又，0C=5m, ∴，需要铺设的地毯总长为AB+2OC=20+10=30(米)， ∴需要铺设的地毯总费用为30×1.5×20=900（元）. 35/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：900. 40.某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为y= -3x+10,为了给行人提供安全保 16 障，在该拱桥上距水面AB高为7米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为 米 A B 【答案】8 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟 练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键。 3 令y=7,则y=6?+10,解方程可得x=-4,为=4，然后根据EF=x-x即可求出这两个救生圈间 16 的水平距离EF. 详解】解：令y=则6+10=7 解得：=-4，x3=4, .EF=x2-x=4-（-4)=8, 故答案为：8 41.如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC、BD为某抛物线的一部分，杯口AB=8cm,杯底 CD=4cm,且AB∥CD,杯深12cm.如图2，将盛有部分水的水杯倾斜45°，水面正好经过点B(即 ∠ABP=45°)·嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确 的是 ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y=x-16:②直线PB的解析式为y=x-4；③点P到杯口AB 的距离为5cm;③点P到点D的距离为5√2cm, 36/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 【答案】①②④ 【分析】由题意可知，A(-4,0),B(4,0),C(-2,-12),D(2,-12),利用待定系数法求出玻璃水杯轮廓线 所在抛物线的解析式，可判断①结论；令直线PB与y轴的交点为E,证明△BOE是等腰直角三角形，得到 E(0,4),再利用待定系数法求出直线PB的解析式，可判断②结论：联立直线和抛物线，求出P(-3,-7), 可判断③④结论 【详解】解：由题意可知，A(4,0),B(4,0),C(-2,-12),D(2,-12), 设玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y=a+C, 16a+c=0 a=1 4a+c=-12·解得： c=-16: .玻璃水杯轮轮廓所在抛物线的解析式为y=x-16,①结论正确： 令直线PB与y轴的交点为E, ∠ABP=45°∠BOE=90 ∴.△BOE是等腰直角三角形， ∴.OE=OB=4, .E(0,-4). 设直线PB的解析式为y=kr+b, 「4k+b=0 k=1 1b=-4,解得：16=-4： 37/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.直线PB的解析式为y=x-4,②结论正确： y=x2-16 x=-3「x=4 联立=x-4， 解得： y=-7或y=0 (舍)， P(-3,-7）, ·点P到杯口AB的距离为7Cm,③结论错误： :点P到点D的距离为V(-3-2}'+(-7+12)}=5√2cm,®结论正确： 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查了坐标与图形，二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的 判定和性质，解一元二次方程等，勾股定理知识，利用数形结合的思想解决问题是关键 42.蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1），我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵 灯会的奖品，图2是其设计示意图。设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线y=- 400 x2+36,构 造桥面形状（长度单位：mm),三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20mm,每个桥洞 最高点到桥面的竖直距离均为4m,若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在 圆的半径为 mm 图1 图2 【答案】41 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数，勾股定理：根据题意，把y=32代入y= x2+36,计算 400 得到中间大桥洞的宽度，再根据勾股定理得到P2=(R-32+402，计算即可求出. 【详解】解：根据题意， 1 当x=0,代入y= x2+36 400 得y-36 ·中间大桥洞最高点对应的y值为36-4=32 把y=32代入y=- -x2+36 400 38/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 00+36 32=、 解得：x=±40， 则中间大桥洞的宽度为40-（-40)=80mm, 设大圆弧所在圆的圆心为O,半径为R,圆心O到弦的距离为d .R2=d2+402 d=R-32 .R2=(R-32)}+40 解得：R=41 综上，大圆弧所在圆的半径为41mm 故答案为：41 43.鄂尔多斯动物园，是一个集动物观赏、互动体验、科研科普教育于一体的综合性生态旅游度假景区. 景区计划修建一座抛物线形拱桥（如图1)，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为 s、1 ,正常水位时水面宽4B为16m当水位上升6m时，水面宽CD为 m 图1 图2 【答案】8 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据三次函数的图象可得当水位上升6m时，此时y=-2,进 而可求得此时的x的值，进而可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键 【详解】解：依题意得： 当x= 8时.y=(-旷8， 16 当水位上升6m时，则此时y=-8+6=-2 则：2= 解得：x=4或x=-4, 水面宽CD为：2×4=8m, 故答案为：8」 39178 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44.某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为x轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线 为y轴建立平面直角坐标系，池塘的宽AB=30m,池底最深处距离水平地面5m,原来的水面宽24m，若 池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为」 YA -15-12 121 T B 水平地面 水面 池底 4 【答案】5米 【分析】本题考查抛物线的实际应用，根据图象可以设出池底所在抛物线的解析式为y=2-5,再把 (15,0)代入解析式求出解析式，再把x=6代入解析式即可判断. 【详解】解：由图象可得，抛物线顶点坐标为(0，-5)，且过(15,0)， 设出池底所在抛物线的解析式为y=ax2-5, 把（15,0)代入解析式可得0=152a-5, 1 解得a= 45 y=2-5, 45 当x=6时，y=45×62-5=42 1 此时最深处到水面的距离为5-4.2=0.8， 4 故答案为：5米. 45.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，如 图，已知这座桥的跨度L=20米，拱高h=5米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为y= 12+5 2 现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理 由 B 40/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当y=22时，即22=0+5， 20 解得x=2W14,x2=-214 .214-(-214)=214+214=4W14,且44<15， ∴货船不能顺利通过该桥。 分析】根据恩意。当y三22时，可得方程2.2=0+5，再解方程，即可得出结论 【详解】略 46.在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟.付峰同学家建有一个长为160米的 蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面， 面向正南)，另一端固定在离地面高3米的墙体B处(B处为厚实土墙)，现对其横截面建立如图2所示 的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体A的水平距离x(米)之间的关系 满足y=一 12 x+bx+C,现测得A,B两墙体之间的水平距离为12米. 图1 图2 (1)直接写出b,c的值： (2)求大棚的最高处到地面的距离； 25 (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为2米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的 土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(a)b-6c=l: 61 (2)大棚最高处到地面的距离为12米： (3)供需要7040（根）竹竿. 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)将(1)中函数解析式化为顶点式，然后求解即可： (3)根据题意得出=1=13，然后结合题意即可求解. 41/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由题意知点A坐标为(0，)，点B坐标为(12,3) c=1 将、坐标代入 一-，x2+bx+c得：1 3、1 ×122+12b+c A B 12 7 b= 解得： 6； c=1 6 61 61 当x=7时，y有最大值2，即大棚最高处到地面的距离为12米： 解：当点时，日r+名1 25 7 25 6 12 解得=1，x2=13。 0≤x≤12. ∴.大棚内可以搭建支架的土地的宽为12-1=11（米）， 又，大棚的长为160米， 需要搭建支架部分的土地面积为160×11=1760（平方米） ∴，共需要1760×4=7040（根）竹竿. 47.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为10m,桥洞与水面的最大 距离是5m.经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图)· B x -10m 方案一 方案二 方案三 (1)你选择的方案是一（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是一一： (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式： (3因降暴雨水位上升lm,此时水面宽为多少？ 【答案】(1方案一，B(5,0)；方案二，B(10,0):方案三，B(5,-5) (2方案一，y=- +5:方案=y=写x-矿+5：力案三，=号 (3)4v5m 【分析】(1)根据水面的宽度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,求出点B坐标； 42/78 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解 析式为项点式，再代入(1)中点B坐标，即可求出抛物线解析式： (3)任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升l代入对应抛物线解析式，求解即可. 【详解】(1)解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得OB=5m,B(5,0): 选择方案二： 由题意得OB=10m,B(10,0): 选择方案三： 由对称性可知点A与点B关于y轴对称，xB一x4=10,.xB=5, 又桥洞与水面的最大距离是5m,ys=-5, .B(5,-5) (2)解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为(0,5)， ~抛物线开口向下，故设抛物线解析式为y=-ax2+5, 代入B(5,0),得0=-25a+5, .1 解得a=5: 抛物线解析式为y=-。xX2+5 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为A(5,5), :抛物线开口向下，故设抛物线解析式为y=-a(x-5)+5, 代入B(10,0),得0=-25a+5, 舒物4分 抛物线解析式为y=一x-5+5； 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为O(0,0), 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为y=一心2， 代入B(5,-5),得-5=-25a, 43/78 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解相0 抛物线解析式为y=- (3)解：选择方案三中的解析式， yB=-5 暴雨水位上升m后，代入y=一4，得-4=、 解得x=2V5或-2V5 :.水面宽为2W5-(-25)=45m 48.根据以下素材，探索完成任务， 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图.经测 量，高架桥跨度24m,最高点离地面9m,桥的两端点M,Q 个 素 距离地面3m M 9m 材 3m A 1 24m 图2 图1 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、 素 机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非 非 材 机动车道AC宽3m,机动车道CD、DE宽均为3.5m.为 机 动车 了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警 动车道 道 绿化带 示车辆驾驶员.（限高即图中BC的高度，精确到0.lm) D 图3 问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式： (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在(1)的条件下，计算确定机动车道一的限高高度 44178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) M 9m 3m YO A 24m P y= (2)机动车道一的限高高度为5.6m 【分析】(1)根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式： (2)根据函数解析式求出函数值即可， 【详解】(1)解：如图，以AP的中点O为原点，AP所在直线为x轴建立平面直角坐标系， M 9m 3m Q P 24m 由题意得，顶点坐标为(0,9)，设抛物线的函数表达式为y=a2+9, 由图可得，OM=OP=)AP=12m,M=PQ=3m, .M(-12,3),(12,3), 代入(12,3)到y=x2+9, 得3=a12+9, 1 解得：a=- 24 抛物线的函数表达式为y=2+9《答案不唯一)： 24 (2)解：如图， B 机 动 M 车 机动车道 绿化带] C D E 图3 由题意得，AC=3m, ∴.0C=0A-AC=12-3=9(m). 45/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴·点C在(1)中所在坐标系的横坐标为一9， 当g时，5=24(+9- 8 BC=4 m≈5.6m. 8 答：机动车道一的限高高度为5.6m 49.某抛物线型拱桥示意图如图1所示.水面宽AB与桥长CD均为24米，在距离D点6米的E处，测得桥 面到桥拱的距离EF为1.5米，以桥拱顶点O为原点，桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系.如图2， 桥面上方有3根高度均为4米的支柱CG、OH、D1,过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状 相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2米. G H D O D 图1 图2 (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式： (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图2），求出可以在竖直方向安 装的灯带中最短的灯带长度， 【容案】a联桥抛物线表达式为%=，右边钢经的抛物线表达式为%：一6+2：左边钢宽的能 物线表达式为2三8G+6)2+2 20 2灯带长度的最小值是7 m 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： 2段灯长度为。测引9 十 ，即可得解 【详解】(1)解：①由题意得H(0,4),I(2,4),右边钢缆的抛物线顶点为(6,2)， 设右边钢缆的抛物线表达式为4=a(x-6)}2+2, H(0,4) 4=a(0-62+2. 46178 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 4218 -0-6+2 ②由题意得H(0,4),G(-12,4),左边钢缆的抛物线顶点为(-6,2)， 设左边钢缆的抛物线表达式为h=4,(x+6)+2, H(0,4）, .4=2(0+6)2+2, 1 .a2-18 1 h=18x+6+2. 设拱桥抛物线表达式为y=a42,由题意得F(6,-1.5), .-1.5=364, 1 .43= 24· (2)解：设灯带长度为h, 则=%-+2-(r-+4引+9 72>0, 当-9时，为有最小值为宁 20 20 答：灯带长度的最小值是)m 50.开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥 中间的大拱截面CPD可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼. y/米 MPN ① D Bx/米 现有以下三条素材： 47178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 素材1：整个图形是轴对称图形： 素材2：跨度AB=24米，竖直支撑AC=BD=1米，最高点P到AB的距离为5米； 素材3：两灯笼ME,NF之间的水平距离为4米，点MN均在抛物线上且关于抛 物线的对称轴对称. 现以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线（直线OP)为y轴，建立平面直角坐标系， (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式：（不必写出自变量取值范围） 2)若ME=F=25 米，求灯笼底端（点B或）到AB的距离。 1 【答案】y=36+5 (2)3.5米 【分析】(1)待定系数法求出抛物线的解析式即可： (2②)将x=2代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据MB=MF= 18求出结果即可. 【详解】(1)解：由题意可知，点D的坐标为(12，)，P的坐标为(0,5). 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：y=ax2+5, 将点D(12,1)代入得，1=144a+5, 解得a=36: 1 1 ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为y=一 x2+5 36 (2)解：由题意知，MN=4,MN关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 1 当x=2时，y=36 2+5=44 4425 =3.5 918 :灯笼底端（点E或F)到AB的距离为3.5米， 51.如图为某拱桥的示意图，桥面PQ平行于水面AB,拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处 点C与桥面PO的距离为1米，当水面距离桥面4.6m时，拱孔横跨水面宽度AB为12米.若以水面AB所在 直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： 48/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 笔锋所到金榜 G B (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式： (2)若从桥面向下挂一条宽为1.4米的长方形横幅EFGH,横幅上边沿EF与桥面PQ重合，G、H恰好落在 拱孔上，求横幅的长， 【答案】(1)y=0.1x2+3.6 (2)4米 【分析】(1)根据AB=12得01=B=6,根据桥洞最高处点C与桥面P№的距离为1米，水面距离桥面 4.6m,得顶点的纵坐标为4.6-1=3.6，可设抛物线解析式为y=2+3.6,求解即可： (2)根据题意，得4.6-1.4=3.2当y=3.2时，32=0.1x2+3.6,求解即可： 【详解】(1)解：根据AB=12得0A=OB=6,桥洞最高处点C与桥面PQ的距离为1米，水面距离桥面 4.6m,得顶点的纵坐标为4.6-1=3.6， 故A(-6,0)、B(6,0)、C(0,3.6). 设抛物线为y=a2+3.6 3.6=62a 解得a=0.1, ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为y=0.1x2+3.6: (2)解：4.6-1.4=3.2 .当y=3.2时，32=0.lx2+3.6, 解得x=+2 ∴横幅长为：2-(-2)=4米： 52.综合与实践 根据以下素材，探索完成任务。 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 49178 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 某游乐园计划在道 路AB上方搭建一 座抛物线型彩虹 M 素材 桥.如图①，道路 9m 1 0 AB的宽为30m, A 30m B 图① 桥拱最高处M距离 路面的距离为9m. 在实际搭建时，为 了安全需在桥拱下 方安置两个竖直方 M 向的桥墩进行支 素材2 撑，为了美观，要 求两个桥墩关于桥 图② 拱对称轴对称.如 图②，桥墩之间的 距离DF=20m 如图③，在两个桥 墩上搭一个限高横 杆CE,为了宜传 游乐园新开发的项 目，现要在桥拱下 方，横杆CE上方 M 设置一个面积为 素材3 18m的矩形广告 D 牌，要求矩形广告 图③ 牌的一边落在CE 上，矩形长、宽均 为整数，且矩形广 告牌关于桥拱的对 称轴对称. 50/78 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题解决：以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务. (1)确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； (2)确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）： (3)拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形PQLW中P点坐标， 【答案】(1)y=0.04x2+9(-15≤x≤15) (2)5m (3共有两种设计方案： 方案一：矩形广告牌的长为6m,宽为3m,P点的坐标是(-3,8)： 方案三：矩形矿告牌的长为如定为2mp点的坐标足(》7） 【分析】(1)由题意易得桥拱最高点M的坐标为(0,9)，AB=30m,则有B(15,0),设抛物线的解析式为 y=+C,然后根据待定系数法可进行求解： (2)由题意可把F(10,0)代入函数解析式进行求解即可： (3)由题意易知矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在CE上）：①1×18： ②2×9，③3×6：④6×3：⑤9×2：⑥18×1，然后根据拱桥的最高点到CE的距离为9-5=4m进行分类 求解即可 【详解】(1)解：由题意可知：桥拱最高点M的坐标为(0,9)，AB=30m, ∴.0B=15m, ·.B(15,0) 设抛物线的解析式为y=ax2+c, 9=c 则10=225a+c' a=-0.04 解得1c=9 ∴抛物线的函数表达式为y=0.04x2+9(-15≤x≤15). (2)解：：DF=20m, .F10,0), 令x=10,则有y=0.04×102+9=5, ∴.桥墩的高度5m; 51/78 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：，矩形广告牌的面积为18m且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在CE上）： ①l×18:②2×9：③3×6：④6×3：⑤9×2：⑥18×1， ,拱桥的最高点到CE的距离为9-5=4m, ∴.方案①，②，③不符合题意， 方案④： 当x=3时，y=8.64 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为5+3=8m, 8.64>8 ∴方案④可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是(3,8)， 方案⑤： 当x=9 时，y=8.19 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为5+2=7m, 8.19>7, 9 ∴方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是 2 方案⑥： 当x=9时，y=5.76 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为5+1=6m, .5.76<6 ∴方案⑥不满足要求， 综上所述，共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为6m,宽为3m,Q点的坐标是(3,8)，因为点P与点9关于对称轴对称，所以 P点的坐标是(-3,8)： 9 方案二：矩形)告牌的长为gm,宽为2m'Q点的坐标是 因为点p与点Q关于对称轴对称，所以 p点的坐标是 53.如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状.如图2， 已知某一抛物线状沙丘OPA两翼端点的水平距离OA=160m,沙丘弧顶最高点P到OA的距离为64m,抛 52/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 物线的对称轴垂直于OA,以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系， 现计划从点M到点N种植一排胡杨(M、N在抛物线上，点M在点N的左侧)· Ay/m D O E F A x/m 图1 图2 (1)求抛物线状沙丘OPA的函数表达式： ②ME⊥x轴于点E,NF1x轴于点R,若ME=T-1 4 m,求MN两点之间的距离， 【答案】(1)y=- 100x-80'+64 (2)110m 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等. 正确理解题意是关键： (1)先求出顶点坐标P80,64),再设该抛物线的表达式y=(x-80)'+64,再将A(60,0)代入即可得到： (2)将y=13 代入(1)中求得的解析式中即可求出答案。 【详解】(1)解：根据题意可得抛物线状沙丘OPA的顶点坐标为P(80,64), 故设抛物线的函数表达式为y=a(x-80)2+64. 将点A(160,0)代入，得a160-80)2+64=0, 1 解得a=- 100 抛物线状沙丘OP4的画数表达式为y=0〔：-0+64。 13 1 (2)解：令y= 4,得10-80+64=135 , 解得x=25,x2=135 :MN=:-x=135-25=110 ∴.M、N两点之间的距离为110m 54.某蔬菜种植基地建造了一批塑料大棚（如图1），其截面（如图2）由矩形ABCD和抛物线的一部分 DMC构成（点M为最高点），A,B在水平地面上，曲线ADMCB为大棚外沿，CD为大棚的加固钢架. 53/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以4B所在的直线为x轴、AB的中点O为原点建立平面直角坐标系.己知AB=20m,AD=2m,大棚最高 点M到水平地面的距离为8m ←/m M H O 图1 图2 (1)求曲线DMC所在抛物线的表达式. (2)雨季到来，为加固大棚，准备安装三条钢架EF,EH,FG,其中点E,F在曲线DMC上（点F在点 E右侧且不与点C重合)，点H,G在AB上，且四边形EFGH为矩形，求三条钢架的长度之和最多是多 少米。 (3)在冬季，光照时长不足，为增加光照时间，促进蔬菜光合作用，准备安装一排补光灯用于夜间补光，要 求：补光灯安装在距离地面5m且与地面平行的一条直线上，每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超 过3m,最外侧的2个补光灯安装在曲线DMC上.则至少需要安装_ 一个补光灯（参考数据： √2≈1.414) 3 【答案】()y=- x2+8 50 73 2)三条钢架的长度之和最多是3m (3)6 【分析】(1)由顶点M(0,8),C(10,2),利用顶点式及待定系数法求抛物线的表达式。 (2)设点F的横坐标为”，用含n的代数式表示出三条钢架的长度之和，再利用二次函数图象的性质求得 最大值 (3)先求出最外侧2个补光灯之间的距离，再确定需要补光灯的最少总个数. 【详解】(1)解：由题意可知，M(0,8),C10,2). 设曲线DMC所在抛物线的表达式为y=x2+8, 将C10,2)代入，得100a+8=2, 3 解得a=一50， 曲线DMC所在抛物线的表达式为y三0x2 54/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 (2)解：设点F的坐标为 +80<n<10,EBF,H,FG的长度之和为wm 可得EH=FG=- 3r+8,EF=2n, 则w=2( +2 25<0,0<n<10. 当n25 73 3时，w取最大值，最大值为3： 73」 答：三条钢架的长度之和最多是3m。 3)解：气，-5时，0+8-5，解得5 ∴.最外侧的2个补光灯之间的距离为10W2m,约为14.14m :每相邻2个补光灯之间的水平距离相等且不超过3m,14.14÷3≈4.7， 如果中间安装3个补光灯，检验：14.14÷4≈3.5>3，不符合要求： 如果中间安装4个补光灯，检验；14.14÷5=2.828<3，符合要求； 如果中间安装5个补光灯，检验：14.14÷6≈2.4，符合要求 综上可知，至少要安装6个补光灯. 55.某校在百日誓师仪式上设计了走红毯过拱门（拱门为抛物线形）环节，在升国旗时，身高都为1.8米的 仪仗队员也需要走红毯过拱门.负责人在设计队形时利用了数学中的抛物线知识，他先测量出拱底AB为 7.2米，然后将一根长为2.24米的木棒CD竖直接触地面并紧贴拱门的内壁，并测得此时BD=1.6米，然后 在纸上画出图形，如图，以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，1米为 单位长度建立平面直角坐标系， A D B (1)请求出拱门最高点距地面的高度. (2)若仪仗队员平均肩宽为035米，头和肩的宽差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排4人，每两人间 的距离为09米，则按四路纵队行进可以安全通过拱门吗？请说明理由. 55/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若在(2)的基础上，将队形设计成每排6人，则每两人间的距离d的范围为多少时，队伍才能安全通过 拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）？ 【答案】(1)拱门最高点距地面的高度为3.24米 (2)可以安全通过拱门，理由见解析 (3)每两人的间距d的范围为0<d<0.54米时，队伍才能安全通过拱门 【分析】(1)求出点B(3.6,0),C2,24,利用待定系数法求出函数解析式，进一步即可求出答案： (2)求出当y=1.8的自变量的值，进行解答和比较即可： (3)求出每两人的间距的范围即可求出答案， 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=am2+c(a≠0) 由题意得40=0B=)B=3.6米， ∴.OD=OB-BD=2米，B(3.6,0). CD=2.24米， .C(2,24) 将点B3.6,0),C(2,2.24)代入y=x2+c得 3.62a+c=0 22a+c=2.24 、1 解得 4 c=3.24 ∴该抛物线的解析式是y=一 x+3.24 4 当x=0时，y=3.24 答：拱门最高点距地面的高度为3.24米. (2)可以安全通过拱门 理由如下：由题意得，当y-18时，×+324=18， 解得x=2.4,x2=-2.4 2.4-(-2.49=4.8(米)，0.35×4+(4-0×0.9=4.1（米）， 4.1<4.8 ∴，可以安全通过拱门 56/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.8-6×0.35 (3)解：由题意得 6-1 =0.54(米)， ∴每两人的间距d的范围为0<d<0.54米时，队伍才能安全通过拱门. 56.【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂 一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动. 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以AB的中点O为原点，AB所在的直线 为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量，拱门的宽AB=6m,拱门最高点P到地 面AB的距离为4m,AC和BD垂直于地面，高度均为lm. F H D 0 图1 图2 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式， (2)如图2，线段EF和GH分别表示大门两侧悬挂的灯笼.已知每个灯笼的长为1.1m(含挂线)，灯笼悬 挂点G,E到最高点P的水平距离均为l.2m ①求灯笼底端H到地面AB的距离。 ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校.若货车的高为2.7m, 宽为2.4m,请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点P处 移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：V0.6≈0.77）， 【答案】()y=-x+4 3 (2)①2.42m:②0.43m 【分析】(1)由题意，得点D的坐标为(3，)，点P的坐标为(0,4)，设大门拱形部分所在抛物线的函数表 达式为y=心2+4，根据D(3,1)求出a=一3，即可求出函数解析式： (2)①根据题意可知点G的横坐标为1.2，将x=1.2代入函数解析式求出点G的纵坐标，减去灯笼的长即 可： 57/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②先判断出悬挂灯笼影响进车，令y=2.7+1.1=3.8,求出此时x的值，再用原灯笼悬挂点到最高点P的水 平距离减去x的值即可。 【详解】(1)解：：AB=6m,O为AB的中点， ∴.A0=OB=3m 由题意，得点D的坐标为(3,1)，点P的坐标为(0,4). 设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为y=a2+4, 将点D(3)代入，得1=92+4解得a= 3 1 :大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为y=-。x2+4. 31 (2)解：①~灯笼悬挂点G到最高点P的水平距离为1.2m, ∴·点G的横坐标为1.2 当x=12时y=3 x1.2+4=3.52 .3.52-1.1=2.42(m) ∴灯笼底端H到地面AB的距离约为2.42m ②由①得灯笼底端到地面的距离为2.42m,且2.7>2.42， ∴悬挂灯笼影响进车。 令y=27+11=38符写+4=3.8，解得x07负值已合去) ∴.1.2-0.77=0.43(m) ∴.需要将两个灯笼向大门中心点P处移动的最小水平距离约为0.43m. 57.校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等.如图是某数学兴趣小组 设计的一款抛物线形状的校门正面示意图，该校门由抛物线L和左右对称的矩形门房BOCD、AEFG及中 间的电动推拉门（完全拉开时，为图中阴影部分，即矩形BEPO)构成，点O与点A都在抛物线L上，且 O、A两点关于抛物线L的对称轴对称.已知OA=24m,OB=AE=4m,抛物线L的最高点到地面OA的距 离为8m,以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，点B、E在 x轴上 G B 58178 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线L的函数表达式： 5 (2)已知电动推拉门的高度为m(即B0-3m)，求点Q到抛物线，的竖直距离. 3 【答案】(1)y= r+ 3 (2)9 m 【分析】(1)根据题意可知抛物线的顶点坐标为(2,8)，则设抛物线L的函数表达式为 y=a(x-12)+8(a≠0)，代入点O坐标即可解答： (2)根据题意可知点B的坐标为(4,0)，代入(1)中所求抛物线的函数表达式，即可得此时抛物线到OB 的距离，进而求得答案， 【详解】(1)解：由题意可得抛物线L的顶点坐标为(2,8)，点0的坐标为(0,0)， 设抛物线的函数表达式为y=a(x-12}+8(a≠0)， 将点0(0,0)代入，得144a+8=0, 1 解得a=-18' 抛物战2的同数表达式为=-2+8(y=2+) (2)解：OB=AE=4m .点B的坐标为(4,0) 18x(4-12}+8=40 当x=4时，y=- 9) 25 答：点Q到抛物线，的竖直距离为9m. 58.如图1是一张乒乓球桌，侧面简化结构如图2所示，其下方支架PO卫可近似看成一条抛物线的一部分， 台面AB(台面厚度忽略不计)与地面平行，且高度为72cm(台面AB与地面PQ之间的距离).以AB所 在直线为x轴，过点0且垂直于AB的直线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系.抛物线的最高点位于 原点O处，PQ关于y轴对称，且P、Q两点之间的距离为96W5cm. 59178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求支架PO9所在抛物线的函数表达式： (2)直线型支架CE、DF的上端CD均在台面AB上，下端E、F均在抛物线上，且两条支架CE、DF关于 y轴对称，∠CDF=45°，已知E、F两点间的距离为l60cm,过点E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为 点G、H,求支架CE与DF的总长度（即求CE+DF). 2 【答案】1)y=160 (2)80v2 【分析】(1)设抛物线为y=ar2,把P-48V5,-72)代入计算即可. (2)由E、F两点间的距离为160cm,可得EG=40,结合∠CDF=45°，两条支架CE、DF关于y轴对称， 可得∠ECG=45°，DF=CE,再进一步求解即可. 【详解】(1)解：根据题意设抛物线为y=a2, ,PQ两点之间的距离为96N5cm,台面AB(台面厚度忽略不计)与地面平行，且高度为72cm(台面 AB与地面PQ之间的距离)， P485,-72, :（-485a=-72 1 解得：a=-160, “抛物线为：y= 2 160 (2)解：，EF两点间的距离为l60cm, xE=-80 ÷%=160x(←802=-40， 1 .EG=40. ,∠CDF=45°，两条支架CEDF关于y轴对称， ·.∠ECG=45°，DF=CE, .'.CE=2EG=402. 60/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE+DF=802 拓展培优题 59.综合与实践 【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥一一如意桥与圆梦桥。 如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬 空的玉如意.主拱和副拱轮廓近似抛物线 综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转180°， 得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱.这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成 和谐的视觉平衡。 【模型建立】 YA D C 图1 图2 图3 (1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为C,副拱所在抛物线为C2,以它们的对称中心为原点O建立平面 直角坐标系，它们的交点所在直线为x轴，即C和C2关于原点中心对称.通过测量得知C和C2的顶点间 距离为32米，C和C,的左右交点A、B间距离为48W2米，则C1的顶点D的坐标为(0，)，左交点 A的坐标为（一一，0），抛物线C的解析式为一一，抛物线C2的解析式为。 【模型应用】 (2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱C不变的情况下，改成两条关于y轴对称的 副拱C(x≤0)和C4(x≥0)，如图2，C和C所在抛物线关于点P(m,0)对称，且C恰好经过C的顶点D,请 求出左副拱C3所在抛物线的解析式： (3)在(2)的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索EF,所在直线为y=x+”,如图3，要求 斜拉索EF和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线y=x+n至少要与C,C和C4各有一个交点，求 61/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出n的取值范围. 【容案1an6,242y方416，-7-16 2)y= c+4-16 (3)14≤n≤16 【分析】(1)由题意和对称性质即可求出顶点坐标和交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线C,C2 的解析式： (2)由C和C,所在抛物线关于点P(m,0)对称可得a=72和k=-16,再将D(O,16)代入解析式即可得解： (3)先确定直线y=x+n与C4交于最高点时n≤16，由此确定此时直线y=x+n与C1必有交点，最后再确 定C3和直线y=x+n有交点时n≥14，进而即可得解. 【详解】(1)解：：C和C,的顶点间距离为32米，C和C,的左右交点A、B间距离为482米，C顶点 在y轴上， 设抛物线C的解析式为y=a,x2+16, :a×(-242+16=0,解得4=72 抛物线G的解析式为y=方产+16， ,C和C2关于原点中心对称， ∴抛物线C2的顶点坐标为(0，-16)， ∴可设抛物线C,的解析式为y=a,x2-16, .a,×-242-16=0,解得4，=72 :抛物线C的解折式为=方2-16， (2)解：设C所在抛物线为y=a(x-h)+k C和C所在抛物线关于点P(mO)对称， ∴.a= 72 62178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且C的顶点(h,K)和G顶点D(0,16)也关于点P对称， 即k=-16 :C恰好经过C的顶点D(0,16), 16=70--16,即16=2-16， 72 解得h=±48， C3在y轴左侧， ∴.h=-48 :G所在抛物线为y=元(x+48-16: (3)解：观察图3可知， :C4(x≥0)和直线y=x+n至少要有一个交点， ∴.直线y=x+n与C,最高可交于点D(0,16), .n≤16 :C和直线y=x+n的交点坐标满足方程组， y=- x2+16 721 y=x+n 消y得2r+16=x+n,即r+72x+72(m-16)=0, 当n≤16时，n-16<0, ∴.△=722-4×72(n-16)>0 ∴.当n≤16时，C和直线y=x+n必有交点， :C和直线y=x+n的交点坐标满足方程组， 方(x+4-16 y= y=x+n 消y得72x+48-16=x+n,即r2+24x-72(-16)=0, △=242-4×[-72(n-16)]≥0，解得n≥14， n的取值范围为14≤n≤16 63178 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 60.某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题. 为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构.以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问 题. 发现问 题确定 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 目标 公交车停靠示意图如图3所示 (忽略公交车车顶的实际弧度、 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物 空调装置等微小起伏，假设车厢 线的一部分如图2所示. 顶部在车辆全长范围内是完全平 模型抽 坦且水平的.) 象与图 环 形表示 棚顶最高点 遮阳棚立柱C →B 遮阳棚顶棚横截面 O c 图3 图2 车身完全覆盖要求： 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装 公交车需完全停入遮阳棚下方， 钢架AB(AB为线段)加固，且在棚顶 即车辆整体（包括车厢最高点） 与钢架AB之间安装一根垂直钢架CD( 均位于遮阳棚的横向覆盖范围 条件与 C在棚顶，D在AB上，CD⊥x轴)· 内 规范整 垂直安全间隙要求： 理 车厢最高点与棚顶之间需保持一 D A 定的安全间隙，以避免因车辆振 动、风载或路面不平等因素发生 图4 碰撞。 已知车身长约8米，公交车车厢 实测数 棚项最高点B到地面距离为4米，棚顶 据采集 最高点距地面约2.38米，车身宽 与立柱交点A到地面距离为2米，A、 度与站台停靠都匹配，不考虑宽 64178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B两点水平距离为12米. 度影响. 问题解决： (1)如图2，以地面为x轴，过点A的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方： 4 (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于。米.请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡 不足的问题. 7z+3+20≤x≤12) 1 【答案】(1)y= 2解：当y=238时，7-12+4=238， 解得x=1.2或x=22.8(舍去) 1.2+8=9.2,且9.2<12， ∴.该公交车能够完全停入遮阳棚正下方： (3)钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题 【分析】(1)建立平面直角坐标系，确定点的坐标，然后利用待定系数法求解： (2)当y=2.38时，求出点的横坐标，然后根据车身长度进行比较即可： （3)求出直纹份的解析式，段9方+学+2习.则D信2 得出CD的最大值，然后根据临界 点求值进行判断。 【详解】(1)解：根据题意得，A(0,2),抛物线顶点坐标为B(12,4), 假设抛物线ACB解析式为y=a(x-12)+4, 将A(0,2)代入解析式得，2=a(0-12)+4, 1 解得a=-72: 题物线A0B解折式为y=方x-2+4=一方+行+205≤1)， 65/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：略： (3)解：设AB的解析式为y=cx+b, 将A(0,2),B(12,4)代入解析式得， b=2 12k+b=4 6 解得 b=2 ÷AB的解析式为y=石 x+2」 a24g+ CD=- +=-6+ 14 当x=6时，CD的最大值为2g ∴，钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患， 当y=2.38时，2.38=6x+2, 6 解得x=2.28, 2.28+8=1028<12, ∴，不存在遮挡不足问题 ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题 61.如图，某户外乒乓球台的下方支撑结构为抛物线型，已知乒乓球台台面为线段EF,点C是线段EF的 中点，且点C为抛物线的最高点：台面离地高度OC为0.81米，支撑结构两端A、B间的宽度为1.8米 (AB川EF),点O是线段AB的中点，以AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. N 66/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该乒乓球台下方支撑结构的抛物线函数表达式； (2)为了改善乒乓球台的稳固性，现将以前的支撑连接进行调整，即在抛物线上确定P,Q两点（点P与点 Q关于y轴对称)，分别过P,9作垂直于台面的直线，交台面EF于M,N两点（即PM,QN为垂直向上 的支撑连接杆)，延长N№交x轴于点D,连接CQB吧，当△QCADBO时，支撑杆的加固效果最佳， 求此时乒乓球台台面下两个焊接点M、N之间的距离.（台面的厚度和支撑结构的粗细不计） 【答案】(1)y=-x2+0.81, 2)MW=V481-9 10 【分析】(1)由题意得抛物线的顶点为C(0,0.81),且过点B(0.9,0),再利用待定系数法求解即可： (2)设点Q的坐标为(m,-m2+0.81(m>0),则D(m,0）,N(m,0.81),根据相似三角形的性质列式计算即 可求解。 【详解】(1)解：由题意得，抛物线的顶点为C(0,0.81),且过点B(0.9,0),设抛物线函数表达式为 y=ax2+0.81. 将B(0.9,0)代入得，0=0.92a+0.81, 解得=-l, ∴抛物线函数表达式为y=-x2+0.81, (2)解：设点Q的坐标为(m,-m+0.81(m>0), ∴点P的坐标为(-m,-m2+0.8,D(m,0）,N(m,0.81), ∴CN=m,D9=-m2+0.81=(0.9-m)(0.9+m）,N0=0.81-(m+0.81)=m2,DB=0.9-m, ,·△NOCADBO CN NO m m2 ÷DgBD,即(0.9-m)(0.9+m)0.9-m, m>0,0.9-m>0. 1 m 0.9+m=i，即m(0.9+m)=1, 解得：m=9±V487 (舍去负值)， 20 ∴.MN=PQ=2m= √481-9 10· 62.某城市建设调研小组发现，部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题.为 67/78 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构.以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题， 发现问题 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 公交车停靠示意图如图3所示（忽 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛 略公交车车顶的实际弧度、空调装 物线的一部分如图2所示. 置等微小起伏，假设车厢顶部在车 模型抽象 环 辆全长范围内是完全平坦且水平 棚顶最高点 遮阳棚立柱C 的.) 与图形表 才B 示 遮阳棚顶棚横截面 A B 0 A 图2 图3 如图4当风力较大时，需在棚内侧安 装钢架AB(AB为线段)加固，且 车身完全覆盖要求：公交车需完全 在棚顶与钢架AB之间安装一根垂直 停入遮阳棚下方，即车辆整体（包 钢架CD(C在棚顶，D在AB上， 括车厢最高点)均位于遮阳棚的横 条件与规 CD⊥x轴)· 向覆盖范围内.垂直安全间隙要 范整理 求：车厢最高点与棚顶之间需保持 B 一定的安全间隙，以避免因车辆振 动、风载或路面不平等因素发生碰 撞 图4 已知车身长约8米，公交车车厢最 棚顶最高点B到地面距离为4米，棚 实测数据 高点距地面约2.5米，车身宽度与 顶与立柱交点A到地面距离为2米， 采集 站台停靠都匹配，不考虑宽度影 A、B两点水平距离为12米， 响 问题解决： (1)如图2， 以地面为x轴，过点A的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线ACB的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方： (3)如图4，为了让遮阳棚更加稳固，计划在遮阳棚内侧安装两段钢架.其中一段为AB,然后在棚顶某处 68/78 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 取点C,在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD.直接写出第二段钢架CD长度的最大值. 1 【答案】a抛物线ACB解析式为y=72r+3x+2(0≤x≤12)： (2) 令y=25,则72×6x-12}+4=25, 解得x=12-6N5或x=12+6N3(舍去)， 12-6W3+8<12, “.钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方： 3)CD的最大值为2. 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式等知识点，灵活运用二次函数的性质是解 题的关键， (1)由题意得A(0,2),B(12,4),设抛物线4CB解析式为y=a(x-12+4,然后求出a的值即可： （2)令y=25:则7(x-12+4=25,解得x=2-6N5或x=12465(合去)，因为 12-6W3+8<12,所以钢架加固前该公交车能完全停入遮阳棚正下方： （3先求#解断武为y=合+2，段-分++2则D信+2小，则QD之+名，根 据二次函数的性质求解即可. 【详解】(1)解：由题意得，A(0,2),B(12,4), 设抛物线ACB解析式为y=a(x-12)}'+4, 1 .2=a(0-12}+4,解得a=72, 抛物线4C8解折式为=方-12旷+4=方r+兮+20sx≤12)。 (2)略 (3)解：设AB解析式为y=c+b 1 12k+b=4,解得 k=- 6 b=2 b=2 B解析式为y=x+2, 61 69178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设c6++2则+2 0=方+*2-g*20+2 1 72下0 .当1=6时，CD的最大值为2. 63.综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏项 部的装灯位置进行合理设计， C D.D. D G M 图1 图2 图3 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示.以地面为x轴，左侧墙面 为y轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式y=a(x-4'+k.最高点A距离地面8m,点B 的坐标为(15,5.58)，照明灯安装在y轴右侧的点C处. (1)请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出x的取值范围）· 问题解决： (2)为测量点C到地面的距离CG的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量， 具体测量方法如图3所示.经测量，标杆0=K=1.5m(标杆垂直于地面)，两杆相距15步，从Ⅲ退 行10步到点M,从K退行15步到点N.点C,H,M在同一条直线上，点C、J、N在同一条直线 上，请计算出CG的长度， (3)为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯，按要求，指示灯需距离地面 4.5m.如图2，灯架DE,DE,DE,DE4均平行于y轴，指示灯D,D,D,D4在同一条直线上， 该条直线平行x轴，DD2=D,D=D,D,=3.5m,点D的坐标为(2,4.5).求灯架D,E4的长.（结果保留两 位小数) 70178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】（1)抛物线的函数解析式为)=50(x-4+8 (2)CG的长度为6m (3)灯架D4E4的长为2.06m 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、相似三角形的实际应用，通过实际问题找到二次函数上的点 是解题的关键。 (1)首先根据最高点A距离地面8m得到k的值，再将(15,5.58)代入解析式即可求得抛物线的函数解析式： (2)首先设GH为x步的距离，根据已知线段的长度表示出GM=x+10,GN=x+30,利用相似三角形求 解x的值，进而可以计算出CG的长度： (3)首先根据指示灯需距离地面4.5m,计算出此高度下x的坐标再结合D,D,=D,D,=D,D,=3.5m判断 灯架D,E4是否存在此范围内，进而根据点D4的坐标求解点E4的坐标，进而即可求解灯架D,E4的长. 【详解】(1)解：y=a(x-4+k的最高点A距离地面8m, k=8 “将(05,5.58)代入y=a(x-4+8中，得5.58=a15-4+8,解得：a=- 50 抛物线的函数解析武为少=0-4+8， (2)解：设GI为x步的距离，则GM=x+10,GN=x+30, ,标杆垂直于地面， .H⊥GK,JK⊥GN, :HⅢ⊥GK,CG⊥GM, ∴.aCGM∽aHIM, 101.5 x+10CG .JK⊥GN,CG⊥GM, ∴ACGNAJKN, 151.5 x+30CG 10=15 ÷x+10x+30, 解得：x=30 10 1.5 将x=30代入x+10CG,解得：CG=6 :.CG的长度为6m; 71178 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：，指示灯需距离地面4.5m, D,D2,D,D在直线y=4.5上， 将y=4.5代入y= 0-4+8,解得x=4生57： :x>0,.x=4+5V7≈17.2 DD2=DD=D,D4=3.5m,点D的坐标为(2,4.5)， ∴点D4的坐标为(12.5,4.5)， .12.5<4+5v7, ∴满足题意，存在灯架DE4, 将125代入=动✉-4+8，解得：y66 .D4E4=6.56-4.5≈2.06. ∴灯架D,E4的长为2.06m 64.游乐园的卡通拱门是一种兼具美观与实用的装饰结构，它的下方是矩形门框，上方是抛物线造型的装 饰顶.如图1，某拱门的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中门框高度AB=3m，门框宽 度BC=4m,取BC中点O,过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E(拱门顶部最高点)， 以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立平面直角坐标系，抛物线AED的顶点E(0,4),如图 2. 14 B 图1 图2 图3 图4 (1)求抛物线的解析式： (2如图3，为了装饰拱门，要安装两个正方形的卡通装饰块LFGT,SMNR,若FL=NR=0.75m,求两个 正方形装饰块的间距GM的长； (3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时拱门截面的阴影为CK,求CK的长 【答案】(1)y=- (2)GM=-m 1 72178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)CK=49 m 12 【分析】本题考查二次函数的实际应用.读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想， 进行求解是解题的关键 (1)根据顶点坐标，设函数解析式为y=a心+br+C,求出A、D、E点坐标，待定系数法求出函数解析 式即可： （2)设G》则413+子，得方程3+子子+4，即可得解 .3 (3)求出直线4C的解析式，进而设出过点K的光线FK的解析式为少=一4x+m，利用光线与抛物线只 有一个交点，求出m的值，进而求出K点坐标，即可得出BK的长，进而可求解。 【详解】(1)解：在矩形ABCD中AB=3m,AD=BC=4m, :E(0,4),OE垂直平分BC, :.OB=OC=IBC=2m, 2 .4A-2,3).B(-2,0).C(2,0).D(2,3). 设抛物线表达式为y=2+bx+c, 4 将、、三点坐标代入表达式，得 4a-2b+c=3 解得b=0 4a+2b+c=3 c=4 AD E c=4 :抛物线表达式为y=-2+4 4 3 (2)解：设G(-4,3),则4(1-3+ 3+3=-21-3}+4 31 ∴.44 4 解得1=4（负值舍去)， GM=21=2(m): (3)解：设最右侧光线与抛物线的交点为F,如图4，则FK‖4C, 73/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 设直线 的解析式为 图4 AC y=kx+b 「-2k+b=3 .2k+b=0, k=-3 4 解得。3· b=- 2 33 :直线4C的解析式为y=4+2 :FK∥AC, 3 :设F欣的解析式为y=一4x+m, 3 y=一 x+m 4 1 x2+4 4 1 3 整理得-4+x+4-m=0, 4 ~FK与抛物线有且只有一个交点F, :△=-4x(X4-m=0, _73 解得m=16 3,73 :直线FK的解析式为y=4x+6, 373 =0, 令y=0,得4x+16 解得x3 2 :BK3 +2= 12 1(m. 1 74178 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CK=BK-BC= 97 12 (m) 65.实践与探究 为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果 斐然.以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践一一应用一一探究的过程， 下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题， 【实践】(1)他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部 最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的 解析式. 【应用】(2)如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形LED电子显示屏， 为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过 计算说明能否满足安装设计要求， 【探究】(3)该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作 条y=x的直线OF,交抛物线于点F,交抛物线对称轴于点E,提出了以下两个问题，请予解答： ①如图3，B为直线OF上方抛物线上一动点，过B作BA垂直于x轴，交x轴于A,交直线OF于C,过点 B作BD垂直于直线OF,交直线OF于D,求BD+CD的最大值： ②如图4，G为线段OF上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内.问：是否 存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出G点的坐标：若不存在，请说明理由。 y VA 7.2 7.2 D 6 6 6 6 图1 图2 图4 【答案】(1)该抛物线的解析式为：y=0.2(x-6)+7.2: (2)能满足安装设计要求，理由如下： ~显示屏宽为3m, ∴.6 -0.5=4 2 7.2 6 当x=4时，y=0.2(4-6)+7.2=6.4, 75/78 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.4-0.6=5.8>5.5, ∴能满足安装设计要求； 49√2 (3)①BD+CD的最大值为20， ②存在以B、G、H、P为顶点的四边形是正方形，G点坐标为(6-6,6-V6)或(5,5) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数与几何综合，涉及线段周长最值问题，与特殊四边形 的存在性问题，综合性强，正确理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键. (1)设顶点式求解即可： (2由腿意可得6}05=4，然后把，=4代入解斩式求出)-64，面64-06=58>5：故满足： 电O得到BCD45∠BDc=90,则BD=CD=号C,那0+EVC,然后溷 B(七，-0.2+2.4)，则C(,),建立起BC关于t的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值： ②先求出F(7,7),则0≤≤7，可求E(6,6),分以下两种情况讨论：EG为对角线或EG为边，利用正方 形边和对角线的性质建立方程求解即可. 【详解】解：(1)根据坐标系可知此函数顶点坐标为(6,7.2)，且图象过(0,0)点， 设抛物线为y=a(x-6)+7.2(a≠0)， .0=a(0-6)2+7.2. 解得：a=0.2, ∴y=0.2(x-6}2+7.2, .该抛物线的解析式为：y=0.2(x-6)+7.2； (2)略 (3)①y=0.2(x-6}+7.2=0.2x2+2.4x, 抛物线的对称轴为直线x=6, :E点在抛物线的对称轴上，也在少=x上， 、.E(6,6), .∠E0A=45°， BD⊥OE,AB⊥OA, ∴.∠BCD=45°，∠BDC=90°， 76178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=CD=YBC 2 .BD+CD=2BC. 7.2 B E 6 设B,-0.22+2.41),则C(,), .BC=-0.22+2.4t-t=-0.22+1.4t=-0.2 49 2 1 9 由0.2<0，得当1=2时，BC的最大值为20 二BD+CD的最大值为20， ②解：存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得∠EGH=45°， :∴△EGH是等腰直角三角形， y=-0.2(x-6)}2+7.2 联立 y=x x=7 x=0 解得y=7:或y=0（舍去)， .F(7,7). :G为线段OF上一动点， .0≤x6≤7， 如图，分以下两种情况讨论： 若EG为对角线， 7.2 、 当四边形EHGP为正方形，则EH‖x轴， E(6,6) 77178 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.H点的纵坐标为6， 令6=-0.2(x-6)}2+7.2. 解得x=6+V6或x=6-√6. G点在线段OF上，0≤x6≤7 G(6-6,6-6): 若EG为边，如图所示： 珠 7.2 H E G 6 :正方形EGPH, :BM=HG,即HG=2EM 设H(m,-0.2m2+2.4m,G(m,m）, .0.2m2+2.4m-m=2(6-m). 解得m=12或m=5, ~G点在线段OF上，0≤xG≤7， .G(5,5), 综上所述：G点坐标为6-V6,6-v6)或G(5,5). 78178