2.2二次函数的图象和性质（题型专练）数学北师大版九年级下册

2.2二次函数的图象和性质 题型一 二次函数的图象 1．（25-26九年级上·天津·阶段练习）抛物线与的共同点是（   ） A．开口方向相同 B．顶点坐标不同 C．对称轴相同 D．都有最高点 2．（25-26九年级上·广东·阶段练习）关于函数的图象，下列说法：图象是一条抛物线；开口向下；对称轴是轴；顶点坐标是．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26九年级上·山西·阶段练习）二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 4．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）二次函数的图象如下图所示，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 5．（25-26九年级上·天津河东·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 7．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）对于任何实数a，抛物线与（    ） A．对称轴相同 B．顶点相同 C．最大值相同 D．都有最小值 8．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）对于二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有公共点 D．函数有最小值 9．（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 10．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）二次函数的图象顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·甘肃武威·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）对于二次函数，下列说法中正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大 13．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）抛物线的开口向 ．（填“上”或“下”） 14．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 15．（22-23九年级上·辽宁抚顺·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 16．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）二次函数的顶点坐标是 ． 17．（2025·甘肃武威·一模）二次函数的图象的对称轴是直线 ． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法求函数图像的顶点坐标、对称轴； (2)用描点法在给定的平面直角坐标系中画出此函数的图像（需列表）． 19．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知抛物线的解析式为．求： (1)抛物线的顶点坐标为________________________； (2)将其化成顶点式，并在直角坐标系中作出函数图象． 题型二 二次函数的性质 1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）下列关于二次函数和的图象说法不正确的是（　　） A．三条抛物线的开口大小相同 B．三条抛物线的对称轴均为直线 C．与的图象关于轴对称 D．向上平移1个单位长度得到 2．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y有最大值4 D．当时， 4．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为 ． 5．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 6．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）二次函数的图象是 ，当时，开口向 ；当时，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ． 7．（18-19九年级上·辽宁鞍山·期中）已知四个二次函数的图像如图所示，那么的大小关系是 ．（请用“>”连接排序） 8．（2024·广东·模拟预测）若二次函数的图象上有两个点，则 （填“”或“”或“”）． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 10．（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 11．（2025·甘肃酒泉·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 从表可知，下列说法中正确的是 填写序号 ①抛物线与轴的一个交点为； ②函数的最大值为； ③抛物线的对称轴是直线； ④在对称轴左侧，随增大而增大． 12．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴． 13．（25-26九年级上·广东韶关·阶段练习）已知二次函数． (1)写出其图象的对称轴方程、及顶点坐标； (2)当满足_________时，随的增大而减小； (3)当___________时，有_________（填“最大”或“最小”）值为________． 14．（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 15．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 题型三 利用二次函数性质比较大小 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）点都在二次函数图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 8．（25-26九年级上·青海西宁·阶段练习）二次函数图象经过三点，则从小到大依次排列为 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图像上，那么，，的大小关系是 （请用“＜”连接）． 题型四 求二次函数的最值 1．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 2．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）已知，那么函数的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 4．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知实数x、y满足．记的最大值、最小值分别为．则（  ） A． B．0 C．1 D． 5．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数，若，则的取值范围是 ． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 7．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为 ． 8．（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）已知二次函数，其中，则有最大值为 9．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数在的范围内有最小值 ． 10．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）函数，当时，函数的最小值是 ． 11．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在周长为18的矩形中，点E，F分别在边上（均不与顶点重合），，，设，梯形的面积为S． (1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)求S的最大值． 12．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数，该二次函数的图象经过点． (1)求式子的值； (2)当时，函数的最大值比最小值大2，求a的值． 题型五 二次函数图象的平移 1．（25-26九年级上·全国·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·青海西宁·三模）将的函数图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（    ） A．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 B．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位 5．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）把抛物线经过平移得，平移方法是（    ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 6．（新疆阿克苏地区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）将抛物线向右平移2个单位长度后，得到新抛物线 ． 7．（2025·湖南·三模）把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 8．（25-26九年级上·全国·期中）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的函数表达式为 ． 9．（新疆维吾尔自治区吐鲁番市2025-2026学年九年级上学期10月期中考试数学试题）将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到新抛物线为 10．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 11．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式以及顶点坐标． 题型一 根据二次函数图象判断式子符号 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，以下结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图是二次函数的图像，其中对称轴为直线，且过点和，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）当时，有最小值为2；（6）当时，．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列2个结论：①；②，是任意实数，下列说法正确的是（     ） A．①②都正确 B．①②都不正确 C．①正确②错误 D．①错误②正确 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论，正确的是（　　） ①； ②； ③若点，点是函数图象上的两点，则； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 6．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 7．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·安徽·模拟预测）二次函数的图像如图所示，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D．（为任意实数） 9．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ． 10．（23-24九年级上·云南大理·期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中正确的个数是 ．（填序号）       ， ， ， 当时，x的取值范围是 题型二 一次函数和二次函数图象综合判断 1．（16-17九年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 3．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川泸州·阶段练习）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在同一坐标系中，函数与的图像的大致位置可能是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A．B．C． D． 8．（2024·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型三 反比例函数和二次函数图象综合判断 1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 5．（2021·山东青岛·一模）已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（20-21九年级上·山东·期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 8．（2025·浙江·模拟预测）平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．2个或3个 9．（18-19九年级上·山东烟台·阶段练习）如图所示，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型四 两个二次函数图象综合判断 1．（2024·湖北·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 3．（19-20九年级下·陕西西安·阶段练习）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．（15-16九年级上·浙江·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A．B．C．D． 5．（20-21九年级上·山东青岛·期末）已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 题型五 利用不等式求自变量或函数值范围 1．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）已知，是抛物线上不同的两点，当时，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 3．（20-21九年级上·四川泸州·期末）已知，是二次函数的图象上的两点，若，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线M：，若，且当时，，则a的取值范围为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 5．（24-25九年级下·广东·阶段练习）如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数． (1)将二次函数的表达式化为的形式． (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． (3)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 7．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知抛物线． (1)当时，求函数值y的取值范围； (2)若两点都在抛物线上，且 求m的取值范围． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数中的x，y满足如表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)直接写出该函数图象的开口方向； (2)当时，求自变量x的值； (3)直接写出当时，x的取值范围． 9．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数（、为常数）． (1)当时，求二次函数在上的取值范围； (2)当时，求二次函数在上的最小值； (3)当时，若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为21，求此时二次函数的解析式． 题型六 根据交点确定不等式解集 1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（   ） A． B．或 C．且 D． 2．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 3．（2010·浙江·中考模拟）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 4．（25-26九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为 ． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是 ． 7．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是 ． 题型七 已知抛物线上对称两点求对称轴 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若二次函数满足，，则图象的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为 ． 3．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线，则它与轴的另一个交点坐标为 ． 4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线 ． 5．（25-26九年级上·北京大兴·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 6．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）已知二次函数，若点，均在该二次函数图像上，则 ． 7．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点为 ． 题型一 二次函数的图象与性质综合 1．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为、、，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．、、一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合） ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 3．（2024·湖南·模拟预测）我们定义【，，】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是【0，，0】． (1)若一个函数的特征数是【1，，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 ． (2)当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值． (3)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当（2）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值．为常数） 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2二次函数的图象和性质 题型一 二次函数的图象 1．（25-26九年级上·天津·阶段练习）抛物线与的共同点是（   ） A．开口方向相同 B．顶点坐标不同 C．对称轴相同 D．都有最高点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出它们的共同点，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：抛物线与的共同点是对称轴都是y轴，顶点坐标都是，抛物线的形状和开口大小一样， 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东·阶段练习）关于函数的图象，下列说法：图象是一条抛物线；开口向下；对称轴是轴；顶点坐标是．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质逐一分析即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，故正确； ∵， ∴抛物线开口向上，故错误； 的对称轴为轴，故正确； 的顶点在原点，故正确； 综上，正确的有，共个， 故选：． 3．（25-26九年级上·山西·阶段练习）二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是解决本题的关键． 根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向下， 故选：A． 4．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）二次函数的图象如下图所示，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质，可得的取值范围，结合选项进行分析，即可得的可能取值． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 只有选项A符合， 故选：A． 5．（25-26九年级上·天津河东·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为，开口向下即可判断． 【详解】解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了一般式中抛物线的对称轴公式，熟知对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式为即可获解． 【详解】解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 故选：． 7．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）对于任何实数a，抛物线与（    ） A．对称轴相同 B．顶点相同 C．最大值相同 D．都有最小值 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 由抛物线解析式可得抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到，进而求解． 【详解】解：∵抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到， ∴抛物线与抛物线的对称轴相同， 故选：A． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）对于二次函数，下列结论错误的是（   ） A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有公共点 D．函数有最小值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由二次函数，得 ，对称轴为， ∴二次函数的开口向上，当时，y随x的增大而增大， 故A，B正确， 当时，函数取得最小值为，D正确, 当时，， ， 即函数图象与x轴只有一个公共点， 故C错误． 故选C． 9．（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键． 直接根据顶点式的性质即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线； 故选：D． 10．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）二次函数的图象顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，解决此题的关键是熟练掌握二次函数的图像性质； 【详解】解：由二次函数的图象性质可知； 顶点坐标为：； 故选：C． 11．（2025·甘肃武威·模拟预测）抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 12．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）对于二次函数，下列说法中正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：依题意，， ∵， ∴该函数图象开口向上，故选项A不符合题意； 当时，函数的最小值为1，故选项B不符合题意； 函数图象的对称轴为直线，故选项C符合题意； 当时y随x的增大而减小，故选项D不符合题意； 故选：C． 13．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）抛物线的开口向 ．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据的正负判断函数的开口朝向，如果，开口向上；如果，开口向下． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下， 故答案为：下． 14．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）二次函数的图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答本题的关键． 直接根据二次函数的顶点式即可解答． 【详解】解：∵二次函数为顶点式， ∴其顶点坐标为． 故答案为：． 15．（22-23九年级上·辽宁抚顺·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数顶点式的特征，根据二次函数的顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键． 利用二次函数性质求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标是， 故答案为：． 17．（2025·甘肃武威·一模）二次函数的图象的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，先确定二次函数一般形式中二次项和一次项的系数，代入对称轴公式计算． 【详解】解：， 对称轴是直线， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法求函数图像的顶点坐标、对称轴； (2)用描点法在给定的平面直角坐标系中画出此函数的图像（需列表）． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2)见解析 【分析】本题考查的是二次函数图像问题，关键是掌握画图的方法． （1）把函数解析式用配方法化为顶点式即可解答； （2）用列表，描点，连线作出图像即可． 【详解】（1）解：， 所以，顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：列表： x …… 0 1 2 3 4 5 …… y …… 1 4 5 4 1 -4 …… 描点，连线如图： 19．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知抛物线的解析式为．求： (1)抛物线的顶点坐标为________________________； (2)将其化成顶点式，并在直角坐标系中作出函数图象． 【答案】(1) (2)，画图见解析 【分析】（）根据顶点坐标公式解答即可； （）利用配方法可把解析式化成顶点式，求出抛物线与坐标轴的交点及对称点，再描点、连线可画出函数图象； 本题考查了二次函数的顶点坐标公式，二次函数的顶点式，画二次函数图象，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴二次函数的顶点式为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，对称点为， 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴画函数图象如下： 题型二 二次函数的性质 1．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）下列关于二次函数和的图象说法不正确的是（　　） A．三条抛物线的开口大小相同 B．三条抛物线的对称轴均为直线 C．与的图象关于轴对称 D．向上平移1个单位长度得到 【答案】D 【分析】此题考查二次函数的图象和性质．根据二次函数的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：A. ∵二次函数和的二次项系数的绝对值相同， ∴三条抛物线的开口大小相同，故选项A正确； B. 三条抛物线的对称轴均为y轴，即直线，故选项B正确； C. 与的图象关于轴对称，故选项C正确； D. 向上平移1个单位长度得到，得不到，故选项错误，符合题意， 故选：D 2．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可知，二次函数的对称轴是，，所以二次函数的开口向上，当时，随的增大而增大，因为点关于对称轴的对称点是，则可知． 【详解】解：二次函数的对称轴是，， 二次函数的开口向上，点关于对称轴的对称点是， 当时，随的增大而增大， ， ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 3 … y … 1 3 4 3 … 下列关于该二次函数的说法，错误的是（   ） A．开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y有最大值4 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数函数的图象和性质，先根据表格数据确定对称轴，根据增减性，判断开口方向，再根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 在对称轴的左侧，随着的增大而增大， ∴抛物线的开口向下，当时，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∴当时，函数有最大值，当时，； 综上：只有选项C错误； 故选C． 4．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线皆开口向上， ∴各二次函数中的二次项系数都为正数， ∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）二次函数的图象是 ，当时，开口向 ；当时，开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ． 【答案】 抛物线 上 下 y轴 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系，以及二次函数的图象和性质可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，当时，开口向上，当时，开口向下，顶点坐标是，对称轴是y轴， 故答案为：抛物线，上，下，，y轴． 7．（18-19九年级上·辽宁鞍山·期中）已知四个二次函数的图像如图所示，那么的大小关系是 ．（请用“>”连接排序） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键． 直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系即可得出答案． 【详解】解：如图所示：根据图像可知的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口， 则． 根据图像可知的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口， 则． ∴． 故答案为：． 8．（2024·广东·模拟预测）若二次函数的图象上有两个点，则 （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质．对于开口向上的函数，距离对称轴越近，值越小． 根据二次函数图象的增减性即可解答． 【详解】解：的对称轴为直线，开口方向向上，顶点为． ∵对于开口向上的函数，距离对称轴越近，值越小，比离对称轴的距离近， ∴． 故答案为． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键．由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 10．（2025·上海·模拟预测）若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再根据轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：13． 11．（2025·甘肃酒泉·一模）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 从表可知，下列说法中正确的是 填写序号 ①抛物线与轴的一个交点为； ②函数的最大值为； ③抛物线的对称轴是直线； ④在对称轴左侧，随增大而增大． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了抛物线的性质：抛物线是轴对称图形，它与轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；时，函数有最大值，在对称轴左侧，随增大而增大． 根据表中数据和抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向下，对称轴为，当时，，再根据抛物线的性质即可进行判断． 【详解】解：根据图表，和时，，则抛物线对称轴为直线， 当，，根据抛物线的对称性，当时，， 即抛物线与轴的交点为和； 根据表中数据得到抛物线的开口向下， 当时，函数有最大值，即最大值大于6， 并且在直线的左侧，随增大而增大． 所以①③④正确，②错． 故答案为：①③④． 12．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为y轴 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（，a、b、c为常数）的函数叫二次函数．也考查了二次函数的性质． （1）根据二次函数的定义得到且，解得，，由于当时，y随x的增大而增大，根据二次函数的性质则有，于是得到； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴且， 解得，， ∵二次函数当时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 13．（25-26九年级上·广东韶关·阶段练习）已知二次函数． (1)写出其图象的对称轴方程、及顶点坐标； (2)当满足_________时，随的增大而减小； (3)当___________时，有_________（填“最大”或“最小”）值为________． 【答案】(1)，； (2)； (3)，最小，； 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据对称轴公式和顶点公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解； （3）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：二次函数， ∴， ∴对称轴为， ∴对称轴方程为， 把代入中，得：， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴二次函数开口向上， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 故答案为：； （3）解：∵， ∴二次函数开口向上，有最小值， ∵顶点坐标为， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：，最小，； 14．（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 【答案】，直线，，小，． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数的性质作答即可． 【详解】解：已知二次函数， 顶点坐标：，对称轴：直线，当时，y有最小值，最值为． 故答案为：，直线，，小，． 15．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）已知二次函数． (1)写出函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标是 (2)当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查二次函数的有关知识点，了解二次函数的图像及性质；熟知相关知识是正确解答此题的关键． （1）运用二次函数的顶点式即可求出对称轴和顶点坐标； （2）由二次函数开口向上，运用二次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴函数图象的对称轴为直线，顶点坐标是； （2）解：， 当时，y随x的增大而增大． 题型三 利用二次函数性质比较大小 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）点都在二次函数图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，分别求出，和时的函数值即可判断． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，比较二次函数值的大小． 根据抛物线的开口方向及对称轴分析各点与对称轴的距离，从而确定大小关系即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为，开口向下， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 离对称轴越近的点，y值越大，故。 故选：A ． 3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性、增减性等知识点．掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据函数解析式的特点可知对称轴为，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选D． 4．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次函数的性质比较函数值的大小，把点，，代入解析式分别求出函数值，即可比较，，之间的大小． 【详解】解：分别把，，代入函数解析式得 ，，， ∴． 故选：A 5．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先配方函数解析式抛物线的开口方向向下，对称轴为，再根据二次函数的增减性和对称性即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵关于的对称点为，， ∴． 故选A． 6．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 将二次函数关系式化成顶点式，即可得出抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，再比较可得答案. 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是，函数有最大值，即当时，有最大值. 即抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ， ∵， ∴. 故选：A. 7．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴； 故答案为： 8．（25-26九年级上·青海西宁·阶段练习）二次函数图象经过三点，则从小到大依次排列为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点． 根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上，有最小值；根据二次函数图象的对称性可判断；于是． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，有最小值． ∵， ∴是顶点，最小， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图像上，那么，，的大小关系是 （请用“＜”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．先求出对称轴，利用对称性求出的对称点为，再根据二次函数的图象和性质得到当时，y随x的增大而减小，即可得出结论． 【详解】解： 对称轴， ∴的对称点为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 题型四 求二次函数的最值 1．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据的取值范围和函数图象的性质，找到函数取得最大值和最小值时的的取值是解答本题的关键．先判断对称轴和开口方向，再根据的取值范围，结合二次函数的图象，得出最大值和最小值时的的取值，即可得出函数的最大值和最小值． 【详解】解：， 二次函数图象的对称轴为，且开口向上， 在范围内，当时，函数取最小值， 当时，函数取最大值， 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）已知，那么函数的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．先将函数的解析式化为顶点式，再根据二次函数性质判断出对称轴为直线，函数图像开口向下，则距离对称轴越远函数值越小，从而得到在时，该函数取得最小值，此时． 【详解】解：函数， 对称轴为直线，函数图像开口向下， 则距离对称轴越远函数值越小， 当时，在时，该函数取得最小值，此时， 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握若开口向上，则函数在对称轴上取得最小值，若开口向下，则函数在对称轴上取得最大值是解题的关键． 由题知，，二次函数开口向上，又对称轴，接着代入求解即可． 【详解】二次函数， ，二次函数开口向上，对称轴方程为， 所以时，二次函数取得最小值， 则，解得． 故选：B． 4．（24-25九年级下·上海·自主招生）已知实数x、y满足．记的最大值、最小值分别为．则（  ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形及应用，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是掌握完全平方公式的巧妙变形及换元思想． 根据完全平方公式得出，，令，，则，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 令，，则， 可令，看作是二次函数， ∵， ∴抛物线顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，，符合题意， ∴最大值为； 当时，； 当时，； ∴的最小值为0， ∴， 故选：D． 5．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得开口方向向下，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，再把代入，得出，因为，再把代入，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， ∴把代入，得，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴把代入，得； ∴在，则的取值范围是， 故答案为： 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与抛物线． (1)若它们没有交点，则的取值范围是_______； (2)若当时它们有交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质以及直线与抛物线的位置关系，数形结合是解题的关键． （1）先将抛物线化为顶点式，确定其顶点坐标和开口方向，再结合直线与抛物线的位置关系来确定a的取值范围； （2）先求出抛物线在这个区间内的最大值和最小值，再根据直线与抛物线有交点的条件来确定a的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵直线与抛物线没有交点， ∴当时，直线在抛物线的下方，二者没有交点， ∴的取值范围是， 故答案为：． （2）解：由（1）知抛物线，顶点坐标为，且开口向上， 当时，y有最小值， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，y有最大值1， ∵直线与抛物线，当时它们有交点， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数的解析式，再求出最值即可． 【详解】解：设， ∵于点E，于点F，， ∴为矩形， ∵在中，，， ∴,， ∵， ∴，， 矩形面积， ∴当时，面积最大为， 故答案为： ． 8．（24-25九年级下·四川自贡·阶段练习）已知二次函数，其中，则有最大值为 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质及最值的求法，解题的关键是熟练应用二次函数的图象及性质． 根据二次函数的解析式可知图象开口向下，对称轴为直线，根据二次函数的增减性，求出当时，的值即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 即当时，． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数在的范围内有最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出二次函数图像的对称轴为直线，对称轴在的范围内，利用二次函数的增减性求得最小值即可． 【详解】解：， 则二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下， 在时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 在时，y随x的增大而减小， ∴当时，， ， 故在范围内最小值为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）函数，当时，函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先分别求出、和时，的值，再求出当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，函数的值最小，由此即可得． 【详解】解：将代入函数得：， 将代入函数得：， 将代入函数得：， ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，函数的值最小，最小值为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在周长为18的矩形中，点E，F分别在边上（均不与顶点重合），，，设，梯形的面积为S． (1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)求S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查矩形的性质、梯形面积公式以及二次函数的性质． （1）先根据矩形周长求出与的关系，再结合已知条件表示出梯形的上底、下底和高，最后根据梯形面积公式列出函数表达式并确定x的取值范围． （2）根据二次函数的性质，结合x的取值范围求出S的最大值． 【详解】（1）解：∵矩形周长为18， ∴，， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵梯形的上底，下底，高， ∴． ∵点E，F分别在边上（均不与顶点重合）， ∴， 解得． ∴S关于x的函数表达式为，x的取值范围是． （2）解：对于二次函数，其中， ∴该函数图像开口向下，对称轴为． ∵对称轴在的取值范围内， ∴当时，S有最大值． 将代入，可得． ∴S的最大值为9． 12．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数，该二次函数的图象经过点． (1)求式子的值； (2)当时，函数的最大值比最小值大2，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）将点代入函数，根据代入后的等式变形解得的值； （2）通过对称轴分析函数在区间上的最值分布，分情况讨论最大值和最小值的位置并建立方程求解a的值即可． 【详解】（1）解：将，代入得： 解得； （2）解：∵， ∴， 将代入函数化简为， 其对称轴为，因开口向上， 当时，， 当时，， 当时，， ①当，即，此时最大值在，最小值在， 由题意得， 解得（舍去）； ②当，即，此时最大值在，最小值在， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）； ③当，即，此时最大值在，最小值在， 由题意得， 解得（舍去）； 综上，． 题型五 二次函数图象的平移 1．（25-26九年级上·全国·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 2．（2025·青海西宁·三模）将的函数图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移，熟记平移规律：左加右减，上加下减，理解函数图象平移的规律是解题的关键．根据图象的平移规律回答即可． 【详解】解：将的函数图象向左平移个单位长度， 平移后的解析式为：． 故选：B． 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的平移．根据平移的规律：左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（    ） A．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 B．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：抛物线先向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到抛物线． 故选：B． 5．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）把抛物线经过平移得，平移方法是（    ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过平移得，即， ∴平移方法是向左平移1个单位，再向下平移3个单位， 故选：A． 6．（新疆阿克苏地区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）将抛物线向右平移2个单位长度后，得到新抛物线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移规律，根据“左加右减”的规则，向右平移2个单位长度，需将原函数中的x替换为． 【详解】解：将抛物线 向右平移2个单位长度，根据平移规律，新抛物线为 ． 故答案为：． 7．（2025·湖南·三模）把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移法则：左加右减，上加下减，是关键；根据平移法则即可完成． 【详解】解：由题意得：， 即， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·全国·期中）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握二次函数的平移规律：左加右减，上加下减．先将其化为顶点式，再根据二次函数图形的平移规律，即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线的函数表达式为， 故答案为：． 9．（新疆维吾尔自治区吐鲁番市2025-2026学年九年级上学期10月期中考试数学试题）将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到新抛物线为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据平移规律：左加右减，上加下减，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度， ∴， 即得到新抛物线为， 故答案为： 10．（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：由题意得， ∵抛物线向下平移3个单位长度， ∴平移后抛物线的表达式为 故答案为： 11．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 【答案】（或） 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，先对进行左移操作，再对整个函数进行下移操作来求解平移后的解析式． 【详解】解：抛物线向左平移个单位，得到； 再向下平移个单位，得到， 展开可得． 故答案为：（或）． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式以及顶点坐标． 【答案】解析式，顶点坐标 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，求二次函数的顶点坐标， 先将二次函数化为顶点式，再根据平移的特征解答，并根据顶点式确定答案. 【详解】解：抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后得到的关系式为， 即，其顶点坐标为. 题型一 根据二次函数图象判断式子符号 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，利用抛物线开口向下，可得，抛物线与y轴交于正半轴，可得，又因为抛物线的对称轴是直线，即，即可判定A；利用时，；时，得到，则判定B；利用交点个数可判断C；利用对称轴小于1可判断D 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，即，， ∴， ∴，故选项A错误； 当时，； 当时，， ∴ ∴，故选项B错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故C错误； ∵，， ∴， ∴，故选项D正确， 故选：D． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，以下结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象及对称轴可得，，，即可判定①；由对称轴可判定②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 即得到当时，，即可判定③；根据二次函数的性质可判定④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②由①知，， ∴，故②正确； ③∵二次函数图象的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标是， ∴当时，，即，故③错误； ④∵二次函数开口向上， ∴二次函数图象上的点离对称轴的距离越大函数值越大， ∵， ∴，故④正确； 综上，说法正确的是②④， 故选：． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图是二次函数的图像，其中对称轴为直线，且过点和，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）当时，有最小值为2；（6）当时，．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数的图像，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，二次函数解析式可化为：， ∴，， ∵抛物线开口向下， ∴，，， ∴，（1）错误； 由图象知抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，（2）正确； ∵， ∴，（3）正确； ∵抛物线过， ∴当时，，（4）错误； 由图像知抛物线的顶点为，开口向下， ∴当时，有最大值，（5）错误； 由图象知，当时，，（6）正确； ∴正确的有（2）（3）（6），三个． 故选：B ． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列2个结论：①；②，是任意实数，下列说法正确的是（     ） A．①②都正确 B．①②都不正确 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴可得，，再由对称轴计算公式得到，由此可判断①；根据当时，可判断②． 【详解】解：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ，， 对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 当时，， ，即，故②正确； 说法正确的有②． 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论，正确的是（　　） ①； ②； ③若点，点是函数图象上的两点，则； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．观察图象可知，抛物线开口向下，故，对称轴在y轴右侧，故，交点在y轴正半轴，故，从而可判断①；根据对称轴和A点坐标为，可得出抛物线与x轴的另一交点坐标为，则当时，，从而可判断②；找到点的对称点为，利用增减性可判断③；对称轴为直线，从而，当时，，即，即，又由，可得，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴2，即， ∵二次函数与y轴的交点与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：B． 6．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 根据抛物线的开口方向，对称轴位置可判断①②，根据图象可得当时，可判断③，由图像可得时函数值最大，将化为可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ，故①不正确，不符合题意； 对称轴为， ，即，故②正确，符合题意； 由图可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 抛物线开口方向向下，且对称轴为， 时，取最大值， 由可得， 当时，， 当时，， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的由②③④． 故选：． 7．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的关键．①由点在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在轴右侧以及与轴交于负半轴，可得出，进而可得出，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及，可得出，进而可得出，结论③正确；④由二次函数的图象经过点和，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，，进而可得出，结论④正确．综上，此题得解． 【详解】解：①点在二次函数图象上， ∴，结论①正确； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴， ， ， ∴，结论②错误； ③， ∴， ∴，结论③正确； ④二次函数的图象经过点和， ∴， ∴，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①③④共3个． 故选：C． 8．（2025·安徽·模拟预测）二次函数的图像如图所示，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D．（为任意实数） 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键，关键二次函数图像性质逐一分析判断即可． 【详解】解：A、由二次函数图像可知：， 对称轴， ， 而二次函数图像与y轴交点在y轴正半轴， ， ，故A选项正确，不符合题意； B、由对称轴可得， ， 故B选项错误，符合题意； C、当时，， 故C选项正确，不符合题意； D、当时，有最大值， 当时，， ， ， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 9．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、特殊点的函数值与系数、、的关系是解题的关键． 先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等特征，分别分析每个结论涉及的系数、、的符号及数量关系，再逐一判断结论的正确性． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴为直线，即， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∵，，， ∴，故①正确． ∵对称轴为直线，即， ∴，即，故②正确． 当时，，由图象知时，，即； 把代入得，故③错误． 当时，，由图象知时，，即， ∴不成立，故④错误． 故答案为：①②． 10．（23-24九年级上·云南大理·期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中正确的个数是 ．（填序号）       ， ， ， 当时，x的取值范围是 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质． 根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断；②根据抛物线对称轴是直线，即，可得，进而可以判断；③根据顶点坐标和，进而可以判断；④当时，，即，根据，可得，即可判断；⑤当时，，解得或，可得，根据函数图像的开口方向即可判断． 【详解】解：①根据抛物线开口向下可知：， 对称轴在y轴右侧， ， 抛物线与y轴正半轴相交， ， ，故①错误； ②抛物线对称轴是直线，即， ， ，故②正确； ③， ， 如果， 那么， ， ， 而根据抛物线与y轴的交点，可知，故③错误； ④当时，， 即， ， ，故④正确； ⑤当时，， ， 解得或， 由，可得， 抛物线开口向下， 当时，x的取值范围是，故⑤正确， 所以正确的是②④⑤， 故答案为：②④⑤． 题型二 一次函数和二次函数图象综合判断 1．（16-17九年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质；根据二次函数的图象知：，，求得，，据此判断即可． 【详解】解：观察四个选项，由二次函数的图象知：，， ∴，， ∴一次函数的图象一、三、四象限， 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图像与各系数的关系，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 根据二次函数的图像特征判断的正负，再依据的正负确定一次函数的图像所经过的象限，从而对各选项进行判断． 【详解】解：A、B、由二次函数的图象开口向上，， 一次函数的图象应经过一、二、三象限，故A、B选项错误，不符合题意； C、D、由二次函数的图象开口向下，， 一次函数的图象应经过二、三、四象限，故D选项错误，不符合题意，C选项正确，符合题意； 故选：． 4．（25-26九年级上·四川泸州·阶段练习）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，结合一次函数和二次函数的图象性质，从系数的符号，特殊点、对称轴等方面逐项分析即可． 【详解】解：A、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数：开口向上，说明，的符号矛盾，A选项错误； B、选项一次函数从左到右上升，说明，二次函数对称轴：因为，但图中抛物线对称轴在轴左侧，矛盾，B选项错误； C、选项一次函数从左到右上升，说明，与x轴交点为，符合一次函数的性质，二次函数开口向上，说明，对称轴，与图中抛物线对称轴在轴右侧一致，二次函数判别式：，若且抛物线与轴有两个交点，则，，即，是合理的，所有性质均一致，C选项正确； D、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数开口向下，说明，一次函数与轴交点应为，但图中直线与轴交点不是，矛盾，D选项错误． 故选：C． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过二、三、四象限，，故此选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴，由直线可知，图象过一、二、三象限，，故此选项错误，不符合题意； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，四象限，，故此选项错误，不符合题意； D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，三象限，即，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在同一坐标系中，函数与的图像的大致位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据a的符号判断一次函数与二次函数的图像所经过的象限，然后作出选择即可； 本题考查了一次函数和二次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数的系数与图像的关系是解题的关键． 【详解】解：当，二次函数的图像的开口方向是向上；一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当，二次函数的图像的开口方向是向下；一次函数的图像经过第二、三、四象限； 只有选项B符合条件， 故选：B． 7．（2025·安徽·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的图象特征是解题关键．先根据抛物线的开口向上可得，再根据对称轴可得，然后根据一次函数的图象特征即可得． 【详解】解：∵二次函数图象的开口向上， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 8．（2024·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，由二次函数的图象确定的符号，进而得出一次函数图象的分布位置即可求解，掌握一次函数与二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵抛物线开口向上， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与轴的交点为，故选项图象符合题意； 、∵抛物线开口向上， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 、∵抛物线开口向下， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 、∵抛物线开口向下， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 故选：． 题型三 反比例函数和二次函数图象综合判断 1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分，讨论即可． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 5．（2021·山东青岛·一模）已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象．根据图象可得，由此可判断二次函数对称轴的位置，再由一次函数和反比例函数图象没有交点可得方程无实数根，由此可得二次函数与x轴无交点，据此即可得到答案． 【详解】解：由一次函数图象可知， 由反比例函数图象可知， ∴二次函数对称轴，排除B、D， 由图象可知一次函数和反比例函数图象无交点， ∴方程，即无实数根， 故二次函数与x轴没有交点， 故选：A． 6．（20-21九年级上·山东·期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 7．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 8．（2025·浙江·模拟预测）平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．2个或3个 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数和二次函数的图象性质，联立方程并根据函数的图象来判断交点是解题的关键．联立两个函数得到方程，判断所得方程根的个数，从而确定两个函数图象的交点个数． 【详解】解：反比例函数与二次函数联立，即， 两边同时乘x，得， 化简得， 由题意知，，， ， ，即， 可以看成反比例函数与二次函数交点横坐标， 反比例函数与二次函数图象如图所示， 由图可知反比例函数与二次函数有3个交点， ∴方程有3个不同的实数根， 反比例函数与二次函数的图象交点个数为3个， 故选：C． 9．（18-19九年级上·山东烟台·阶段练习）如图所示，二次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象的性质． 解答此题的关键是分两种情况讨论的取值范围，再结合图象的性质分析找到符合条件的选项即可． 【详解】解：当时，，二次函数的图象开口向上，与轴负半轴相交，反比例函数的图象在一、三象限，所以A、B都不符合题意； 当时，，二次函数的图象开口向下，与轴正半轴相交，反比例函数的图象在二、四象限，所以C不符合题意， D符合题意． 故选D． 题型四 两个二次函数图象综合判断 1．（2024·湖北·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 2．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质，根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，注意：二次函数的越大，图像开口越小． 【详解】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的左侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故选项符合题意； B．图像开口向上，故选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故选项不符合题意； D．图像开口向上，故选项不符合题意． 故选：A． 3．（19-20九年级下·陕西西安·阶段练习）如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可. 【详解】∵二次函数的图像为抛物线， ∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键. 4．（15-16九年级上·浙江·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标． 5．（20-21九年级上·山东青岛·期末）已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断． 【详解】解：当时，， 整理得， ， ，解得或； 当时，， 整理得， ， ，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 6．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 题型五 利用不等式求自变量或函数值范围 1．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）已知，是抛物线上不同的两点，当时，恒有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线，从而求得，进而得到抛物线的解析式为；结合二次函数的图象和性质可求得当时，有最小值，当或时，，推得当时，，再结合题意即可求解． 本题考查了二次函数的对称轴、图象和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】解：由， 知抛物线对称轴为， ∴，，抛物线为， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴函数在时有最小值， ∴当或时，，如图，      ∵当时，恒有，即点和点在上， 又∵时，点和点重合，不符合题意； ∴最大可以取到4，但不能等于2， ∴的取值范围是， 故选： B． 2．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数图象与x轴有交点，则求出或，由二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且，从而得到或或，最后计算即可得解． 【详解】解：二次函数为实数的图象与x轴有交点， ∴， ∴或， ∴或， ∵点是该函数图象与轴的一个交点，且，且二次函数的开口向下， ∴，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，或． 故选：C． 3．（20-21九年级上·四川泸州·期末）已知，是二次函数的图象上的两点，若，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，根据，，结合抛物线开口方向利用抛物线的对称性可得，且，再根据即可解答． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为，且， ∴二次函数的图象开口向下． ∵，且， ∴，且． ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 4．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线M：，若，且当时，，则a的取值范围为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 依据题意，可得，令，解得、，又可知当时，即，抛物线符合题意；再分2种情况讨论：①当时，抛物线开口向上；②当时，抛物线开口向下，再结合抛物线与x轴交点的位置进行分析即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴令，则， ∴，， 当时，即，此时， ∴当时，符合题意； 当时，抛物线与x轴的交点为和． 下面分2种情况讨论： ①当时，抛物线开口向上，此时， 若，则抛物线在的图象在x轴下方，不符合题意； 若即，则抛物线在的图象y随着x的增大而增大，且满足，符合题意． ∴． ②当时，抛物线开口向下，此时， ∴抛物线在的图象在x轴上方， ∵当时，， ∴， ∴． 综上所述，a的取值范围为或． 故选：D． 5．（24-25九年级下·广东·阶段练习）如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质等知识，由关于对称轴对称得，且在对称轴左侧，在对称轴右侧；确定抛物线与轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：都在对称轴左边时，分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵关于对称轴对称， ， ∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线， ∴此交点关于对称轴的对称点为， ∵且， ∴， 解得：， 当都在对称轴左边时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 当分别在对称轴两侧时， ∵ ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或， 故选：B． 6．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数． (1)将二次函数的表达式化为的形式． (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． (3)观察图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的图象求解． 【详解】（1）解： ， 即； （2）解：列表： … 0 … … 3 0 3 … 画图如下， （3）解：由图像可知：当时，． 7．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知抛物线． (1)当时，求函数值y的取值范围； (2)若两点都在抛物线上，且 求m的取值范围． 【答案】(1)函数值y的取值范围是 (2)m的取值范围为 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，求函数的最值，利用二次函数求不等式的取值范围，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）根据列出m的不等式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，抛物线的最大值为， ∵， ∴当时，， ∴当时，函数值y的取值范围是； （2）解： ∴当时，；当时，， ∵， ∴， 解得． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数中的x，y满足如表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)直接写出该函数图象的开口方向； (2)当时，求自变量x的值； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)开口向上 (2)或5 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，二次函数与不等式，解题关键是根据表格分析二次函数的图象和性质． （1）根据表格中对称点，可求图象对称轴，由图象对称轴右侧的y随x增大而增大可得抛物线开口向上； （2）根据二次函数的对称性求表格中的对称点即可求得； （3）根据函数的图象经过，，以及开口方向即可确定． 【详解】（1）解：∵图象经过，， ∴图象对称轴为直线， 由表格可得，时，y随x增大而增大， ∴抛物线图象开口向上； （2）∵关于直线的对称点是， ∴当时，求自变量x的值为或5； （3）∵函数图象经过，，开口向上， ∴当时，x的取值范围为：． 9．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数（、为常数）． (1)当时，求二次函数在上的取值范围； (2)当时，求二次函数在上的最小值； (3)当时，若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为21，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1) (2)当时，y有最小值为；当时，y有最小值；时，y有最小值为； (3)或 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数性质，理解题意，注意分情况讨论． （1）把代入函数解析式，根据二次函数的性质即可求出函数在上的取值范围； （2）根据当时，根据二次函数的性质结合对称轴分，，三种情况讨论即可； （3）当时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，二次函数y的值随x的增大而增大， ∴时，函数取得最小值为，时，时函数取得最大值为， ∴二次函数在上的取值范围为； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴二次函数的图象关于对称， ①若，即时，则当时，y有最小值为； ②若，即时，则当时，y有最小值； ③若，即时，则当时，y有最小值为； 综上，当时，y有最小值为；当时，y有最小值；时，y有最小值为； （3）解：当时，二次函数的解析式为， 则二次函数图象开口向上，对称轴为的抛物线， ①若，即时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大， ∴当时，为最小值， ∴， ∴或（舍去）， ∴二次函数的解析式为； ②若，即， 当时，代入，得y最小值为， ∴， ∴（舍去）或（舍去）， ③若，即，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小， ∴当时，代入二次函数的解析式为中，得y最小值为， ∴， ∴或（舍去）， ∴二次函数的解析式为． 综上所述，二次函数的解析式为或． 题型六 根据交点确定不等式解集 1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（   ） A． B．或 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得，对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向下， ∴当或时， ， ∴不等式的解集是或， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，找出一次函数图象位于二次函数图象下方对应的自变量的取值范围即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象位于二次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或， 故选：． 3．（2010·浙江·中考模拟）已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），结合图象可得出答案． 【详解】解：由图象可得，当时，抛物线的函数图像在直线的函数图像的上方，所以自变量的取值范围为或． 故答案为：或． 5．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图像求自变量的取值范围 ．培养学生的数形结合能力 ．正确画出函数图像是解题的关键． 根据函数关系式画出函数的图像，观察函数的图像即可求得． 【详解】画出函数的图像如图： 由图像可以看出当时，， 当时，， ∴当时， 则的取值范围为或． 故答案为：或． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，函数图象上点的坐标特征，函数的对称轴为，抛物线和x轴的一个交点坐标为，根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵函数的对称轴为，抛物线和x轴的一个交点坐标为， ∴根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点的坐标为， ∴根据函数图象可得，若，则x的取值范围是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：观察图象得：当或时，， 即当或时，，此时， 所以当时，自变量的取值范围是或． 故答案为：或 题型七 已知抛物线上对称两点求对称轴 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若二次函数满足，，则图象的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用抛物线的对称性求解，根据题意可知点和点关于对称轴对称，进而可求出对称轴． 【详解】解：∵二次函数满足，， 即当时，满足， 当时，满足， ∴点和点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选A． 2．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）已知二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数性质等知识．抛物线上有两个对称点的坐标为和，则对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 3．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线，则它与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，根据抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称可得答案. 【详解】解：∵二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线， ∴设另一个交点的横坐标为，则根据对称性有，解得，即它与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式求解，即抛物线与轴的交点是，，则抛物线的对称轴为直线． 因为点与的纵坐标都为，所以可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：抛物线与轴的交点为，， 两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·北京大兴·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则h的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察点和，它们关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：∵抛物线经过点和两点，且和两点的纵坐标相等， ∴点和关于对称轴对称， 即． 故答案为：1． 6．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）已知二次函数，若点，均在该二次函数图像上，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图像上点的坐标特征，先根据函数的对称轴求出��的值． 【详解】解：∵点，均在该二次函数图像上， ∴对称轴为直线 ∴ 解得：， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称性， 先求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出答案即可. 【详解】解：二次函数的对称轴是， 设另一个交点坐标为，根据题意，得 ， 解得， 所以另一个交点的坐标为. 故答案为：. 题型一 二次函数的图象与性质综合 1．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为、、，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．、、一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段、一元二次方程的解法、勾股定理，解决本题的关键是根据“边积三角形”的定义和勾股定理找到三角形各边之间的关系．根据“边积三角形”的定义可得：，根据比例的性质可得：；设，根据三角形三边之间的关系可得：，解得：，根据三角形的三边长度必须是正数，可得：；根据，可得：，，从而可得：；根据勾股定理可知，当是直角三角形时，可得：或与B选项中的结论矛盾，所以不可能是直角三角形． 【详解】解：A选项：且是“边积三角形”， ， ， 故A选项正确； B选项：设， 则有，， ， ，， ， ， 是的边， ， 不等式两边同时除以，可得：， 移项得：， 令， 则二次函数的图象开口向上， 当时，可得：， 解得：，， 当时，成立， 又， ， 当时，， ， 故B选项正确； C选项：， ， ，， ， ， ， ， 整理得：， ， 故C选项错误； D选项：若是直角三角形，则有， ，， ，， ， 整理得：， 配方得：， 解得：，， 与矛盾， 不可能是直角三角形， 事件“是直角三角形”的概率为， 故D选项正确． 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（，与原点都不重合） ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，再根据等式对任意都成立，通过比较对应项系数相等即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得，， 即， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①∵ ∴， ∴抛物线的解析式为． 又∵， ∴． ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ∴， 故； ②∵在上， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值， ∴设（k为定值,）, ∴, 将 代入上式得：， 整理得， 由于上式对任意都成立，所以对应项系数相等， 则有， 解得， ∴． 3．（2024·湖南·模拟预测）我们定义【，，】为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是【0，，0】． (1)若一个函数的特征数是【1，，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 ． (2)当“特征数”是【1，，】的函数在直线和直线之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求的值． (3)点关于轴的对称点为点，点关于轴的对称点为点．当（2）中的抛物线与四边形的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出的值．为常数） 【答案】(1)【1，0，】 (2)的值为或 (3)的取值为或1或 【分析】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键． （1）由已知可知，平移后的函数为，则可求“特征数”； （2）“特征数”是【，，】的函数解析式为，抛物线的顶点为，对称轴是直线，分四种情况：当，即时，抛物线的最高点在处取得，有，当，即时，抛物线的最高点在处取得，有，当，即时，抛物线的最高点在取得，有，当，即时，抛物线的最高点在处取得，有，分别解方程可得答案； （3）由抛物线的顶点坐标为，且，分四种情况：当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；，即时，有两种情况：抛物线与直线有两个交点，可得，，故，抛物线与矩形相邻两边有交点，可得，故，当时，可得，故，解方程可得答案． 【详解】（1）函数的特征数是【1，，1】， 函数为， 将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到， 函数的“特征数”是【1，0，】， 故答案为：【1，0，】 （2）“特征数”是【1，，】的函数解析式为， 抛物线的顶点为，对称轴是直线， 由抛物线的性质可知，当与时，相等，且， ①当，即时，抛物线的最高点在处取得， ， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时，抛物线的最高点在处取得， ， 解得或（舍去）， ③当，即时，抛物线的最高点在取得， ， 解得（舍去）或（舍去）， ④当，即时，抛物线的最高点在处取得， ， 解得， 综上所述，的值为或； （3）由（2）知抛物线的顶点坐标为，且， ①当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ②当，即时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ③，即时， 需要分以下两种情况： 抛物线与直线有两个交点，如图， 两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ， ，，，； ， 解得， 抛物线与矩形相邻两边有交点，如图， 两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，到轴距离与到轴距离都为2， 到轴距离为1，即， ， ， 解得（舍去）或； ④当时，如图： 两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ， 又， ， ， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值为或1或． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $