26.3(第2课时) 二次函数转化为一元二次方程的应用（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的应用，通过三类型分层设计，实现从基础图象分析到综合范围求解的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|图象/表格确定方程近似根|以选择填空为主，通过19道图象辨析题巩固数形结合，培养几何直观| |进阶层|图象法解一元二次不等式|结合对称轴与交点坐标，16道题训练从图象抽象解集，发展推理能力| |综合层|不等式求自变量/函数值范围|含解答题，综合函数性质与不等关系，提升模型观念与应用意识|

26.3(第2课时) 二次函数转化为一元二次方程的应用（解析版） 目 录 类型一、利用图象或表格确定一元二次方程的近似根 1 类型二、图象法解一元二次不等式 24 类型三、利用不等式求自变量或函数值的范围 37 类型一、利用图象或表格确定一元二次方程的近似根 1．二次函数的图象如图所示，则当函数值时，x的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的上方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当或时，函数图象在轴的上方，， 故选：． 2．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 3．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ） A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或x＞4 【答案】C 【分析】求y＞0时x的取值范围，就是二次函数的图象在x轴下方时对应的x的范围． 【详解】根据图象可得x的范围是x＜﹣1或x＞3． 故选C． 4．抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＞1 D．x＞﹣3 【答案】B 【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数与x轴的两个交点坐标，然后再根据函数图象即可得到当y＞0时，x的取值范围． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的与x轴的两个交点坐标为（-3，0），（1，0）． ∴当y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1， 故选B． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 5．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，以及这些点代表的意义及函数特征． 由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于和两点，函数开口向下， ∴当函数值时，自变量x的取值范围是， 故选：C． 6．抛物线 的部分图象如图所示，当时自变量x的取值范围为（　　） A． B． 或 C． D． 或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据图象可知抛物线与轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，进而可得抛物线和x轴的另外一个交点坐标为，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， 抛物线和x轴的另外一个交点坐标为：， 从图象看，当时自变量x的取值范围为：， 故选：C． 7．二次函数的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识点，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标成为解题的关键． 利用抛物线的对称性求得二次函数与x轴的另一个交点的坐标，结合图形中在x轴上方部分对应的x值的取值范围即可解答． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，经过， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∵抛物线在x轴的上方部分， ∴当时，x的取值范围是． 故选：B． 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），当y＞0时，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣3 B．x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 【答案】D 【分析】首先结合题意可确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后结合图象性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， ∴与x轴的另一个交点坐标为（1，0）， 要求当y＞0时， x的取值范围，实则求抛物线图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围， 由图象可知，当或，满足题意， 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，理解抛物线的对称性，准确求出抛物线与x轴的所有交点是解题关键． 9．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 【详解】解：由图可知，或时，． ∴则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 10．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 11．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 12．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 13．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 14．已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（    ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：C． 15．根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 16．已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．根据表格中的数据可得出当时，；当时，，由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 方程的一个近似根可能是， 故选：B． 17．根据下表确定关于的一元二次方程的一个解的取值范围是（  ） 0 1 2 3 4 4 13 26 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．通过观察表格中的值随的变化，发现当时值为，当时值为，于是可判断x在范围内取某一个值时，，所以得到一元二次方程的一个解的取值范围． 【详解】解：∵当时，； 当时，， 由对应的二次函数图象可知，x在范围内取某一个值时，， ∴方程的一个解的取值范围是． 故选：C． 18．下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 19．根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个解在之间， 故选：C． 20．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 21．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 22．已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程转化为二次函数与直线交点问题，利用二次函数图像性质判断根的范围即可． 【详解】解：设二次函数， 由于二次项系数为，且， 则抛物线开口向上，与轴交于，两点， 原方程的两根，就是抛物线与直线交点的横坐标， 由于，则抛物线开口向上， 如图： 则较小的根在的右侧，较大的根在的左侧， 即得到． 23．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 24．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 25．我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 26．根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的近似解．观察表格数据，可得当时，的值为负，当时，的值为正，从而得到方程根在和之间，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，； 当时，； ∴ 方程根在和之间． 故选：C 27．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 28．在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 29．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 【答案】或 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 30．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 类型二、图象法解一元二次不等式 31．如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要掌握抛物线顶点、对称轴、与x（y）轴交点等知识．根据二次函数的图象及性质，逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，①正确； ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴②不正确； ∵图象过点， ∴图象与x轴左侧的交点为， 将代入得： ，③正确； 由图象知顶点在x轴下方， ∴，即， 而开口向上，， ∴， ∴，④正确； ∵抛物线与x轴两个交点分别为，，且开口向上， ∴时，，⑤正确； ∴正确的有①③④⑤， 故选：D． 32．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 33．如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，其对称轴经过点，下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．方程 有两个实数根 D．二次函数 的顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 根据二次函数的图像和性质即可求解； 【详解】解：A、当时，根据函数图象可得：； 故该选项错误； B、∵对称轴经过点， ∴， 故该选项错误； C、二次函数的图像与x轴交于，两点， 将，代入中， 可得：， 解得：， 函数解析式为： 将代入， 可得：， 即， ，，， ，故方程没有实数根， 该选项错误； D、，故二次函数 的顶点坐标为， 该选项正确； 故选：D 34．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 35．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ ∴时，自变量的取值范围是． 36．二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过求二次函数与x轴的交点坐标，结合抛物线开口方向，确定函数值小于零时自变量的取值范围 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 37．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 38．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 39．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 40．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 【答案】或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 41．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 42．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 43．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图像，当时，直接写出的取值范围． (3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征及二次函数对称轴的定义可得关于、的方程组，求解即可； （2）先确定当时的值，再结合函数图像写出抛物线在直线下方所对应的的范围即可； （3）根据（1）所得的二次函数的表达式，利用五点作图法直接画出图像即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像过点，对称轴为直线， ∴，即， 联立：， 解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知：二次函数的表达式为， 当时，得：， 解得：或， 由（3）的图像可知：当或时，抛物线在直线的下方， ∴当时，的取值范围是或； （3）解：列表如下： 在直角坐标系中描点、连线即可． 类型三、利用不等式求自变量或函数值的范围 44．已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算点M的纵坐标，可知当时，．再分a的正负讨论，结合抛物线的图像性质，推导出满足条件的a的取值范围． 【详解】解：∵，代入得：，由题意可得对于，，都有，此时当时，． ∵抛物线的对称轴为直线， 当 时，抛物线开口向下，对称轴 当时，随着的增大而减小，故最小值在处，此时， ∵， ∴， ∴，不满足条件； 当时，抛物线开口向上，对称轴 当时，随着的增大而增大，故最小值在处，此时， ∵， ∴要使，则有， 解得， ∴． 综上所述，． 45．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴离直线越近，函数值越小， ∵， ∴，即， 两边平方，得， 解得． 故选：D． 46．已知和分别是抛物线上的两点，若对于，，都有，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、含参不等式的解法以及分类讨论思想。掌握通过因式分解简化表达式，并依据参数符号分类讨论解集的方法是解题的关键．通过计算 ​并因式分解为，将条件转化为不等式恒成立问题．随后分、和三种情况讨论区间与解集的包含关系，最终确定为有效范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意，在，， ① 当，， 解得：， ∵要对满足成立， ∴有， 解得：； ②当，， 解得或， ∵要对满足成立， 此时需满足或， 解得：或，与矛盾， 因此，当无解； ③当时，，此时，不满足条件，排除． 综上所述，只有当时条件成立． 故选：B． 47．已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围． 本题考查了二次函数的增减性，解不等式，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数图象上，且， ∴ ， 解得； ∵ 函数开口向上，对称轴， ∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大， ∵， 且， ∴范围内，处取得最大值， ∴ ； ∵点也在函数图象上，且， ∴ ， 由恒成立，得， 化简得，即， 解得或， 结合点A存在条件， ∴ 或； 故选：D． 48．设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，难度较大﹒ 根据关于的方程有两个不相等的实数根得到或﹒根据二次函数与方程关系得到关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标，进而得到当时，，当时，﹒当时，根据二次函数开口向上，，得到，求出，不合题意；当时，根据二次函数开口向下，，得到，求出，即可得到﹒ 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，并且， ∴， 解方程得， ∵， ∴当时，， ∴或﹒ ∵关于的方程可以看作求二次函数与x轴交点坐标， ∴当时，， 当时，﹒ 当时，二次函数开口向上， ∵， ∴， 解不等式组得，不合题意； 当时，二次函数开口向下， ∵， ∴， 解不等式组得， 又∵， ∴﹒ 故选：D﹒ 49．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式等知识，设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 故选：C． 50．已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围． 【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点， 由对称性，抛物线过点， ， 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 故选：B． 51．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数图象与x轴有交点，则求出或，由二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且，从而得到或或，最后计算即可得解． 【详解】解：二次函数为实数的图象与x轴有交点， ∴， ∴或， ∴或， ∵点是该函数图象与轴的一个交点，且，且二次函数的开口向下， ∴，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，或． 故选：C． 52．已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____． 【答案】4 【分析】①由二次函数图像性质知，开口向下，则．再结合对称轴，有，即，则．据二次函数图像与轴正半轴相交得；②由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，则当时，，即可判断；③，得，当时，，即，所以，把替换成计算；④时函数有最大值，所以当时的值大于当时的值，即，所以成立；⑤当时，有，此时有，当时，有，此时有，则有，即可判断． 【详解】解：∵图像开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交于轴正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间， ∴当时，， 即，故②正确； ∵根据图像可知，当时，， 即， ∴， ∴结合，有， ∴，故③正确； ∵时，有，且此时y值达到最大， 又∵时，有， ∴， ∴成立，故④正确． 根据有四个根， 可得和各有两个根， 当时，有，此时有， 当时，有，此时有， 则有， ∵， ∴，即：的四个根和为4，故⑤错误． 综上：①②③④正确，共4个． 53．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质和解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键；先根据点 M 和 N 在函数图象上求出和的表达式，再代入不等式，并结合点 P 在函数上得到 p 的表达式，消去常数 d 后得到关于 k 的不等式组，解不等式组即可得到 k 的取值范围． 【详解】解：∵在二次函数 上， ∴． ∵在二次函数上， ∴． ∵， ∴． 又∵ 在二次函数上， ∴， 代入不等式得 ． 即 ． 解左边不等式 即， 因式分解得， 解得 或 ． 解右边不等式，即， 因式分解得，解得 ． 取交集，得或 ． 故答案为或 ． 54．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是_______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征． 由函数解析式可得其对称轴为直线，且开口向上，从而得出对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据对于，得出，由，当时，，即，从而可求出，对于，都有，可得出，两边平方并整理求出，最后取其公共解即可． 【详解】解：该函数解析式为， 其图象开口向上，对称轴为直线， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵，， ∴点B在点A右侧， ∵，，都有， ∴当时，，即，解得， 对于，都有， ∴，两边平方得：， ∴， ∴，即，综上所述： 故答案为． 55．已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．由题意可直接得出，再分别令，求出x的值，再结合函数图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值，且． 当时，， 解得：，， ∵函数图象开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧y随着x的增大而增大， 在对称轴右侧y随着x的增大而减小， ∴当时，结合函数图象可得出x的取值范围是． 故答案为：． 56．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 57．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 58．已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向和与x轴的交点坐标，先确定a的符号，求出对称轴得到a与b的关系，再判断c的符号，最后逐一分析各选项，得到错误结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即，故选项B正确； ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即抛物线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵抛物线开口向上，直线为对称轴， ∴时，取得最小值，最小值为， ∴对任意实数，有，即，故选项C正确； 当时，， ∵抛物线开口向上，两个x轴交点之间的函数值小于0，且， ∴，故选项D错误． 59．不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数恒成立的问题，讨论当，和时，结合题意求出a的取值范围即可． 【详解】解：当时，则， 当时，恒成立； 当时，则， 即，不是任意实数x都成立； 当时，设，函数图象开口方向向上， 不等式不是对任意实数都成立， 当时，则， 即（无解）或， 解得：， 设，函数图象开口方向向下， 不等式， 只要， 即， ，即或（无解）， 解得：， a的取值为； 综上， a的取值为； 60．已知二次函数（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立，又时，，则b的值为（    ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与不等式恒成立问题，由题干给出的条件可知两个条件都满足可以发现二次函数经过一个定点．就可以求出答案； 【详解】解：∵对任意实数x，都有， ∴当时，， 又当时，有， ∴当时，， ∴当时， ， 故二次函数经过点， ∴①， 又时，， ∴②， 有①②得：， 解得：， 故选：B． 61．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴有图象可得，它的解集是． 62．如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 63．记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（ ） A．01 B．0或 C．0或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式，根据题意列出不等式、再画出对应函数的图像成为解题的关键． 根据题意可得，则x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围；再求得函数的图像与x轴的交点的横坐标为0、1，最后画出函数图像即可解答． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围， ∵， ∴函数的图像与x轴的交点的横坐标为0，1， 画出函数图像如下： ∴不等式的x取值范围为：0或． 故选B． 64．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是______． ①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间． 【答案】①④/④① 【分析】根据和的函数值相同求出二次函数的对称轴，进而根据的函数值大于的函数值，即离对称轴越近函数值越大即可判断①；根据时，即可判断②；根据和关于直线对称，即可判断③；根据当时，，当时，，二次函数与x轴的一个交点在3和4之间，即可判断④． 【详解】解：∵和的函数值相同， ∴二次函数对称轴为直线， ∵ ∴离对称轴越近函数值越大， ∴二次函数开口向下，故①正确； ∵时，， ∴二次函数与y轴交于正半轴，故②错误； ∵和关于直线对称， ∴时，，故③错误； ∵当时，，当时，， ∴二次函数与x轴的一个交点在3和4之间， ∴方程的正根在3与4之间，故④正确； 故答案为：①④； 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确根据表格中的数据求出二次函数的对称轴方程是解题的关键． 65．如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由抛物线与轴的交点为，对称轴为，得到当或时，，据此可得出答案，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为，对称轴为， ∴当或时，， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 66．利用函数的图象求下列方程组的解： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果； （2）画出直线和抛物线，确定直线和抛物线的交点坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：画出的图象如下： 由图象可知，两条图象的交点为和， ∴方程组的解为，； （2）解：画出图象如图： 由图可知，直线和抛物线的交点坐标为， ∴方程组的解为． 67．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 68．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和该二次函数的顶点坐标； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) 的值为，该二次函数的顶点坐标为 (2) 或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． ()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； ()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由上可得，的值为，该二次函数的顶点坐标为； （2）令，则：， ， 解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 1．数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是（） A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求 C．，需都知道，才能求t D．即使，都知道，仍无法求 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值问题，在本题中分类讨论思想运用是解题的关键．先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论． 【详解】解：二次函数， 该抛物线的对称轴为直线，且， 当， 当时，二次函数有最大值为：，即， 当时，二次函数有最小值为：，即， 当， 当时，二次函数有最大值为：， 当时，二次函数有最小值为：，即， 当， 此时当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值，即， ，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，即， ，当或1时．函数有最大值， 当时，函数有最小值，即， 的值与有关，但与无关， 故选：． 2．已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 【答案】C 【分析】将函数解析式化为顶点式，求出对称轴、顶点坐标及与轴交点坐标，结合图象分析函数的增减性、最值及直线与图象交点个数即可判断 【详解】解：， 函数图象关于直线对称，翻折后的顶点坐标为， 令，则，解得 ，， 图象与轴交点为和，故B错误； 由图象可知，当或时，图象呈下降趋势，即随的增大而减小，故C正确； 当时，，但函数图象两端向上无限延伸，无最大值，故A错误； 若直线与函数图象至少有个公共点，观察图象可知，故D错误； 故选：C． 3．在中，，的面积是，则的最大值是_________． 【答案】 【分析】将放置在平面直角坐标系的轴上，根据三角形面积公式得到点的纵坐标，设点的横坐标为，设，整理得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】解：以点B为原点，所在直线为x轴，过点B垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则，，设（）． 由三角形面积公式得， 代入得， 解得， ∴， 即， 设， 由两点间距离公式得：，， ∴， 两边平方得， 整理得， 当时，方程化为， 解得， 存在点，符合题意； 当时，该方程为关于的一元二次方程，为实数， ∴根的判别式， 计算得：即， 当时， 或， ∵， ∴的解集为， ∵， ∴， 故的最大值为． 4．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①④⑤ 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ， ， ， 又， ；故①正确； 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， 函数草图如图： 由图像可知当时，，则，故②错误； 抛物线经过点， ， ， 解得， ， ， 又， ； ； 解得，故③错误； 关于的不等式变形得， 经过， 由图象可知，不等式解集为，故④正确； 点在抛物线上，抛物线的对称轴为，总有， ，且，解得， ∵， ． 故⑤正确； 综上，正确的结论有①④⑤. 5．如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标      （__________，__________） __________ （__________，__________） (2)观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． (3)如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①或；② (3)①是；②或或 【分析】（1）根据顶点式写出点的坐标，根据抛物线的平移规律写出的解析式，进而根据顶点式写出顶点的坐标，即可求解； （2）①根据函数图象，即可求解． ②令：，求得的值，结合函数图象即可求解； （3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点的坐标，根据点的平移，得出平移后的坐标，即可求解； ②根据的图象，分三段讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得，结合，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②令：， 解得：（舍去）， 如图， 又∵ 根据函数图象可得：当时， （3）①∵，：， 点为上一点，横坐标为，则， 点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到， 点为上一点，横坐标为，，即 ∴点，是平移前后的一组对应点； ②解：∵点为上一点，横坐标为3． ∴时，，则， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， 即 ∴， 情形一：当时，点在轴及其上方部分， 最高点为， （i）如图，当时，最低点为 ∴ 当时，， 此方程无解，不存在此情形； （ii）如图，当时，最低点为 ∴ 当时， 解得：（舍去）或 情形二：当时，此时如图， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：或（舍去）； 情形三：当时， 最高点为点，则 最低点为，则 当时，， 解得：（舍去）或， 综上所述，当时，或或． 6．【定义】将二次函数图象上任意一点先沿x轴向右平移t个单位长度，再关于x轴对称，得到点，我们称点为点P的“衍生变换点”．连接二次函数图象上所有点的“衍生变换点”，形成的曲线被称为原二次函数的“衍生曲线”． 【探究】数学兴趣小组的同学对当时，二次函数 的“衍生曲线”进行了如下探究： 上的点的坐标 时的“衍生变换点”的坐标 (1)①表格中横线上应填__________； ②请在给出的平面直角坐标系中描点、连线，画出当时二次函数 的“衍生曲线”． (2)求出当时，函数 的“衍生曲线”的函数表达式． (3)已知点在函数 的图象上，当时，记点M的“衍生变换点”为点 若结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)① ②函数图象如图所示： (2) (3)或或 ． 【分析】（1）①根据新定义求解即可；②描点、连线即可； （2）由图象可得，函数 的“衍生曲线”为抛物线，顶点坐标为，再设出顶点式，代入求解即可； （3）由题意得，，则，即，即或，再借助函数图象求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，的时的“衍生变换点”的坐标为，即； ②函数图象略； （2）解：由图象可得，函数 的“衍生曲线”为抛物线，顶点坐标为 设表达式为， 代入可得，， 解得 ∴表达式为； （3）解：由题意得，， ∴， ∴，即或， 当时，即，解得或； 当时，即，解得 s ∴由函数图象可得，的解集为或或，即时，或或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3(第2课时) 二次函数转化为一元二次方程的应用（原卷版） 目 录 类型一、利用图象或表格确定一元二次方程的近似根 1 类型二、图象法解一元二次不等式 7 类型三、利用不等式求自变量或函数值的范围 11 类型一、利用图象或表格确定一元二次方程的近似根 1．二次函数的图象如图所示，则当函数值时，x的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 2．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 3．已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ） A．﹣1＜x＜3 B．﹣1＜x＜4 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或x＞4 4．抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．﹣3＜x＜1 C．x＞1 D．x＞﹣3 5．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．抛物线 的部分图象如图所示，当时自变量x的取值范围为（　　） A． B． 或 C． D． 或 7．二次函数的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），当y＞0时，则x的取值范围是（　　） A．x＜﹣3 B．x＞1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 9．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 10．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 11．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 12．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 13．如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 14．已知二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表所示，方程的一个根的近似值可能是（    ） x 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.05 0.65 A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 15．根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 17．根据下表确定关于的一元二次方程的一个解的取值范围是（  ） 0 1 2 3 4 4 13 26 A． B． C． D． 18．下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 19．根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 21．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 22．已知m，n（）是关于x的方程的两根，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 23．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 25．我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 26．根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程有一个根大约是（   ） A． B． C． D． 27．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 28．在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 29．根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 30．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 类型二、图象法解一元二次不等式 31．如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 33．如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，其对称轴经过点，下列说法正确的是（    ） A．当时， B． C．方程 有两个实数根 D．二次函数 的顶点坐标为 34．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 35．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 36．二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 37．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 38．如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为________． 39．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 40．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______． 41．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是__________． 42．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 43．已知二次函数的图像过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图像，当时，直接写出的取值范围． (3)在下面平面直角坐标系中画出该函数的图像． 类型三、利用不等式求自变量或函数值的范围 44．已知点和在抛物线上，若对于，，都有，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 45．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 46．已知和分别是抛物线上的两点，若对于，，都有，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 48．设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 49．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 50．已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 51．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 52．已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____． 53．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是______． 54．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是_______ 55．已知二次函数，当时，则x的取值范围______________． 56．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． … 0 … … … 57．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 58．已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 59．不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．已知二次函数（a，b，c都是实数），满足：对任意实数x，都有，且当时，有成立，又时，，则b的值为（    ） A．1 B． C．2 D．0 61．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 62．如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 63．记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（ ） A．01 B．0或 C．0或 D． 64．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是______． ①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间． 65．如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 66．利用函数的图象求下列方程组的解： (1) (2) 67．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 68．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和该二次函数的顶点坐标； (2)当时，求自变量的取值范围． 1．数学课上，老师给出以下探究问题：“已知二次函数，当时，函数最大值为8，求最小值．”下列关于此题求解所需条件的说法，正确的是（） A．只需知道，便可求 B．只需知道，便可求 C．，需都知道，才能求t D．即使，都知道，仍无法求 2．已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 3．在中，，的面积是，则的最大值是_________． 4．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列五个结论： ①； ②； ③若抛物线经过点，则； ④关于x的不等式的解集为； ⑤点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 5．如图①，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数的图象记为，顶点为点．将向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． (1)填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标      （__________，__________） __________ （__________，__________） (2)观察图象，解答下列问题： ①直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而减小； ②当时，，求的取值范围． (3)如图②，点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为3．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． ①请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； ②当时，直接写出的值． 6．【定义】将二次函数图象上任意一点先沿x轴向右平移t个单位长度，再关于x轴对称，得到点，我们称点为点P的“衍生变换点”．连接二次函数图象上所有点的“衍生变换点”，形成的曲线被称为原二次函数的“衍生曲线”． 【探究】数学兴趣小组的同学对当时，二次函数 的“衍生曲线”进行了如下探究： 上的点的坐标 时的“衍生变换点”的坐标 (1)①表格中横线上应填__________； ②请在给出的平面直角坐标系中描点、连线，画出当时二次函数 的“衍生曲线”． (2)求出当时，函数 的“衍生曲线”的函数表达式． (3)已知点在函数 的图象上，当时，记点M的“衍生变换点”为点 若结合函数图象直接写出的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $