26.2.2(第3课时)二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本练习通过A、B、C三层设计，实现二次函数y=a(x-h)²+k图象与性质从概念理解到综合应用的递进，适配新授课分层巩固需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A.夯实基础|对称轴、顶点坐标等概念|选择填空为主，直接考查定义，强化符号意识| |B.提升能力|平移变换、函数值比较|解答题结合性质应用，培养推理能力| |C.拓展培优|动态几何、跨知识综合|探究题融合数形结合，发展应用意识与创新思维|

26.2.2(第3课时)二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（解析版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 11 C.拓展培优 22 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线为， 顶点坐标是． 3．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 4．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【答案】B 【详解】二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于二次函数， ∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵，， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 5．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 6．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 7．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 8．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 9．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 10．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 11．二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 12．对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 13．当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数性质、反比例函数性质、正比例函数性质、二次函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，当时，函数随的增大而增大； B、，，当时，函数随的增大而减小； C、，，当时，函数随的增大而减小； D、，，对称轴为直线，当时，函数随的增大而减小． 14．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】已知二次函数为顶点式，可根据开口方向直接确定函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴二次项系数，二次函数开口向下，函数存在最大值， ∵顶点式的顶点坐标为，该函数顶点坐标为， ∴的最大值为． 15．二次函数的开口方向及最值分别为（   ） A．向下，最大值2 B．向上，最小值 C．向下，最大值4 D．向上，最小值 【答案】D 【详解】解：对二次函数配方得， ∵ 二次项系数， ∴ 二次函数开口向上，函数存在最小值， ∵ 的顶点坐标为， ∴ 取得最小值， 综上，该二次函数开口向上，最小值为． 16．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 17．已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 18．抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 19．二次函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题二次函数为顶点式，根据二次函数的性质，开口向上的二次函数，顶点纵坐标即为函数的最小值． 【详解】解：由二次函数解析式可知，该解析式为顶点式，二次项系数， 因此抛物线开口向上，函数存在最小值， 该二次函数的顶点坐标为， 因此当时，二次函数取得最小值． 20．抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，得到顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点式为，其顶点坐标为， 对比顶点式可得，， 故顶点坐标为． 21．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【分析】先根据顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据点平移的规律计算得到平移后的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，可得原抛物线的顶点坐标为， 将顶点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后的顶点横坐标为，纵坐标为， 因此平移后的抛物线的顶点坐标为． 22．二次函数的最小值是____________． 【答案】1 【分析】直接根据顶点式即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ，开口向上，顶点为， 故函数的最小值为． 23．抛物线的顶点在第______象限． 【答案】二 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 ∴顶点在第二象限． 24．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，理由： ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）略 25．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，最大值为 【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平移规则，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象，进行求解即可； （2）根据顶点式的图象和性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 26．画出下列抛物线的大致图象： (1)； (2)． 【答案】(1) 函数图象如图所示： (2)函数图象如图所示 【分析】本题考查用描点法画出函数图象，熟练掌握画函数图象方法的是解题的关键． （1）根据抛物线图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为，画出大致图象即可； （2）根据抛物线图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为，画出大致图象即可． 【详解】（1）解：函数的顶点坐标为，对称轴为，令得，即该抛物线与轴的交点为， 则图象开口向上，对称轴在轴右侧，顶点在第四象限， （2）解：函数的顶点坐标为，对称轴为，令得，即该抛物线与轴的交点为， 则图象开口向下，对称轴在轴右侧，顶点在第一象限， 27．已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 【答案】(1) (2)、 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，理解并掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）当时，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 28．将抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位，回答下列问题： (1)原抛物线的对称轴为____________； (2)所得抛物线的顶点坐标为____________； (3)所得抛物线的解析式为____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平移规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把一般式化为顶点式，得出原抛物线的对称轴为，即可作答． （2）根据平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． （3）把平移后的顶点式化为一般式，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）得 ∵将抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位， ∴ 即平移所得抛物线的顶点坐标为； （3）解：由（2）得平移所得的抛物线解析式， 整理得抛物线的解析式为． 29．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 30．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 31．若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出的取值范围，最后根据坐标符号判断顶点所在象限． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴函数顶点坐标为． ∵二次函数图像与轴有两个不同交点，将解析式展开得， ∴判别式， 解得． ∵， ∴，顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点坐标在第四象限． 32．已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论． 【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，， ∴， 两式消去可得：， 解得：， A、若，，故A错误； B、若，，B错误； C、若，，C正确； D、若，，D错误． 33．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据解析式可得对称轴，当时，函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，当时，函数图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，据此根据讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，则函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数经过点，， ∴， ∴， ∴， 解得． 34．若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，求出点的横坐标，再代入函数解析式计算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 点和纵坐标相同， 、两点关于抛物线对称轴对称， 可得， 即， 点的横坐标为， 将代入函数解析式得：． 35．关于抛物线的说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．与y轴交于正半轴 D．当时， 【答案】A 【分析】根据中、、的意义，结合抛物线的开口方向、对称轴、与轴交点及函数增减性逐一分析选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，故选项A说法错误； ∵对称轴为直线，故选项B说法正确； 令，则， ∴抛物线与轴交于正半轴，故选项C说法正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 又∵当时，， ∴当时，，故选项D说法正确； 综上，说法不正确的是选项A． 36．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C．当时，随的增大而减小 D．当时，有最大值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，从解析式中准确提取信息是解题关键． 根据中、、的意义，结合抛物线的开口方向、平移规律、增减性及最值来逐一判断选项． 【详解】解：抛物线的解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， 对于选项：∵， ∴抛物线开口向上，选项正确； 对于选项：根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，向右平移个单位得，再向下平移个单位得，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，选项正确； 对于选项：∵抛物线开口向上，顶点为最低点， ∴当时，有最小值，而非最大值，选项错误． 故选：． 37．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象得函数的最值是解题的关键．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为：直线， 又∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， 时，y有最小值，， 故选：B． 38．已知点都在二次函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数开口向下，顶点处函数值最大，距离对称轴越近函数值越大是解题的关键． 先求出二次函数的开口向下，对称轴为，再求出三点到对称轴的距离并比较大小，最后距离对称轴越近函数值越大即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的开口向下，对称轴为， ∴点离对称轴越近，值越大． 计算各点横坐标与对称轴的距离： 点与对称轴的距离为， 点与对称轴的距离为， 点与对称轴的距离为：， ∵， ∴ ． 故选：C． 39．在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定对称轴位置得到的取值范围，任取一个范围内的值即可． 【详解】解：二次函数中，二次项系数为，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴的值可以是（答案不唯一，满足即可）． 40．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 【答案】 【分析】已知二次函数的顶点坐标，可采用待定系数法设出抛物线的顶点式，代入顶点坐标后，将已知点代入解析式求出参数a的值，进而得到二次函数的解析式． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 这个二次函数的解析式为． 41．抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 42．如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为，从而可判断时对应自变量取值范围． 【详解】解：观察图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线与轴一个交点为， 抛物线与轴另一个交点为， 当时，自变量的范围是． 故答案为：． 43．将抛物线绕顶点顺时针旋转，所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的旋转问题． 抛物线绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反． 【详解】解：原抛物线的顶点坐标为，二次项系数． 绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反， 故二次项系数为，顶点坐标为， 所得抛物线解析式为． 故答案为：． 44．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 【答案】或6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 45．已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 【答案】(1) 解：填表如下， … 0 1 … … 0 2 0 … (2)解：顶点坐标，对称轴是直线，开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小． 【详解】（1）略； （2）略． 46．已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，解题的关键是掌握顶点解析式． 根据顶点坐标设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为．把代入，得， 解得． ． 即这个二次函数的解析式为． 47．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 48．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)5 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能根据函数表达式得出抛物线的对称轴和最值以及熟知平移的相关性质是解题的关键． （1）根据所给的函数表达式可得出抛物线的对称轴，再将代入解方程即可求出a的值． （2）根据顶点坐标的变化，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 把代入，得， 解得或． ∵点在抛物线的对称轴右侧， ∴． （2）解：∵抛物线是由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位(或先向下平移4个单位，再向左平移3个单位)得到的， ∴根据勾股定理，得顶点移动的最短路程为． 49．已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解析式写出和，作差整理后结合已知绝对值的关系即可得到结论． 【详解】解：由题意，得 ，， 两式作差，得 ， 等式两边同乘，得 ． ∵ ， ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即，故C符合题意． 50．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，分别计算出和即可；对于②，表示出和，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积求出，，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值；分段讨论，当时，，解得，当时，，解得． 【详解】解：对于①：∵， ∴点的运动路程为，， ∵， ∴点在边上， ∴， ∴，故①正确； 对于②：当时，点在边上，如图， 由题意可知，，， ∴，， ∴， ， ， ， ， ∵该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，故②错误； 对于③：当时，由②可知，， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 当时，如图， 根据题意，， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴当或时，的面积是，故③正确； 综上，正确的结论有2个． 51．如图，垂直于轴的直线与抛物线交于点，左右移动直线，则其与抛物线交于点．若点的纵坐标小于，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 小军：将直线应向右平移任意单位长度． 小天：将直线应向左平移超过个单位长度． A．只有小军 B．只有小天 C．都正确 D．都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． 先根据已知点的坐标求出抛物线的表达式，再根据抛物线的对称轴和点的纵坐标小于3的条件，分析出直线的移动方向和范围． 【详解】解：将代入抛物线， 得：， ， 对称轴：， 关于对称轴的对称点为， 当点的纵坐标小于时，或， 即直线应向左平移超过2个单位长度或向右平移任意单位长度． 故选：C 52．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 53．如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、矩形的性质等知识点，掌握抛物线的性质是解题的关键． 先求得点M的坐标，然后根据点M在矩形内部或其边上列出不等式组求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标M为， ∵，， ∴， ∴． 故选答案为． 54．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为________． 【答案】 【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可． 【详解】解：设，，， ∵抛物线沿直线向上平移， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得，， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 55．已知，抛物线与轴交于点，顶点为，抛物线与轴交于点，顶点为，其中A、B、C、D中任意三点不在同一条直线上．我们把过A、B的直线称为的特征直线． (1)若抛物线的表达式为：，则的特征直线为__________； (2)四边形必定是__________图形（填序号：①轴对称②中心对称）； (3)若的特征直线为，且四边形的面积为8，求的表达式； (4)当时，若四边形为正方形，为上一点，请直接写出面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先由抛物线的表达式求得点A、B的坐标，再根据待定系数法即可求解； （2）先由抛物线、的表达式求得点A、B、C、D的坐标，可得四边形是平行四边形，则可得四边形必定是中心对称图形； （3）由的特征直线为，可得，，，则，再由四边形的面积为8，可得，则可求得的值，即可求解； （4）根据，由四边形为正方形，可得，，则可得，，可得直线的解析式，再由面积最小时，点到的距离最小，可得将直线平移与抛物线只有一个交点，据此即可求解． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式为：，得顶点坐标为， 令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：由抛物线，得顶点坐标为， 令，则， ∴， 由抛物线，得顶点坐标为， 令，则， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形必定是中心对称图形． （3）解：由（2）可知，抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标为， ∵的特征直线为， ∴把代入，得， ∴， 由（2）可知，抛物线与轴交点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得， 把代入，得，整理并分解因式，得， ∵A、B、C、D中任意三点不在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴， ∴抛物线的解析式为． （4）解：当时，由（2）可知，抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标为，抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标为， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵点、在轴上， ∴点、在轴上，即， ∴，，，， ∴，， ∴，即或， 解得或（不符合题意，舍去） 当时，则抛物线的解析式为，抛物线的解析式为， ∴，， 设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 如图，将直线向下平移个单位，则平移后的解析式为， 当平移后的直线与抛物线只有一个交点时，的面积最小， 联立， ∴，整理得， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得， 代入得，即， 解得， 把代入得， ∴， ∵，， ∴； 当时，则抛物线的解析式为，抛物线的解析式为， ∴，， 同理可得直线解析式为， 如图，将直线向下平移个单位，则平移后的解析式为， 当平移后的直线与抛物线只有一个交点时，的面积最小， 同理可得，点的坐标为， ∴， 综上所述，面积的最小值为． 56．如图，已知抛物线，与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求k的值及点C的坐标（用含a的代数式表示）； (2)当时， ①直接写出a的取值范围； ②设抛物线的顶点为D，求中边上的高的最大值． 【答案】(1)； (2)①；②2 【分析】（1）将点A代入求得，可得，令即可求得点C； （2）①根据，可求得点A和点B，当时，可证明，有，即可求得，结合角度关系可列出关于边的不等式，求解即可； ②过点D作于点G，延长交x轴于点H，则，有，进一步求得点，结合上述坐标可得，，，，进一步解得直线过定点，过点A作于点M，则为中边上的高，，由（2）知，则，即可求得的最大值． 【详解】（1）解：把点代入， 则， 解得， 则， 当时， 则， 则． （2）解：①， 令， 则，， ∴，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，则， 解得：． ②过点D作于点G，延长交x轴于点H，如图， 则， ∴， ∴， ∵， ∴点， 则，， 由上可知，，， ∴， 则，解得， 那么，直线过定点， 过点A作于点M，则为中边上的高，， ∵，， ∴， 由（2）知， 当时，，则， ∴， 那么，， 那么，， 故中边上的高的最大值为2． 【点睛】本题主要考查二次函数和几何的结合，涉及二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是找到直线过定点和找到角度的最值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.2(第3课时)二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（原卷版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 3 C.拓展培优 6 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 4．二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 5．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 6．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 7．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 8．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 9．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 11．二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 13．当自变量时，下列函数随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 14．二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 15．二次函数的开口方向及最值分别为（   ） A．向下，最大值2 B．向上，最小值 C．向下，最大值4 D．向上，最小值 16．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 17．已知函数，当时，y的取值范围____________． 18．抛物线的顶点坐标为_______ 19．二次函数的最小值为__________． 20．抛物线的顶点坐标是__________． 21．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为_________． 22．二次函数的最小值是____________． 23．抛物线的顶点在第______象限． 24．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 25．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 26．画出下列抛物线的大致图象： (1)； (2)． 27．已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 28．将抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位，回答下列问题： (1)原抛物线的对称轴为____________； (2)所得抛物线的顶点坐标为____________； (3)所得抛物线的解析式为____________． 29．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 30．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 31．若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 33．已知二次函数经过点，若，则下列说法正确的为（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 34．若函数的图象上有三个不同的点，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 35．关于抛物线的说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．与y轴交于正半轴 D．当时， 36．对于抛物线，下列判断不正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．是由抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到的 C．当时，随的增大而减小 D．当时，有最大值 37．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 38．已知点都在二次函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（   ） A． B． C． D． 39．在二次函数中，当时，y随x的增大而增大，则实数m的值可以是______．（写出一个满足条件的m值） 40．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 41．抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 42．如图是抛物线的部分图象，若，则自变量的取值范围是_____________． 43．将抛物线绕顶点顺时针旋转，所得抛物线的解析式为________． 44．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 45．已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 46．已知二次函数图象的顶点为，且点在图象上，求此二次函数的解析式． 47．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 48．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 49．已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（     ） A． B． C． D． 50．如图，正方形的边长为，动点从点出发，以的速度沿边向终点运动，动点从点同时出发，以的速度沿边，向终点运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有以下结论： ①当时，； ②当时，的最大面积是； ③的面积可以是．其中，正确结论的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 51．如图，垂直于轴的直线与抛物线交于点，左右移动直线，则其与抛物线交于点．若点的纵坐标小于，则下列两位同学的说法中，正确的是（    ） 小军：将直线应向右平移任意单位长度． 小天：将直线应向左平移超过个单位长度． A．只有小军 B．只有小天 C．都正确 D．都不正确 52．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 53．如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是________． 54．如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为________． 55．已知，抛物线与轴交于点，顶点为，抛物线与轴交于点，顶点为，其中A、B、C、D中任意三点不在同一条直线上．我们把过A、B的直线称为的特征直线． (1)若抛物线的表达式为：，则的特征直线为__________； (2)四边形必定是__________图形（填序号：①轴对称②中心对称）； (3)若的特征直线为，且四边形的面积为8，求的表达式； (4)当时，若四边形为正方形，为上一点，请直接写出面积的最小值． 56．如图，已知抛物线，与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求k的值及点C的坐标（用含a的代数式表示）； (2)当时， ①直接写出a的取值范围； ②设抛物线的顶点为D，求中边上的高的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $