26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕二次函数y=ax²的图象和性质，采用基础-提升-拓展三层设计，通过从概念理解到综合应用的递进路径，培养学生的几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|二次函数的图象特征（开口方向、顶点坐标、对称轴）、函数值比较、简单性质应用|以选择、填空题为主，直接考查单一知识点，如判断函数值大小关系、确定顶点坐标| |提升能力|图象交点求解、简单几何应用（如抛物线与直线交点）、性质综合运用|解答题形式，需结合代数运算与几何直观，如求抛物线表达式、分析函数增减性| |拓展培优|复杂情境应用（拱桥、正方形与抛物线结合）、动态几何问题、跨知识综合|结合实际情境与图形变换，如利用抛物线解决拱桥水位问题，培养模型意识与创新思维|

26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（原卷版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 4 C.拓展培优 7 1．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 4．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 7．已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 10．当为何值时，二次函数中随的增大而减小（    ） A． B． C． D． 11．抛物线与相比（    ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 12．二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 13．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 14．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 15．已知某函数当时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式为_____． 16．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 17．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 18．若点，都在二次函数图象上，则_________（填“>”，“<”，或“=”）． 19．抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 20．已知抛物线的开口向下，则实数m的值可以是______．（写出一个即可） 21．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 22．若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是________． 23．如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 24．函数图象的开口 _____． 25．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 26．已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 27．在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 28．二次函数的图象与直线交于点．求a的值． 29．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 30．已知抛物线经过点． (1)试判断点是否在此抛物线上． (2)设点，是此抛物线上的两点．若，试判断，的大小关系． 31．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 32．如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（   ） A． B． C． D． 33．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 34．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 35．如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 36．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 37．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 38．已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 39．已知点在抛物线上，则点的坐标为__________；若在轴上存在点，使是等腰三角形，请写出点的坐标__________． 40．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 41．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 42．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ 43．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 44．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 45．小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（     ） A． B． C． D． 46．二次函数的图像x如图所示，点位于坐标原点，点，，，…在y轴的正半轴上，点，，，…在二次函数位于第一象限的图像上，若，，，…都为等边三角形，则的边长为（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 47．如图，分别过点作轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 48．已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 49．已知点、，若点M在抛物线上运动，则的最小值为________． 50．如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内交于点，如果的面积为2，求此抛物线的解析式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（解析版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 12 C.拓展培优 23 1．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 2．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 3．下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； B、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、因为，且对称轴为y轴，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、因为，则当时，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 4．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 5．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所学不同函数的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】解：选项A，是正比例函数， ∵比例系数， ∴随的增大而增大，符合题意； 选项B，是二次函数，开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小，不符合题意； 选项C，是一次函数， ∵一次项系数， ∴随的增大而减小，不符合题意； 选项D，是反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小，且定义域不连续，不符合题意． 6．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 7．已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 8．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 9．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解． 根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． 10．当为何值时，二次函数中随的增大而减小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数开口向下，对称轴为，进行判断即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 故选：C． 11．抛物线与相比（    ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 二次函数的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小依此进行判断即可． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， 对于抛物线，二次项系数， ∵， ∴的开口比的开口更小， 故选：B． 12．二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 13．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 14．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 15．已知某函数当时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式为_____． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据题意可得这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数，再由函数的增减性即可得出函数解析式． 【详解】解：题中未明确是一次函数、二次函数和反比例函数， 这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数， 当时，y随x的增大而减小， 根据其性质可得：这个函数为或或（答案不唯一）． 16．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 17．若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 18．若点，都在二次函数图象上，则_________（填“>”，“<”，或“=”）． 【答案】 < 【详解】解：二次函数中，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ， ． 19．抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线，其开口大小由二次项系数的绝对值的大小决定，越大，抛物线的开口越小，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线与相比开口小， ∴， ∴可取， 故答案为：4（答案不唯一）． 20．已知抛物线的开口向下，则实数m的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】1（填小于5的实数均可） 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．根据抛物线开口向下可知，再选择适合的值即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴ ， 解得 ． ∴ 的值可以是0（答案不唯一）． 21．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【答案】轴（或直线） 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线是关键．根据解析式即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴（或直线）． 22．若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数图象开口向下，得二次项系数小于零． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次项系数， 故答案为：. 23．如果抛物线（为常数）开口向下，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线 的开口向下， ∴， 解得． 故答案为： 24．函数图象的开口 _____． 【答案】向上 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：∵函数中， ∴图象开口向上． 故答案为：向上． 25．已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，掌握的性质是解题的关键． 由抛物线在轴左侧的部分是下降的，则，然后解不等式即可解答． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 26．已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)抛物线解析式为 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再把代入，进行求解出，即可作答． （2）理解题意，此抛物线的解析式为，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线都经过点， ∴， 把代入， 得， ∴， （2）解：依题意，设此抛物线的解析式为， 由（1）得， ∵抛物线恰好经过点， ∴抛物线恰好经过点， ∴， 解得． ∴． 27．在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 【答案】 如图： 的图象向上平移1个单位得的函数图象； 的对称轴是y轴，顶点坐标是； 的对称轴是y轴，顶点坐标是． 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的平移性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出函数经过点；函数经过点；再描点，然后依次用光滑的曲线连接，得出它们的图象，然后结合平移的性质以及函数图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：令时，则，； 令时，则，； 令时，则，； 即函数经过点； 即函数经过点； 再描点，然后依次用光滑的曲线连接 28．二次函数的图象与直线交于点．求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数，牢记二次函数的性质是解题的关键． 根据直线的图象过点可求得的值，根据二次函数的图象过点，可求得的值． 【详解】∵直线的图象过点， ∴ ∴， ∵二次函数的图象过点， ∴． ∴． 29．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由（1）可得点的坐标，然后代入得出点的坐标，进而问题可求解． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴． 30．已知抛物线经过点． (1)试判断点是否在此抛物线上． (2)设点，是此抛物线上的两点．若，试判断，的大小关系． 【答案】(1)点不在此抛物线上，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入，求得解析式后，将代入后可判断； （2）由条件可知、两点都在对称轴左侧，利用二次函数的单调性质可比较大小． 【详解】（1）解：将代入，得， 这个函数的表达式为． 当时，， 点不在此抛物线上． （2）解：当时，函数值随的增大而增大， 又∵， ． 31．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 32．如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则．设直线的解析式，求出、两点的横坐标，再利用证得三角形相似，结合的线段比例关系建立与的等式，最终推导出二者的数量关系． 【详解】解：如图，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则． 设直线的解析式，点，的横坐标分别为，. ∵点在和上， ∴，解得， 同理，． ∵， ∴， ∴， 即，化简得． 故选：D． 33．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 34．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 35．如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的对角线平分一组对角线可得，过点B作轴于D，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 过点B作轴于D， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了正方形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出与x轴的夹角为，然后求出点B的坐标是解题的关键． 36．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 37．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 38．已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【答案】 【分析】求出，的值，比较即可得出结果． 【详解】解：∵，是抛物线上的点， ∴，， ∵， ∴． 39．已知点在抛物线上，则点的坐标为__________；若在轴上存在点，使是等腰三角形，请写出点的坐标__________． 【答案】 或或或 【分析】将代入求出点的坐标；根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，然后分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴ ∴点的坐标为； ∵是等腰三角形， ∴如图，当时， ∵ ∴； 当时， ∴ ∴； 当或时， ∵ ∴ ∴ ∴， 综上所述，点的坐标为或或或． 40．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 41．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 42．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ 【答案】/8米 【分析】本题考查了的图象和性质，拱桥问题(实际问题与二次函数)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得抛物线的解析式，再求出的纵坐标，从而可求得水位上升的距离． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当水面宽时， 的横坐标为， ∴的纵坐标为， ∴水位上升 ， 故答案为：． 43．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 44．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 45．小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵将对称轴左侧的图象作关于轴对称， ∴图象关于点中心对称， ∵这20个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……，， ∴， ∵，， ∴当时，，当时，， ∴． 46．二次函数的图像x如图所示，点位于坐标原点，点，，，…在y轴的正半轴上，点，，，…在二次函数位于第一象限的图像上，若，，，…都为等边三角形，则的边长为（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】C 【分析】先计算出；；的边长，推理出等边的边长为n的规律，依据规律得到的边长． 【详解】解：作轴于，轴于，轴于． 设，，． ∵等边， ∴， ∴， ∴点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或，于是等边的边长为； ∵等边， ∴， 所以，点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或， 于是等边的边长为； ∵等边， ∴， 所以，点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或， 于是等边的边长为． … 等边的边长为n， 于是的边长为2008． 47．如图，分别过点作轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ ． 故选：B． 48．已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 【答案】 【分析】矩形中的整数点个数问题可以分解为横、纵坐标中的整数个数问题，通过设参数，分类讨论求整数的个数，判断是否满足题意即可． 【详解】解：设，， 由矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点可知，矩形的横向边界的点的横坐标为整数的个数，与纵向边界的点的纵坐标为整数的个数，满足相乘等于12， ， 设横向边界的整数个数为n， 分两种情况， 第一种，点A的横坐标为整数， ①若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ， ，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ， ，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ③若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定大于12， ， 或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为6，满足题意； 第二种，点A的横坐标不为整数， ①若，则， 由第一种情况可知，，此时，， 则，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则， 由第一种情况可知，， 或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，此时存在纵向边界上的点的纵坐标为整数的个数为6． 49．已知点、，若点M在抛物线上运动，则的最小值为________． 【答案】6 【分析】本题考查二次函数的性质与图象，解题关键是找出抛物线上的点到点B的距离的特点． 设点，用含m代数式表示，可得点M到点B的距离与点M到直线的距离相等，进而求解． 【详解】解：设点M的横坐标为m，则点，即点M到x轴距离为， ∴点M到直线的距离为， ∵， ∴点M到点B的距离与点M到直线的距离相等， ∵点A横坐标为， ∴当点M为直线与抛物线的交点时，最小， 如图，设直线与直线交点， ∴最小值为，． 故答案为： 6． 50．如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内交于点，如果的面积为2，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式为，则可设，根据三角形面积公式得到关于的方程求解，从而可求得P点坐标，然后把P点坐标代入中求出a即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把和代入，得， 解得：， 所以直线的解析式为， 设， 因为的面积为2， 所以，解得：， 所以P点坐标为， 把代入，得， 解得：， 所以抛物线解析式为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $