2.2.2 直线的两点式方程（讲义，知识点&4大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的两点式方程、截距式方程及中点坐标公式核心知识点，前承点斜式等直线方程基础，推导两点式的几何意义与适用范围，明确截距式的截距含义及限制条件，为后续直线与圆的位置关系等内容搭建学习支架。 资料通过“推导-定义-辨析-应用”逻辑链培养数学思维，随学随练与分层题型（如面积问题）强化数学语言表达，课中例题解析助教师高效授课，课后分层练习（基础到创新）帮学生查漏补缺，深化数形结合思想与应用意识。

司 第二章 直线和圆的方程 2.2.2 直线的两点式方程 课标要点 1.推导并理解直线两点式方程的几何意义，掌握两点式的标准形式与适用范围。 2.掌握直线截距式方程的形式，理解横、纵截距的含义及适用条件。 3.能根据直线上两个定点坐标，熟练求解直线的两点式方程、截距式方程。 4.运用两点式、截距式方程解决直线求解、参数计算等基础题型，深化数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.直线两点式方程、截距式方程的公式形式与正确书写。 2.已知两点坐标求直线方程的解题方法与步骤。 3.利用截距式快速求解过坐标轴定点的直线方程。 难点： 1.明确两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，掌握特殊直线的方程写法。 2.区分截距式的适用条件，截距式不能表示过原点、垂直坐标轴的直线。 知识点 直线的两点式方程 1、两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2、直线的两点式方程定义 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 特别提醒 （1）与，显然后者表示直线的范围比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式． （2）对两点式中的两点，只要是直线上的两个不同的点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关． （3）把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 3、两点式方程的使用方法 （1）已知直线上两点，且，时，可以直接使用该公式求直线方程． （2）当，时，直线方程为或． （3）当，时，直线方程为或． 随学随练 1．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以；故选：A. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【解析】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错.故选：ABC. 知识点 直线的截距式方程 1、截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2、直线的截距式方程的定义 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 3、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）纵截距：直线与轴交点的纵坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． 易错提醒 截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 随学随练 1．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】由截距的概念，令，可得，即， 故直线在轴上的截距为，故选：A 2．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据截距式方程得出过、两点的直线方程是 .故选：A. 知识点 中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为，则． 随学随练 1．（25-26高二上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，设点，，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，线段的中点坐标为，即为.故选：C 2．（24-25高二上·北京房山·期中）在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知中点的坐标为.故选：A 题型 两点式与截距式概念辨析 ▌例1 （25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】根据直线方程的两点式公式可得：， 化简可得： . 把代入，得： ，即. 所以直线在轴上的截距为.故选：D 解题贴士 精准区分两点式与截距式的公式形式、适用范围与局限性，牢记两点式无法表示垂直于坐标轴的直线，截距式仅适用于横、纵截距均存在且不为零的直线，解题时根据已知条件是两点坐标还是截距条件灵活选用对应方程，同时结合特殊直线方程补齐公式适用盲区，避免概念误用与公式错用． ▌对点练1-1 （24-25高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【解析】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确.故选：C. ▌对点练1-2 （25-26高二下·贵州遵义·期中）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. ▌对点练1-3 两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，， 选项A，由的图象可得，即， 则，可得直线的截距均为正数，故正确； 选项B，由的图象可得，即， 则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误； 选项C，由的图象可得，即， 则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误； 选项D，由的图象可得，即， 则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误． 题型 直线的两点式方程求解 ▌例2 过点和点的直线的两点式方程是____________． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 解题贴士 已知直线上的两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的使用条件，可直接将两点坐标代入直线的两点式防火窗呢个，化简即得．代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系．若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程． ▌对点练2-1 （25-26高二上·安徽淮北·阶段检测）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即．故选：A ▌对点练2-2 已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． 【答案】 【解析】原方程即为，此即，所以的斜率为． ▌对点练2-3 （25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 【答案】 【解析】设中点，则，即， 所以边上的中线所在的直线方程为， 整理得. 题型 直线的截距式方程求解 ▌例3 （25-26高二上·山东·阶段检测）不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】由题可设的方程为，化简得， 故的斜率为1，倾斜角为.故选：A. 解题贴士 求直线的截距式方程的方法（或思路） （1）由已知条件确定横、纵截距． （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式，可得所求的直线方程． 注意：如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况． ▌对点练3-1 （25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 所以，设直线的方程为，可得，解得， 所以，即.故选：C. ▌对点练3-2 （25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得，所以或，解得或， 所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为， 由题可知，故直线方程为，故D正确.故选：ACD. ▌对点练3-3 （24-25高二上·云南昆明·期中）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程______. 【答案】或 【解析】当直线经过原点时，直线的方程为，化为， 当直线不经过原点时，设直线的截距式为， 把点代入可得：，解得， 所以直线的方程为：， 综上所述，所求直线方程为或. 题型 直线与坐标围成图形的面积问题 ▌例4 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】B 【解析】如图， 在中， 令，得；令，得， 由题意，得，， 所以的面积， 即，解得.故选：B. 解题贴士 先求出直线的横、纵截距，明确直线与坐标轴交点坐标，结合坐标轴垂直的几何特征判定围成图形为直角三角形，利用截距绝对值计算图形边长，进而求解周长、面积等问题，解题时需注意截距可正可负，计算边长、面积时必须取截距的绝对值，同时排查直线过原点、直线垂直坐标轴等无封闭图形的特殊情况． ▌对点练4-1 （24-25高二上·山西大同·阶段检测）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1)，；(2)16 【解析】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． ▌对点练4-2 （25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线过点． (1)若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； (2)直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）若直线与两坐标轴的截距都是0，则该直线为，即可； 若直线与两坐标轴的截距不为0，不妨设在横轴上的截距为， 则其在纵轴上的截距为， 由截距式知，代入得， 所以，整理得； 综上得直线的方程为或. （2）由题意可设在横轴与纵轴上的截距分别为， 则由截距式可知，代入得， 又，联立方程得，解之得， 即直线的方程为，整理得. ▌对点练4-3 （25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 基础通关 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】对于直线，令得， 所以直线在轴上的截距为.故选：A 2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为， 设直线方程为，代入点，，此时直线的斜率为； 当直线不经过原点时，设直线的截距式方程为， 代入点解得，此时直线的斜率为.故选：D. 3．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程； ②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线； ③显然正确.故选：D. 4．过点和的直线方程的截距式为________. 【答案】 【解析】设直线方程为，将，代入， 可得，解得，，则方程为. 5．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【解析】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 6．（25-26高二上·山东烟台·期中）若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 【答案】1或2 【解析】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 因此，解得或，所以的值为1或2. 7．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【解析】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 故答案为：或. 8．（23-24高二上·河南濮阳·阶段检测）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【解析】由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令，解得；令，解得， 可得，解得或， 所以直线方程为或. 9．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1)；(2)16 【解析】（1）由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 10．（24-25高二上·广东广州·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】(1)，；(2)25 【解析】（1）由截距式，得边所在直线的方程为，即. 由两点式，得边所在直线的方程为，即. （2）由题意，得点的坐标为， 由两点式，得边所在直线的方程为， 即，所以. 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积. 素养提升 11．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（    ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【解析】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 12．（25-26高一下·上海·阶段检测）过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【解析】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 13．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为__________. 【答案】或或 【解析】①若直线过原点，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； ②若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，则可设直线的方程为， 代入点，得，解得，此时直线的方程为； ③若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相反，则可设直线的方程为， 代入点，得，解得，此时直线的方程为； 综上所述：直线的方程为或或. 14．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知直线垂直于直线，且过点，则直线在轴上的截距为______. 【答案】 【解析】由，得. 所以直线的斜率为. 因为直线垂直于直线，所以直线的斜率为2. 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 令，解得，所以直线在轴上的截距为. 方法二：由，得. 所以直线在轴上的截距为. 15．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）直线过点且与轴，轴分别交于点，若，则直线的方程为___________． 【答案】或 【解析】若，则直线过点与， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 若时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即. 迁移创新 16．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，则面积的最小值________，此时的直线方程为________________. 【答案】 12 【解析】依题意设，，则直线的方程为， 直线过点，，， ， 当且仅当，即时，， 此时，则直线的方程为，即. 17．直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【答案】(1)存在；或；(2)存在；或 【解析】（1）存在．设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点，所以，② 由①②可得，解得，或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）存在．设直线方程为， 由题意可知解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 18．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知直线，设直线与的交点为，点的坐标为． (1)求经过点且满足横截距是纵截距2倍的直线方程； (2)求点关于对称点的坐标． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）直线与的交点为，设点， 则，解得，， 直线经过点，记横截距，纵截距，则， 若时，直线过原点，直线方程，一般方程为； 若时，设直线方程为，则，解得， 直线方程，一般方程为； 综上，直线方程为或． （2）设点关于对称点， 则的中点位于直线上，且所在直线垂直于直线， ，解得， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第二章 直线和圆的方程 2.2.2 直线的两点式方程 课标要点 1.推导并理解直线两点式方程的几何意义，掌握两点式的标准形式与适用范围。 2.掌握直线截距式方程的形式，理解横、纵截距的含义及适用条件。 3.能根据直线上两个定点坐标，熟练求解直线的两点式方程、截距式方程。 4.运用两点式、截距式方程解决直线求解、参数计算等基础题型，深化数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.直线两点式方程、截距式方程的公式形式与正确书写。 2.已知两点坐标求直线方程的解题方法与步骤。 3.利用截距式快速求解过坐标轴定点的直线方程。 难点： 1.明确两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，掌握特殊直线的方程写法。 2.区分截距式的适用条件，截距式不能表示过原点、垂直坐标轴的直线。 知识点 直线的两点式方程 1、两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2、直线的两点式方程定义 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 特别提醒 （1）与，显然后者表示直线的范围比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式． （2）对两点式中的两点，只要是直线上的两个不同的点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关． （3）把直线的两点式方程化为，则该方程表示过平面内任意不同两点，的直线． 3、两点式方程的使用方法 （1）已知直线上两点，且，时，可以直接使用该公式求直线方程． （2）当，时，直线方程为或． （3）当，时，直线方程为或． 随学随练 1．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 知识点 直线的截距式方程 1、截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2、直线的截距式方程的定义 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 3、截距的概念 （1）横截距：直线与轴交点的横坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． （2）纵截距：直线与轴交点的纵坐标．在直线方程中，令，解出的值即可． 易错提醒 截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 随学随练 1．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 2．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 知识点 中点坐标公式 若点，的坐标分别为，，且线段的中点M的坐标为，则． 随学随练 1．（25-26高二上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，设点，，则线段的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京房山·期中）在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型 两点式与截距式概念辨析 ▌例1 （25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D． 解题贴士 精准区分两点式与截距式的公式形式、适用范围与局限性，牢记两点式无法表示垂直于坐标轴的直线，截距式仅适用于横、纵截距均存在且不为零的直线，解题时根据已知条件是两点坐标还是截距条件灵活选用对应方程，同时结合特殊直线方程补齐公式适用盲区，避免概念误用与公式错用． ▌对点练1-1 （24-25高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 ▌对点练1-2 （25-26高二下·贵州遵义·期中）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌对点练1-3 两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 题型 直线的两点式方程求解 ▌例2 过点和点的直线的两点式方程是____________． 解题贴士 已知直线上的两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的使用条件，可直接将两点坐标代入直线的两点式防火窗呢个，化简即得．代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系．若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程． ▌对点练2-1 （25-26高二上·安徽淮北·阶段检测）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 已知直线的两点式方程为，则的斜率为______． ▌对点练2-3 （25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 题型 直线的截距式方程求解 ▌例3 （25-26高二上·山东·阶段检测）不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．无法确定 解题贴士 求直线的截距式方程的方法（或思路） （1）由已知条件确定横、纵截距． （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式，可得所求的直线方程． 注意：如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况． ▌对点练3-1 （25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 （25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3 （24-25高二上·云南昆明·期中）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程______. 题型 直线与坐标围成图形的面积问题 ▌例4 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 解题贴士 先求出直线的横、纵截距，明确直线与坐标轴交点坐标，结合坐标轴垂直的几何特征判定围成图形为直角三角形，利用截距绝对值计算图形边长，进而求解周长、面积等问题，解题时需注意截距可正可负，计算边长、面积时必须取截距的绝对值，同时排查直线过原点、直线垂直坐标轴等无封闭图形的特殊情况． ▌对点练4-1 （24-25高二上·山西大同·阶段检测）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． ▌对点练4-2 （25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知直线过点． (1)若直线与两坐标轴截距之和为0，求直线的方程； (2)直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. ▌对点练4-3 （25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 基础通关 1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．4 C． D． 2．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 4．过点和的直线方程的截距式为________. 5．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 6．（25-26高二上·山东烟台·期中）若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 7．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 8．（23-24高二上·河南濮阳·阶段检测）已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 9．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 10．（24-25高二上·广东广州·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 素养提升 11．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（    ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 12．（25-26高一下·上海·阶段检测）过点且在轴的截距相等的直线方程是________ 13．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为__________. 14．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知直线垂直于直线，且过点，则直线在轴上的截距为______. 15．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）直线过点且与轴，轴分别交于点，若，则直线的方程为___________． 迁移创新 16．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，则面积的最小值________，此时的直线方程为________________. 17．直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． (1)的周长为12； (2)的面积为6． 18．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知直线，设直线与的交点为，点的坐标为． (1)求经过点且满足横截距是纵截距2倍的直线方程； (2)求点关于对称点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $