第09讲 直线的一般式方程（4个知识点+2个要点+1个易错点+4种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第09讲 直线的一般式方程（4个知识点+2个要点+1个易错点+4种题型+过关检测） 知识点1：直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 知识点2：直线的一般式方程与其他形式方程的互化 1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 2、一般式化为斜截式的步骤 （1）移项得； （2）当时，得斜截式方程． 3、一般式化为截距式的步骤 （1）把常数项移到方程右边，得； （2）当，方程两边同时除以，得； （3）化为截距式方程：． 知识点3：直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 知识点4：直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．一条直线的方向向量有无数个,且都是非零共线向量。 要点1：选择恰当形式确定直线方程 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k(x－x1) 不能表示与x轴垂直的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示与x轴垂直的直线 两点式 ＝ 不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 适合所有的直线 要点2：利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,， 则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且. 即,且或. （2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即 题型1：直线一般式方程的应用 【例题1】（23-24高二上·河南信阳·期末）直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C．1012 D．2024 【变式1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）若直线和直线斜率互为相反数，则 . 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）写出满足下列条件的直线的方程． (1)经过点和； (2)平行于向量，并且经过点． 题型2：直线的位置关系的应用 【例题2】（23-24高二上·甘肃·期末）若直线和直线平行，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，若l1⊥l2则a的值为 . 【变式3】（23-24高二上·山东·阶段练习）求满足以下条件的参数的值． (1)若直线：和直线：平行，求m的值． (2)已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值． 题型3：过定点的直线系 【例题3】（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【变式1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【变式2】（24-25高二上·江苏）直线恒过定点 【变式3】（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 题型4：直线的方程在三角形中的应用 【例题4】（22-23高二上·天津南开·期中）已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为 . 【变式2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【变式3】（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，求： (1)边所在直线的一个方向向量； (2)边的中垂线的一般式方程. 易错点：对直线平行与垂直时的斜率关系理解有误 【例题1】已知直线与平行，求的值. 【变式1】（22-23高二上·山西运城·期末）已知直线：与：平行，则实数a的值为（    ） A．或2 B．0或2 C． D．2 【变式2】（22-23高三上·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 【变式3】（22-23高二上·山西·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0． (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与直线平行，求m的值． 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）经过点且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建泉州·期中）的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（    ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点且平分面积的直线与边相交于点 4．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 5．（23-24高二上·山东济宁·期中）若，，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（23-24高二上·甘肃白银·期末）若直线不经过第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·吉林长春·期末）直线与直线平行，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二上·云南玉溪·期中）已知为任意实数，当变化时，关于方程的说法正确的是(    ) A．该方程表示的直线恒过点 B．当且仅当时，该方程表示的直线垂直于轴 C．若直线与平行，则或3 D．若直线与直线垂直，则 11．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 13．（2024高二上·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 14．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为 ． 四、解答题 15．（2023高二上·江苏·专题练习）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 16．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点和直线. (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 17．（23-24高二上·全国·期末）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若不经过第二象限，求实数a的取值范围． 18．（21-22高二上·上海静安·期末）已知直线和， (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值. 19．（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）已知的三个顶点分别为. (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线的一般式方程（4个知识点+2个要点+1个易错点+4种题型+过关检测） 知识点1：直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 知识点2：直线的一般式方程与其他形式方程的互化 1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 2、一般式化为斜截式的步骤 （1）移项得； （2）当时，得斜截式方程． 3、一般式化为截距式的步骤 （1）把常数项移到方程右边，得； （2）当，方程两边同时除以，得； （3）化为截距式方程：． 知识点3：直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 知识点4：直线的方向向量 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．一条直线的方向向量有无数个,且都是非零共线向量。 要点1：选择恰当形式确定直线方程 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k(x－x1) 不能表示与x轴垂直的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示与x轴垂直的直线 两点式 ＝ 不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 适合所有的直线 要点2：利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,， 则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且. 即,且或. （2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或.即 题型1：直线一般式方程的应用 【例题1】（23-24高二上·河南信阳·期末）直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C．1012 D．2024 【答案】B 【分析】利用截距的定义，结合直线方程即可得解. 【详解】因为，令，得， 所以直线在y轴上的截距为. 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，化简得. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）若直线和直线斜率互为相反数，则 . 【答案】或0 【分析】分，和，根据两直线的斜率互为相反数求解. 【详解】解：当，即时，，，不符合题意； 当，即时，，不符合题意； 当时，直线和直线斜率互为相反数， 所以，解得或， 故答案为：或0 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）写出满足下列条件的直线的方程． (1)经过点和； (2)平行于向量，并且经过点． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）得到直线方向向量，进而取得法向量，再用一般式解题； （2）先得到直线斜率，再用点斜式，最后化为一般式即可. 【详解】（1）由已知条件可知直线的一个方向向量， 直线的一个法向量． 因此可设直线的一般式方程为， 代入，得， 所求直线的方程为． （2）所求直线平行于向量， 所求直线的斜率为． 又直线经过点， 所求直线的方程为，整理得． 题型2：直线的位置关系的应用 【例题2】（23-24高二上·甘肃·期末）若直线和直线平行，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据两条直线平行求出的值，验证即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或， 当时，两条直线重合； 当时，两条直线平行. 综上，. 故选：C. 【变式1】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值. 【详解】直线与直线垂直， 则有，解得或， 故选：A． 【变式2】（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，若l1⊥l2则a的值为 . 【答案】/-0.4 【分析】由两一般式直线垂直条件可得答案. 【详解】因两直线互相垂直，则，得. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·山东·阶段练习）求满足以下条件的参数的值． (1)若直线：和直线：平行，求m的值． (2)已知直线经过点，，直线经过点，，若，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由两直线平行，根据平行的判定求的值即可. （2）当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解. 【详解】（1）直线和直线平行， ，解得或， 当时，直线：和直线：平行， 当时，直线：和直线：重合， 所以； （2）由题意，知直线的斜率一定存在，直线的斜率可能不存在. 当直线的斜率不存在时，，即，此时，则，满足题意. 当直线的斜率存在时，， 由斜率公式，得. 由，知，即，解得. 综上所述，或. 题型3：过定点的直线系 【例题3】（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 【变式1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·江苏）直线恒过定点 【答案】 【分析】整理直线方程，列出方程组，求出定点坐标即得. 【详解】直线，化为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可. （2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）直线， 则， 定点. （2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾）， 令，可得， 令，可得， 由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2， 故或2． 题型4：直线的方程在三角形中的应用 【例题4】（22-23高二上·天津南开·期中）已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的中点，再用两点式求AB边上的中线所在直线的方程 【详解】边的中点为， ∴边上的中线所在直线的方程，即. 故选：C 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】求出线段中点坐标，由两点式写出直线方程，再化简即得． 【详解】，，∴边中点为， ∴中线方程为，即． 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·四川成都·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    【变式3】（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，求： (1)边所在直线的一个方向向量； (2)边的中垂线的一般式方程. 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）即为边所在直线的一个方向向量； （2）求出线段的中点坐标，再求出的斜率，即可得到所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）因为，，所以边所在直线的一个方向向量为； （2）设线段的中点为，则点，即， 又，所以边的中垂线的斜率， 则可得中垂线的方程为， 整理得边的中垂线的一般式方程是. 易错点：对直线平行与垂直时的斜率关系理解有误 【例题1】已知直线与平行，求的值. 【解析】当，即时，直线与的斜率均不存在，此时两直线的方程为与，所以//. 当时，此时两条直线的方程为与. 由//得，解得， 经检验知，此时有. 所以当//时，或. 【变式1】（22-23高二上·山西运城·期末）已知直线：与：平行，则实数a的值为（    ） A．或2 B．0或2 C． D．2 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件列出方程，即可得出结果. 【详解】若两直线斜率都不存在，直线中，直线中， 所以没有实数a能同时满足两条直线斜率均不存在； 若两条直线都有斜率，两直线平行斜率相等，得 ，解得或，经过验证：时两直线重合，舍去， 所以, 故选：C 【变式2】（22-23高三上·江西新余·期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（    ） A． B．1 C． D．或1 【答案】A 【分析】根据两条直线平行，斜率相等求解即可. 【详解】因为直线：的斜率，斜率存在，且， 所以直线；的斜率存在，且， 化简得：，解得或. 当时，直线：，直线；，此时. 当时，直线：，直线；，此时重合，舍去. 所以. 故选：A 【变式3】（22-23高二上·山西·期中）已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0． (1)求直线的一般式方程； (2)若直线与直线平行，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设直线方程的截距式方程，将点代入计算即可； （2）由（1）知直线的斜率存在且不为0，所以利用两直线平行的性质求解出参数，注意讨论即可. 【详解】（1）由题意设直线方程为： 将点代入得： 所以直线方程为： 所以直线l的一般式方程为： （2）由（1）知直线l的斜率存在且不为0, 所以若直线与直线平行 则 所以或 当时，直线满足题意 当时，直线与直线重合不满足题意 所以 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行，令直线为，再由所过的点求参数，即可得方程. 【详解】令直线为，且过点， 所以，即，故直线的方程为. 故选：C 2．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）经过点且斜率为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线经过点且斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：D. 3．（23-24高二上·福建泉州·期中）的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（    ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点且平分面积的直线与边相交于点 【答案】B 【分析】求出，即可判断A，利用点斜式求出边上的高的方程，即可判断B，分过原点和不过原点两种情况讨论即可判断C，求出边的中点坐标，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以直线的斜率，而直线的斜率为，两直线不平行，故A错误； 边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，故B正确； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，故C错误； 过点且平分面积的直线过边中点，而的中点坐标为，故D错误． 故选：B． 4．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得. 【详解】由题意知，不同时为，且也不同时为， 则两直线， 化简得，解得，或. 故选：D. 5．（23-24高二上·山东济宁·期中）若，，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】将直线方程一般式转化为斜截式，从而求得正确答案. 【详解】依题意，，，则， 直线可化为， 其中， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 6．（23-24高二上·甘肃白银·期末）若直线不经过第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将直线化为斜截式，从而得到关于的不等式组，由此得解. 【详解】直线方程可化为，因为直线不经过第一象限， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 7．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理直线的方程，可得直线恒过点，当时，点到的距离最大时，即可求解. 【详解】∵直线：， ∴可将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 当时，点到的距离最大时， ，则由，得. 故选：A. 8．（23-24高二上·吉林长春·期末）直线与直线平行，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先根据求解出的值，然后再进行检验是否重合，由此求解出的值. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，此时重合，舍去； 当时，，，此时满足， 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据各选项直线方程判断是否过点，以及求出其在两坐标轴上的截距. 【详解】对于A：因为，所以过点， 且在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故A正确； 对于B：因为，所以过点， 令，解得，即直线在轴上的截距为，不符合题意，故B错误； 对于C：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故C正确； 对于D：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，符合题意，故D正确. 故选：ACD 10．（22-23高二上·云南玉溪·期中）已知为任意实数，当变化时，关于方程的说法正确的是(    ) A．该方程表示的直线恒过点 B．当且仅当时，该方程表示的直线垂直于轴 C．若直线与平行，则或3 D．若直线与直线垂直，则 【答案】ABD 【分析】根据经过两条直线交点的直线系方程的相关性质即可逐项判断求解． 【详解】． 对于选项A：由得，联立两个方程解得x=y=1，故该方程表示的直线恒过定点(1，1)，故A正确； 对于选项B：若表示垂直于y轴的直线，则2+λ=0，且1-2λ≠0，即λ=-2，故B正确； 对于选项C：若直线与平行， 则，且，解得，当时，两直线重合，故C错误； 对于选项D：若直线与直线垂直， 则直线的斜率为1，即，解得，故D正确． 故选：ABD． 11．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得. 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 13．（2024高二上·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【答案】 【分析】分别令和，求出对应的值，即是直线必过的定点. 【详解】由题意，在 令，解得， 不论m，n取什么值，直线必过一定点. 故答案为： 14．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】根据方向向量求出直线的斜率，再点斜式写出方程，最后化简为一般方程即可. 【详解】根据直线l的方向向量可得直线的斜率为，又因为, 所以直线l的方程为,即得. 故答案为：. 四、解答题 15．（2023高二上·江苏·专题练习）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 【答案】或 【分析】当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线的方程为，代入点坐标可得答案；②当直线过原点时，设直线的方程为，代入点坐标可得答案. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 可设直线的方程为， 又过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； ②当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线过原点时， 设直线的方程为，因为过点，所以，解得， 直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 16．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点和直线. (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解， （2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解. 【详解】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为：，即； （2）若直线经过原点，设直线方程为， 代入可得， 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，故直线方程为. 综上，直线的方程为和. 17．（23-24高二上·全国·期末）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出直线在x轴、y轴上的截距，再列式求解即得. （2）直线过的定点在第四象限，由直线的斜率大于等于0，求出a的范围． 【详解】（1）直线：在y上的截距为， 由在两坐标轴上的截距相等，知，且直线在x轴上的截距为， 于是，解得或， 所以直线的方程为或. （2）直线：，由，得，即直线过定点， 显然点P在第四象限，要使直线不经过第二象限，而直线的斜率存在， 因此直线的斜率不小于0，即，解得， 所以实数a的取值范围是. 18．（21-22高二上·上海静安·期末）已知直线和， (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列出关于m的式子可求； （2）根据列出方程可求. 【详解】（1）解：当时，与平行， 解得时，与平行． （2）解：当时，即时，与垂直， 解得时，与垂直． 19．（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）已知的三个顶点分别为. (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两点式可得BC边所在直线的方程； （2）因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，由直线BC的斜率，可得BC边上的高所在直线的斜率，再由点斜式可得BC边上的高的直线方程. 【详解】（1）因为， 则所求直线方程为，即， 所以BC边所在直线的方程为. （2）因为，所以直线BC的斜率为， 因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为. 因为在BC边上的高上，所以所求直线方程为， 即BC边上的高所在直线的方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$