1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量研究直线、平面位置关系核心知识点，从点、直线、平面的向量表示切入，系统讲解方向向量、法向量的概念与求解方法，进而阐述用向量判定线线、线面、面面平行与垂直的原理，形成完整知识脉络，每个知识点均以定义、性质及随学随练为学习支架。 该资料以题型分层设计（基础到探究）为特色，结合正方体、四棱锥等实例，引导学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维推理判定条件（如待定系数法求法向量），用数学语言表达几何关系。课中随学随练辅助教师高效授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

司 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 空间向量研究直线、平面的位置关系 课标要点 1.理解空间直线的方向向量、平面的法向量的概念，掌握其求解方法。 2.能用方向向量与法向量刻画空间直线、平面的位置关系。 3.掌握用向量判定空间线线、线面、面面平行与垂直的方法。 学习重难点 重点： 1.直线方向向量、平面法向量的求解与应用。 2.利用向量判定线线、线面、面面的平行与垂直关系。 3.依托向量规范完成空间位置关系的几何证明。 难点： 1.根据空间几何体快速、准确求解平面法向量。 2.灵活选用方向向量、法向量，区分不同位置关系的向量判定条件。 知识点 空间中点、直线、平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 易错提醒 （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 3、直线的向量表示 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 4、空间平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 随学随练 1．（25-26高二上·江西·阶段检测）在空间直角坐标系中，若直线与平面平行，则的一个方向向量的坐标可能为________. 【答案】（答案不唯一，满足，不全为0，的都可以） 【解析】因为直线与平面平行，所以的一个方向向量的坐标为0，不全为0， 所以的一个方向向量的坐标可能为. 知识点 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 特别提醒 求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 随学随练 1．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设平面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， ，即平面的一个法向量为．故选：B． 知识点 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得. 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 随学随练 1．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由直线平面，可得，则 则，解得故选：D. 知识点 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量，则，使. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 随学随练 1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 【答案】 【解析】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且， 所以，所以，解得. 题型 直线方向向量的概念与求解 ▌例1 （24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是______. 【答案】(时，均可) 【解析】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为， 时，也都是直线的方向向量. 故答案为：（时，均可） 解题贴士 直线方向向量为与直线平行的任意非零向量，解题时可直接取直线上两个不同点坐标作差快速求解，也可沿用已知平行向量或设倍数参数向量简化运算，只需保证所得向量非零，无需唯一，仅反映直线空间走向。 ▌对点练1-1 （24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【解析】依题意，向量共线，则， 所以.故选：B ▌对点练1-2 （25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以，故选：A. ▌对点练1-3 （25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为.故选：D. 题型 平面法向量的概念与求解 ▌例2 （24-25高二上·新疆巴州·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即.故选：A. 解题贴士 利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 ▌对点练2-1 （25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，， 所以， ， 设平面ABC的法向量， 则，令，则， 因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例， 故平面ABC的一个法向量是.故选：B ▌对点练2-2 （25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即，化简得，， 令，则，，即法向量为.故选：A. ▌对点练2-3 （25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1)；(2)方向向量，法向量为 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 题型 利用向量判断线面位置关系 ▌例3 （25-26高二下·辽宁葫芦岛·开学考试）若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【解析】因为，， 所以，所以，所以，故选：A 解题贴士 该题型核心是利用直线方向向量与平面法向量的平行、垂直关系判定线面位置，方向向量与法向量共线则线面垂直、互相垂直且直线不在平面内则线面平行，两向量既不平行也不垂直则直线与平面斜交，实现几何位置关系代数快速判定。 ▌对点练3-1 （25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（    ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【解析】，， ， 是直线的方向向量， 的位置关系是垂直.故选：A. ▌对点练3-2 （24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. ▌对点练3-3 （25-26高二上·广东梅州·期中）（多选）在正方体中，在线段BC上存在点，使得有（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】ABD 【解析】A：如图， 当点与重合时，，故A正确； B：建立如图空间直角坐标系，设， 则，当点与重合时，， 得， 所以，所以，故B正确； C：易知平面，所以平面不成立，故C错误； D：当点与重合时，， 又平面，平面，所以平面，故D正确.故选：ABD 题型 利用向量解决平行问题 ▌例4 （25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 【答案】 【解析】由题意可得：， 即，解得：. 解题贴士 解题依托向量共线、垂直性质判定空间平行关系，线线平行只需两直线方向向量共线，线面平行需直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，面面平行只需两平面法向量共线，解题时需注意区分向量平行与空间直线、平面重合的特殊情况。 ▌对点练4-1 如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【答案】证明见解析 【解析】因，则以为原点，所在直线为轴、轴，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因AD⊥平面BCD，则轴， 设，， 因M是AD的中点，P是BM的中点，则，， 因，则，则， 则， 又平面的一个法向量为，则，即， 又平面，则平面. ▌对点练4-2 （25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【答案】(1)；；；(2)（答案不唯一）；(3)证明见解析. 【解析】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面，所以直线平面. ▌对点练4-3 （24-25高二上·河南许昌·阶段检测）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 题型 利用向量解决垂直问题 ▌例5 （25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【解析】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 解题贴士 以向量数量积为0为核心判定依据，线线垂直即两直线方向向量数量积为0，线面垂直可通过直线方向向量与平面内两条不共线向量分别垂直或与平面法向量共线判定，面面垂直即两平面法向量数量积为0，将空间垂直证明转化为简易坐标运算求解。 ▌对点练5-1 如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在直三棱柱中，. 又，，平面，∴平面. ∵平面，平面，∴，，∴，，两两垂直. 以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由题可得，，，，，， ∴，，，. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，即， 令，则，∴平面的一个法向量为. ∴，∴平面平面. ▌对点练5-2 （25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)取的中点为，连接， 因为，所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，， 所以，即. (2)，，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为，则， 令，则，，可以求得面的一个法向量， 又因为，所以，平面平面. 【解析】（1）略 （2）略 ▌对点练5-3 （25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知正方体中，E为棱上的动点． (1)求证：； (2)若平面平面，求证：E为的中点． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则． 设，， ， ∴，即 （2）设平面和平面EBD的法向量分别为，． ， ，即，令，则，则， ，即，令，则，则． 由平面平面，得. ，即. ∴当E为的中点时，平面平面. 题型 空间位置关系的探究性问题 ▌例6 如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点使得平面， 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 解题贴士 先假设题目要求的平行、垂直等空间位置关系成立，结合方向向量、法向量的判定条件列出含参数的方程或约束条件，通过代数运算求解参数或动点位置，最后结合几何体实际结构检验结果，剔除重合、不符题意的增根。 ▌对点练6-1 （25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）因为，即, 又，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又，，平面，所以平面， 在直角三角形中，，， 所以. （2）因为平面，，以为原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系， 则，，， 假设存在线段上存在一点，使得平面平面， 设点，，则，所以， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，所以， 若平面平面，则，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. ▌对点练6-2 （24-25高二上·广东珠海·阶段检测）如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析. 【解析】（1）如图，取中点，连接. ∵,∴, ∵,,, ∴与全等， ∴，∴， ∵，、平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）不存在，理由如下： 由（1）得，平面， ∵平面， ∴平面平面， 如图，过点作于点. ∵平面平面，平面， ∴平面 由题意得， ∴，设三棱柱的高为， ∵三棱锥的体积为， ∴三棱锥的体积为，即， ∴，即， ∴，∴点为中点. 取中点，则，∴. 故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ∴， ，，. 设，则， ∴， 要使平面，则需且， 由得，，解得， 由得，，解得， 由两个方程解出值不同可得在棱上不存在点使得平面. 基础通关 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若直线平面，则直线与平面的法向量共线， 因此，当时，即为A选项， 对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误.故选：A. 2．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量.故选：D 3．（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①；②；③；④. 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为法向量与平面垂直，所以成立，①正确； 因为法向量与平面垂直，所以，②正确； 因为，所以，③不正确； 因为，所以或者，④不正确.故选：B 4．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 【答案】C 【解析】已知，直线 的方向向量 ， 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 因为：所以， 即，所以， 又因为，所以， 即，所以， 所以.故选：C. 5．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知经过点的平面的一个法向量为， 该平面的方程为，即. 6．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，，由平面，得，， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则, . 对于A，由 ,得，故不垂直； 对于B，由，得，故垂直； 对于C，由，得,故不垂直； 对于D，由，得，故不垂直，故选：B. 7．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 【答案】ACD 【解析】选项A：因为，所以，所以，故A正确； 选项B：因为，所以， 所以或，故B错误； 选项C：因为，所以，所以，故C正确； 选项D：因为，所以， 所以或，故D正确.故选：ACD 8．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得，则，即，A正确； 对于B，由，得，则，，即，解得，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，由，得，则，，即，，解得，D正确.故选：ABD 9．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 【答案】14 【解析】因为，且，所以，解得. 10．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为是矩形，所以， 因为底面，所以以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，且设，所以，，， ，，因为，分别为，的中点， 所以由中点坐标公式得，，则， 由题意得面的法向量为， 因为，面，所以平面. （2）由题意得，， 设面的一个法向量为， 则，由题意得，令，解得， 得到，此时， 可得，故平面. 素养提升 11．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则.故选：A 12．（25-26高二上·湖南娄底·期末）在正方体中，分别为中点，则在正方体的八个顶点中任取两个顶点确定的直线中，与平面平行的条数有（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】设正方体的棱长为2，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以 ，所以，， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，所以. 在正方体的8个顶点中任取两点，可以得到12条棱，12条对角线，4条体对角线. 欲求与平面平行的直线，应满足直线的方向向量与平面的法向量垂直， 因为棱的方向向量分别是，显然与都不垂直； 面对角线的方向向量， 显然满足题意，同理可验证只有，， 直线显然都在面外，所以满足题意， 同理体对角线均不满足题意， 所以满足条件的直线有故选：C 13．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为2，为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取底面正方形中心，中点，连接， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 易知， 因为，故，因此， 又易知平面，平面， 故，则， 则，设， 则， 因为，得， 所以点在以为球心，以为半径的球面上， 且， 则， 即线段长度的取值范围为．故选：A. 14．（25-26高二上·广东深圳·期中）（多选）在正方体中，点分别满足，则（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，存在使得平面 C．当时，点与点到平面的距离相等 D．当时，总有 【答案】ACD 【解析】在正方体中，令，建立如图所示的空间直角坐标系，如图， ， 对于A，，A正确； 对于B，，，， 则与不垂直，因此与平面不垂直，B错误； 对于C，当时，是线段的中点，点与点到平面的距离相等，C正确； 对于D，，，而，则，D正确. 故选：ACD 15．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，为线段的中点 【解析】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 迁移创新 16．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】边长为2正方体中如图所示，建立空间直角坐标系， 则. 所以，， 因为，所以，所以. 在棱上取中点，则，. 因为，所以，所以. 取棱的中点，则.连接，，所以. 所以四点共面. 因为，平面，所以平面. 所以点和满足条件的所有点P构成的图形为梯形. ，，， 梯形的周长为.故选：B. 17．（25-26高二上·湖南·阶段检测）（多选）空间内不重合的两平面的法向量分别为，直线的方向向量为，已知，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与共线 D．当时，与相交 【答案】ACD 【解析】不妨取空间内一点使得，则. 对于A，由可知，故由投影向量性质可知，故A正确； 对于B，同理，故B错误； 对于C，由可得，故可设，故，可知与共线，故C正确； 对于D，由可得，显然与不共线，于是不与共线， 故两平面不平行，故二者只能相交，故D正确，故选：ACD． 18．（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点. (1)求证：； (2)为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，；(3)证明见解析 【解析】（1）证明：以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，，， ，，即. （2）假设存在使得平面， 由（1）得，， 设，其中， 则，， 因为平面，平面， 故，平面， 若平面，则只需，解得，， 故存在点，使得平面，此时. （3）证明：因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在，使得， 即， 所以， 又因为，且、、不共面， 由空间向量基本定理可得， 因此为定值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 空间向量研究直线、平面的位置关系 课标要点 1.理解空间直线的方向向量、平面的法向量的概念，掌握其求解方法。 2.能用方向向量与法向量刻画空间直线、平面的位置关系。 3.掌握用向量判定空间线线、线面、面面平行与垂直的方法。 学习重难点 重点： 1.直线方向向量、平面法向量的求解与应用。 2.利用向量判定线线、线面、面面的平行与垂直关系。 3.依托向量规范完成空间位置关系的几何证明。 难点： 1.根据空间几何体快速、准确求解平面法向量。 2.灵活选用方向向量、法向量，区分不同位置关系的向量判定条件。 知识点 空间中点、直线、平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 易错提醒 （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 3、直线的向量表示 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 4、空间平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 随学随练 1．（25-26高二上·江西·阶段检测）在空间直角坐标系中，若直线与平面平行，则的一个方向向量的坐标可能为________. 知识点 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 特别提醒 求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 随学随练 1．（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 知识点 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得. 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 随学随练 1．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 知识点 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量，则，使. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 随学随练 1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则__________. 题型 直线方向向量的概念与求解 ▌例1 （24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是______. 解题贴士 直线方向向量为与直线平行的任意非零向量，解题时可直接取直线上两个不同点坐标作差快速求解，也可沿用已知平行向量或设倍数参数向量简化运算，只需保证所得向量非零，无需唯一，仅反映直线空间走向。 ▌对点练1-1 （24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 ▌对点练1-2 （25-26高二下·广西南宁·阶段检测）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 ▌对点练1-3 （25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 题型 平面法向量的概念与求解 ▌例2 （24-25高二上·新疆巴州·期末）已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 解题贴士 利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 ▌对点练2-1 （25-26高二上·湖南永州·期中）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3 （25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 题型 利用向量判断线面位置关系 ▌例3 （25-26高二下·辽宁葫芦岛·开学考试）若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 解题贴士 该题型核心是利用直线方向向量与平面法向量的平行、垂直关系判定线面位置，方向向量与法向量共线则线面垂直、互相垂直且直线不在平面内则线面平行，两向量既不平行也不垂直则直线与平面斜交，实现几何位置关系代数快速判定。 ▌对点练3-1 （25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（    ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 ▌对点练3-2 （24-25高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3 （25-26高二上·广东梅州·期中）（多选）在正方体中，在线段BC上存在点，使得有（    ） A． B． C．平面 D．平面 题型 利用向量解决平行问题 ▌例4 （25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 解题贴士 解题依托向量共线、垂直性质判定空间平行关系，线线平行只需两直线方向向量共线，线面平行需直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，面面平行只需两平面法向量共线，解题时需注意区分向量平行与空间直线、平面重合的特殊情况。 ▌对点练4-1 如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面. ▌对点练4-2 （25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． ▌对点练4-3 （24-25高二上·河南许昌·阶段检测）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 题型 利用向量解决垂直问题 ▌例5 （25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 解题贴士 以向量数量积为0为核心判定依据，线线垂直即两直线方向向量数量积为0，线面垂直可通过直线方向向量与平面内两条不共线向量分别垂直或与平面法向量共线判定，面面垂直即两平面法向量数量积为0，将空间垂直证明转化为简易坐标运算求解。 ▌对点练5-1 如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面. ▌对点练5-2 （25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. ▌对点练5-3 （25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知正方体中，E为棱上的动点． (1)求证：； (2)若平面平面，求证：E为的中点． 题型 空间位置关系的探究性问题 ▌例6 如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 解题贴士 先假设题目要求的平行、垂直等空间位置关系成立，结合方向向量、法向量的判定条件列出含参数的方程或约束条件，通过代数运算求解参数或动点位置，最后结合几何体实际结构检验结果，剔除重合、不符题意的增根。 ▌对点练6-1 （25-26高三上·宁夏中卫·阶段检测）如图1，在边长为的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求多面体的体积； (2)在线段上是否存在点，使平面平面?若存在，求出的值；若不存在请说明理由． ▌对点练6-2 （24-25高二上·广东珠海·阶段检测）如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 基础通关 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①；②；③；④. 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 5．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的有（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面的法向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 8．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知平面的一个法向量为，点均在平面内，则__________. 10．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 素养提升 11．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·湖南娄底·期末）在正方体中，分别为中点，则在正方体的八个顶点中任取两个顶点确定的直线中，与平面平行的条数有（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 13．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为2，为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·广东深圳·期中）（多选）在正方体中，点分别满足，则（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，存在使得平面 C．当时，点与点到平面的距离相等 D．当时，总有 15．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，. (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 迁移创新 16．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·湖南·阶段检测）（多选）空间内不重合的两平面的法向量分别为，直线的方向向量为，已知，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与共线 D．当时，与相交 18．（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点. (1)求证：； (2)为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $