期末复习讲义专题04函数的概念与表示及其基本性质（4知识点+21题型）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学复习讲义通过内容导图与知识要点系统构建函数概念与性质的知识体系，用表格对比函数表示法优缺点、单调性定义与判断步骤，思维导图呈现三要素、单调性、奇偶性的逻辑联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，从定义域、值域基础题到奇偶性与单调性综合应用题，结合步骤化方法指导，如单调性证明四步法，培养数学思维与符号表达能力。例题如利用奇偶性转化变量解不等式，助力学生掌握转化思想，支持分层教学与自主复习。

期末复习专题04 函数的概念与表示及其基本性质 览内容导图 巩知识要点 知识点1 函数的相关概念 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数的判断 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 3.函数表示法 函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 表示法 概念 优缺点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确 知识点2 函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 3.利用定义证明函数的单调性 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 4.函数的最大值和最小值 函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 知识点3 奇偶性 1.偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 3.函数奇偶性的图像对称性的拓展 函数图象关于直线对称 函数图象关于点对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(a－x)＝－f(a＋x) (a,0) f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ f(a＋x)＝－f(b－x) 4.判断函数奇偶性的三种常用方法 （1）定义法. 判断函数奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)与f(x)的关系.对∀x∈D，若f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数. （2）图象法 （3）性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 5.函数奇偶性的应用 1）利用函数的奇偶性求值 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 2）根据函数的奇偶性求函数的解析式 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，即可得所求区间上的解析式. (2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为-x，构造方程组求解. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0. 知识点4 函数的奇偶性与单调性的综合应用 类型1　比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. 5.比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 类型2　解不等式 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 破重难题型 一、题型一 具体函数定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 二、题型二 抽象函数定义域 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 三、题型三 函数值域 8．函数的值域为 9．下列函数中，值域不是的函数为（   ） A．， B．， C．， D．， 10．分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 四、题型四 同一函数的判断 11．与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 12．下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 13．下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 五、题型五 分段函数求值 14．已知函数，则（    ） A．63 B． C． D． 15．已知函数则=（ ） A． B． C．1 D．2 16．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 17．已知函数，则 ． 六、题型六 函数解析式 18．已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 19．求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 20．求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知函数满足，求函数的解析式. 21．求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 七、题型七 分段函数的应用 22．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的值域为 D．的解集为 23．函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 24．已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 八、题型八 具体函数的单调性 27．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 28．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 29．函数的单调递减区间是 ． 30．函数的单调递增区间是 . 31．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 九、题型九 根据单调性求参数 32．已知是减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知函数，当时，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 36．已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是 ． 37．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 38．设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在上不单调，求实数的取值范围； (3)若对于，恒成立，求的取值范围． 十、题型十 利用单调性比较大小 39．已知实数满足，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 40．已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 41．设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 42．已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 43．已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 十一、题型十一 利用单调性解不等式 44．已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 45．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 ． 46．已知函数，则关于的不等式的解集为 . 47．已知函数则不等式的解集为 . 十二、题型十二 利用单调性求最值 48．函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 49．函数在区间上的最大值为 . 50．已知函数满足，则在区间的最大值为 . 51．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 十三、题型十三 利用单调性求恒（能）成立问题 52．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 54．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 55．设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 十四、题型十四 已知值域求参数 56．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 58．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是 十五、题型十五 奇偶性的判断 60．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 61．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 62．下列函数是奇函数，且在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 63．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在上单调递增 十六、题型十六 已知奇偶性求参数 64．已知，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 65．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 十七、题型十七 函数图象问题 66．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 67．函数的图象为（   ） A． B． C． D． 68．函数在区间上的图像可能是（    ） A． B． C． D． 69．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 70．在《航拍中国》江西篇中，摄制组的飞机飞过庐山西海时，一座天然的爱心形状岛屿格外吸引眼球.下图左边是庐山西海这座岛屿的地图，其形状如一颗爱心．右边是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A． B． C． D． 十八、题型十八 根据奇偶性求解析式 71．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 72．若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 73．已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为 74．函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式 ． 十九、题型十九 根据奇偶性解不等式 75．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 76．设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 77．已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 78．已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 79．已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二十、题型二十 奇函数 常数 80．设函数上的最大值为，最小值为，则 81．函数，设函数的最大值为，最小值为，则的值为 . 82．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 . 83．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 二一、题型二一 抽象函数的综合运用 84．已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 85．若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 86．已知函数的定义域为，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是增函数 C．不等式的解集为 D． 87．定义在上的函数，满足，且当时，. (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 88．定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ） A． B．是偶函数 C．在上有最大值 D．的解集为 89．已知是定义在R上的函数，且满足，又当时，，且，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在R上单调递减. C．函数是偶函数 D．不等式的解集为. 90．已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 91．已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 92．已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 93．已知函数. （1）判断的单调性，并说明理由； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题04 函数的概念与表示及其基本性质 览内容导图 巩知识要点 知识点1 函数的相关概念 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数的判断 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1)判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4)在化简解析式时，必须是等价变形. 3.函数表示法 函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 表示法 概念 优缺点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确 知识点2 函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 3.利用定义证明函数的单调性 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 4.函数的最大值和最小值 函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 知识点3 奇偶性 1.偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 3.函数奇偶性的图像对称性的拓展 函数图象关于直线对称 函数图象关于点对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(a－x)＝－f(a＋x) (a,0) f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ f(a＋x)＝－f(b－x) 4.判断函数奇偶性的三种常用方法 （1）定义法. 判断函数奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)与f(x)的关系.对∀x∈D，若f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数. （2）图象法 （3）性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 5.函数奇偶性的应用 1）利用函数的奇偶性求值 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 2）根据函数的奇偶性求函数的解析式 (1)已知某区间上函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，此时-x成了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，即可得所求区间上的解析式. (2)已知函数f(x)，g(x)的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为-x，构造方程组求解. 提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0. 知识点4 函数的奇偶性与单调性的综合应用 类型1　比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. 5.比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 类型2　解不等式 利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题. 提醒：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如已知f(1)=0，若f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论f(x)=f(|x|)的灵活运用. 破重难题型 一、题型一 具体函数定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域. 【详解】由题可知且，所以函数的定义域为． 故选：D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中满足，中求解函数的定义域. 【详解】要求函数的定义域，则满足 所以的定义域为 故选：B 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【详解】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D 二、题型二 抽象函数定义域 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意令，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 令，解得， 所以的定义域为． 故选：D. 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法，内层函数必须包含于外层函数的定义域之中. 【详解】令，则， 因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 三、题型三 函数值域 8．函数的值域为 【答案】 【分析】利用分离常数法求解即可. 【详解】因为， 则，所以函数的值域为． 故答案为： 9．下列函数中，值域不是的函数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【分析】结合单调性求值域，依次判断各个选项即可. 【详解】对于A选项，为定义域上减函数，代入可得值域为，不符合题意， 对于B选项，为定义域上增函数，代入可得值域为，不符合题意， 对于C选项，函数为二次函数开口向下，对称轴在区间内， 又代入定义域可得值域为，符合题意， 对于D选项，分离常数可得， ，则，符合题意. 故选： 10．分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】略 四、题型四 同一函数的判断 11．与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相同函数的概念逐项分析可得. 【详解】函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以A不正确； 对于B，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以B不正确； 对于C，函数的定义域为，且对应关系相同，所以与函数是同一函数，所以C正确； 对于D，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以D不正确. 故选：C. 12．下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据题意，结合同一函数的定义，结合选项，先判定定义域，再判定对应关系，即可求解. 【详解】对于A，函数与的定义域都是， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数满足，解得， 即函数的定义域为， 又由满足，解得，即的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数与，所以两个函数的定义域相同， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 13．下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，若定义域不同，则两个函数不是相同函数，在定义域相同的情况下，再整理函数的解析式，若解析式不同，则不是相同函数，若相同，则两个函数是相同函数. 【详解】解：对于A：，定义域为，定义域为，所以两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，故A不正确； 对于B：，，这两个函数的解析式不同，故不是同一函数，故B不正确； 对于C：，两个函数解析式，定义域都相同，故是同一函数，故C正确. 对于D：的定义域为，而的定义域为，两个函数定义域不同，故不是同一函数，故D不正确. 故选：C. 五、题型五 分段函数求值 14．已知函数，则（    ） A．63 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，判断代入计算得解. 【详解】函数，则，所以. 故选：C 15．已知函数则=（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】代入即可求解. 【详解】. 故选：D. 16．设已知函数，则（   ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可. 【详解】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 17．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析求解函数值即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 六、题型六 函数解析式 18．已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 19．求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知是二次函数，且满足，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法进行求解； （2）利用待定系数法求解. 【详解】（1）已知，， 令，，则，代入上式得， 即. （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以， 所以. 20．求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求函数解析式即可； （2）构造方程，解方程组即可求出函数解析式. 【详解】（1），设，则， 则， 故. （2）因为，故可将变换为得， 解得. 21．求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得； （2）利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； （3）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【详解】（1）令，则， 于是有， 所以. （2）函数，又的值域为， . （3）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 七、题型七 分段函数的应用 22．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ABC 【分析】先求，再求可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D不正确. 【详解】对于A:由题，故A正确； 对于B:当时，，解得（舍去）； 当时，，又，，故B正确； 对于C: 当时，； 当时，. 故的值域为，故C正确； 对于D: 当时，，解得； 当时，解得. 综上的解集为， 故D不正确. 故选：ABC 23．函数，被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．函数的值域为 【答案】BD 【分析】根据函数解析式判断A、D，利用特殊值判断B、C. 【详解】因为， 对于A：，则，所以，则，故A错误； 对于B：当，则，则，故B正确； 对于C：若，，则，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：BD 24．已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由换元法进行，将方程转换为，结合分段函数讨论分析求解即可. 【详解】令，由，得． 当时，恒成立，此时， 所以或解得； 当时，，则，解得，不满足题意舍去， 所以的取值范围为． 故选：A． 25．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【详解】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 26．已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，并结合分段函数的性质求解， 【详解】在上单调递减，且， 而在上单调递增， 要使存在最小值， 结合分段函数的图象可得： ，即， 故选：D. 八、题型八 具体函数的单调性 27．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数真数大于0求出函数定义域，利用对数底数确定外层函数单调性，令，分析在定义域内的单调区间，最后利用复合函数单调性同增异减求出函数的单调区间． 【详解】对数的真数大于0， ，即，解得， 令，则， 的底数，时，单调递减， 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 复合函数的单调性满足同增异减， 在上单调递减，在上单调递增，故D正确． 故选：D． 28．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 29．函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 30．函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间. 【详解】由作图：    可得函数的单调递增区间是， 故答案为： 31．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对数函数的性质求出函数定义域，设，分析关于的单调性，再结合对数函数的单调性，最后利用复合函数的单调性求解． 【详解】函数的定义域需满足，解得或， 的定义域为， 设，当时，，且关于单调递增， 当时，，且关于单调递减， 在定义域上单调递减， 的单调递减区间为，故D正确． 故选：D． 九、题型九 根据单调性求参数 32．已知是减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数以及二次函数的单调性，即可结合分段函数的性质求解. 【详解】由在R上是减函数可得，解得， 故选：D 33．已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性建立不等式组解出即可. 【详解】因为函数对定义域内任意实数，都有， 所以函数在定义域上单调递增， 当时，函数为开口向下， 对称轴为的抛物线， 此时若函数要在上单调递增，则， 当时，函数， 若函数要在单调递增，则， 根据分段函数的单调性可得： ， 解得：， 故选：B. 34．已知函数，当时，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数为增函数，进而可得，计算即得. 【详解】当时, 有，则函数为增函数， 则， 即实数的取值范围是. 故选： B. 35．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 36．已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 37．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合函数定义域与二次函数单调性计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 38．设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在上不单调，求实数的取值范围； (3)若对于，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设可得，根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）由题意可得，进而求解即可； （3）转化问题为对于恒成立，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）当时，， 由，则，解得， 所以不等式的解集为. （2）函数开口向下，对称轴为， 要使函数在上不单调，则，解得， 则实数的取值范围为. （3）由，则， 即对于恒成立， 则，解得， 则的取值范围为. 十、题型十 利用单调性比较大小 39．已知实数满足，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质和幂函数的性质，判断结果. 【详解】当时，满足，但都不成立，所以A、B、C错误； 因为在上单调递增，由，得，所以D正确. 故选：D. 40．已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性得出，再结合函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. 故选：C. 41．设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性比较即可. 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 42．已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 43．已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 十一、题型十一 利用单调性解不等式 44．已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的单调性，判断函数单调性，进而解出不等式即可. 【详解】已知，定义域为R， 可知，令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，即，即， 化简得，解得或； 所以实数的取值范围为. 故答案为：C. 45．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性解抽象函数不等式，由题意得，再解不等式组即可． 【详解】是定义在上的增函数, ，即，解得， 则的取值范围是． 故答案为：． 46．已知函数，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原函数整理成分段函数，分析分段的单调性，根据函数单调性求解集. 【详解】由题知时，，则在上单调递增，时，，则在上单调递减； ①当，即时，可知 ， 因为自变量时，在上单调递减， 则，原不等式无解； ②当时，即时，可知， 因为自变量时，在上单调递增， 因此，即原不等式恒成立，其解集为； ③当且时，即时， 由可得，解得，故， 综上所述，关于的不等式的解集为， 故答案为：. 47．已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 十二、题型十二 利用单调性求最值 48．函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数单调性，再求最大值. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时取最大值为. 故选：C． 49．函数在区间上的最大值为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性，结合最大值的定义进行求解即可. 【详解】，该二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以该二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为， 所以， 因此该二次函数在区间上的最大值为. 故答案为： 50．已知函数满足，则在区间的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用恒等式通过消元思想求解，再利用对勾函数性质可求最值. 【详解】由可得：， 两式消去可得：， 由对勾函数性质可知：在区间上单调递减，在上单调递增， 由于， 所以在区间的最大值是， 故答案为： 51．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）应用分类讨论解含参一元二次不等式即可； （2）由题设，结合二次函数的性质，讨论对称轴与已知区间的位置关系求最小值. 【详解】（1）由题设， 当时，，则解集为， 当时，无解，则解集为， 当时，，则解集为； （2）由题设，其图象开口向上且对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，则最小值. 综上，. 十三、题型十三 利用单调性求恒（能）成立问题 52．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换主元法，化为关于的一元一次不等式，结合对应一次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题意知，，恒成立， 设函数，即，恒成立. 则，即，解得，或. 故选：C 53．已知函数（），，对，，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质分析函数、的值域，由题意可得，结合包含关系运算求解即可. 【详解】若，则，，可得， 所以函数在的值域为； 若，则，可得， 所以函数在的值域为； 因为对，，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 54．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用转化方法，把原不等式转化为关于的不等式，通过一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】原不等式， 当时，显然上述不等式不成立， 当时，设， 要想当时，恒成立， 只需， 由，或， 由，或 所以不等式的解为，或， 故答案为： 55．设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式能成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据对勾函数的单调性，结合存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）. .则， 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式能成立， 即时，能成立， 所以大于的最小值. 又在时，单调递减， 所以， 所以，，即. 十四、题型十四 已知值域求参数 56．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 57．函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论二次项系数，要使值域为，可得，解不等式组即可求解. 【详解】当时，，则恒成立，显然不符合题意； 要使函数的值域为， 需使，解得. 故的取值范围是. 故选：D 58．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，再与值域对比求实数的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减， 此时； 当时，． ①若，则在上单调递增，此时， 又函数的值域，不合题意； ②若，则，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，则， 解得．综上所述：． 故选：C. 59．已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据已知得到，令，结合得，进而有且求参数范围. 【详解】由在上单调递减， 由题意，即，则， 所以，令， 所以，，则， 综上，，且， 所以. 故答案为： 十五、题型十五 奇偶性的判断 60．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性定义及在上的单调性逐项判断即可 【详解】对于A，函数的定义域为，，是奇函数，A不合题意； 对于B，函数，定义域为，，是偶函数，且在上单调递增，B符合题意； 对于C，函数定义域为，，是偶函数， 当0时，在上单调递增，C符合题意； 对于D，函数的定义域为， 又，即函数为偶函数， 当0时，在上单调递增，D符合题意. 故选：BCD 61．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】选项A：因为在定义域内为增函数，故A错误； 选项B：因为在定义域内不单调，故B错误； 选项C：因为的定义域为，且，故为奇函数， 又，所以是减函数，故C正确； 选项D：因为，可知在定义域内不是奇函数，故D错误； 故选：C 62．下列函数是奇函数，且在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据解析式直接判断奇偶性与单调性即可求解. 【详解】对于A，是奇函数，在上单调递增，故A符合题意； 对于B，是偶函数，故B不符合题意； 对于C，是奇函数，在上单调递减，故C不符合题意； 对于D，令， 因为， 函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递减， 所以是奇函数，在上单调递增，故D符合题意. 故选：AD. 63．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】根据奇偶函数的定义依次判断AB即可；根据奇偶函数的性质，结合复合函数的单调性判断CD即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 所以， 所以和均为偶函数，A正确，B错误； 又因为在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，故C正确，D错误. 故选：AC 十六、题型十六 已知奇偶性求参数 64．已知，则“”是“为奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】充分性证明：根据，解得代入并根据奇函数定义判断；必要性证明：根据奇函数定义求，再对比题干中的值. 【详解】证明充分性：因为，解得，当时，，则，所以是偶函数； 当时，，则，所以是奇函数，故不充分. 证明必要性：若为奇函数，则，即， 整理得，因为，所以，即，故必要， 综上所述“”是“为奇函数”的必要不充分条件， 故选：B. 65．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【分析】先由奇函数的定义域特点可得，再由奇函数的定义可得，最后代入，结合奇函数的定义计算可直接得到结果. 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以， 所以． 故答案为：0. 十七、题型十七 函数图象问题 66．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【详解】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD， 又，排除B， 故选：A 67．函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数定义域，进而得到为奇函数，结合特殊点函数值，得到答案. 【详解】的定义域为， ，所以为奇函数，排除A； ，，，显然，故， 故BC错误，D正确. 故选：D 68．函数在区间上的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，探讨其奇偶性及的大小排除选项并得解. 【详解】函数的定义域为，， 则函数为偶函数，排除选项AB； 又，则，排除选项D，选项C符合题意. 故选：C. 69．函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性分析图象对称性排除CD项，再根据在区间内的函数值符号可得答案. 【详解】由，解得， 因此定义域为，关于原点对称， 由， 因此是奇函数，图象关于原点对称，故可排除选项CD； 当时，，因此， 即函数在上的图象位于轴上方，故可排除B项； 故选：A. 70．在《航拍中国》江西篇中，摄制组的飞机飞过庐山西海时，一座天然的爱心形状岛屿格外吸引眼球.下图左边是庐山西海这座岛屿的地图，其形状如一颗爱心．右边是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性的定义以及基本不等式判断求解. 【详解】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数， 对A，由解得，， 所以函数的定义域为， 又因为，所以函数为偶函数； 对B，由解得，， 所以函数的定义域为， 又因为，所以函数为奇函数； 对C，由解得，，即， 所以函数的定义域为， 又因为，所以函数为偶函数； 对D，由解得，，所以函数的定义域为， 所以该函数为非奇非偶函数； 故排除B、D； 的图象过点，，， 且时，，当且仅当时，等号成立， 即函数的最大值为，又“心形”函数的最大值为，故排除A； 由的图象过点，，，且时， ，当时，等号成立， 即函数的最大值为，满足题意，故C满足． 故选：C． 十八、题型十八 根据奇偶性求解析式 71．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质，结合对数的运算性质、换底公式进行求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以 . 故选：B 72．若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性的定义得与的方程组，可解出，即得答案. 【详解】根据已知条件， 为奇函数， 为偶函数，可得： ， 联立解得： 计算得： 因此，. 故选：D. 73．已知是定义在上的奇函数，且当时，；当时，的解析式为 【答案】 【分析】先利用奇函数的定义和性质，结合已知区间的解析式，代入化简即可推出未知区间的解析式. 【详解】设，则， 所以， 根据奇函数性质得：， 所以当时，的解析式为：. 故答案为： 74．函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式 ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质可得及，结合对应的解析式即可求解. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数， 所以. 当时，， 则. 因为， 所以时，. 故答案为：. 十九、题型十九 根据奇偶性解不等式 75．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质得，由在上单调递增，可得时，；时，；结合不等式及一元二次不等式的解法，利用符号法求解即可. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则， 令，得，所以， 又在上单调递增， 所以当时，；当时，； 等价于或， 所以或，所以或， 则不等式的解集为. 故选：D. 76．设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案. 【详解】由题意可设，因为是上的奇函数， 则，即是上的偶函数. 对任意，满足，即， ，即函数在上单调递减， 又是偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，即，即，； 当时，，即，即，， 综上，不等式的解集为. 故选：C. 77．已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知在上单调递增，在上单调递减，且，可得的解集为. 【详解】对任意不相等的两个正实数，，恒成立， 不妨设，，，， ，在上单调递增， 是定义在上的偶函数，在上单调递减， ，的解集为． 故选：D. 78．已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由偶函数及其单调性确定的取值，再解一元二次不等式，然后可得. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，满足函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，且， 所以当； 当；当；当 时，成立. 故选：D. 79．已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的对称性判断出的奇偶性，再结合的单调性求解不等式的解集. 【详解】因为关于点对称，根据函数图象平移的性质可知， 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的， 所以函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数， 所以且在内也单调递增. 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以或； 当时，要使得不等式成立，则， 根据函数的单调性，可得或， 解得或，又，所以. 综上可得不等式的解集为. 故选：C. 二十、题型二十 奇函数 常数 80．设函数上的最大值为，最小值为，则 【答案】 【分析】化简函数，令，求得为奇函数，得到，进而求得的值，即可得到答案. 【详解】由函数， 令，其定义域关于原点对称， 且，即， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可得， 则， 所以. 故答案为：. 81．函数，设函数的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】4 【分析】结合已知条件，利用奇函数性质即可求解. 【详解】由题意，， 不妨令， 因为， 故，即， 因为，所以为奇函数，关于原点对称， 故，， 由奇函数性质可知，，即. 故答案为：4. 82．已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则 . 【答案】2 【分析】将函数解析式化为，令，则，设，，可判断是奇函数，根据奇函数性质及，求得答案． 【详解】因为，， 令， 则， 设，，则， 所以是奇函数，最大值为，最小值为， 则，由，解得． 故答案为：2 83．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为 【答案】 【分析】，令，证明是奇函数，根据奇函数的性质计算可得. 【详解】，， 令，定义域为， ，， ， 所以是奇函数，所以， 而，， 所以. 故答案为：. 二一、题型二一 抽象函数的综合运用 84．已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】对于A，令，得出，即可排除；对于B，由函数单调性的定义法判断即可；对于C，令，可得，再运用递推与累加法即可判断；对于D：先将转化为，再运用函数单调性求解即可. 【详解】对于A：令，得，得，故不是奇函数，故A错误； 对于B：任取，不妨设，由题可知，，即，由时，可知，， 因此，即，又因为，故在上单调递增，故B正确； 对于C：令，可得，即， 因此有， 累加可得，因此，故C错误； 对于D：，故， 因此解即解， 又由B可知在上单调递增，因此，解得，故D正确. 故选：BD. 85．若定义在R上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】AB 【分析】令，得，可求解选项A，利用奇函数的定义可求解选项B，利用函数单调性的定义可求解选项C，利用函数的单调性解抽象不等式可求解选项D. 【详解】对A，令，得，A正确； 对B，，所以函数为奇函数，B正确； 对C，在R上任取，则，所以, 又， 所以函数在R上是增函数，C错误； 由， 得． 由得． 因为函数在R上是增函数，所以，解得或． 故原不等式的解集为或，D错误． 故选:AB． 86．已知函数的定义域为，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是增函数 C．不等式的解集为 D． 【答案】AB 【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断C；利用，与可判断D. 【详解】对于A：令 ，得，所以，故A正确； 对于B：令，得，所以， 任取，且，则， 因为，所以，所以， 所以在上是增函数，故B正确； 对于C：因为，且，所以， 所以， 所以等价于， 又在上是增函数，且，所以 ， 解得，故C错误； 对于D： ，故D错误； 故选:AB． 87．定义在上的函数，满足，且当时，. (1)求的值； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）将代入即可求解； （2）抽象函数单调性证明，第一步定义域下取值，第二步作差，第三步比大小，第四步结论； （3）利用函数的单调性列不等式即可 【详解】（1）将代入可得，解得 （2）设，则，则， ，即， 则在为增函数； （3）由可得， 因为在上是增函数，所以，解得， 故不等式的解集为 88．定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ） A． B．是偶函数 C．在上有最大值 D．的解集为 【答案】CD 【分析】赋值法可以求出，，判断出B选项；利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而判断AC；利用函数的单调性进行解不等式，判断D. 【详解】∵定义在R上的函数满足， 令得：，解得：， 令得：，因为，所以， 故是奇函数，B错误； 任取，，且，则令，，代入得：， 因为当时，，而，所以， 故，即，从而在R上单调递减， 所以，A错误； 所以函数在上有最大值为，C正确； 由， 在R上单调递减，故，解得，故的解集为，D正确. 故选：CD. 89．已知是定义在R上的函数，且满足，又当时，，且，则以下说法正确的是（   ） A． B．函数在R上单调递减. C．函数是偶函数 D．不等式的解集为. 【答案】ABD 【分析】赋值，代入计算，可判断A的正误；赋值，代入计算，可判断C的正误；任取，且，根据条件，代入整理，结合单调性的定义，可判断B的正误；根据条件，整理变形，可得，根据的单调性，结合一元二次不等式的解法，可得x的范围，即可判断D的正误. 【详解】选项A：令，则，解得，故A正确； 选项C：令，则， 所以，则函数是奇函数，故C错误； 选项B：任取，且，则， 所以，即， 所以函数在R上单调递减，故B正确； 选项D：因为是奇函数， 所以， 又，所以， 因为，所以， 因为函数在R上单调递减， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD 90．已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断的单调性并证明； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）取特殊值得，再取结合，证明，确定是奇函数. （2）任取，利用函数和式性质将转化为，结合时，得出在上单调递减. （3）先求在的最大值，将恒成立问题转化为关于的一次函数在上恒小于0，解对应不等式组得的范围. 【详解】（1）取，则，则； 取，则， 又定义域为，则是奇函数． （2）任取，则， ， 由时，可知， 即，即， 故在上单调递减． （3）由题知，若对所有的，恒成立， 只需， 结合函数的单调性，时，， 则，即， 将不等式左边视作关于的一次函数， 而时恒成立， 故只需，即， 解得或 91．已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，结合计算可得； （2）通过令，求得，设，则，变形可得，进而判断函数的奇偶性； （3）利用，将式子变形整理，结合函数的奇偶性求得. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 92．已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)为偶函数. (3) 【分析】（1）代入两函数值计算，即得答案； （2）根据偶函数的定义判断即可； （3）判断函数的单调性，结合偶函数性质可得不等式，求解即得. 【详解】（1）由题意得，则 ，解得. （2）由（1）可得， 其定义域为，关于原点对称， 且， 故为偶函数. （3）当时，且在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递减， 又因为偶函数，故在上单调递增， 故等价于， 两边平方可得，即， 解得. 93．已知函数. （1）判断的单调性，并说明理由； （2）判断的奇偶性，并用定义证明； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增函数，理由见解析  （2）奇函数，证明见解析  （3） 【解析】（1）利用函数单调性的定义即可得证. （2）首先判断定义域关于原点对称，利用函数奇偶性定义即可得证. （3）由(1)(2)以及分离参数法将不等式转化为对任意恒成立，令，求的最大值即可. 【详解】解：（1）是定义域上的增函数. 设任意的，且，则 ， 因为,所以，又，所以 即，所以是定义域上的增函数. （2）是奇函数. 证明：因为，定义域关于原点对称 所以对任意，都有   所以是奇函数. （3）由（2）知为上的奇函数，所以不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立. 又由（1）知，在定义域上单调递增， 得对任意恒成立即对任意恒成立. 设, 则，故在上的最大值为， 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性以及利用函数的性质解不等式，综合性比较强，属于中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $