1.1 集合的概念（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的概念，系统梳理元素与集合的含义、元素的确定性互异性无序性特征、元素与集合的属于关系及常用数集符号，进而阐述列举法、描述法、图示法等表示方法，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以课标为纲，突出确定性理解、描述法规范书写等重难点，通过易错提醒、题型分类（如集合判断、元素与集合关系求参）及实例（如“好看的人不能组成集合”辨析确定性），培养学生用数学眼光观察对象、用数学思维严谨推理的能力，课中辅助教师突破难点，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第 一 章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课标要点 1. 理解集合的含义，能够判断一组对象能否组成集合（确定性）。 2. 掌握集合元素的三个基本特征：确定性、互异性、无序性。 3. 熟悉常用数集的符号表示（自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集）。 4. 掌握元素与集合之间的关系（属于与不属于），能用符号正确表示。 5. 掌握集合的两种常用表示方法：列举法与描述法，能根据实际选择合适的方法表示集合。 学习重难点 重点： 集合的基本概念与元素的三个特征（确定性、互异性、无序性）；元素与集合的属于关系；列举法与描述法的规范书写与相互转化。 难点： 对“确定性”的理解：判断一组对象是否为集合时，标准必须明确，不能含糊（如“好看的人”不能组成集合）；描述法中代表元素的含义及取值范围的确定，特别是描述法中竖线前后部分的正确书写与理解；互异性在解题中的应用（如含参集合中参数的限制条件）。 知识点 元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)． 2．集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．  ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的．  ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换． 3、集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的，这跟集合里元素的顺序无关。集合与集合相等记作. 易错提醒 1、判断一组对象能否构成集合，要确定组成集合的元素是确定的。 2、互异性是求参问题中最关键的检验。当求出参数后，需要检验集合中元素是否有重复的。 随学随练 1．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 【答案】A 【分析】根据集合中元素的特性判断. 【详解】对于A：联合国安理会常任理事国包括中国、俄罗斯、英国、法国和美国，能组成一个集合，A正确； 对于B：“很喜欢”不是一个明确的标准，具有不确定性，B错误； 对于C：不大于3的自然数包括,C错误； 对于D：，不同的数有共5个，D错误； 故选：A. 知识点 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作．  2．常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作． 3．集合的分类 有限集，无限集，空集． 随学随练 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得集合，再根据元素与集合关系即可求解． 【详解】由题可知，， 所以，故A正确；，故B错误； 因为集合中元素为，而非集合，故CD错误． 知识点 集合的表示方法 ① 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法． ② 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法．  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 一般格式：．  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． ③图示法 用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 随学随练 1．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 拓展 集合中的一元二次方程问题 一元二次方程的根的个数 (1)若二次项系数含参数，则需讨论是否为0 ①若时，方程是一次方程，有唯一的解 ②若时，方程有无数解 ③若时，方程无解 ④若，则由判别式来判断根的个数。 (2)若二次项系数不含参数，直接讨论判别式来判断根的个数 活学活用 1．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 题型 集合的判断 ▌例1（25-26高一上·河南信阳·开学考试）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B ▌例2（25-26高一上·河南信阳·开学考试）（多选）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与不是同一个集合． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数，需找出10以内所有符合质数定义的数组成集合；对于选项B，集合中的元素具有无序性，即集合中的元素顺序不影响集合本身，结合集合元素的无序性判断即可；对于选项C，集合中的元素具有互异性，即集合中的元素不能重复，先求解方程，再根据元素的互异性判断即可；对于选项D，：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，由此即可判断正误. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 由集合元素的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D正确． 故选：ABD． 解题贴士 1、对集合概念的辨析要紧贴集合的三大性质：确定性、互异性与无序性 2、理解空集的含义，不是空集，是这个集合的一个元素。 ▌对点练1-1（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【分析】根据集合的定义及集合中元素所具有的性质，即可对四个选项进行判断. 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 题型 判断是否为同一集合 ▌例1（25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 【答案】C 【分析】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合；选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合；选项C.求出的解，从而得到方程的解组成的集合；选项D.根据集合的确定性判断. 【详解】选项A. 是不含有任何元素的集合，中的元素为，故这两个集合不表示同一个集合，故选项A错误； 选项B. 集合中的元素是两个数，中的元素是一个点，故这两个集合不表示同一个集合，故选项B错误； 选项C.的解或，则此方程的解组成的集合可表示为，故选项C正确； 选项D. 接近于的所有实数，不具有确定性，故不可以构成集合. 故选：C. ▌例2（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 解题贴士 1、两个集合是否为同一个集合，不能从集合的形式上判断，需要解出或列出元素后去比较。 2、注意数集与点集的区别，从集合的描述法上可以判断， {x | y=x²}与{(x,y) | y=x²}是不同集合。 ▌对点练1-1（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C ▌对点练1-2（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据同一个集合概念进行判断即可. 【详解】A中，都是点集， 和是不同的点，则是不同的集合，所以A是； B中，都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，所以B不是； C中，表示函数的定义域，表示函数的值域，表示的范围相同，是同一个集合，所以C不是； D中，是数集，是点集，则是不同的集合，所以D是. 故选：AD 题型 判断元素与集合关系 ▌例1（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. ▌例2设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 解题贴士 先化简元素和集合（如解方程、化简表达式），再代入验证是否满足条件。若集合是用描述法给出的，直接检验元素是否符合描述中的约束；若是列举法，则看元素是否在列举范围内。 ▌对点练1-1 （2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴. ▌对点练1-2给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 题型 根据元素与集合关系求参 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. ▌例2（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 解题贴士 根据元素与集合关系求参，关键是将元素代入集合描述条件建立方程或不等式，解出参数后必须代回检验互异性——若参数使集合中出现重复元素，则该值要舍去。 ▌对点练1-1（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． ▌对点练1-2（25-26高一上·广东·期末）（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 题型 根据元素个数求参 ▌例1（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 ▌例2（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 解题贴士 根据元素个数求参问题，通常考察了一元二次方程根个数问题，区间中整数个数问题。 1、一元二次方程根个数问题，当二次项系数不为0时，根个数可以由判别式>0, =0, <0来判断。当二次项系数为0时，则变成了一次方程，若一次项不为0，则有一个根。 2、动区间中整数个数N，则可以粗略判断动区间的长度在之间，可以算参数的范围，根据题目条件再来谈论范围是否成立。 ▌对点练1-1（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. ▌对点练1-2（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 题型 根据集合相等求参 ▌例1（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. ▌例2（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 解题贴士 从集合相等的概念，找两个集合元素之间的关系，分析讨论两个集合中哪些元素相等的情况。进行讨论、计算、最后检验互异性。 ▌对点练1-1（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. 【答案】 5 6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. ▌对点练1-2（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，， 且，所以，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意. 题型 列举法与描述法 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． ▌例2平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【答案】C 【详解】选项A：表示去掉了直线和上所有点，错误； 选项B：错误保留了需要去掉的点，例如满足，会被包含在集合中，错误； 选项C：表示排除点，表示排除点， 同时满足即可精准剔除两点，正确； 选项D：，会去掉所有横坐标为1、横坐标为3、纵坐标为2、纵坐标为4的点，错误. 解题贴士 用列举法表示集合： 1、求出集合中的元素 2、把个元素列举出来，用花括号括起来 3、检验有没有重复情况。 用描述法表示集合： 1、弄清元素的形式，写出代表元素，写在 | 前面 2、确定元素所具有的属性，写在 | 后面，所有的用花括号括起来。 ▌对点练1-1（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． ▌对点练1-2（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 基础通关 1．给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. 2．（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 【答案】BD 【详解】B选项花括号自带“全部”含义，表述冗余错误； D选项前者为数集，后者为点集，不是同一集合； A、C表述正确. 3．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 4．（核心考点1集合（高一上学期期中备考研习室）（泸教版）【讲】）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 5．（2026·河南信阳·模拟预测）设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 6．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用集合相等条件求解，并检验集合中元素的互异性即可得到判断. 【详解】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 即满足题意， 故选：C 7．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 8．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 9．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 10．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 素养提升 1．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据和中只有一个元素，即可结合二次方程和一次方程的根求解. 【详解】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 2．（2026高一·全国·专题练习）若关于x的方程的解集至多有两个子集，则a的取值范围为______. 【答案】 【分析】分与两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】由题意，方程解集至多有两个子集，即解集中元素个数， 当时，方程为一次方程， 解得，解集有1个元素，符合条件； 当时，方程为二次方程，则判别式，解得； 综上，a的取值范围为 故答案为：. 3．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 4．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 5．（25-26高一上·辽宁朝阳·期中）用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A． B．， C．若集合，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】分别分析集合和集合中方程根的个数，再根据不同条件进行判断. 【详解】对于选项： 集合，判别式恒成立，集合有两个元素，，故正确. 对于选项： 集合. 第一部分：，解得或. 当时，有2个不同的根；当时，有1个根. 第二部分：，判别式. 当，即或，此时方程有2个不同的根； 当，即或，此时方程有1个相同的根； 当，即，此时方程无实数根. 由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等， 所以当或时，两个方程共有4个实数根，； 当或时，两个方程共有3个实数根，； 且时，两个方程共有2个实数根，； 当时，两个方程共有1个实数根， 所以的值可能为1，2，3，4，故错误. 对于选项 当时，，此时； 当时，； 当时，，此时或； 当时，. ，，故正确. 对于选项： 若，当且仅当，此时或，故错误. 故选：. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 一 章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课标要点 1. 理解集合的含义，能够判断一组对象能否组成集合（确定性）。 2. 掌握集合元素的三个基本特征：确定性、互异性、无序性。 3. 熟悉常用数集的符号表示（自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集）。 4. 掌握元素与集合之间的关系（属于与不属于），能用符号正确表示。 5. 掌握集合的两种常用表示方法：列举法与描述法，能根据实际选择合适的方法表示集合。 学习重难点 重点： 集合的基本概念与元素的三个特征（确定性、互异性、无序性）；元素与集合的属于关系；列举法与描述法的规范书写与相互转化。 难点： 对“确定性”的理解：判断一组对象是否为集合时，标准必须明确，不能含糊（如“好看的人”不能组成集合）；描述法中代表元素的含义及取值范围的确定，特别是描述法中竖线前后部分的正确书写与理解；互异性在解题中的应用（如含参集合中参数的限制条件）。 知识点 元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)． 2．集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．  ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的．  ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换． 3、集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的，这跟集合里元素的顺序无关。集合与集合相等记作. 易错提醒 1、判断一组对象能否构成集合，要确定组成集合的元素是确定的。 2、互异性是求参问题中最关键的检验。当求出参数后，需要检验集合中元素是否有重复的。 随学随练 1．（25-26高一上·广西柳州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于3的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3 D．数1，0，5，，，，组成的集合中有6个元素 知识点 元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作．  2．常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作． 3．集合的分类 有限集，无限集，空集． 随学随练 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 知识点 集合的表示方法 ① 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法． ② 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法．  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 一般格式：．  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． ③图示法 用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 随学随练 1．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 拓展 集合中的一元二次方程问题 一元二次方程的根的个数 (1)若二次项系数含参数，则需讨论是否为0 ①若时，方程是一次方程，有唯一的解 ②若时，方程有无数解 ③若时，方程无解 ④若，则由判别式来判断根的个数。 (2)若二次项系数不含参数，直接讨论判别式来判断根的个数 活学活用 1．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 题型 集合的判断 ▌例1（25-26高一上·河南信阳·开学考试）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 ▌例2（25-26高一上·河南信阳·开学考试）（多选）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与不是同一个集合． 解题贴士 1、对集合概念的辨析要紧贴集合的三大性质：确定性、互异性与无序性 2、理解空集的含义，不是空集，是这个集合的一个元素。 ▌对点练1-1（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 题型 判断是否为同一集合 ▌例1（25-26高一上·云南大理·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．与表示同一个集合 B．集合和表示同一个集合 C．由组成的集合可表示为 D．接近于的所有实数可以构成集合 ▌例2（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 解题贴士 1、两个集合是否为同一个集合，不能从集合的形式上判断，需要解出或列出元素后去比较。 2、注意数集与点集的区别，从集合的描述法上可以判断， {x | y=x²}与{(x,y) | y=x²}是不同集合。 ▌对点练1-1（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ ▌对点练1-2（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型 判断元素与集合关系 ▌例1（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌例2设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 解题贴士 先化简元素和集合（如解方程、化简表达式），再代入验证是否满足条件。若集合是用描述法给出的，直接检验元素是否符合描述中的约束；若是列举法，则看元素是否在列举范围内。 ▌对点练1-1 （2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，，则必有（ ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 ▌对点练1-2给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 题型 根据元素与集合关系求参 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. ▌例2（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 解题贴士 根据元素与集合关系求参，关键是将元素代入集合描述条件建立方程或不等式，解出参数后必须代回检验互异性——若参数使集合中出现重复元素，则该值要舍去。 ▌对点练1-1（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·广东·期末）（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 题型 根据元素个数求参 ▌例1（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 根据元素个数求参问题，通常考察了一元二次方程根个数问题，区间中整数个数问题。 1、一元二次方程根个数问题，当二次项系数不为0时，根个数可以由判别式>0, =0, <0来判断。当二次项系数为0时，则变成了一次方程，若一次项不为0，则有一个根。 2、动区间中整数个数N，则可以粗略判断动区间的长度在之间，可以算参数的范围，根据题目条件再来谈论范围是否成立。 ▌对点练1-1（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 ▌对点练1-2（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 题型 根据集合相等求参 ▌例1（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. ▌例2（2026高一·全国·专题练习）设a，，若集合，则______． 解题贴士 从集合相等的概念，找两个集合元素之间的关系，分析讨论两个集合中哪些元素相等的情况。进行讨论、计算、最后检验互异性。 ▌对点练1-1（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若，则__，__. ▌对点练1-2（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．或4 B．或1 C．4 D． 题型 列举法与描述法 ▌例1（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． ▌例2平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 解题贴士 用列举法表示集合： 1、求出集合中的元素 2、把个元素列举出来，用花括号括起来 3、检验有没有重复情况。 用描述法表示集合： 1、弄清元素的形式，写出代表元素，写在 | 前面 2、确定元素所具有的属性，写在 | 后面，所有的用花括号括起来。 ▌对点练1-1（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． ▌对点练1-2（多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 基础通关 1．给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 2．（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 3．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 4．（核心考点1集合（高一上学期期中备考研习室）（泸教版）【讲】）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·河南信阳·模拟预测）设集合，若，则__________. 6．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 7．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 素养提升 1．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 2．（2026高一·全国·专题练习）若关于x的方程的解集至多有两个子集，则a的取值范围为______. 3．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 4．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·辽宁朝阳·期中）用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A． B．， C．若集合，则 D．若，则 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $