专题02 空间向量的数量积及最值8种常见考法归类（题型专练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题02 空间向量的数量积及最值8种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 计算空间向量数量积 题型 02 求空间向量的模 题型 03 求空间向量的夹角 题型 04 由空间向量夹角求参数 题型 05 求投影向量 题型 06 利用数量积证明垂直关系 题型 07 求空间向量数量积的最值 题型 08 求空间向量模的最值 ▌题型01 计算空间向量数量积 1.核心逻辑 （1）依靠数量积定义式与运算律展开计算；满足交换律、分配律、数乘结合律；互相垂直的向量数量积直接为0，简化运算。 （2）坐标法：已知两个向量坐标时，对应坐标相乘后全部相加，快速算出实数结果。 2.解题步骤 （1）拆分复杂向量组合，用分配律全部展开； ①式子中出现垂直向量，直接替换为0简化； ②代入已知模长、夹角余弦值，化简算出最终实数。 （2）坐标法 ①写出两个向量坐标； ②分别计算三组坐标乘积； ③三组乘积相加，得到数量积数值。 3.易错提醒 数量积运算结果是实数，不是向量；展开多项式时容易漏项、符号写错。 【例1】（2026高二·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【变式1-1】（2026高二·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-2】（2026高二·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-3】（2026高二·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 ▌题型02 求空间向量的模 1.核心逻辑 （1）恒等式；和差模公式，必须先平方再开根号。 （2）坐标法：向量三个坐标分别平方求和，再开算术平方根。 2.解题步骤 （1）对目标向量整体平方，转化为数量积运算； ①展开平方式子，代入已知模长、数量积； ②算出平方结果，开算术平方根，模长只保留非负根。 （2）坐标法 ①提取向量坐标； ②计算； ③整体开根号得到向量模长。 3.易错提醒 计算时漏掉交叉项；开方后误取负值。 【例2】（2026高二·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【变式2-1】（2026高二·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高二·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【变式2-3】（2026高二·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． ▌题型03 求空间向量的夹角 1.核心逻辑 （1）变形余弦公式，通过余弦正负区分锐角、直角、钝角、平角。 （2）坐标法：用坐标分别求出、、，再代入余弦公式求夹角。 2.解题步骤 （1）分步求出、、三个基础量； ①代入余弦公式算出； ②结合反三角函数求出夹角，夹角范围固定。 （2）坐标法 ①用坐标计算两向量数量积； ②分别算出两个向量的模； ③代入余弦公式，写出夹角。 3.易错提醒 混淆向量夹角与三角形内角；公式分母只写单个模，遗漏相乘。 【例3】（2026高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【变式3-1】（2026高一·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高二·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.    【变式3-3】（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. ▌题型04 由空间向量夹角求参数 1.核心逻辑 （1）已知夹角条件，代入余弦等式或不等式；直角满足，锐角，钝角。 （2）坐标法：向量坐标含参数，用参数表示、、，列方程或不等式求解。 2.解题步骤 （1）用参数表示、、； ①根据夹角要求列出等式或不等式； ②求解参数，检验模长不能为0，剔除增根。 （2）坐标法 ①写出含参向量坐标，计算数量积与两个模； ②结合夹角条件列关系式； ③解方程/不等式，钝角需额外排除两向量反向共线的情况。 3.易错提醒 求钝角只写，忽略反向共线；不检验模长不为0造成分母无意义。 【例4】（2026高二·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【变式4-1】（2026高二·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则 【变式4-2】【多选】（2026高二·广东潮州·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【变式4-3】（2026高二·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 ▌题型05 求投影向量 1.核心逻辑 （1）在上投影向量：； （2）坐标法：坐标算出投影系数，再乘坐标得到投影向量。 2.解题步骤 （1）计算与； ①算出投影系数，再乘以得到投影向量。 （2）坐标法 ①用坐标计算、； ②求出系数； ③系数乘的坐标，写出投影向量坐标。 【例5】（2026高二·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【变式5-1】（2026高二·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【变式5-2】（2026高二·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026高二·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． ▌题型06 利用数量积证明垂直关系 1.核心逻辑 （1）两个非零向量垂直的充要条件；线线、线面垂直均可转化为方向向量数量积为0。 （2）坐标法：两向量坐标对应相乘相加，结果等于0即可证垂直。 2.解题步骤 （1）选取两条直线对应的方向向量； ①展开并化简两个向量的数量积； ②计算结果等于0，补充说明两向量均非零，得出垂直结论。 （2）坐标法 ①写出两条直线方向向量的坐标； ②计算坐标形式的数量积； ③结果为0，直接判定向量垂直，对应直线垂直。 3.易错提醒 不说明向量为非零向量；仅观察坐标符号，不完整计算数量积。 【例6】（2026高一·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式6-1】（2026高二·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【变式6-2】（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【变式6-3】（2026高二·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. ▌题型07 求空间向量数量积的最值 1.核心逻辑 （1）模固定时，；含参数向量通过平方、配方求取值范围。 （2）坐标法：向量含参数时，数量积转化为关于参数的二次函数，配方法求最值。 2.解题步骤 （1）把数量积整理为含或含参数的代数式； ①利用确定上下边界； ②写出最大值、最小值，标注取等时向量位置关系。 （2）坐标法 ①用坐标写出数量积关于参数的二次函数； ②配方，结合参数取值范围确定最值； ③验证取等条件对应的参数真实存在。 3.易错提醒 忽略限制，算出超出合理范围的最值。 【例7】（2026高二·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【变式7-1】（2026高二·天津·阶段检测）P是棱长为2的正方体上底面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 【变式7-3】（2026高二·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 ▌题型08 求空间向量模的最值 1.核心逻辑 （1）模的最值等价于模平方的最值，结合取值范围约束求解。 （2）坐标法：向量坐标含参数，模平方是二次函数，配方求出平方最值后再开算术平方根。 2.解题步骤 （1）对目标向量整体平方，展开为数量积组合； ①结合求出平方的最大、最小值； ②对平方最值开算术平方根，得到模长最值。 （2）坐标法 ①写出含参向量坐标，计算模的平方； ②二次函数配方，确定平方区间； ③开根号得到模的最值，标注参数取等条件。 3.易错提醒 求出模平方的最值后，忘记开根号直接当作模长答案。 【例8】在正方体中，，动点满足，则当时，________；当时，的取值范围是________． 【变式8-1】（2026高二·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026高二·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________． 【变式8-3】（2026高三·四川·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 空间向量的数量积及最值8种常见考法归类 1题型01计算空间向量数量积 三典例精析 【例1】【答案】A 【详解】ā.b=1×0+1×2+0×1=2,故选项A正确， 三举一反 【变式1-1】【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案 【详解】由题意a+26=(-1,51),所以(a+2b)a=(-)×(-)+5x1+1x3=9. 【变式1-2】【答案】C 【分析】把MN用AD,BC,DB表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解 【详解】因为M,N分别是AD,BC的中点，所以 Mw-Mm+丽-号D+D+号c-号+s+o+8C)-+ac+Da, 所以.M=}D+ac+D孤-D+.c+B.D5 cowcoco120+oco2+x 故选：C 【变式1-3】【答案】C 1119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可： 【详解】因为M=D=AB=2,∠BD=2∠B4=∠AD-子 所以AB·B,D=(AB+A4)(4D-AB)=(AB+A4)(AD-AB） =AB.AD+44AD-AB-4·AB =0+2×2×c0s7-2-2×2xc0s7=-4 3 3 故选：C 题型02求空间向量的模 典例精析 【例2】【答案】C 【详解】由向量加法得AC=AB+BC=(0,2,1)+(-1,2,0)=(-1,4,), 所以4C=V-)2+42+P=32 举一反三 【变式2-1】【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出CP坐标，再应用模长公式计算求解。 【详解】以D为坐标原点，以直线DA,DC,DD分别为x,yz轴建立空间直角坐标系D-z, 如图所示，则4A,0,0,B0,3,0),C(0,3,0),D0,0,0),41,0,2), 所以AB=(0,3,0),AD=（-1,0,0),A4=(0,0,2),AC=(-1,3,0), 所以4-+D+4-@30+5100+002)-司4》， 所=严-c-(》(←3-传 所u@-周- 2119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ZA D 4 【变式22】【答案】(a+6- e 62 ②3 【分析】(1)根据空间向量的加减运算求解即可： (2)根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解1（山=N-M=4+4N-(aB+4C)=4+号4-B-4C =M+-4c=a+g5- 6 2 (2)依题意，a6d=2,5=6c=ac=2x2×cos60°=2， -a*+6-j ㎡+c2+a-6-a-c-6-c a2+ 36 6 4+1+子-2-2- 3 6 3 【变式2-3】【答案】D 【分析】根据-(S+SB+5C),平方后求解即可。 【详解】点G是。ABC的重心，以s为起点，则GS=S+AG=SM+(AC+AB) =M+(sM+sc-+8)=+s8+sC). SG-o(S4+SB+sC) ,S+S8+5C+2S8+2SC6+28i8C 2+00+2x2x2x-20+0到=9.网- 故选：D 3119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型03求空间向量的夹角 典例精析 【例3】【答案】- 5 5 【详解】设à=(x,4,Z),6=(x,2,22), 2x-x2=2 x=1 依题意， x+2x=1,解得飞=0 同理可得=1,2=2，名=1，z2=-1， 则à=(1，-1,1)，b=(0,2,-1), 因此a.b=0-2-1=-3,a3,b=√5， 所以cos(a,b= a.B 15 lallbl 5 举一反三 【变式3-1】【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为3，则4(3,0,0)，P(0,0,1),D(0,0,3),B(3,3,0), 所以AP=(-3,0,1),D,B=3,3,-3), 故os(AP,D,B)= AP.DB -12 2V30 |AP列D,B10xV2715· 2√30 所以向量P与DB夹角的余弦值为15 4/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B +7 ⊙ 【变式3-2】【答案】3 【分析】根据垂直关系可得MP⊥平面ABEF,MP⊥QN,根据空间向量数量积求得MN=3, MN.PO=1,根据夹角公式即可得结果 【详解】因为平面ABDC⊥平面ABEF,MP⊥AB, 且平面ABDC∩平面ABEF=AB,MPC平面ABDC,可得MP⊥平面ABEF, 又因为ONc平面ABEF,则MP⊥ON, 即MP⊥P№，Ng⊥P2,MP⊥ON. 则MP=N=2,Pg=l,且M.P=0,PQN=0,MpN=0, 因为M=MP+P四+QN, MN'-(MP+PO+ON)-MP+PO+ON+2MP.PO+2MP.ON+2PO-ON=4+1+4-9. 即MN=3, 又因为MN.Pg=(MP+Pg+QN)P=Mp.P0+PO+PgON=l, 可得cosM,Pg= MN.PO 1 1 MN-P回3x13, 所以向量P四与M夹角的余弦值为3 故答案为：3 【变式3-3】【答案】(1)3W2 a号 【分析】选取基底向量AB,AD,DD°，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值 5119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)设AB=ā，4D=,DD°=c,由题意可得=5=l,=4, a.B=0,a-c=allclcosLA'AB=-2.B-c=BcosLA'AD=-2, 所以BD=(BA+D+DD=（-a+6+e=+2+c2-2a.6-2a-c+25-c =1+1+16-0+4-4=18, 所以BD=32,即BD的长为3√2： (2)因为AC=AB+AD=a+b」 所以BD.AC=（-a+b+c(a+b)=--a.6+a-b+2+ac+b.c =-1-0+0+1-2-2=-4, 又Ad-a+}=v0+2a.b+F=2, 所以cos BD,AC= 0g号. BDi.AC4 2_2 所以直线BD与4C所成角的余弦值为33 1题型04由空间向量夹角求参数 典例精析 【例4】【答案】（4，+∞) 【详解】若a,b共线则存在实数1使得a=仍， 则(3,2-x,x)=(x,2,0)=(2x,2元，0)， [2x=3 即2-x=2入，方程组无解，即不存在实数使得共线， x=0 x a,b 所以若d与b的夹角为锐角，则àb=3x+4-2x>0,解得x>-4. 6/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故实数x的取值范围是(-4，+o). 举一反三 【变式4-1】【答案】C 【分析】设ā=tb,得出方程组无解，即可判断A,根据d·b=0判断B,根据āb>0判断C,根据投影向 量的定义判断D 【详解】对于A:因为a=(2,lm),6=(-2,l2)且ā6，所以ā=b, 2=-2t 即1=1，方程组无解，故不存在使得，故A错误； m=21 m allb 对于B:若a16,则a-6=2×(-2)+1x1+2m=0,解得m=2,故B错误； 3 对于C:因为a与5不可能共线，若a,6为锐角，则ā-6=2x(-2)+1x1+2m>0,解得m>2,故C正确： 对于D:因为ā.6=2×(-2)+1x1+2m=2m-3,5=V(-2)}+1P+2=3, 若在，上的投影向量为五，即 b= 5=2m,36,则2m-3,解得m9,故D错误 96 4 故选：C 【变式4-2】【答案】BD 【分析】利用空间向量平行建立方程，求解参数判断A,利用空间向量垂直求解方程判断B利用夹角为钝 角并结合空间向量数量积的坐标运算可判断C,利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判 断D即可 【详解】由题意得向量ā=(2，-1，m),6=(-4,2,4), .2-1_m 对于A,若6，则424，解得m=-2,故A错误： 对于B,若a16,则a6二82+4m=4m10=0,解得m放B正确 对于C,若(a,b)为钝角，则a-6=-8-2+4m=4m-10<0且m≠-2， 7/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得m<3且m-2,放C错误。 对于D,若后在6上的技影量为5。 b 即lcos(a,6- =a a-6.6_a-b6-4n-106 武万因 36 4m-101 则366，解得m=4,故D正确。 故选：BD 【变式4-3】【答案】B 【分析】以A为原点建系，根据cos BM,DM<0得出3<1<1即可判断 【详解】以A为原点，AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设PA=AB=1,则B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1), 因为PM=PC,所以PM=PC=(1,l,-I)=(k,-),则M(t,1-), 则BM=(-1,41-),DM=(G1-1,1-), 故cos BM,DM= BM·DM_t-1)+-1)+(1-}232-4H+1 BM:DM(u-1'+P+(1-}32-41+2, 3-41+1<0, 因为∠BMWD为钝角，所以cos BM,DM<0:即32-41+2 又一元二次函数y=32-41+2,△=16-4x3×2<0,所以32-41+2>0恒成立， 故32-4+1<0，得31<， 故只有B选项满足题意 故选：B M 8/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1题型05求投影向量 典例精析 【例5】【答案】(1)ā=(2,4,1)，b=(-2,-4,-1),c=(3,-2,2) 2 (219 (3)(2,4,1) 详解】a6,2y-1,=2'y=4 又：b1c,∴b.c=(-2y,-1)(3,-2,z)=-2y-z-6=0,.z=2 因此à=(2,4,1)，6=(-2,4，-0，c=(3,-2,2). (2)a+c=(5,2,3),b+c=(1,6,1）∴.(a+c)(6+)=(5,2,3)-1,6,1)=-4. dā+cV53+22+32=8,|6+d=VP+(-6}'+1=V38 ∴cos(a+c,6+c)=a+⊙：（⑥+④。_2 la+clb+l 19 因此向量a+c与6+c所成夹角的余弦值为19 (3)。在。上的枚影向量为dcsa6合-a5百-亿，4】 举一反三 777 【变式5-1】【答案】 366 【详解】根据向量坐标的计算公式AB=(2,1,1),AC=(4,4,3). AC.AB AB 根据投影向量的计算公式，一在，一方向上的投影向量为 AC AB 9119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC.AB 即AB 2x43-名亚-仔名名) V22+12+P】 6 【变式5-2】【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接AC,C0,取A0的中点E,连接CE易得AC=AC, 则所求的投影向量为4C在0上的投影向量，易得4C=V2+2=22,C0=V22+(5+P=22, 则CEL40AE=40,所以4G在40上的投影向量为740 D B 故选：C 【变式5-3】【答案】B 【分析】由题可得△ABC正三角形，过点B,作BO⊥AC,垂足为O,从而得到向量AB在AC上的投影向 量为0-C 【详解】因为在正方体ABCD-ABCD中，AB=B,C=AC, 所以△ABC正三角形，过点B作BO L AC,垂足为O. D C B B 则40=4C,所以向量孤在4C上的投影向量为404C. 故选：B 10/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 】题型06利用数量积证明垂直关系 三典例精析 【例6】【答案】C 【分析】根据空间向量共线与垂直的坐标表示，逐一检验即可： 【详解1对于A,当=时，6-（分10 显然不存在实数2使得石=，故A错误： 对于B,当=时，6-(312 显然不存在实数使得。=石，故B错误： 对于C,当k=-3时，万=(-3，-1，-5)，ā-b=-3×1+(-1)×2+(-5)×(-1)=0,故C正确： 对于D,当k=-1时，6=(-1，-1，-)，ā6=-1x1+(-1)×2+(-)×(-)=-2≠0，故D错误 三举一反目 【变式6-1】【答案】B 【详解】由于AB1CD,故AB.CD=4+16+4m=0,故m=-5, AD-BC=AB+BC+CD-BC=AB+CD=(5,10,-1), 故AD-BC的竖坐标为-1. 【变式6-2】【答案】(1)V2 (2)证明见解析 【分析】(I)先判断出△ABC是等边三角形，则有AB=I,在RtAABN中，利用勾股定理求解即可； (2)利用向量的线性运算和数量积运算证明AB.CM=0即可. 【详解】(1)因为CA=CB=1,∠BCA=60°. 所以△ABC是等边三角形， 所以AB=1, 又因为N是AA的中点， 11/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以N-4=1, 在RteABN中，BN=VAB2+AN2=√2 (2)由已知4B.CM-=(B-A4)G4+GB) =.G4+.CR-4G不-4-G) -(C+C-+CB) -(-Ix1xc0s60+Ix1xc0s0-0+0)0 所以4B⊥CM, 所以AB⊥CM. 【变式63】【答案】0)0-骨 (2) 由题意得-G+G项-0-点G-0+6+2. 则w4c-Ga-a+5+e-+a6+e-a.6-6-6e 2 2 +a.c-18-16.c=-> 20 2 2 2 2x2+2×2x30os600 2 2-x2x3cos60°=0，故MN1AC: 2 【分析】(1)由题意AG=AB+AD+AA=a+6+c,结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； (2M=MC+GN-0-,4G=a5+8,由数量积的运算弹T瓜4C=0即可 【详解】(1)设AB=a,AD=b,AA=c,三个向量不共线， 则{ā，b,构成空间的一个基底，且AC=AB+D+AM=a+b+c, AC-VAC"-(a+b+d)-@+b+@+2a-6+26-c+26-a =V4+4+9+2×2c0s0+2×2×3c0s60°+2×2×3c0s60° =V29+8os0=3,则cos0=70e(0,动，放0-号 12/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)略 题型07求空间向量数量积的最值 三典例精析 【例7】【答案】 [别 【分析】解法：建立空间直角坐标系，求出PC.PG=x2+2-)+利用2的范围求出pC,PC的 范用解法二：取CC中点为D,由极化恒等式得PC.PC=PD-CD=PD2-4,求出 PDm=dn-Am4=CO和PDax=AD,从而得到PC·PC的取值范围 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O,建立空间直角坐标系， 6 e号小网（小 c=r+r+ 13/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当=±号：且2=0或1时，元P四取得袋大位， 当x-0·且=时风元取数小值片，所以心.P化的取位蔻同为别 解法二： 取cC中点为D,由极化恒等式得P.PC=Pm-D=PD2-4 又Pm=4=c0=5.pm=40-5 所以PC.PC的取值范围为 举一反三 【变式7-1】【答案】C 【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设P(x,y,2),得到向量PA=(2-x,-y,-2)和 P℃=（←x,2-y,0),利用向量的数量积化简得到PA·PC=(c-I)+0y-I2-2,结合0≤x≤2,0≤y≤2，即 可求解。 【详解】以D为原点，以DA,DC,DD所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，由正方体ABCD-ABCD的棱长为2，且P为上底面AB,CD上一点， 可设P(x,y,2),其中0≤x≤2,0≤y≤2，且A(2,0,0),C(0,2,2), 所以PA=(2-x,-y,-2),PC=(-x,2-y,0), 则PA.P℃=x2-2x+y2-2y=(x-1)2+0y-1)2-2, 因为0≤x≤2,0≤y≤2，可得0≤(x-1)2≤1,0≤y-1)2≤1， 所以PAPC取得最小值为-2，最大值为0，所以PAP℃取值范围为[-2,0]. 故选：C 14/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P B 万 A B 【变式7-2】【答案】(1)1 ② 【分析】()根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解 (2)根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解， 【详解】(1)依题意，AB.B'C=(AA+AB)(B'B+BC)=AAB'B+A.BC+AB.BB+BC.AB=L. (2)取AC中点O,则P1PC=(P0+OA(P0+0C)=PO2-Oi=PO2_1 2 面lsn0s则方Po-l,所以Pm心e, 【变式7-3】【答案】D 【详解】记AB的中点为M,因为正四面体P-ABC,棱长2V3, 所以PM2=PA-AM2=12-3=9,所以PM=3, 又因为P9=1,所以是以P为球心，1为半径的球面上的点，所以M≤3+1=4 所以QA=QM+MA,QB=QM+MB=QM-MA, 所以QA-QB=(@M+MA(OM-Ma=gM-M≤4-（3=13， 所以2AQB的最大值是13. 1题型08求空间向量模的最值 15/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【例8】【答案】 0 [1,6] 【分析】以A为坐标原点，AB,AD,A4所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标 系Az,写出相应点的坐标，AC=(1,1,0),当x=1时，B,P=(1,山，y-I),ACBP=-1+1=0 DP-DC+A=0-2x1+2y,xye0]小.从面当x=2y=0时，DP-DC+4取得最小值。 最小值为1；当x=1或x=0,y=1时，DP-DC+4F取得最大值，最大值为6. 【详解】以A为坐标原点，AB,AD,A4所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标 系Az, 则A(0,0,0),D(01,0),C(11,0,4(0,01),C(,1,),D(0,11),B(L,0,1), 所以CD=(-1,0,0),CC=(0,0,1),BC=(0,1-1),AC=(1,1,0), CP=xCD+yCC=(-x,0,y),BP=BC+CP=(-x,ly-1), 所以当x=1时，BP=(-1,ly-1),AC.B,P=-1+1=0. 因为CP=(←x,0,),C(1,0),所以P(1-x,ly), 所以DP=(-x,0y),DC=,0-),AP=(1-xl,y-I). 所以DP-D,C+4P=(1-x,0,y)-(0,-1)+1-x,ly-)=(1-2x1,2y), 所以DP-D,C+4F=0-2+1+2yy，x,y∈[0,1. 当=2y=0时，DP-DC+4P取得最小值，最小值为1： 当x=1或x=0,y=1时，DP-D,C+4F取得最大值，最大值为N6. 所以DP-D,C+4f∈[l,v6] 故答案为：0，[山6] 16/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B D 举一反三 【变式8-1】【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据EN⊥FM,利用向量数量积的坐标表示得到x=2y,最后利用二次函 数的性质求解即可。 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， D M A ‘E 则A(2,0,0),B(2,2,0),4(2,0,2),B(2,2,2)D(0,0,2),E(1,0,0),F(2,2,1), 设M(x,0,2),N(2,y,2),其中0<x<2,0<y<2, 则EN=(1y,2),FM=(x-2,-2,1), EN1FM,EN.FM=(1,y,2)(x-2,-2,1)=x-2y=0, 据此可得x=2y,0<x<2,.0<y<1, 由空间中两点之间距离公式可得 w--r4e-可-2-r-5号 当y-t.-2S,当，-0tM-2 17/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 结合二次函数的性质可得线段，，的长度的取值范围为 MN 故选：B 【变式8-2】【答案】[5,25] 【分析】过点D作z轴∥BB,建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出 P(3-V32,,3,Q(0,-2,3),再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案 【详解】因为正三棱柱ABC-ABC的底面边长为2，D为BC的中点， 所以AD⊥BC,AD=V5，过点D作z轴∥BB,建立如图所示的空间直角坐标系， 所以AV5,0,0,D(0,0,0),B(01,0),C(0,-1,0),A(N5,03,B(0,1,3),C(0,-1,3), 因为4B=（51,0,DC=(0,-l,3),设P(x,),(玉，)， 4P=(x-5,-3,D0=(,,2), 所以(-5，%-3=51,0，(，)=2(0，-1,3)0≤≤1)， 所以0=V5-V52=元，20=3，x=0,y=-元，2=32， 所以PV5-V3,,3,Q(0,-,32), 以网-不5-5144B--io@-2a+1-242-号 当元=4时，P四有最小值3，当1=0时，P四有最大值2W3, 所以P四的取值范围是[V5,25] 故答案为：[5,25] B 18/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式83】【答案】 【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点P的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的 取值范围 【详解】以D为原点，以DA,DC,DD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则B(4,4,4),E(2,4,0),D(0,0,4) 设P(x,y,0)(0≤x≤4,0≤y≤4)，则PB=(4-x,4-y,4), ED=(-2,4,4),又BP⊥DE,所以PB·ED=0, 即-2(4-x)-4×(4-y)+4×4=0,则x+2y-4=0. 当x=0时，y=2,设F(0,2,0),所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AP, 所以B,F=V4-x}+(4-y+4=V5y-8y+32,0≤y≤2， +“ 当y-含，。-hs5.当y=2=6 4 所以线段B,P的长度的取值范围是 Z◆ D B D F C E 125 故答案为： 5 19/19 专题02 空间向量的数量积及最值8种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 计算空间向量数量积 题型 02 求空间向量的模 题型 03 求空间向量的夹角 题型 04 由空间向量夹角求参数 题型 05 求投影向量 题型 06 利用数量积证明垂直关系 题型 07 求空间向量数量积的最值 题型 08 求空间向量模的最值 ▌题型01 计算空间向量数量积 1.核心逻辑 （1）依靠数量积定义式与运算律展开计算；满足交换律、分配律、数乘结合律；互相垂直的向量数量积直接为0，简化运算。 （2）坐标法：已知两个向量坐标时，对应坐标相乘后全部相加，快速算出实数结果。 2.解题步骤 （1）拆分复杂向量组合，用分配律全部展开； ①式子中出现垂直向量，直接替换为0简化； ②代入已知模长、夹角余弦值，化简算出最终实数。 （2）坐标法 ①写出两个向量坐标； ②分别计算三组坐标乘积； ③三组乘积相加，得到数量积数值。 3.易错提醒 数量积运算结果是实数，不是向量；展开多项式时容易漏项、符号写错。 【例1】（2026高二·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 ，故选项A正确． 【变式1-1】（2026高二·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，所以. 【变式1-2】（2026高二·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解. 【详解】因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 【变式1-3】（2026高二·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 【答案】C 【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以 . 故选：C. ▌题型02 求空间向量的模 1.核心逻辑 （1）恒等式；和差模公式，必须先平方再开根号。 （2）坐标法：向量三个坐标分别平方求和，再开算术平方根。 2.解题步骤 （1）对目标向量整体平方，转化为数量积运算； ①展开平方式子，代入已知模长、数量积； ②算出平方结果，开算术平方根，模长只保留非负根。 （2）坐标法 ①提取向量坐标； ②计算； ③整体开根号得到向量模长。 3.易错提醒 计算时漏掉交叉项；开方后误取负值。 【例2】（2026高二·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 【变式2-1】（2026高二·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式2-2】（2026高二·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 【变式2-3】（2026高二·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，平方后求解即可． 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． ▌题型03 求空间向量的夹角 1.核心逻辑 （1）变形余弦公式，通过余弦正负区分锐角、直角、钝角、平角。 （2）坐标法：用坐标分别求出、、，再代入余弦公式求夹角。 2.解题步骤 （1）分步求出、、三个基础量； ①代入余弦公式算出； ②结合反三角函数求出夹角，夹角范围固定。 （2）坐标法 ①用坐标计算两向量数量积； ②分别算出两个向量的模； ③代入余弦公式，写出夹角。 3.易错提醒 混淆向量夹角与三角形内角；公式分母只写单个模，遗漏相乘。 【例3】（2026高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 【变式3-1】（2026高一·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   【变式3-2】（2026高二·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.    【答案】 【分析】根据垂直关系可得平面，，根据空间向量数量积求得，，根据夹角公式即可得结果. 【详解】因为平面平面，， 且平面平面，平面，可得平面， 又因为平面，则， 即，，， 则，，且，，， 因为， 则， 即， 又因为， 可得， 所以向量与夹角的余弦值为. 故答案为：. 【变式3-3】（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值. 【详解】（1）设，由题意可得，， 所以 ， 所以，即的长为； （2）因为， 所以 ， 又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. ▌题型04 由空间向量夹角求参数 1.核心逻辑 （1）已知夹角条件，代入余弦等式或不等式；直角满足，锐角，钝角。 （2）坐标法：向量坐标含参数，用参数表示、、，列方程或不等式求解。 2.解题步骤 （1）用参数表示、、； ①根据夹角要求列出等式或不等式； ②求解参数，检验模长不能为0，剔除增根。 （2）坐标法 ①写出含参向量坐标，计算数量积与两个模； ②结合夹角条件列关系式； ③解方程/不等式，钝角需额外排除两向量反向共线的情况。 3.易错提醒 求钝角只写，忽略反向共线；不检验模长不为0造成分母无意义。 【例4】（2026高二·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 【变式4-1】（2026高二·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】C 【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 【变式4-2】【多选】（2026高二·广东潮州·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【分析】利用空间向量平行建立方程，求解参数判断A，利用空间向量垂直求解方程判断B利用夹角为钝角并结合空间向量数量积的坐标运算可判断C，利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D即可. 【详解】由题意得向量， 对于A，若，则，解得，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若为钝角，则且， 解得且，故C错误， 对于D，若在上的投影向量为， 即， 则，解得，故D正确． 故选：BD． 【变式4-3】（2026高二·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    ▌题型05 求投影向量 1.核心逻辑 （1）在上投影向量：； （2）坐标法：坐标算出投影系数，再乘坐标得到投影向量。 2.解题步骤 （1）计算与； ①算出投影系数，再乘以得到投影向量。 （2）坐标法 ①用坐标计算、； ②求出系数； ③系数乘的坐标，写出投影向量坐标。 【例5】（2026高二·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，． (1)求，，； (2)求向量与所成夹角的余弦值； (3)求在上的投影向量（用坐标表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1），，，， 又，，. 因此，，. （2），. ，. . 因此向量与所成夹角的余弦值为. （3）在上的投影向量为. 【变式5-1】（2026高二·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 【变式5-2】（2026高二·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 【变式5-3】（2026高二·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B ▌题型06 利用数量积证明垂直关系 1.核心逻辑 （1）两个非零向量垂直的充要条件；线线、线面垂直均可转化为方向向量数量积为0。 （2）坐标法：两向量坐标对应相乘相加，结果等于0即可证垂直。 2.解题步骤 （1）选取两条直线对应的方向向量； ①展开并化简两个向量的数量积； ②计算结果等于0，补充说明两向量均非零，得出垂直结论。 （2）坐标法 ①写出两条直线方向向量的坐标； ②计算坐标形式的数量积； ③结果为0，直接判定向量垂直，对应直线垂直。 3.易错提醒 不说明向量为非零向量；仅观察坐标符号，不完整计算数量积。 【例6】（2026高一·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据空间向量共线与垂直的坐标表示，逐一检验即可. 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 【变式6-1】（2026高二·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】B 【详解】由于，故，故， ， 故的竖坐标为. 【变式6-2】（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 【变式6-3】（2026高二·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2) 由题意得，      则 ，故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）略 ▌题型07 求空间向量数量积的最值 1.核心逻辑 （1）模固定时，；含参数向量通过平方、配方求取值范围。 （2）坐标法：向量含参数时，数量积转化为关于参数的二次函数，配方法求最值。 2.解题步骤 （1）把数量积整理为含或含参数的代数式； ①利用确定上下边界； ②写出最大值、最小值，标注取等时向量位置关系。 （2）坐标法 ①用坐标写出数量积关于参数的二次函数； ②配方，结合参数取值范围确定最值； ③验证取等条件对应的参数真实存在。 3.易错提醒 忽略限制，算出超出合理范围的最值。 【例7】（2026高二·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 【变式7-1】（2026高二·天津·阶段检测）P是棱长为2的正方体上底面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，得到向量和，利用向量的数量积化简得到，结合，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，由正方体的棱长为2，且为上底面上一点， 可设，其中，且， 所以， 则， 因为，可得， 所以取得最小值为，最大值为，所以取值范围为. 故选：C. 【变式7-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. （2）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】（1）依题意，． （2）取中点，则． 而，则，所以． 【变式7-3】（2026高二·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. ▌题型08 求空间向量模的最值 1.核心逻辑 （1）模的最值等价于模平方的最值，结合取值范围约束求解。 （2）坐标法：向量坐标含参数，模平方是二次函数，配方求出平方最值后再开算术平方根。 2.解题步骤 （1）对目标向量整体平方，展开为数量积组合； ①结合求出平方的最大、最小值； ②对平方最值开算术平方根，得到模长最值。 （2）坐标法 ①写出含参向量坐标，计算模的平方； ②二次函数配方，确定平方区间； ③开根号得到模的最值，标注参数取等条件。 3.易错提醒 求出模平方的最值后，忘记开根号直接当作模长答案。 【例8】在正方体中，，动点满足，则当时，________；当时，的取值范围是________． 【答案】 0 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标, ，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，， ，， 所以当时，，． 因为，，所以， 所以，，． 所以， 所以，． 当时，取得最小值，最小值为1； 当或，时，取得最大值，最大值为． 所以． 故答案为：0，    【变式8-1】（2026高二·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 【变式8-2】（2026高二·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，，再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-3】（2026高三·四川·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中， E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围. 【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，则， ，又，所以， 即，则． 当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF， 所以，， ， 当时，，当时，， 所以线段的长度的取值范围是． 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $