2.1等式性质与不等式性质（第1课时）（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦等式性质与不等式性质第1课时，核心内容包括梳理等式性质、掌握不等式八大基本性质、作差比较法及重要不等式，通过概念填空与实际问题（如限速、酸奶质量检查等）引入，建立等式与不等式知识关联，搭建从具体到抽象的学习支架。 导学案亮点在于类比等式性质探究不等式性质，结合赵爽弦图渗透数学文化，设计实际问题不等关系、比较大小、证明等分层题型，培养数学运算与逻辑推理核心素养，助力学生形成严谨变形习惯，提升用数学语言表达现实问题的能力。

2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）（导学案）（解析版） 1、梳理等式的基本性质，掌握不等式的八大基本性质，能利用不等式性质比较代数式大小、进行简单变形，培育数学运算核心素养。 2、通过类比等式性质探究不等式性质，学会作差比较法判断两式大小，体会类比推理、转化化归的数学思想，提升逻辑推理能力。 3、感受等式与不等式知识的内在关联，体会数学知识的系统性，养成严谨规范的代数变形习惯，体会不等关系在现实生活中的广泛应用。 重点：理解等式与不等式的基本性质，熟练运用不等式性质进行变形，会用作差比较法比较两个代数式的大小。 难点：运用不等式性质时易忽视条件，多步变形出错，灵活利用作差法处理含参数代数式大小比较问题。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 1. 现实中相等关系用＿＿＿＿＿＿＿＿表示，不等关系用＿＿＿＿＿＿＿＿表示。"不超过""至多"用符号＿＿＿＿＿＿＿＿，"不少于""至少"用符号＿＿＿＿＿＿＿＿。 2. 两个实数大小关系的基本事实：a＞b a－b ＿＿＿＿＿＿＿＿0；a＝b a－b ＿＿＿＿＿＿＿＿0；a＜b a－b ＿＿＿＿＿＿＿＿0。 3. 作差比较大小的四个步骤是：＿＿＿＿＿＿＿＿→＿＿＿＿＿＿＿＿→＿＿＿＿＿＿＿→＿＿＿＿＿＿＿＿。 4. 重要不等式：对任意a，bR，有a²＋b² ＿＿＿＿＿＿＿＿ 2ab，当且仅当＿＿＿＿＿时等号成立。 【答案】 1. 等式、不等式；≤、≥。　2. ＞、＝、＜。　3. 作差、变形、判号、结论。　4. ≥、。　5. ＞、＜；不变号、变号。　6. ＞0、＞。 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 【答案】（1）设该路段行驶的汽车速度为，则 （2）， （3）设三角形三边分别为，则 （4）设是直线外任意一点，是到的垂线段，是直线上任意一点，则 探究一、不等关系 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 解：设提价后每本杂志的单价为元，则销售总收入为万元。 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为： 思考1：除了可以通过作差与比较大小来判断大小关系外，还有什么其他的方法吗？ 作商法：当时， 。 注意：作商法要求两数同号且不为0。 【辨析1】设，比较与的大小。 解：由，得，，， 因此， 所以. 探究二、重要不等式 思考2：右图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热 情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 将风车图抽象成左图，设直角三角形的两直角边分别为,，则 (1)正方形的面积_________； 四个直角三角形的面积和__________; (2) 与有什么样的不等关系，如何表示？ （3）与会出现相等的情况吗，什么时候相等？ 【答案】 (1)正方形的面积__ __ _； 四个直角三角形的面积和__ ___; (2) 与有什么样的不等关系，如何表示？ 大于，即 （3）与会出现相等的情况吗，什么时候相等？ 当时，，即 综上， 一般地，，有，当且仅当时，等号成立。 问题3：你能证明这个重要不等式吗？ 证明：由完全平方公式可得 因为，，当且仅当时，等号成立， 所以当且仅当时，等号成立。 【例1】比较和的大小 【分析】数字的大小可以通过作差后与0比较，类比我们也可以比较它们的大小。 解： ∵ ∴ 【知识点拨】 作差法比较大小一般步骤： 【题型1：实际问题的不等关系】 1、用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18，要求矩形菜园的长宽都不能超过11，靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系。 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为， 这时菜园的另一条边长为 而矩形的长宽都不能超过11， ∴有 即. 2、用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18，要求菜园的面积不小于110靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系。 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18，∴ 这时菜园的另一条边长为 因此菜园的面积 依题意有即 故该题中的不等式关系表示为 【题型2：比较大小】 1、比较与的大小 解： ∵ ∵ ∴ ∴ 即 【知识点拨】 作差法比较大小注意： 1.用作差法比较两个数(式)的大小时，其关键是变形，一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段变形，这样有利于定号。特别是作差后的式子为二次三项式时，常考虑因式分解或配方法变形。 2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养。 2、比较和的大小 解： ∵ 当时，，所以 当时，，所以 3、 解： 即 所以 【题型3：不等式的证明】 1、 解： 即 同理 即 所以 一、单选题 1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 2．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解。 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 3．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 4．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 5．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小。 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题。 6．若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【详解】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确。 7．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断。 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 8．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 二、解答题 9．（1）比较和的大小，并指出等号成立的条件； （2），求该不等式的解集． 【答案】（1），当且仅当时取等号；（2） 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）分和两种情况，将绝对值符号去掉，得到关于的一元一次不等式组，解得即可。 【详解】（1）因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号； （2）不等式， 即或， 解得或，所以不等式的解集为. 10．(1)已知，比较和的大小并说明理由； (2)设用反证法证明：若，则或． 【答案】(1)，理由见详解； (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）假设且，根据条件进行分析得出矛盾即可证得结论. 【详解】（1）由， 因为， 所以 ， 所以， 即. （2）证明：假设且，则， 与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即或. 11．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节。 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少。 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节。 （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元。 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元。 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元。 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）（导学案） 1、梳理等式的基本性质，掌握不等式的八大基本性质，能利用不等式性质比较代数式大小、进行简单变形，培育数学运算核心素养。 2、通过类比等式性质探究不等式性质，学会作差比较法判断两式大小，体会类比推理、转化化归的数学思想，提升逻辑推理能力。 3、感受等式与不等式知识的内在关联，体会数学知识的系统性，养成严谨规范的代数变形习惯，体会不等关系在现实生活中的广泛应用。 重点：理解等式与不等式的基本性质，熟练运用不等式性质进行变形，会用作差比较法比较两个代数式的大小。 难点：运用不等式性质时易忽视条件，多步变形出错，灵活利用作差法处理含参数代数式大小比较问题。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 1. 现实中相等关系用＿＿＿＿＿＿＿＿表示，不等关系用＿＿＿＿＿＿＿＿表示。"不超过""至多"用符号＿＿＿＿＿＿＿＿，"不少于""至少"用符号＿＿＿＿＿＿＿＿。 2. 两个实数大小关系的基本事实： ＿＿＿＿＿＿＿＿0； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿0； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿0。 3. 作差比较大小的四个步骤是：＿＿＿＿＿＿＿＿→＿＿＿＿＿＿＿＿→＿＿＿＿＿＿＿→＿＿＿＿＿＿。 4. 重要不等式：对任意，有 ＿＿＿＿＿＿＿＿ ，当且仅当＿＿＿＿＿时等号成立。 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 探究一、不等关系 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 思考1：除了可以通过作差与比较大小来判断大小关系外，还有什么其他的方法吗？ 【辨析1】设，比较与的大小。 探究二、重要不等式 思考2：右图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热 情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 将风车图抽象成左图，设直角三角形的两直角边分别为,，则 (1)正方形的面积_________； 四个直角三角形的面积和__________; (2) 与有什么样的不等关系，如何表示？ （3）与会出现相等的情况吗，什么时候相等？ 问题3：你能证明这个重要不等式吗？ 【例1】比较和的大小 【知识点拨】 作差法比较大小一般步骤： 【题型1：实际问题的不等关系】 1、用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18，要求矩形菜园的长宽都不能超过11，靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系。 2、用一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18，要求菜园的面积不小于110靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系。 【题型2：比较大小】 1、比较与的大小 【知识点拨】 作差法比较大小注意： 1.用作差法比较两个数(式)的大小时，其关键是变形，一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段变形，这样有利于定号。特别是作差后的式子为二次三项式时，常考虑因式分解或配方法变形。 2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养。 2、比较和的大小 3、 【题型3：不等式的证明】 1、 一、单选题 1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 2．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 3．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 4．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 5．设，，则（    ）． A． B． C． D． 6．若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．随的值变化而变化 7．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 8．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 二、解答题 9．（1）比较和的大小，并指出等号成立的条件； （2），求该不等式的解集． 10．(1)已知，比较和的大小并说明理由； (2)设用反证法证明：若，则或． 11．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $