2.2基本不等式 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦基本不等式，引导学生通过课前预习填空衔接重要不等式，用替换变量引入基本不等式公式，课堂探究从由来推导、分析法证明、几何意义到不同类型最值问题，构建递进式学习支架。 资料特色在于几何意义探究培养几何直观，分析法证明发展推理能力，分层习题设计（普通班与优生班选做）和“三查”要求提升应用意识，课前预习、课堂探究、当堂检测的结构促进自主学习，帮助学生掌握数学思维与表达。

2.2　基本不等式 导学案（本节共2课时·附参考答案）　2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册 班级：＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿　小组：＿＿＿＿＿ 一、课前预习 阅读教材2.2，完成填空（a、b＞0）： 1．由重要不等式 a²+b²≥2ab，用 、 代替 a、b，得基本不等式＿＿＿＿＿＿＿＿，当且仅当＿＿＿＿时等号成立。 2． 叫做 a、b 的＿＿＿＿＿＿平均数， 叫做 a、b 的＿＿＿＿＿＿平均数；基本不等式表明：两个正数的算术平均数＿＿＿＿它们的几何平均数。 3．常用变形：a+b≥＿＿＿＿；ab≤＿＿＿＿；(a+b)²≥＿＿＿＿ab。 4．用基本不等式求最值要"三查"：一＿＿、二＿＿、三＿＿。 5．（几何意义）AB 为圆的直径，C 在 AB 上，AC＝a，BC＝b，CD⊥AB 交圆于 D，则 CD＝＿＿＿＿，半径＝＿＿＿＿，由半弦不大于半径得＿＿＿＿＿＿＿＿。 二、课堂探究 探究一　基本不等式的由来（对应第一课时·环节二） 在 a²+b²≥2ab 中令 a→，b→（a、b＞0），写出推导过程，得到基本不等式： 　 　 探究二　分析法证明（对应环节三） 用分析法证明 ≤（每步写"只要证"，最后倒过来）： 　 　 　 探究三　几何意义（对应环节四） 在图2.2-1中标出 a、b、、 各是哪一段，并说明 a＝b 时为什么取等： 　 　 探究四　直接求最值（对应例1） 已知 x＞0，求 x＋ 的最小值（写出取等的 x）： 　 　 探究五　最值原理与配凑（对应第二课时） （1）已知 x、y＞0 且 xy＝16，求 x＋y 的最小值： 　 　 （2）已知 x＞1，求 x＋ 的最小值： 　 　 （3）★（优生班课上完成，普通班选做）已知 a、b＞0，a＋b＝1，求 ＋ 的最小值： 　 　 三、当堂检测 1．（　）已知 a＞0，b＞0，ab＝2，则 ＋ 的最小值为　A．2　B．2　C．/2　D． 2．（　）当 x＞ 时，y＝x＋ 的最小值是　　B．4　C．5　D．9 3．（填空）已知正实数 a、b 满足 ab＝8，则 a＋2b 的最小值为＿＿＿＿。 4．（解答）用一段长 36m 的篱笆围成矩形菜园，边长为多少时面积最大？最大面积是多少？ 　 　 四、课堂小结 本节收获：基本不等式＿＿＿＿＿＿＿＿（a、b＞0，＿＿＿时取等）；两种证明是＿＿＿＿法与＿＿＿＿意义；求最值三查是＿＿、＿＿、＿＿；和定求积的＿＿、积定求和的＿＿。 参考答案与解析 课前预习 1．≤；a＝b。2．算术、几何；不小于。3．2；()²（即 ）；4。4．一正、二定、三相等。5．；；≤。 课堂探究 探究一：()²+()²≥2·，即 a+b≥2，两边除以2得 ≤，a＝b 时取等。 探究二：要证≤，只要证 2≤a+b，只要证 2－a－b≤0，只要证 －(－)²≤0，只要证 (－)²≥0。末式显然成立（a＝b 时取等），倒过来即证。 探究三：CD＝（几何平均），半径＝（算术平均）；C 与圆心重合即 a＝b 时半弦等于半径，取等。 探究四：x＞0 时 x＋≥2＝2，当 x＝ 即 x＝1 时取等，最小值 2。 探究五：(1) x＋y≥2＝2＝8，x＝y＝4 时取等，最小值 8。(2) (x－1)＋＋1≥2＋1，x＝1＋ 时取等，最小值 2＋1。(3) ＋＝(＋)(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，b＝2a 即 a＝、b＝ 时取等，最小值 9。 当堂检测 1．D。＋＝＝≥＝，a＝b＝ 时取等。（A、B、C 未正确使用 ab＝2 或未验取等。） 2．A。2x－1＞0，y＝()(2x－1)＋＋≥2＋＝，x＝ 时取等。 3．8。a＋2b≥2＝2＝8，a＝2b（a＝4、b＝2）时取等。 4．设相邻两边 x m、y m，2(x+y)＝36 即 x+y＝18，面积 xy≤()²＝81，x＝y＝9 时取等。边长 9m 的正方形时面积最大，最大 81m²。 课堂小结 ≤；a＝b；分析、几何；一正、二定、三相等；最大、最小。 易错提醒：用基本不等式先看"一正"，凑不出定值不能硬用，求最小值一定要写出取等的取值。 学科网（北京）股份有限公司 $