3.2.1 单调性与最大(小)值限时训练（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦单调性与最值，分层设计基础应用、综合提升、创新拓展三阶训练，通过不同年级检测题实现从概念理解到跨情境应用的知识巩固，培养数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一单调性判断、最值计算|单选为主，如高一单调性基础题，强化概念理解| |综合提升|分段函数、不等式解集等多考点结合|多选与中档解答题，如含参数函数单调性分析，培养逻辑推理| |创新拓展|对勾函数、存在性问题等跨情境应用|探究性解答题，如函数值域与恒成立问题，发展应用意识|

3.2.1 单调性与最大(小)值限时训练（培优） 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 2．（25-26高一上·福建宁德·期末）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先确定函数的解析式，再分段求函数的最小值即可. 【详解】由或. 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得，. 故选：B 3．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析的单调性，利用单调性即可解得不等式. 【详解】当时，单调递减，且； 当时，单调递减，且； 故在上单调递减，所以，解得． 故选：A． 4．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 5．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 6．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设函数，若存在最小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由的单调性得值域为，结合二次函数的性质，讨论、研究的最小值求参数范围. 【详解】在上单调递增，对应值域为， 当时，在上单调递减，对应值域为， 而， 若，则（舍），此时，不存在最小值， 若，则，即，此时，则最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增，对应值域为， 此时，则最小值为， 综上，，故的最小值为. 故选：B 7．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，分析的单调性，并根据的单调性，求解不等式，得到实数的取值范围. 【详解】令函数. 因为，，，都有， 所以，所以， 即，即， 所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即. 故选：A. 8．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】讨论，当时由反比例函数找到可能图像；当时，时由基本不等式得到函数存在最值找到可能图象；当时，由函数在上的单调性找到函数图像. 【详解】当时，，B可能； 当时，，函数中，， 则，当且仅当时取等号，D可能； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递减， 因此函数在上单调递减，C可能， 无论取何值，选项A都不可能. 故选：BCD. 9．（25-26高一上·辽宁大连·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的取值范围是 C．存在实数使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】结合一次函数、二次函数的性质，利用分段函数的单调性，值域逐项判断. 【详解】选项A：，. 由，得，解得，故选项A正确； 选项B：若在上单调递增，需满足： 当时，单调递增，则； 当时，单调递增（开口向上，对称轴），则； 分段点衔接：，则， 综上可，即，选项B正确. 选项C：若在上单调递减： 当时，单调递减，则； 当时，单调递减（开口向上），对称轴. 但与矛盾，故不存在这样的，故选项C错误； 选项D：若的值域为： 当时，时的值域无法覆盖全体实数（时为常数，时为），不满足； 当时，段单调递增，值域为； 若，段的最小值为，需，得； 若，段的最小值为，此时恒成立. 综上可得，故选项D正确. 故选：ABD 10．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数在上单调递减，则 B．当时， C．对，不等式总成立 D．若在区间上既有最大值也有最小值，则 【答案】ABC 【分析】根据函数的对称性、单调性、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 画出的图象如下图所示， 对于A，若函数在上单调递减，由图可知，，A正确； 对于B，当时，，则， 此时关于直线对称，故有，成立； 当时，，成立； 当时，， 由图知，即成立. 综上所述，当时，，B正确. 对于C，对， ， 即总成立，故C正确. 对于D，在区间上既有最大值也有最小值，则，故D不正确. 故选：ABC 11．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）已知，若函数的最大值为2，则_______________. 【答案】2 【分析】根据的对称轴为，分和和讨论求最大值. 【详解】因为，函数，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上单调递增， 所以当时，，所以； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 解得，又，不合题意舍去； 当时，，不合题意； 综上，实数的值为2. 故答案为：2. 12．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 13．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）我们知道，当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数，其中若，则函数值域为__________；若最大值为，则的取值范围__________. 【答案】 【分析】应用对勾函数的单调性得出函数的值域，再应用绝对值不等式得出，最后应用对勾函数的最小值计算求解. 【详解】若，函数， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即得，则函数， 当时，当或时， 则函数值域为； ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即. 故答案为：，； 14．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)解关于的不等式； (3)若函数的值域为，存在，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （2）运用因式分解法，结合一元二次方程根的情况分类讨论进行求解即可； （3）根据一元二次不等式解集的性质，结合存在性和任意性的定义、二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意得和4为方程的两实数根， 则. （2）将原不等式代入得， 整理后得：，即， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式的解集为：， ③当时，不等式的解集为：， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， （3）因为函数的值域为， 所以， 所以由不等式，对于任意的恒成立， 设， 该二次函数的对称轴为， 因为，所以， 所以当时，函数单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 又存在使得上式成立，所以， 所以实数的取值范围为. 15．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知二次函数. (1)已知，，，且当时的最大值是. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求时，函数的最小值. (2)若对任意，恒成立，求的最大值. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 (2) 【分析】（1）（ⅰ）由得到，由得到，根据二次函数图象求得时的最大值，即可求出的解析式，（ⅰⅰ）按照区间在对称轴的位置分为，和三种情况，分别求最小值即可； （2）令，求得，根据恒成立得到，，进而得到，，利用二次函数的性质求出的最大值，再验证此时恒成立即可. 【详解】（1）（ⅰ）由题意得， 由题可知对称轴， 所以，， 所以在区间上的最大值是， 所以，即， 所以的解析式为. （ⅱ）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为 ①当时，即时，在上单调递减， 此时的最小值为， ②当时，在上单调递增， 此时的最小值为， ③当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时的最小值为， 综上，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 当时，的最小值为. （2）令，则，所以， 因为对任意，恒成立，所以恒成立， 所以， ， 所以，此时， 所以，当，，时取等号， 此时，成立， 即成立， 故的最大值为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 单调性与最大(小)值限时训练（培优） 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建宁德·期末）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北雄安·期中）已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）设函数，若存在最小值，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 7．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选）函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 9．（25-26高一上·辽宁大连·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在上单调递增，则的取值范围是 C．存在实数使得在上单调递减 D．若的值域为，则的取值范围为 10．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）设函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数在上单调递减，则 B．当时， C．对，不等式总成立 D．若在区间上既有最大值也有最小值，则 11．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）已知，若函数的最大值为2，则_______________. 12．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则不等式的解是___________. 13．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）我们知道，当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数，其中若，则函数值域为__________；若最大值为，则的取值范围__________. 14．（25-26高一上·甘肃张掖·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)解关于的不等式； (3)若函数的值域为，存在，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 15．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知二次函数. (1)已知，，，且当时的最大值是. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求时，函数的最小值. (2)若对任意，恒成立，求的最大值. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $