3.2.2 奇偶性限时训练（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** “奇偶性限时训练（培优）”通过基础概念辨析、性质综合应用到复杂问题解决的三层递进设计，实现从单一知识点到综合能力的巩固提升，适配新授课后培优需求，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念层|奇偶性定义与判定|单选1-3题直接考查奇函数判定、充要条件等基础考点，强化概念理解| |性质应用层|奇偶性与单调性/定义域结合|单选4-7题结合分段函数、参数范围求解，多选8-10题综合奇偶性与对称性，提升推理能力| |综合探究层|奇偶性与函数图像/不等式综合|解答14-15题需推导解析式、证明单调性，填空12题结合奇偶性解不等式，体现模型观念与应用意识|

3.2.2 奇偶性限时训练（培优） 1．（25-26高二下·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围. 【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数， 恒成立， 恒成立， 故选:  A . 3．（25-26高二下·北京东城·期末）已知函数的定义域为，则“，，且，都有”是“是奇函数”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先验证题设条件能否推出是奇函数判断充分性，再举反例验证奇函数是否一定满足题设条件判断必要性，最终确定条件类型. 【详解】已知，都有， 当时，可得，因此， 对任意，令，，可得，即， 记，由分母不为零可知，因此， 此时，满足奇函数定义，充分性成立； 若是奇函数，取反例，其定义域为且满足是奇函数， 取，，则，而，二者不相等，不满足题设条件，故必要性不成立， 综上所述，“，都有”是“是奇函数”的充分不必要条件. 4．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用奇函数的性质求出时，的解析式，进而求出的解析式，再利用的单调性，即可求解. 【详解】因为函数是上的奇函数，且当时，， 当时，，所以，得到，所以时，， 则，其图象如图， 由图知在上单调递增，由，得， 即，解得或， 所以实数的取值范围是. 5．（25-26高一上·安徽池州·期中）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明函数是偶函数，在是减函数，然后由奇偶性、单调性转化求解． 【详解】易知的定义域为， ，所以是偶函数， 当时，为减函数，为增函数，所以为减函数， 则等价于，所以， ，解得或. 故选：B. 6．（25-26高二下·四川宜宾·阶段检测）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数不等式等条件构造函数，利用题设条件判断该函数的单调性，再结合，运用数形结合思想即可求解. 【详解】令，当时，，则在上单调递增， 又因分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则由可知函数为奇函数，故在上单调递增， 又因，则， 则由和的单调性可得或. 故不等式的解集是，A正确. 7．（25-26高二上·湖南·期末）已知奇函数，对任意的，都有，且，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过的奇偶性和单调性求解函数不等式. 【详解】对任意，， 令，可得，在上是增函数， 是奇函数，是奇函数，在上是增函数， ，即， 等价于，，. 故选： 8．（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．当时， C．当时，的单调递增区间为和 D．当时，的单调递增区间为和 【答案】ABD 【分析】对于A，由奇函数的性质即可得解；对于B，运用函数的奇偶性即可得解；对于C，运用对勾函数的单调性即可得解；对于D，由与在上单调递增，再结合的奇偶性，即可判断. 【详解】对于A：因为函数为奇函数，且定义域为，所以，所以，所以，故A正确； 对于B：当时，，，故B正确； 对于C：当时，由对勾函数图象的性质得，的单调递增区间为和，故C错误； 对于D：当时，对于，易知与在上单调递增， 故在上单调递增， 进一步由奇函数的图象关于原点对称，在区间上也单调递增，故D正确． 故选：ABD. 9．（25-26高一上·重庆渝北·期中）（多选）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（    ） A．存在实数，使得是奇函数 B．，当时，都有成立 C．，当时， D．若，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】当时，根据奇偶性的定义即可判断A；分和两种情况讨论，结合二次函数的性质，求得的单调性，即可判断BC；令，结合函数的单调性和奇偶性，解不等式即可判断D. 【详解】对于A，当时，， 则，所以是奇函数， 所以存在，使得是奇函数，故A正确； 对于B，当时，，其图象开口向上， 且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 所以函数在上单调递增， 所以，当时，都有成立，故B正确； 对于C，由B选项知，函数在上单调递增， 所以不存在，使得，所以C不正确； 对于D，令， 由A选项知，函数为奇函数， 由B选项知，函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 由， 得， 即， 所以，解得， 所以实数的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）定义在上的奇函数在上为增函数，且为偶函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B． C．当时， D．若，且，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性，结合函数对称性判断选项A；利用函数单调性和周期性，判断选项B；利用函数单调性和奇偶性，判断选项C；利用函数单调性及对称性，结合基本不等式判断选项D． 【详解】为偶函数，则，由函数对称性定义， 函数的图象关于直线对称，故A正确； 已知是上的奇函数，故，且， 由对称性知，代入奇函数性质得， 故，则函数周期为， ， 由对称性， 又在上为增函数，故， 故，故B错误； 当时，在上单调递增，； 在上单调递减，， 故在区间内； 当时，由奇函数性质，时， 故，故内，且，故， 综上，时，，故C正确； 由且，结合在递增，递减， 且关于对称，可得， 将代入目标式，则 ， 当且仅当，即时取等号， 结合得，满足，故D正确． 11．（25-26高三上·山东济宁·期末）已知函数，若函数为奇函数，则________. 【答案】 【分析】由求出，，设，则为奇函数，求出，由得到关于的等式，解得的值，从而得解. 【详解】， ， 设， 为奇函数，为奇函数， ， ， ， ， ， 对于任意的恒成立， ，， . 故答案为：. 12．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】根据题意，得到在上为单调递增，且，分，和，三种情况讨论，分别求得不等式的解集，即可求解. 【详解】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数， 则函数在上也是单调递增函数，且， 当时，因为，不等式，即为，可得 当时，因为，满足； 当时，因为，可得， 则不等式，即为，可得， 综上可得，不等式的解集为. 13．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______. 【答案】 【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果 【详解】由题意知，（）， 设，则， 因为， 所以为奇函数， 在区间上的最大值与最小值的和为0， 故， 所以. 故答案为： 14．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合奇函数性质先求，然后结合奇函数定义即可求解函数解析式； （2）先判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数最值． 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且当时，， 所以，解得，即时，； 当时，，， 故； （2）作出函数的大致图象如图所示：    ① 当时，函数在上单调递增，则； ② 当，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③ 当时，，函数在上单调递减， 则； ④ 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则， 则，所以； ⑤ 当时，即当时，函数在上单调递增，在单调递减， 又， 所以，此时， ⑥ 当时，即时，在单调递增， 所以， 综上所述，. 15．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性限时训练（培优） 1．（25-26高二下·江苏徐州·期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26高二下·北京东城·期末）已知函数的定义域为，则“，，且，都有”是“是奇函数”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数,若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽池州·期中）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·四川宜宾·阶段检测）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖南·期末）已知奇函数，对任意的，都有，且，则满足不等式的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖南长沙·期末）（多选）若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．当时， C．当时，的单调递增区间为和 D．当时，的单调递增区间为和 9．（25-26高一上·重庆渝北·期中）（多选）设函数，其中，则下列命题是真命题的是（    ） A．存在实数，使得是奇函数 B．，当时，都有成立 C．，当时， D．若，则实数的取值范围为 10．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）定义在上的奇函数在上为增函数，且为偶函数，则（    ） A．函数的图象关于对称 B． C．当时， D．若，且，则的最小值为 11．（25-26高三上·山东济宁·期末）已知函数，若函数为奇函数，则________. 12．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 13．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______. 14．（25-26高一上·全国·专题训练）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值. 15．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $